二轮复习：选修4-4 直线的标准参数方程t 的几何意义应用
一.考纲要求： 参数方程
1. 了解参数方程，了解参数的意义；
2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 二. 一轮知识课前回顾（请同学们独立默写完成）
1. 过点，倾斜角为的直线标准参数方程为____________________ 其中t 的意义如下：
设,则是直线方向上的单位向量，
若M 为直线上任一点，则，
,即直线上动点M 到定点的距离，等于直线标准参数方程中参数t 的__________
即
??
?+=+=)(为参数t Bt n y At
m x 为直线标准参数方程的条件为:①=+22B A __________ ②______>0 2.直线的非标准参数处理方案 ①转为________方程解决问题. ②转为标准参数方程：
如： 将直线：（为参数）的方程化为标准参数方程____________________
3.已知过点M 0(x 0，y 0)的直线的参数方程为：（为参数），点M 、N 为直线l
上相异两点，点M 、N 所对应的参数分别为、，
请根据下列图象判断、的符号以及用、表示下列线段长度：
（2） (3）
请用、表示线段长度:
4.若点Q 是线段MN 的中点，则点Q 对应的参数t=_________
()000,y x M αl ()ααsin ,cos =e l ______=l e t M M =0_________=()000,y x M l ????
?=
方向向下
，若方向向上
若M M M M 000______,||l 222x t
y t =+??=-?
t l ???+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x t 1t 2t 1t 2t 1t 2t ()11t 2t
5.若点M 0(x 0，y 0)是线段MN 的中点，则+=____________
三.直线的标准参数方程t 的几何意义应用
应用（一）利用t 的几何意义求直线上定点坐标或动点轨迹方程
问题1.已知直线：，圆：，
求与的的交点坐标；
方法1： 方法2：
【思维提升】直线上每一个点与参数方程中的参数t 存在一一对应关系。利用参数方程求直线上某一点的坐标，只需求出该点对应的参数t.
你能利用t 的几何意义解决以下问题吗？
变式1.已知直线：，圆： 求与的的交点坐标；
变式2.已知直线：，过原点作直线的垂线，垂足为A ，求点A 的坐标。
变式3.圆：，点D 是圆上一点，若圆在D 处的切线与直线垂直，求点D 的坐标。
【及时总结】利用直线标准参数方程t 的几何意义求直线上某点坐标坐标的步骤： 1. 确定该点所在直线的标准参数方程；
2. 数形结合确定该点对应的参数t （注意起点与该点的______________） 应用（二）利用t 的几何意义求解与线段长（弦长）有关的问题
1t 2t 1C )(3sin 3cos 1为参数t t y t x ??
???
=+=ππ2C )(sin cos 为参数θθθ???==y x 1C 2C 1C )(3sin
3cos 1为参数t t y t x ??
???
=+=π
π3
C ()4122=+-y x 1C 3C 1C )(3sin
3cos 1为参数t t y t x ??
???
=+=π
π1
C 3C ()4122
=+-y x 3C 3C 23+=x y
问题2.（2016年全国II 改编）在直角坐标系中，圆C 的方程为．
直线的参数方程是（t 为参数），与C 交于A 、B 两点，
求的斜率．
变式1.若直线的参数方程为)(sin 2cos 4为参数t t y t x ???+-=+-=α
α，交圆
C:()25622
=++y x 于A,B 两点，定点)2,4(--P ,求的取值范围。
变式2.若直线的参数方程为),(22122R a t t y t a x ∈???
???
?+=+=为参数，交x y C 4:21=于 A,B 两点，点)1,(a P 在线段AB 上，若,求实数的值。
你能在变式2的基础上提出什么新问题？
【及时总结】
当直线与曲线相交于两点，解决有关弦长或以直线所过定点为起点的线段长的有关问题的方法：
1.将线段长表示为____________.
2.联立直线的标准参数方程与曲线的普通方程，得到关于参数t 的一元二次方程，联系_____________解决问题。
3.解决问题的关键是___________________ 四.小结
xOy ()2
2625x y ++=l cos sin x t y t α
α=??=?
l AB l l l ||||PB PA -l l ||2||PB PA =a
今天的课你有什么收获？请你尝试用思维导图（或流程图）的方式做一下总结。
五.课后作业
(2010年新课标)已知直线：（为参数），圆：（为参数），
(Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程
为（为参数）． (1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． (2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾
斜角为的直线与交于，两点． (1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【活学活用】
（2018新课标2 理12）已知，是椭圆的左，右焦点，是的
左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的
离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1C x 1t cos sin y t αα=+??=?t 2C x cos sin y θ
θ=??=?
θα3π
1C 2C O 1C A P OA αP xOy C 2cos ,
4sin ,
=??=?x θy θθl 1cos 2sin =+??=+?x t αy t α
t C l C l (1,2)l xOy O cos sin x y θ
θ
=??=?
θ(0,αl O A B αAB P 1F 2F 22
221(0)+=>>：x y C a b a b
A C P
A 6
12△PF F 12120∠=?F F P C 2312131
4
第九篇 解析几何 第1讲 直线方程和两直线的位置关系 A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点 ( )． A.? ????－12，3 B.? ???? 12，3 C.? ?? ??12，－3 D.? ?? ??－12，－3 解析 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令??? 2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－1 2，y ＝－3，故所有直线都过定点? ???? －12，－3. 答案 D 2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )． A.?????? π6，π3 B.? ???? π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D.???? ??π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝3 3，则直线P A 的倾斜
角为π 6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是? ? ? ? ? π 6， π 2. 答案 B 3．(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案 A 4．(2013·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 ()． A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0， 此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件． 答案 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 解析设所求直线的方程为x a＋ y b＝1， ∵A(－2,2)在直线上，∴－2 a＋ 2 b＝1. ① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴1 2|a|·|b|＝1. ②
1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
直线与方程复习课教学的设计及反思 复习课不同于练习课. 一节课，若学生练得太多，老师固然 轻松，但由于学生无法形成知识系统，学生会觉得这样复习乱而无益，收获不大；若老师讲得太多，重视技巧，忽略基础，师生双方都会疲惫不堪. 这样势必造成学生对复习感到厌烦，不但没有起到 “温故知新”的效果，还削弱了学生对数学学习的兴趣与劲头. 复习时，应对复习课的形式进行新的尝试，以期吸引学生的注意力， 要把课本比较分散的知识点串联成知识链，建立知识点系统框架， 着重培养学生对旧有知识的总结归纳能力与应用知识能力，并鼓励 学生大胆尝试用新方法解决旧问题，培养学生的创新能力，为学生的可持续发展奠定基础. 这很像美术上的素描手法. 素描可以用单色线条（也可以用两种或两种以上的颜色）或涂抹成面等方式来表 现直观世界中的事物，亦可以表达思想、概念、态度、感情、幻想、象征甚至抽象形式，它不像绘画那样重视总体和彩色，而是着重结构和形式. 前段时间笔者用素描的方式上了一节公开课，内容是“直线与 方程（单元复习课）” . 本文围绕这节课的教学设计以及反思过 程，谈谈复习课教学的一点体会. 一、教学内容分析平面解析几何联系着“代数学”和“几何学”，学生通过本章的学习达到基本了解平面解析几何的理论基础，掌握直线与方
程的联系，并学会利用直线的方程解决相关几何问题的目的在解析几何中，直线是最简单的曲线，方程的形式也较为简单，相关的位置关系也是学生在初中已经获得的认知，因此，在本章节的学习过程中，主要应以理论依据为基石，熟悉方法为目的，使学生获得快速有效的发现问题本质并熟练解决问题的能力. 二、教学目标 知识技能：（1）通过对本章知识的整合，对直线与方程的相关问题进行梳理，明确知识点间的内在联系，进一步提高分析和解决问题的能力. （2）通过几个具体题目的分析与解答，锻炼学生自己构造题目，体验数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 问题解决：教师引导，学生讨论. 情感态度：锻炼学生归纳整合的能力，进一步激发学生学习 数学的兴趣. 三、教学重难点 重点：（1）数学概念的深刻理解与清楚辨析；（2）熟练运用各种数学思想方法解决数学问题. 难点：根据题设合理选择适当的方法. 四、教学设计思路直线与方程是解析几何中较为重要和基础的内容，笔者在设计这节课时主要是想尽量以学生为主体，发挥学生的主动性，让学生自己添加条件，逐渐丰满题目，用素描的方式渐渐完成一节课的主要内容复习. 因此采取了如下的教学设计思路：一道开放性问题开路f温故知新―师生讨论f借助三角形模型
椭圆： 椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
直线的参数方程教学设计 教材内容解析 本节内容是人教A 版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参 数方程00+cos ,+sin . x x t t y y t αα=??=?（为参数） 就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程． 学情分析 学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此． 之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备． 教学方法与教学手段 教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）． 教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）． 教学目标 1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系； 2．理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义； 3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯； 4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想． 教学重点 1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程； 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义． 教学难点 1．直线的参数方程中参数t 的几何意义； 2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用．
直线与方程专题复习
专题复习 直线与方程 【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存 在。 2.两直线垂直与平行的判定 （1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式
一般式 ) 0(0 22≠+=++B A c By Ax 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3 ＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值 为 .
课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）， 其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量， 的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则 的方向向上;若t<0,则 的方向向下;若t=0,则点与点M 重合. 由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为 B A t t ,，则 性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为 2 B A t t +，若0M 是线段A B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。
精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是?3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。 分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程? ?? ? ?x = x 0 +at ，y = y 0 +bt (t 是参数)。 解：由题意知则直线PQ 的方程是? ????x = 1 ? 3 t ， y = 2 + 4 t ，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q （?8，12）。 例2．求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。 解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ? ?? ??x = ?1 ? 2 13 t ， y = ?2 + 313 t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d = 5 13 ， ∴ t = AA ' = 10 13 ， 代入直线的参数方程得A ' (? 3313，413 )。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点 (1,5),倾斜角为 , 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆 的两个交点到点 的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t 为参数)
利用直线参数方程t 的几何意义 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方； x
选修4-4 教案 教案1 平面直角坐标系（1 课时） 教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换（1 课时）教案3 极坐标系的的概念（1 课时） 教案4 极坐标与直角坐标的互化（1 课时） 教案5 圆的极坐标方程（2 课时） 教案6 直线的极坐标方程（2 课时） 教案7 球坐标系与柱坐标系（2 课时） 教案8 参数方程的概念（1 课时） 教案9 圆的参数方程及应（2 课时） 教案10 圆锥曲线的参数方程（1 课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1 课时）教案12 直线的参数方程（2 课时） 教案13 参数方程与普通方程互化（2 课时）教案14 圆的渐开线与摆线（1 课时）
课题：1、平面直角坐标系教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课 1 2 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查 1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空 中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确 的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 word.
直线的斜截式方程 教学目标 1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念； 2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系； 3、初步掌握斜截式方程及其简单应用； 4、培养学生应用公式的能力。 教学重点 直线的斜截式方程。 教学难点 直线的斜截式方程及其应用。 教学过程 （一）复习引入 （1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x 1，y 1），k 的几何意义。 （答案：直线的点斜式方程是y －y 1=k （x －x 1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x 1，y 1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率。） （2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程。 （答案：y=kx+b ） （二）讲解新课 （1）直线在y 轴上的截距 一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距。 例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距。 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念。 （2）直线的斜截式方程 如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y=kx+b 。 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式。 这个方程的导出过程就是引例的解题过程。这是我们同学们自己推导出来的。 （3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同 在一次函数的解析式中，k 不能为0，而直线的斜截式方程没有这个限制。 ②练一练 根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距： （1）y=3x －2， k=_________，b=_________ （2）3 132+=x y , k=_________，b=_________ （3）y=－x －1， k=_________，b=_________ （4）23-=x y ， k=_________，b=_________
数学试题（文） 1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标 方程为()2sin cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为224x y ?=-+????=-+?? （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ?=，求a 的值． 2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为sin x y θθ?=??=??（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点． (1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积． 3．已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22+2 x y ?=????=-?? (t 为参数）．在极坐标系（与直角坐 标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为221cos sin 22 a ap a ρρθθ--=+，[0,2]a ∈． （Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型； （Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点P(0,-2)，求PA PB ?的最大值．
4．已知直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+??=?，（t 为参数，α为倾斜角，且2πα≠）与曲线 221612x y +=1交于,A B 两点. （I ）写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； （Ⅱ）求||||PA PB 的最大值。 5．已知直线l 的参数方程为??? ????+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的参数方程为???==θθsin 4cos 4y x （θ为参数）.⑴将曲线C 的参数方程化为普通方程；⑵若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长. 6．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:2sin 2cos a ρθθ=(a >0),已知过点P(-2,-4)的直线l 的参数方程为 :22 42 x y ?=-+????=-+??（t 为参数）,直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a 的值． 7．已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是212 x m y t ?=+????=??，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程； （2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ?=，数m 的值．
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
复习课: 第三章直线与方程 教学目标 重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系． 难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决． 能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用． 自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系； 2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程； 3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题． 考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目． 易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错． 易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件． 拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究． 学法与教具 1．学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】
二、【知识梳理】 1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 k =________，倾斜角是90?的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式： 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当 12x x ≠时，直线的斜率__________． （3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系 当α为锐角时，α越大?k 越____；当α为钝角时，α越大?k 越____；
教学设计：《直线的参数方程》（选修4-4） 教学目标： （一）知识与技能：联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． （二）过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． （三）情感、态度与价值观：通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养学生积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M 的坐标为t，那么： =； ①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOA ②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0 t>； 当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0 t<； 当M与O重合时，0 t=； ③|| =．教师用几何画板软件演示上述过程． OM t 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的 任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点 就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利 于建立这两种坐标之间的关系？ 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下 M为原点，与直线l平 结论：选取直线l上的定点 行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系． 【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
二轮复习：选修4-4 直线的标准参数方程t 的几何意义应用 一.考纲要求： 参数方程 1. 了解参数方程，了解参数的意义； 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 二. 一轮知识课前回顾（请同学们独立默写完成） 1. 过点，倾斜角为的直线标准参数方程为____________________ 其中t 的意义如下： 设,则是直线方向上的单位向量， 若M 为直线上任一点，则， ,即直线上动点M 到定点的距离，等于直线标准参数方程中参数t 的__________ 即 ?? ?+=+=)(为参数t Bt n y At m x 为直线标准参数方程的条件为:①=+22B A __________ ②______>0 2.直线的非标准参数处理方案 ①转为________方程解决问题. ②转为标准参数方程： 如： 将直线：（为参数）的方程化为标准参数方程____________________ 3.已知过点M 0(x 0，y 0)的直线的参数方程为：（为参数），点M 、N 为直线l 上相异两点，点M 、N 所对应的参数分别为、， 请根据下列图象判断、的符号以及用、表示下列线段长度： （2） (3） 请用、表示线段长度: 4.若点Q 是线段MN 的中点，则点Q 对应的参数t=_________ ()000,y x M αl ()ααsin ,cos =e l ______=l e t M M =0_________=()000,y x M l ???? ?= 方向向下 ，若方向向上 若M M M M 000______,||l 222x t y t =+??=-? t l ???+=+=α α sin cos 00t y y t x x t 1t 2t 1t 2t 1t 2t ()11t 2t
2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时) 教学目标： 知识与技能： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 通过建立直线参数方 程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学过程： 一、复习回顾： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 二、师生互动，新课讲解 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA = ；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =；
中职数学直线与圆的 方程教案
x x 职业技术教育中心 教案 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 复习引入： 新授： 1.平面内两点间的距离 设A ,B 为平面上两点．若A ,B 都在x 轴(数轴)上(见图7-3(1))，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为 |AB |=|x 2-x 1|． 同理，若A ,B 都在y 轴上(见图7-3(2))， 坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离 |AB |=|y 2-y 1|． 若A , B 至少有一点不在坐标轴上，设 A , B 的坐标为A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)．过A ,B 分别作x ,y 轴的垂线，垂线延长交于 C (见 图7-3(3))，不难看出C 点的坐标为(x 1,y 2)， 则 |AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1|， 由勾股定理 |AB |=2 2 BC AC +=2 212 21)()(y y x x -+-． 由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则 图7-x y O y y ? ? B A 图7-x y O x 1 x 2 ? ? B A 图7-3(3)
|AB |=221221)()(y y x x -+-． (7-1-1) 例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |． 解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)， |AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65． 例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ． 解：据两点间距离公式， |AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10， 解得 b =7或b =-9． 例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P ,A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？ 解 以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如 图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x ,则x =-6，据题意要求出y ． 据两点间距离公式(7-1-1) |PQ |=22069)()(y -++-=5， 解得 y =±4， 即站点Q 在南北向距A 是4km ． 例4 如图7-5，点A ,B ,C ,D 构成一个平行四边形， 求点D 的横坐标x ． 解 因为ABCD 是平行四边形，所以对边相等， |AB |=|CD |, |AC |=|BD |． 图7-4
专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析 一． 知识点概述： ★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 为参数，t t y y t x x ?? ?+=+=α α sin cos 00 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则 |MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+； |MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ?=?； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ?-+= -=-=，即. ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为： ??? ??? ?+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或??? ??? ?++=+++=+=++=+++=+=) (22)()(2)(22) ()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而22 1t t t +=，所以中点坐标也为：? ??+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点， 则中点M 的相应参数：2 2 1t t t += =0 （因为???+=+=t p y y t p x x 200 100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。 实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任 意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。 体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。 实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的