向量
一、选择题
1．(2013·湖北武汉)下列各组向量中，不平行的是( D )
A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)
B ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)
C ．a ＝(2,3,0)，b ＝(0,0,0)
D ．a ＝(－2,3,5)，b ＝(16，－24,40)
2．若平面α与平面β的法向量分别为a ＝(4,0，－2)，b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( B ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断
3．(2013·平顶山模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( D )
A.627
B.637
C.607
D.65
7
4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( C )
A ．平行
B ．相交
C ．异面垂直
D ．异面不垂直
5．(2013·沈阳模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( B ) A.3
4
B.
32 C.334
D. 3 1．(2013·甘肃兰州)若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是(A ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)
C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)
D ．n ＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) [解析] 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直． 6．(2013·沈阳模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则
对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为( B ) A.12 B.1515 C.32
D ．0 [解析] 如图，建立直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D
(0,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，M (1，1
2
，0)．
∴DB 1→＝(1,1,1)． CM →
＝(1，－12
，0)，cos 〈DB 1→，CM →
〉＝
DB 1→·CM
→|DB 1→
|·|CM →|
＝
123·
52
＝
1515
. ∴异面直线DB 1与CM 所成角的余弦值为
15
15
. 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值
为( B) A.12 B.23 C.33 D.2
2
[解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，
则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →
＝(1,0，－1
2
)，
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，
则?????
y －z ＝0，1－1
2
z ＝0，∴?
??
??
y ＝2，
z ＝2.
∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos n 1，n 2＝23×1＝2
3
.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
8.如图，已知在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角
的正弦值为( ) A.35 B.45 C.34 D.25
5
[解析] 方法一：
?
???
?B 1D ⊥A 1C 1
B 1D ⊥C
C 1A 1C 1∩CC 1＝C 1?B 1
D ⊥面ACC 1A 1?面B 1DC ⊥面ACC 1A 1，交线为DC ?∠ADC 为AD 与平面B 1CD 所成的角，令AB ＝1，在△ADC 中，由余弦定理得
cos ∠ADC ＝
52
2
＋
52
2
－1
2
2×
52×52
＝3
5
. ∴sin ∠ADC ＝4
5
方法二：设棱长为a ， ∵DA →＝DA 1→＋A 1A →＝－1
2
AC →－AA 1→
，
DC →＝DC 1→＋C 1C →＝1
2
AC →－AA 1→
，
DB 1→＝DA 1→＋A 1B 1→＝－1
2
AC →＋AB →
，
且DB 1→·DA →＝(－12AC →＋AB →)·(－1
2
AC →－AA 1→
)
＝14|AC →|2
－12|AC →||AB →|·cos60° ＝14|AC →|2
－14|AC →||AB →|＝14a 2－14a 2＝0. DB 1→·DC →＝(－12AC →＋AB →)·(1
2AC →－AA 1→
)
＝－14|AC →|2
＋12|AB →|·|AC →|·cos60°
＝－14a 2＋14
a 2
＝0.
∴DB 1⊥DA ，DB 1⊥DC ，
∴面B 1DC ⊥面AA 1C 1C ，DC 是交线，AD ?面AA 1C 1C ∴∠ADC 即为所求．
∴cos ∠ADC ＝cos 〈DA →，DC →
〉＝DA →·DC
→
|DA →||DC →
|
＝
－14
|AC →|2＋|AA 1→|2a 2＋14
a 2·
a 2＋1
4
a 2
＝－14a 2＋a 254a 2＝34a 254a 2＝35，
∴sin ∠ADC ＝4
5
.
二、填空题
9.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝__-2_____
10．如下图所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．
[解析] 由CD →
＝CA →＋AB →
＋BD →
，cos AC →
，BD →
＝cos45°cos45°＝12
，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2
＋2(CA →·AB →
＋
AB →·BD →＋CA →·BD →)＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD →
|＝2－ 2.[答案]
2－ 2 10．(2013·商丘模拟)设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1,1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________。
[解析] 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
∵
n
·AB →＝0，n ·AC →
＝0，
所以?
??
??
x ，y ，z ·0，0，1＝0
x ，y ，z ·－1，1，1＝0
，
?????
z ＝0－x ＋y ＋z ＝0
，∴???
??
z ＝0y ＝x
.
令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，∴cos n ，AD
→
＝1×0＋1×1＋0×12·2
＝1
2，∴AD →
，n
＝π
3
，∴直线AD 与
平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π
6
.
11．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．
[解析] 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．
设AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，
∴cos EF →，BC 1→
＝
2
2×22＝1
2
，
∴EF 和BC 1所成角为60°.
12．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2，AD ＝ 2.则二面角C －AS －D 的余弦值为________．
[解析] 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz .
则D (0,0,0)，A (2，0,0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0,0,2)，
得SA →＝(2，0，－2)，SC →
＝(0，2，－2)． 设平面ACS 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????
n ·SA →
＝0，n ·SC →＝0，
即??
?
2x －2z ＝0，
2y －2z ＝0.
取z ＝2，得n ＝(2,2，2)．
易知平面ASD 的一个法向量为DC →
＝(0，2，0)． 设二面角C －AS －D 的大小为θ，
则cos θ＝
n ·DC
→|n ||DC →|
＝
105
. 即二面角C －AS －D 的余弦值为
105
.
三、解答题
13．已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：
(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )夹角的余弦值．
||||22
AB CD =?(1,0,1)=--，设面3,1,-23||7
n = ………………………………………14如图，已知直三棱柱求证：BC 1⊥AB 1；点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设(2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，
(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．
，－2)， ，所以BC 1→·AB 1→
＝0－4＋4＝0，因此BC 1→⊥AB 1→
，故BC 1⊥AB 1.
，连结DE ，由于E (1,0,1)，所以ED →
＝(0,1,1)，又BC 1→
＝(0，－平面CA 1D ，BC 1?平面CA 1D ，故BC 1D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D －xyz .
(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)． ′.
′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .
设DH →
＝(m ，m,1)(m >0)，
由已知〈DH →，DA →〉＝60°， DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →
〉，
可得2m ＝2m 2
＋1.
解得m ＝22，所以DH →
＝(22，2
2
，1)．
(1)因为cos 〈DH →
，CC ′→
〉＝22×0＋2
2×0＋1×11×2
＝2
2，
所以〈DH →，CC ′→
〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.
(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．
因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋2
2×1＋1×0
1×2
＝1
2，
所以〈DH →，DC →
〉＝60°，
可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.
导数、积分
一．选择题
(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间( D )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（B ）
A ．34y x =-
B 。32y x =-+
C 。43y x =-+
D 。45y x =- a
(3) 函数y ＝a x 2
＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( D )
A ． 18
B ．41
C ．2
1
D ．1
(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( D )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．（福建11）如果函数y=f (x )的
图象如右图，那么导函数
/()y f x =的图象可能是（ A ）
（6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ C ）
A ．0a >
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈）的最大值是（D ） A ．
1
2
B ． -1
C ．0
D ．1 （9）曲线313y x x =
+在点413??
???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．1
9
Ｂ．2
9
Ｃ．13
Ｄ．
23
10.定积分11
01dx x
+?的值为（ ） A ．1
B.ln2
C.
122- D.11ln 222
- 11．下列各式正确的是( )
A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)
B ．(cos x )′＝sin x
C ．(sin x )′＝cos x
D ．(x －
5)′＝－15
x －6
解析选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.
12．若函数f (x )＝1
3
x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )
A ．0
B ．2
C ．1
D ．－1
解析：选A ∵f (x )＝1
3
x 3－f ′(1)·x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，∴f ′(1)＝0.
13．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
D.??a
b [f (x )－b ]dx
所围成图形的面积可用定积分表示为( )
＋??0
1x 3dx D.??0
1xdx 轴所围成的封闭图形的面积为及x 轴所围图形的面积为2ln2 所围成的图形(如右图所示阴影部分 B.13 C.
3复数
32322323i i
i i
+--=-+ （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2i 4
已知复数()
2
i
1z =
-，z 是z 的共轭复数，则z z ?
（A ）
14 （B ）1
2 （C ）1 （D ）2 5复数212i i +-的共轭复数是
（A ）35
i - （B ）3
5i （C ）i - （D ）i
6下面是关于复数2
1z i
=-+ 的四个命题为：
P 1:|z|=2, P 2:z 2=2i, P 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1，其中的真命题为（A ）p 2,p 3 (B)P 1,P 2 (C)P 2,P 4 (D)P 3,P 4
7若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A -2 B -
45 C 4 D 45
8， 1＋2i
(1－i )2
＝( )
A. －1－12i
B. －1＋12I
C. 1＋12i
D. 1－1
2
i
9.|21＋i
|＝( ) A. 2 2 B . 2 C. 2 D. 1
10.若复数1111i i
z i i
-+?
=
+-，则复数z= -1 11．i 是虚数单位，51034i
i
-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）
12．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：
第n 个正方形数是________．n 2
13.已知复数2
2
(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？