![[历年真题]2015年广东省高考数学试卷(理科)](https://img.doczj.com/img39/16p4f7115gp6y12k2d40bp2h0nkif9w0-91.webp)
![[历年真题]2015年广东省高考数学试卷(理科)](https://img.doczj.com/img39/16p4f7115gp6y12k2d40bp2h0nkif9w0-52.webp)
2015年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0},N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0},则M∩N=（）
A．{1,4}B．{﹣1,﹣4}C．{0}D．?
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位）,则=（）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）
A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球．从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为（）A．B．C．D．1
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6．（5分）若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．
7．（5分）已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
二、填空题（本大题共7小题,考生作答6
小题,每小题5分,满分30分．）（一）
必做题（11～13题）
9．（5分）在（﹣1）4的展开式中,x的系数为．
10．（5分）在等差数列{a n}中,若a3+a4+a 5+a6+a7=25,则a2+a8=．
11．（5分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=,sinB=,C=,则b=．
12．（5分）某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）,若E（X）=30,D（X）=20,则P=．
14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=,点A的极坐标为A （2,）,则点A到直线l的距离为．
15．如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1．过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=．
三、解答题
16．（12分）在平面直角坐标系xOy中,已知向量=（,﹣）,=（sinx,cosx）,x ∈（0,）．
（1）若⊥,求tanx的值；
（2）若与的夹角为,求x的值．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图:
工人编号年龄工人编
号
年龄工人编
号
年龄工人编
号
年龄
1 2 3 4 5 6 7 8 940
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB．
（1）证明:PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
19．（14分）设a＞1,函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞,+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行,且在点M（m,n）处的切线与直线OP平行,（O是坐标原点）,证明:m≤﹣1．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B．（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k,使得直线L:y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由．
21．（14分）数列{a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{a n}的前n项和T n；
（3）令b1=a1,b n=+（1+++…+）a n（n≥2）,证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．
2015年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2015?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0},N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0},则M∩N=（）
A．{1,4}B．{﹣1,﹣4}C．{0}D．?
【分析】求出两个集合,然后求解交集即可．
【解答】解:集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1,﹣4},
N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1,4},
则M∩N=?．
故选:D．
【点评】本题考查集合的基本运算,交集的求法,考查计算能力．
2．（5分）（2015?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位）,则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解:复数z=i（3﹣2i）=2+3i,则=2﹣3i,
故选:A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力．
3．（5分）（2015?广东）下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x
【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
【解答】解:对于A,y=是偶函数,所以A不正确；
对于B,y=x+函数是奇函数,所以B不正确；
对于C,y=2x+是偶函数,所以C不正确；
对于D,不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x）,所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以D正确．
故选:D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,基本知识的考查．
4．（5分）（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球．从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为（）
A．B．C．D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法,而在求“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解:这是一个古典概型,从15个球中任取2个球的取法有；
∴基本事件总数为105；
设“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选:B．
【点评】考查古典概型的概念,以及古典概型的求法,熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
5．（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
【分析】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的
变量,即可求出直线方程．
【解答】解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,
所以=,所以b=±5,
所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选:A．
【点评】本题考查两条直线平行的判定,圆的切线方程,考查计算能力,是基础题．
6．（5分）（2015?广东）若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为（）
A．4 B．C．6 D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,
则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,
此时z最小,
由,解得,即A（1,）,
此时z=3×1+2×=,
故选:B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键．
7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程．【解答】解:双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2（5,0）,
可得:,c=5,∴a=4,b==3,
所求双曲线方程为:﹣=1．
故选:C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．
8．（5分）（2015?广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值（）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
【分析】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立；再考虑空间里,只有四个
点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断．
【解答】解:考虑平面上,3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立；
4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立；
n大于4,也不成立；
在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立；
若n＞4,由于任三点不共线,当n=5时,考虑四个点构成的正四面体,
第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,
且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面的中心重合,故不成立；
同理n＞5,不成立．
故选:B．
【点评】本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题．
二、填空题（本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）（2015?广东）在（﹣1）4的展开式中,x的系数为6．
【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r
=?（﹣1）r?,
+1
分析可得,r=2时,有x的项,将r=2代入可得答案．
=?（﹣1）r?,【解答】解:二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r
+1
令2﹣=1,求得r=2,
∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6,
故答案为:6．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题
10．（5分）（2015?广东）在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出a5的值,然后把所求的式
子也利用等差数列的性质化简后,将a5的值代入即可求出值．
【解答】解:由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25,
得到a5=5,
则a2+a8=2a5=10．
故答案为:10．
【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用,属于基础试题
11．（5分）（2015?广东）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=,sinB=,C=,则b=1．
【分析】由sinB=,可得B=或B=,结合a=,C=及正弦定理可求b
【解答】解:∵sinB=,
∴B=或B=
当B=时,a=,C=,A=,
由正弦定理可得,
则b=1
当B=时,C=,与三角形的内角和为π矛盾
故答案为:1
【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理,熟练掌握定理是解本题的关键
12．（5分）（2015?广东）某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）
【分析】通过题意,列出排列关系式,求解即可．
【解答】解:某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为:1560．
【点评】本题考查排列数个数的应用,注意正确理解题意是解题的关键．
13．（5分）（2015?广东）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）,若E（X）=30,D （X）=20,则P=．
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
【解答】解:随机变量X服从二项分布B（n,p）,若E（X）=30,D（X）=20,
可得np=30,npq=20,q=,则p=,
故答案为:．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力．
14．（5分）（2015?广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=,点A 的极坐标为A（2,）,则点A到直线l的距离为．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解:直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=,对应的直角坐标方程为:y ﹣x=1,
点A的极坐标为A（2,）,它的直角坐标为（2,﹣2）．
点A到直线l的距离为:=．
故答案为:．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力．
15．（2015?广东）如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1．过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=8．
【分析】连接OC,确定OP⊥AC,OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP?OD,即可得出结论．
【解答】解:连接OC,则OC⊥CD,
∵AB是圆O的直径,
∴BC⊥AC,
∵OP∥BC,
∴OP⊥AC,OP=BC=,
Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP?OD,
∴4=OD,
∴OD=8．
故答案为:8．
【点评】本题考查圆的直径与切线的性质,考查射影定理,考查学生的计算能力,比较基础．
三、解答题
16．（12分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy中,已知向量=（,﹣）,=（sinx,cosx）,x∈（0,）．
（1）若⊥,求tanx的值；
（2）若与的夹角为,求x的值．
【分析】（1）若⊥,则?=0,结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；
（2）若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解:（1）若⊥,
则?=（,﹣）?（sinx,cosx ）=sinx﹣cosx=0,
即sinx=cosx
sinx=cosx,即tanx=1；
（2）∵||=,||==1,?=（,﹣）?（sinx,cosx ）=sinx ﹣cosx,
∴若与的夹角为,
则?=||?||cos =,
即sinx﹣cosx=,
则sin （x﹣）=,
∵x∈（0,）．
∴x ﹣∈（﹣,）．
则x ﹣=
即x=+=．
【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用,考查学生的计算能力,比较基础．
17．（12分）（2015?广东）某工厂36名工人年龄数据如图:
工人编号年龄工人编
号
年龄工人编
号
年龄工人编
号
年龄
1 240
44
10
11
36
31
19
20
27
43
28
29
34
39
3 4 5 6 7 8 940
41
33
40
45
42
43
12
13
14
15
16
17
18
38
39
43
45
39
38
36
21
22
23
24
25
26
27
41
37
34
42
37
44
42
30
31
32
33
34
35
36
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；
（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）求出样本和方差即可得到结论．
【解答】解:（1）由系统抽样知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,
∴所有样本数据的编号为:4n﹣2,（n=1,2,…,9）,
其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37．
（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．
由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．
（3）∵s2=．∴s=∈（3,4）,
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37,43]的人数,
即40,40,41,…,39,共23人．
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．
【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用,比较基础．
18．（14分）（2015?广东）如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的
平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB．
（1）证明:PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD,则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明:在△PDC中PO=PC且E为CD中点,
∴PE⊥CD,
又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE?平面PCD,
∴PE⊥平面ABCD,
又∵FG?平面ABCD,
∴PE⊥FG；
（2）解:由（1）知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,
∴AD⊥平面PDC,
又∵PD?平面PDC,∴AD⊥PD,
又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得:
PE===,
∴tan∠PDC==；
（3）解:连结AC,则AC==3,
在Rt△ADP中,AP===5,
∵AF=2FB,CG=2GB,
∴FG∥AC,
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC,
在△PAC中,由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=．
【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值,涉及到勾股定理、余弦定理等知识,注意解题方法的积累,属于中档题．
19．（14分）（2015?广东）设a＞1,函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞,+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行,且在点M（m,n）处的切线与直线OP平行,（O是坐标原点）,证明:m≤﹣1．
【分析】（1）利用f′（x）＞0,求出函数单调增区间．
（2）证明只有1个零点,需要说明两个方面:①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明,思路较为复杂．
【解答】解:（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2,
∴f′（x）＞0,
∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞,+∞）上为增函数．
（2）证明:∵f（0）=1﹣a,a＞1,
∴1﹣a＜0,即f（0）＜0,
∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1）,a＞1,∴＞1,﹣1＞0,即f（）＞0,
且由（1）问知函数在（﹣∞,+∞）上为增函数,
∴f（x）在（﹣∞,+∞）上有且只有一个零点．（3）证明:f′（x）=e x（x+1）2,
设点P（x0,y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2,
∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行,
∴f′（x0）=0,即:e x0（x0+1）2=0,
∴x0=﹣1,
将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．
∴,
∴,
要证m≤﹣1,即证（m+1）3≤a﹣,
需要证（m+1）3≤e m（m+1）2,
即证m+1≤e m,
因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1）,
则g′（m）=e m﹣1,由g′（m）=0得m=0．
当m∈（0,+∞）时,g′（m）＞0,
当m∈（﹣∞,0）时,g′（m）＜0,
∴g（m）的最小值为g（0）=0,
∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0,
∴e m≥m+1,
∴e m（m+1）2≥（m+1）3,
即:,
∴m≤．
【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用,属于综合应用,在高考中属于压轴题目,有较大难度．
20．（14分）（2015?广东）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k,使得直线L:y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由．
【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4,0）决定的直线斜率,即得结论．
【解答】解:（1）∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,
整理,得其标准方程为:（x﹣3）2+y2=4,
∴圆C1的圆心坐标为（3,0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1,y1）、B（x2,y2）,
联立方程组,
消去y可得:（1+k2）x2﹣6x+5=0,
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0,可得k2＜
由韦达定理,可得x1+x2=,
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣＜k＜,
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:（x﹣）2+y2=,其中＜x≤3；
（3）结论:当k∈（﹣,）∪{﹣,}时,直线L:y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．
理由如下:
联立方程组,
消去y,可得:（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0,
令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）?16k2=0,解得k=±,
又∵轨迹C的端点（,±）与点（4,0）决定的直线斜率为±,
∴当直线L:y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时,
k的取值范围为[﹣,]∪{﹣,}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于难题．
21．（14分）（2015?广东）数列{a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{a n}的前n项和T n；
（3）令b1=a1,b n=+（1+++…+）a n（n≥2）,证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．
【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；
（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；
（3）利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式．
【解答】解:（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+．
∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,
解得a2=,
∵a1+2a2+…+na n=4﹣,n∈N+．
∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣,n∈N+．
两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=,n≥2,
则a n=,n≥2,
当n=1时,a1=1也满足,
∴a n=,n≥1,
则a3=；
（2）∵a n=,n≥1,
∴数列{a n}是公比q=,
则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．
（3）b n=+（1+++…+）a n,
∴b1=a1,b2=+（1+）a2,b3=（1++）a3,
∴b n=+（1+++…+）a n,
∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n
=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n
=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+）,
设f（x）=lnx+﹣1,x＞1,
则f′（x）=﹣．
即f（x）在（1,+∞）上为增函数,
∵f（1）=0,即f（x）＞0,
∵k≥2,且k∈N?时,,
2019-2020年小学六年级小考数学试卷 一、选择题（（每小题2分，共20分） 1、估算下面4个算式的结果，最大的是（ ）。 A 、888×（1＋91） B 、888×（1－91） C 、888÷（1＋91） D 、888÷（1－9 1） 2、一列火车长200米，它以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，求桥长多少米的正确算式是（ ）。 A 、1200×2－200 B 、1200×2＋200 C 、（1200＋200）×2 D 、（1200－200）×2 3、右图中，甲的周长（ ）乙的周长。 A 、＞ B 、＝ C 、＜ D 、无法确定 4、一个两位数，个位上的数字既是合数又是奇数，十位上的数字既是质数又是偶数，这个数是（ ）。 A 、92 B 、29 C 、24 D 、42 5、从1840年到XX 年，共有（ ）个闰年（含1840年和XX 年） A 、39 B 、40 C 、41 D 、43 6、分子与分母的和是24的最简真分数有（ ）个。 A 、4 B 、2 C 、1 D 、无数 7、投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么投掷第4次反面朝上的可能性是（ ）。 A 、1 B 、31 C 、41 D 、21 8、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差28立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A 、14 B 、28 C 、42 D 、84 9、一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 10、两个相互咬合的圆形齿轮的齿数之比是4:3，其中大齿轮有36个，小齿轮有（ ）个。 A.27 B.29 C.30 D.48 二、判断题。（每小题1分，共10分） 11、任何两个质数之和都不会是质数。（ ） 甲 乙
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共1２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.设集合Ｍ={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A ． {1} B. {2｝ C. ｛０，1} D. ｛1,2} 【答案】D 【解析】 把M={0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） Ａ． - ５ Ｂ. ５ C ． - 4+ i D. － 4 - i 【答案】Ｂ 【解析】 . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+= 3.设向量a,b 满足｜ａ+b a-b ｜ a ? b = ( ) A ． 1 B ． 2 C. 3 D. 5 【答案】Ａ 【解析】 . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+ 4.钝角三角形AB Ｃ的面积是12 ,AB ＝ ，则AC=( ) A. ５ B. C ． 2 D. 1 【答案】B 【解】
. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???== 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0．６，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ) Ａ. ０.８ B. 0．75 C. ０.6 D. 0.45 【答案】 A 【解析】 . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃm ，高为６cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) Ａ. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C 【解析】 ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴π 7.执行右图程序框图,如果输入的ｘ,t 均为2,则输出的S= ( ） A. 4 B. 5 Ｃ. ６ D. 7 【答案】 C 【解析】
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
小考数学参考试卷 考试时间90分钟，满分100分 一、选择题：(本大题共6题，每小题2分，满分12分) 1、下列大小关系中，正确的是…………………………………………………………( ) (A) (B) (C) (D) 2、两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是………………………………( ) (A)都是零 (B)相等 (C)互为相反数 (D)有一个数是零 3、不等式的解集在数轴上表示正确的是………………………………( ) (A) (B) (C) (D) 4、下列方程组中，属于二元一次方程组的是…………………………………………( ) (A) (B) (C) (D) 5、如图，点是线段的中点，点是线段上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是………………………………………………………………………………( ) (A) (B) (C) (D) 6、小杰在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法： (1)两点之间线段最短; (2)如果，那么余角的度数为 ; (3)互补的两个角一个是锐角一个是钝角; (4)一个锐角的余角比这个角的补角小 . 你认为小杰以上说法正确的个数为……………………………………………………( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二、填空题：(本大题共12题，每小题3分，满分36分) 7、在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的有理数是 .
8、计算：=. 9、将方程变形为用含的式子表示，那么 . 10、“的一半减去5所得的差不小于3”，用不等式表示 . 11、已知不等式的解集是，则该不等式的整数解是____________. 12、在2008年北京奥运会国家体育场“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首先使用了我国科研人 员自主研制的强度约为460 000 000帕的钢材，这个数据用科学记数法表示为帕. 13、一家商店将某种衣服按成本价加价40%作为标价，又以8折卖出，结果每件服装仍可获利 15元，如设这种服装每件的成本价为元，则根据题意可列方程为_____________. 14、如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果，那么度. 15、在长方体ABCD-EFGH中，与棱EF和棱EH都异面的棱是 . 16、如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地面(水平面)垂直，可以用方法检验. 17、一个二元一次方程的一个解是，这个二元一次方程可以是 . (只要写出一个符合条件的方程即可). 18、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 . 三、解答题：(本大题共4题，每小题6分，满分24分) 19、计算： . 20、解方程： . 21、解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来. 22、解方程组： 四、(本大题共3题，第23、 24、题6分，第25、26题8分满分28分) 23、如图，点表示城，点表示城. (1)如果城在城的.南偏西60方向,
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 理科数学（全国III 卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ∈R |x 2?2x ≥0}，B ={?1 2，1}，则(C R A )∩B =（ ） A. ? B. {?1 2 } C. {1} D. {?1 2 ，1} 2．设复数z = 1 1+i ，则z ?z =（ ） A. 1 2 B. √2 2 C. 1 2i D. √2 2i 3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（） A. 31 B. 63 C. 16 D. 127 4．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥??+-≥??--≤? ，则2 2y x ++的最大值为（ ） A. 1 B. 45 C. 12 D. 23 5．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2 ）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3 个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（ ） A.关于点(?π 12?，1)对称 B.关于直线x =π 12对称 C.关于点(?π 6?， 0)对称 D.关于直线x =π 3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知A(?3?,?0)，B(0?,?4)，点C 在圆(x ?m)2+y 2=1上运动， 若△ABC 的面积的最小值为5 2，则实数m 的值为 A. 1 2或11 2 B. ?11 2或?1 2 C. ?1 2或11 2 D. ?11 2或1 2
2013年小升初数学试卷 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（（每小题2分，共20分） 1、估算下面4个算式的结果，最大的是（ ）。 A 、888×（1＋91） B 、888×（1－91） C 、888÷（1＋91） D 、888÷（1－9 1） 2、一列火车长200米，它以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，求桥长多少米的正确算式是（ ）。 A 、1200×2－200 B 、1200×2＋200 C 、（1200＋200）×2 D 、（1200－200）×2 3、右图中，甲的周长（ ）乙的周长。 A 、＞ B 、＝ C 、＜ D 、无法确定 4、一个两位数，个位上的数字既是合数又是奇数，十位上的数字既是质数又是偶数，这个数是（ ）。 A 、92 B 、29 C 、24 D 、42 5、从1840年到2012年，共有（ ）个闰年（含1840年和2012年） A 、39 B 、40 C 、41 D 、43 6、分子与分母的和是24的最简真分数有（ ）个。 A 、4 B 、2 C 、1 D 、无数 7、投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么投掷第4次反面朝上的可能性是（ ）。 A 、1 B 、31 C 、41 D 、21 8、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差28立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A 、14 B 、28 C 、42 D 、84 9、一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 10、两个相互咬合的圆形齿轮的齿数之比是4:3，其中大齿轮有36个，小齿轮有（ ）个。 A.27 B.29 C.30 D.48 二、判断题。（每小题1分，共10分） 甲 乙
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
六年级数学小考考前模拟 一、算题（每小题 分，计 分） × － × ÷ 94 × 21 73 21 41 815×3 4 × 二、填空题（每空 分，计 分） 如果 ÷ ，那么（ ÷ ）÷ （ ÷ ） （ ） 一个三位小数，“四舍五入”后得到的结果是 ，那么这个三位的小数最大是 （ ），最小是（ ）。 秒＝（ ）分 秒 米＝（ ）米（ ）厘米 一项工程，甲单独完成需要 小时，乙单独完成需要 小时，甲乙合作 小时， 完成这项工程的（ ），余下的工作由甲单独完成，还要（ ）小时做完。 如果 ： ： ，那么 和 成（ ）比例 的前项加上 ，要使比值不变，比的后项应加上（ ） 改写成数值比例尺是（ ），量的这幅图上 甲乙两地相距 ，甲乙两地实际相距（ ）千米。 和它的倒数相比，比值是（ ） 有 个同样的零件中混进了一个次品，次品轻一些。用天平秤，至少用（ ）次 就一定能找出次品来。 为庆祝六一儿童节，用彩灯布置教室，按“一红二黄一蓝二绿”的规律连接起来， 第 个小灯泡是（ ）灯． 掷五次硬币，有三次正面朝上，两次反面朝上，第 次掷硬币正面向上的可能性
是（ ）。 一个平行四边形的面积是 平方分米，与它等底等高的三角形的面积是（ ） 直角三角形中，两个锐角的度数比是 ： ，较小的那个锐角的度数是（ ）。 一个长方形纸片长 ，宽 ，剪一个半径为 的圆，最多能剪 个。 三、判断题（每小题 分，计 分） 圆柱的高不变，底面半径扩大 倍，侧面积也扩大 倍。（ ） 一种商品先降价 ，再涨价 ，现价比原价高了（ ） 根据第五次全国人口普查汇总结果显示，我国总人口数为十二亿九千五百三十二 万三千人，改写成以万为单位的数是 万。（ ） 如果甲数的43等于乙数的8 7（甲乙都不为 ），那么甲数比乙数大。（ ） 用木条钉一个平行四边形，然后让平行四边形变成长方形，这时长方形与原来的平 行四边形相比，面积变小了。（ ）。 四、选择题（每小题 分，计 分） 、用一个高 厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器 中，水的高度是（ ）厘米。 、李师傅从甲地到乙地原来骑自行车要 分钟，现在骑摩托车 分钟 就可到达，他的速度比原来提高了（ ）。 、用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、正方形和圆，这三个图形中 面积最大的是（ ）。 、长方形 、正方形 、圆
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则 A ． B ． C ． D 2．已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 1i 2i 1i z -= ++||z =01 2 1{} 2 20A x x x =-->A =R e{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和.若，，则 A ． B ． C ． D ． 5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A ． B ． C ． D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =u u u r 3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144 AB AC +u u u r u u u r 1344 AB AC +u u u r u u u r M A N B M N
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2
人教版六年级数学上册小考真题练习（含答案） 班级姓名分数 一、本周主要的内容： 解决问题的策略.可能性 二、本周学习目标： 解决问题的策略 1.初步学会运用替换和假设的策略分析数量关系，确定解题思路，并有效的解决问题。 2.在解决实际问题的过程中不断反思，感受替换和假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析.综合和简单推理能力。 3.积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验。 可能性 1.联系分数的意义，掌握用分数表示具体情境中简单事件发生的可能性的方法，会用分数表示可能性的大小。 2.能根据事件发生的可能性的大小的要求，设计相应的活动方案。 3.在学习用分数表示可能性大小的过程中，进一步体会数学知识间的内在联系，提高用数表达和交流的能力，不断发展和增强数感。 三、考点分析： 1.有些应用题涉及两三种物品的数量计算，解答这种应用题，可根据它们的组合关系，用一种物品替换另外的物品，使数量关系单一化，这样的思考方法，通常叫做替换法（也叫代替法）。 2.假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按已知条件进行推算，再根据数量上的矛盾作出适当的调整，得出正确答案。 3.一共有几种并列的情况可能发生，其中一种发生的可能性就是几分之一。 4.在有几种不同的数量组成的一种整体中，其中的一种发生的可能性是这种情况的数量占总数量的几分之几。 四、典型例题 例1.（重点展示）粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？ 分析与解：可以根据“1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等”，设法把50袋面粉的重量用大米的重量替换（50÷2 = 25，50袋面粉的重量相当于25袋大米的重量），这样本题就只剩下大米一种数量，可以顺利求出1袋大米的重量了。 2250÷（20 + 50÷2）= 50（千克） 答：1袋大米重50千克。 点评：也可以把20袋大米的重量用面粉的重量替换，求出1袋面粉的重量，再求出1袋大米的重量。可以这样列式计算： 2250÷（20 ×2 + 50）= 25（千克） 25×2 = 50（千克） 例2.（重点展示）鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只。问鸡与兔各有多少只？ 分析与解：假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100 = 200（只），这时兔的脚是0，鸡脚比兔脚多200只。而实际上鸡脚比兔脚多80只。因此鸡脚与兔脚的差比已知多了200 – 80 = 120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡，每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只，那么，鸡脚与兔脚的差数增加2 + 4 = 6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6 = 20（只），有鸡100–20
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ）
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .