2019-2020学年福建省福州市格致中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={(x,y)|y 2 A. ? B. {(2,?1)} C. {(?1,2)，(?2,1)} D. {(1,?2)，(?1,2)，(?2,1)} 2. 已知函数f (x )={ x + 1x?2 ,x >2, x 2 +2,x ≤2. 则f [f (1)]=( ) A. ?1 2 B. 2 C. 4 D. 11 3. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m 2+2m?3 的图象不过原点，且关于原点对称，则m 的取值是( ) A. m =?2 B. m =?1 C. m =?2或m =?1 D. ?3≤m ≤?1 4. 已知a =20.3，b =23，c =2?1，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A. c B. c C. b D. a A. (?1,0) B. (0,1) C. (2,3) D. (1,2) 6. 函数f(x)=√x +2+log 2(1?x)的定义域是( ) A. [?1,2] B. [?2,1) C. [1,+∞) D. (?2,1) 7. 已知a >0且a ≠1，若对任意的x ∈R ，y =√1?a |x|均有意义，则函数y =log a |1 x |的大致图象 是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数f(x)={1?x,x ≤0 log 2x,x >0 ，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+ x 2的取值范围为( ) A. [2,3) B. (2,3) C. [2ln2,4) D. (2ln2,4) 9. 函数f(x)是R 上的增函数，点A(0,?1)，B(3,1)是其图像上的两点，则|f(x +1)|<1的解集为( ) A. (?∞,1]∪(4，+∞) B. (?∞,?1)∪[2，+∞) C. (?1,2) D. (1,4) 10. 已知函数f(x)={(x +1)2+a,x >?1, 6a x ?1,x ≤?1, 且对任意的实数x 1≠x 2，都有x 1?x 2f(x 1)?f(x 2)>0恒成立，则 实数a 的取值范围是( ) A. (1,3 2) B. (1,2) C. [2,+∞) D. [1,+∞) 11. 若函数f(x)= ax+1x+2 (a 为常数)，在(?2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围( ) A. (?∞,1 2) B. [1 2,+∞) C. (1 2,+∞) D. (?∞,1 2] 12. 函数f(x)=|3?x|+|x ?7|的最小值为( ) A. 10 B. 3 C. 7 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式2<|2x +3|≤4的解集为________． 14. 已知函数f(x)=x 2?2x +3在区间[0,m]上的值域是[2,3]，则实数m 的取值范围是________ 15. 设偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调递增，则使得f(x)>f(2x ?1)成立的x 的取值范围是 16. 已知函数f(x)=|x 2?3|+x 2+mx ，若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. lg √10lg0.1 ； (2)已知a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z ，1 x +1 y +1 z =0，求abc 的值． 18. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2?4x ?0},B ={x|m ?x ?m +2}． (1)若m =3，求?U B 和A ∪B ； (2)若B ?A ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B =?，求实数m 的取值范围． 19.如图，ΔOAB是边长为2的正三角形，记ΔOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)， (1)求出函数f(t)的解析式； (2)画出函数y=f(t)的图像。 20.函数f(x)=ax?b 9?x2是定义在(?3,3)上的奇函数，且f(1)=1 8 ． (1)求f(x)的解析式； (2)判断并证明f(x)的单调性； (3)解不等式f(t?1)+f(t)<0 21.设f(x)=x2+(5?6a)x+a?2． (1)若g(x)=f(x)+a2x为偶函数，求a的值； (2)若f(x)在(1,2)内是单调函数，求a的取值范围． 22.对于定义在区间D上的函数f(x)，若任给x0∈D,均有f(x0)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭． (1)试判断f(x)=x?1在区间[?2,1]上是否封闭，并说明理由； (2)若函数g(x)=3x+a 在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围； x+1 |在区间[a,b]上封闭？试证明你的结论． (3)已知a x -------- 答案与解析 --------1.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了元素与集合关系和交集及其运算，属于基础题． 利用交集的运算，结合元素与集合的关系计算得结论． 【解答】 解：因为B={(x,y)|xy=?2,x∈Z,y∈Z} ={(1,?2),(?1,2),(2,?1),(?2,1)}， 而A={(x,y)|y2 因此(2,?1)∈A， 所以A∩B={(2,?1)}． 故选B． 2.答案：C 解析： 【分析】 本题主要考查了分段函数的求值问题，属于基础题． 【解答】 解：∵函数f(x)={x+1 x?2 ,x>2, x2+2,x≤2. 则f(1)=1+2=3; f[f(1)]=f(3)=3+ 1 3?2 =4; 故选C． 3.答案：A 解析：解：由题意，m2+3m+3=1 ∴m2+3m+2=0 ∴m=?1或m=?2 当m=?1时，幂函数为y=x?4，图象不过原点，但关于y轴对称，不合题意； 当m=?2时，幂函数为y=x?3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意； 故选：A． 根据函数为幂函数，可知函数的系数为1，从而可求m的取值，再根据具体的幂函数，验证是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可． 本题以幂函数性质为载体，考查幂函数的解析式的求解．函数为幂函数，可知函数的系数为1是解题的关键． 4.答案：B 解析： 【分析】 本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题． 由题意利用指数函数的单调性，得出结论． 【解答】 解：∵函数y=2?x在R上单调递增，3>0.3>?1，a=2?0.3 ，b=2?3?，c=2??1， ∴b>a>c， 故选B． 5.答案：D 解析：解：函数f(x)=2x?3在区间(1,2)上连续且单调递增，f(1)=?1<0，f(2)=1>0， f(1)f(2)<0，故用二分法求函数f(x)=2x?3的零点时，初始的区间大致可选在(1,2)上． 故选：D． 函数f(x)=2x?3在区间(1,2)上连续且单调递增，f(1)=?1<0，f(2)=1>0，即可得出结论．本题主要考查函数的零点的定义，注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f(x)的零点，属于基础题． 6.答案：B 解析： 【分析】 本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 根据函数成立的条件，即可得到结论． 【解答】 解：要使函数f(x)有意义，则{x +2≥0 1?x >0 ， 即{x ≥?2x <1， 解得?2≤x <1， 故函数的定义域为[?2,1)， 故选：B ． 7.答案：B 解析： 【分析】 本题考查函数图象及指数对数函数的性质，由已知得a 的范围，然后分析单调性求解即可． 【解答】 解： 由对数函数的定义知a >0且a ≠1，函数y =log a |1 x |的定义域(?∞,0)∪(0,+∞)， 当x ∈R,y =√1?a |x |均有意义，则1?a |x |≥0恒成立，可得0 又x >0时y =log a u ，因为u =1 x 单调递减，y =log a u 单调递减，所以，由复合函数单调性可知y =log a 1 x 单调递增， 因为y =log a |1 x |=log a 1 |x |为偶函数，其图像应关于y 轴对称， 所以x <0时y =log a 1 x 单调递减， 综上知，选项B 符合， 故选B ． 8.答案：A 解析：解：函数f(x)={1?x,x ≤0 log 2x,x >0 ，的图象如下： 当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2， f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意． 当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意． 当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1?x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)， x 1+x 2=2t ?t +1， 令g(t)=2t ?t +1，g′(t)=2t lnt ?1>0， 故g(t)在[1,2)单调递增， ∴g(t)∈[2,3)． 故选：A ． 画出函数f(x)={1?x,x ≤0 log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)， f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1?x 1=log 2x =t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t ?t +1， 令g(t)=2t ?t +1，利用导数求解． 本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题． 9.答案：C 解析： 【分析】 本题考查函数的单调性的应用，以及绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想．由题意，得|f (x +1)|<1??1 解：由题意知f(0)=?1,f(3)=1，又|f(x+1)|<1??1 即f(0) ∴0 故选C． 10.答案：C 解析： 【分析】 本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养． 因为对任意的实数x1≠x2，都有x1?x2 f(x1)?f(x2) >0，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>1，且a≥b a ?1，解出即可． 【解答】 解：因为对任意的实数x1≠x2，都有x1?x2 f(x1)?f(x2) >0， 所以函数f(x)为单调递增函数， 所以a>1，且a≥b a ?1，解得a≥2， 故选C． 11.答案：C 解析： 【分析】 首先对已知函数进行化简，根据在(?2,2)内为增函数判断出a的取值范围． 本题考查函数单调性的应用，通过对函数的分析，判断各部分的单调性，属于中档题． 【解答】 解：∵f(x)=ax+1 x+2 (a为常数)， 而ax+1 x+2=a(x+2)?2a+1 x+2 =a+?2a+1 x+2 ． ∵f(x)在(?2,2)内为增函数， 而x+2为增函数，1 x+2 为减函数，∴要使f(x)在(?2,2)内为增函数，∴?2a+1<0， 解得：a >1 2， 故答案为：C ． 12.答案：D 解析： 【分析】本题考查分段函数的知识，属于基础题． 通过３，７将函数分类讨论，求出每种情况的最小值，取取小值即可． 【解答】解：当x ≥7时，f(x)=x ?3+x ?7=2x ?10≥4; 当3 13.答案：{x|?12 2} 解析： 【分析】 本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题． 原不等式等价于{2<|2x +3| |2x +3|≤4，解出即可． 【解答】 解：因为2<|2x +3|≤4，等价于{2<|2x +3| |2x +3|≤4 ， 又因为2<|2x +3|?2x +32?x 2或x >?1 2; 且|2x +3|≤4??4≤2x +3≤4??7 2≤x ≤1 2; 所以解集为{x|?1 2 2或?7 2≤x 2 2或?7 2≤x 2}. 14.答案：[1,2] 解析： 【分析】 本题考查二次函数的定义域与值域，可结合二次函数图象解题，属于基础题． 【解答】 解：f(x)=(x ?1)2+2的图象如图所示， 由图，得1≤m≤2． 故答案为[1,2]． 15.答案：(1 3 ,1) 解析： 【分析】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，属于中档题． 【解答】 解：因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增， 所以f(x)>f(2x?1)成立可转化为：|x|>|2x?1|， 解得x∈(1 3 ,1). 故答案为(1 3 ,1). 16.答案：(?29 4 ,?√3) 解析： 【分析】 本题主要考查了函数零点与方程根的关系，分段函数性质，函数图像的运用，考查了数形结合思想，属于中档题． 函数f(x)=|x2?3|+x2+mx=0，可化为|x2?3|+x2=?mx， 记g(x)=|x2?3|+x2，x∈(0,4)，?(x)=?mx，，x∈(0,4)，方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根，等价于函数g(x)与?(x)图像在区间(0,4)上有两个不同的交点，作出函数图像进行分析即可求解． 【解答】 解：函数f(x)=|x2?3|+x2+mx=0，可化为|x2?3|+x2=?mx， 记g(x)=|x2?3|+x2，x∈(0,4)，?(x)=?mx，x∈(0,4)， 方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根， 等价于函数g(x)=|x2?3|+x2={3,0 2x2?3,√3≤x<4 与函数?(x)=?mx图像在区间(0,4)上有两个不同的交点， 作出函数g(x)，?(x)在同一坐标系中的图像如下： 结合函数图像可得：要使g(x)与?(x)在(0,4)内有两个交点， 则直线?(x)的斜率?m 应在两虚直线斜率之间，即3 √3 ， 解得：? 294 故答案为(? 294 ,?√3)． 17.答案：解：(1)原式=lg 8×1252×5 12 lg10×(?lg10)= lg102? 12 =?4． (2)设a x =b y =c z =k(k >0)， 则x =log a k ，y =log b k ，z =log c k. 所以1 x =log k a ，1 y =log k b ，1 z =log k c ． 所以1 x +1 y +1 z =log k a +log k b +log k c =log k (abc)=0． 所以abc =1． 解析：本题主要考查对数的运算性质、指数与对数互化，考查了运算能力． (1)利用对数的运算性质进行计算即可； (2)设a x =b y =c z =k(k >0)，指数与对数互化，则有， ， 再利用 对数的运算性质进行计算即可． 18.答案： 解：(1)当m =3时，B ={x|3≤x ≤5}，∴C U B ={x|x <3或x >5}，集合A ={x|x 2?4x ≤0}={x|0≤x ≤4}，∴A ∪B ={x|0≤x ≤5}； (2)∵集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，B ?A ，∴{m ≥0 m +2≤4，解得0≤m ≤2． ∴实数m 的取值范围[0,2]； (3)∵集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}.A ∩B =?，∴m +2<0或m >4，解得m 或m >4． ∴实数m 的取值范围(?∞,?2)∪(4,+∞)． 解析：本题考查补集、并集、实数的范围的求法，考查补集、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． (1)当m =3时，B ={x|3≤x ≤5}，集合A ={x|x 2?4x ≤0}={x|0≤x ≤4}，由此能求出?U B 和A ∪B ． (2)由集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，B ?A ，列出不等式组，能求出实数m 的取值范围． (3)由集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，A ∩B =?，得到m +2<0或m >4，由此能求出实数m 的取值范围． 19.答案：解：(1)当0 如图，设直线x =t 与△OAB 分别交于C 、D 两点，则|OC|=t ， 又CD OC =BE OE =√3，∴|CD|=√3t ， ∴f(t)=12|OC|?|CD|=12?t ?√3t =√32 t 2 当1 如图，设直线x =t 与△OAB 分别交于M 、N 两点，则|AN|=2?t ， 又|MN| |AN|=|BE| |AE|= √3 1 =√3，∴|MN|=√3(2?t) ∴f(t)= 12?2?√3?12?|AN|?|MN|=√3?√32(2?t)2=?√32 t 2+2√3t ?√3 当t >2时，f(t)=√3 综上所述f(t)={ √3 2 t 2,0 (2)由(1)可画函数y =f(t)的图像为 解析：在求f(t)的解析式时，关键是要根据图象，对t 的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象． 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点． 20.答案：解：(1)∵函数f(x)=ax?b 9?x 2是定义在(?3,3)上的奇函数， ∴f(?x)=?f(x)，即 ?ax?b 9?x 2 =? ax?b 9?x 2 ， ∴?ax ?b =?ax +b ，∴b =0， ∵f(1)=18，∴a 9?1=1 8，解得a =1， ∴f(x)=x 9?x 2. (2)f(x)在区间(?3,3)上是增函数． 证明如下：在区间(?3,3)上任取x 1，x 2，令?3 x 1 9?x 1 2? x 2 9?x 2 2= (x 1?x 2)(9+x 1x 2) (9?x 12)(9?x 2 2)； ∵?3 ∴f(x 1)?f(x 2)<0即f(x 1) ∴不等式f(t ?1)+f(t)<0等价为f(t ?1) ，解得?2 2， 即不等式的解集为(?2,1 2). 解析：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题． (1)由f(?x)=?f(x)，代入可求b ，然后由f(1)=1 8可求a ，进而可求函数解析式； (2)先判断，然后利用函数单调性的定义进行证明； (3)利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可． 21.答案：解：(1)g(x)=f(x)+a 2x =x 2+(5?6a +a 2)x +a ?2为偶函数， 则5?6a +a 2=0，解得a =1或a =5; (2)∵f (x )对称轴为x =6a?52 ，又f (x )在(1,2)内是单调函数， ∴ 6a?52 ≥2或 6a?52 ≤1，解得a ≥3 2或a ≤7 6， ∴a 的取值范围为 ． 解析：本题考查的是二次函数的性质，属于基础题． (1)利用二次函数为偶函数，一次项系数为零求解a 的值； (2)f (x )在(1,2)内是单调函数，对称轴为x = 6a?52 ，满足 6a?52 ≥2或 6a?52 ≤1，求解即可． 22.答案：解：(1)因为f(x)=x ?1在区间[?2,1]上单调递增， 所以f(x)在[?2,1]上的值域为[?3,0]，而[?3,0]?[?2,1]， 所以f(x)在区间[?2,1]上不是封闭的． (2)g(x)= 3x+a x+1 =3+a?3 x+1． ①当a =3时，函数g(x)在[3,10]上的值域为{3}?[3,10]，适合题意； ②当a >3时，函数g(x)在区间[3,10]上单调递减， 故它在[3,10]上的值域为[30+a 11 , 9+a 4 ]， 由[ 30+a 11 , 9+a 4 ] ?[3,10]得{30+a 11 ?3 9+a 4 ?10 , 解得3≤a ≤31， 故a 的取值范围3 ③当a <3时，在区间[3,10]上有g(x)=3+a?3 x+1<3， 故g(x)不封闭，即a <3均不符合． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,31]． (3)作出函数?(x)=|1?1 x?|的图象如图， 则?(x)≥0， 当b <0时，定义域为[a,b]，则不满足条件， 函数?(x)的定义域为{x|x ≠0}， 则必有a >0， 当a ≥1时，函数?(x)在[a,b]上为增函数， 此时?(b)=|1?1 b?|=1?1 b?<1，此时函数的值域[?(a),?(b)]?[a,b]，此时不满足条件， 若01，此时函数在[a,b]上的最小值为?(1)=0，而a >0，此时不满足条件， 若0 b??1,1 a??1]， 若[1 b??1,1 a??1]?[a,b]，则满足{1 b ?1≥a 1a ?1≤b ，即{1b ≥a +11 a ≤b +1 , 即{?1 b ≤?a ?11a ≤b +1 ，则1a??1 b?≤b ?a ， 即b?a ab ≤b ?a ，则1