1.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线的方程是________． 解析：据题意设所求平行直线方程为3x －2y ＋c ＝0，又直线过抛物线y 2＝2x 的焦点????12，0，代入求得c ＝－32
，故直线方程为6x －4y －3＝0. 答案：6x －4y －3＝0
2.设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m
4
＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；
当m <0时，准线方程为x ＝－m
4
＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .
∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .
答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x
3.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则?????y 21＝2px 1y 22＝2px 2
?y 21－y 2
2＝2p (x 1－x 2)，
即
y 1－y 2
x 1－x 2
·(y 1＋y 2)＝2p ?2p ＝1×4?p ＝2. 故y 2＝4x . 答案：y 2＝4x
4.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π
3
的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交
于点A ，则AF 的长为________．
解析：由已知可得直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，
联立直线与抛物线方程消元得：3x 2－10x ＋3＝0，解之得：x 1＝3，x 2＝1
3
(据题意应舍去)，
由抛物线定义可得：AF ＝x 1＋p
2
＝3＋1＝4.
答案：4
[A 级 基础达标]
1.已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．
解析：∵抛物线y ＝ax 2，∴x 2＝1a y 的准线方程是y ＝－14a ，依题意得－14a ＝1，∴a ＝－1
4
.
答案：－1
4
2.抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线
的方程为________．
解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝1
3
，∴抛物线方程为y 2＝8x .
答案：y 2＝8x
3.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．
解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有???
y 2＝2x
x 2
＋y 2
＝3x >0
，由此解得x ＝1，又该抛物
线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝3
2
.
答案：32
4.直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．
解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作
垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得?????y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得?????x ＝1y ＝－2
，和?????x ＝9y ＝6
，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，∴梯形APQB 的面积为48. 答案：48 5.
如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.
解析：
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则
P (－1，－1)，代入
抛物线方程得p ＝1
2，抛物线x 2＝－y ，代点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋
2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.
答案：2＋2 2
6.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两
点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，
焦点F ????p 2，0，直线l ：x ＝p 2
， ∴A 、B 两点坐标为????p 2，p ，????p 2，－p ， ∴AB ＝2|p |.
∵△OAB 的面积为4，
∴12·???
?p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .
7.过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两
点(点A 在y 轴左侧)，求AF
FB 的值．
解：直线方程为y －p 2＝3
3x ，
则x ＝3????y －p
2，代入抛物线x 2＝2py ， 得3y 2
－5py ＋3p 2
4＝0，
解得y 1＝3p 2，y 2＝p
6
，
根据抛物线的定义得AF FB ＝p 6＋
p 23p 2＋p 2＝1
3
.
[B 级 能力提升]
8.等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．
解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2
，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22
， ∴x 21－x 2
2＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0，
∵x 1>0，x 2>0，2p >0，
∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．
故直线OA 的方程为：y ＝x tan45°，即y ＝x .由?????y 2＝2px y ＝x ，解得，?????x ＝0y ＝0或?
????x ＝2p y ＝2p ，故AB
＝4p ，等腰三角形OAB 的面积为1
2
×2p ×4p ＝4p 2.
答案：4p 2
9.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对
于③，由焦半径公式r ＝1＋p
2
＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；
对于④，2
p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；
对于⑤，设焦点为????p 2，0，则由题意，满足12·1－02－
p
2
＝－1.解得p ＝5，此时y 2＝10x ，所
以②⑤能使抛物线方程为y 2＝10x .
答案：②⑤
10.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为8 m ，一木船宽4 m 高2 m ，
载货后木船露在水面上的部分高为3
4
m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通
航？
解：
如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，过点(4，－5)，
∴16＝－2p (－5)，∴2p ＝16
5，
∴抛物线方程为x 2＝－165y ，x ＝2时，y ＝－5
4
，
∴相距为34＋5
4
＝2时不能通行．
11.(创新题)已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点．若A 、B 在抛物线准线l 上的投影分别为A ′、B ′，求∠A ′FB ′的大小．
解：由定义知AF ＝AA ′，BF ＝BB ′， ∴∠AA ′F ＝∠A ′FA ， ∠FB ′B ＝∠B ′FB .
又∵∠BB ′F ＝∠B ′FM ，(如图) ∠AA ′F ＝∠A ′FM ，
∴∠B ′FM ＝∠B ′FB ，∠A ′FM ＝∠A ′FA ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝∠B ′FB ＋∠A ′FA ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝90°， ∴∠A ′FB ′＝90°.