1、党在过渡时期的总路线提出的主要任务是解决所有制问题
参考答案：错误。
党在这个过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步现实国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。过渡时期总路线构想出了一条经济文化落后国家发展社会主义的新思路，这就是建设与改造并举、发展与变革同行，把国家工业化和社会主义改造紧密结合起来，在变革生产关系中促进社会生产力发展的新思路。其中，社会主义工业化是目的，社会主义改造是不可或缺的条件和手段。
2、中国的民族资产阶级在社会主义革命阶段仍然具有两面性
参考答案：正确。
中国的民族资产阶级，不仅在民主革命阶段具有两面性，曾经是中国共产党的同盟者。在社会主义革命阶段仍然具有两面性，它有剥削工人阶级取得利润的一面，又有拥护宪法、愿意接受社会主义改造的一面。中国共产党正是根据中国民族资产阶级这一基本特点，制定了利用、限制、改造的政策，用和平赎买的方式完成了对资本主义工商业的社会主义改造。
3、对资本主义工商业的社会主义改造就是指的对生产资料所有制的改造
参考答案：错误。
国家对资本主义工商业的社会主义改造是把对所有制的改造和对人的改造结合起来进行的，在把生产资料私有制改造成为社会主义公有制的同时，把资本家由剥削者改造成为自食其力的劳动者。对资本主义工商业的和平改造在内容上包括两个方面：一方面是企业的、制度的改造，包括企业所有制和企业管理制度等，最终把资本主义私营工商企业改造为由工人当家作主，实行社会主义企业管理的全民所有制企业；另一方面是对人即对资本家的改造。对资本主义工商业的社会主义改造，是一场深刻的社会变革。如何在改造过程中，实施团结教育的功能，化解他们的消极甚至抵抗的情绪，使他们成为自食其力的劳动者，这同样十分重要。
4、社会主义改造的完成，标志着中国完全建成了社会主义社会
参考答案：错误。
社会主义改造完成后，中国进入社会主义社会初级阶段，不经过生产力的巨大发展，中国无法超越初级阶段这个现实。只有生产力高度发展了，物质精神成果丰富，我们才能完成建成社会主义社会。
1、为什么说中华人民共和的成立，开辟了中国历史的新纪元？
答：中华人民共和国的成立，标志着中国的新民主主义革命取得了基本的胜利，标志着半殖民地半封建社会的结束和新民主主义社会在全国范围内的建立。
（1）（反帝任务完成，民族独立实现）帝国主义列强压迫中国、奴役中国人民的历史从此结束。占人类总数四分之一的中国人从此站立起来了。
（2）（反封任务完成，人民解放实现）本国封建主义、官僚资本主义统治的历史从此结束，广大中国人民在历史上第一次成为国家的主人。
（3）（国家统一完成，和平局面实现）军阀割据混战的历史从此结束，国家基本统一，民族团结，社会政治局面趋向稳定，从事经济文化等方面建设的时期开始到来了。
（4）（社会主义方向确定）从根本上改变了中国社会的发展方向，为实现由新民主主义向社会主义的过渡，创造了前提条件。
（5）（中国共产党从夺权到执政）中国共产党成为全国范围内的执政党。它可以运用国家政权凝聚和调集全国力量，解放并发展社会生产力，造福于整个中华民族。
2、新中国成立之初三年内，为向社会主义过渡，中国共产党采取了什么实际步骤？
答:1949年至1952年期间，在着重完成民主革命遗留任务的同时，社会主义革命的任务实际上也开始实行了。
（1）没收官僚资本，确立社会主义性质的国营经济的领导地位。
（2）开始将资本主义纳入国家资本主义轨道。引导资本主义工商业的大部分走上了初级形式的（加工、订货、统购、包销）国家资本主义的道路。
（3）引导个体农民在土地改革后逐步走上互助合作的道路。到1952年，全国已有40%的农户参加了互助组，少数农户还参加了半社会主义或社会主义性质的农业生产合作社。3、新中国成立初期，中国共产党面临的主要问题和考验？
答：（1）能不能保卫住人民胜利的成果，巩固新生的人民政权。
（2）能不能战胜严重的经济困难，迅速恢复和发展国民经济。
（3）能不能巩固民族独立，维护国家主权和安全。
（4）能不能经受住执政的考验，继续保持谦虚、谨慎、不骄不躁的作风和艰苦奋斗的作风。
4、新中国成立初期国民经济恢复的主要原因是什么？
答：（1）中共中央和人民政府紧紧抓住恢复和发展生产作为一切工作的中心，正确处理恢复国民经济同其他各项工作的关系。
（2）从当时的国情出发，制定了“不要四面出击”等正确方针政策，妥善处理公私关系、劳资关系等各种社会关系。
（3）刚刚执政的中国共产党加强自身的建设，保持和发扬党的优良传统和作用，及时有力地抵制了资产阶级的腐蚀。
论述：
1、试述新中国成立后，中国共产党如何领导各族人民彻底完成新民主主义革命任务？
答：（1）发动军事战役，消灭国民党匪特残余：采取大迂回、大包围的作战方案，相继发动战役，于1951年10月，人民解放军进驻拉萨，西藏和平解放，中国大陆实现了各民族的统一。
（2）建立各级人民政权：执政的中国共产党在各地通过召集人民代表会议，选举产生各人民地方政权；少数民族聚居地区实行民族区域自治。
（3）开展土地改革：1950年颁布《中华人民共和国土地改革法》，从1950年冬到1953年春土地改革基本完成。
（4）镇压反革命：为巩固新生政权，历时了三年的镇压反革命运动。
（5）进行多方面民主改革：a.在已没收的官僚资本企业中，建立职工代表会议制度，工人阶级成为企业的主人。 b.按照“公私兼顾、劳资两利”原则，对私营工商业进行调整。 c.颁布《中华人民共和国婚姻法》，解放妇女。 d.制定了新中国文化教育的方针，在全国开展了一场知识分子思想改造运动。
2、试述为什么说完成社会主义改造是中国历史上最伟大最深刻的社会变革?
答：(1)1949年到1956年，中国共产党领导全国人民，经过对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造，在中国建立了社会主义制度，这是中国历史上最伟大最深刻的社会变革。
(2)社会主义改造的基本完成，中国社会经济结构发生了根本性变化，社会主义的基本经济制度在中国全面地建立起来了。这是中国进入社会主义社会的最主要的标志。1952年，各种经济成份在国民收入中所占的比重分别是：国营经济19％，合作社经济1.5％，公私合营经济0.7％，个体经济72％，资本主义经济7％。就是说，个体经济和资本主义经济合计为79％，占到国民收入的绝大部分。到1957年，各种经济成份占国民收入的比重分别是：国营经济33％。合作社经济56％，公私合营经济8％，个体经济3％，资本主义经济0.1％。
这就是说，社会主义性质的国营经济、合作社经济和基本上属于社会主义性质的公私合营经济合计为97％，占到了国民收入的绝大多数。这是社会主义改造的主要成果。这表明，中国已经胜利地完成了从新民主主义到社会主义的过渡。
(3)社会主义改造是在生产关系方面由私有制到公有制的一场伟大的变革，这就使社会生产力从旧的生产关系的束缚中解放出来，它不但没有造成通常难以避免的大的社会动荡和社会生产力的破坏，而且对生产力的发展直接起到了促进作用。在全面进行社会主义改造期间，即从1953年到1956年，全国工业总产值平均每年递增19.6％，农业总产值每年递增4.8％。经济发展比较快，经济效益比较好，重要经济部门之间的比例关系比较协调。市场繁荣，物价稳定。人民生活显著改善。这是了不起的事情。
(4)创造一系列从低级到高级的改造形式，走出了一条有中国特色的社会主义改造道路，丰富和发展了马克思主义关于社会主义改造的理论。特别是对资本主义工商业的社会主义改造利用各种形式的国家资本主义，把对企业的改造和人的改造结合起来，成功地实现了马克思列宁曾设想过的对资产阶级的和平赎买，并把资本家改造成为自食其力的劳动者，这是一个伟大的创举。
(5)总之，在一个几亿人口的大国中比较顺利地实现了如此复杂、困难和深刻的社会变革，促进了工农业和整个国民经济的发展，这的确是伟大的历史性胜利。通过社会主义改造，中国共产党创造性地完成了由新民主主义到社会主义的过渡，实现中国历史上最伟大最深刻的社会变革，开始了在社会主义道路上实现中华民族伟大复兴的历史征程。
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
8.1（A ） 1、（1）{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(；（2）{}1),(2>-x y y x ； （3）{ }1),(22>+y x y x ； （4）{}0,0,0),,(>>>z y x z y x 。 2、（1）0；（2）6 1-；（3）e ；（4）1；（5）0. （B ） 1、提示：令kx y =。 8.2（A ） 1、（1）223y y x x z -=??；xy x y z 23-=??。（2）2x y y x z -=??；x x y z 1+=??。 （3）]1)1[ln()1(xy xy xy xy x z x ++++=??；12)1(-+=??x xy x y z 。 （4）22y x y x z +-=??；22y x x y z +=??。 （5） )sin()cos(y x x y x x z +-+=??；)sin(y x x y z +-=??。 （6）21y x x z +=??；2 2y x y y z +=??。 （7）1-=??z y x z y x u ；x z x y u z y ln =??；x z yx z u z y ln 2-=??。 （8）x y x y x z 2csc 22-=??；x y x y z 2csc 2=??。 2、（1）222)(2y x y x x z --=??；2 2)(y x y y x z -=???。 （2）2222222)(y x x y x z +-=??；2222) (2y x xy y x z +-=???。 （3）222)1(--=??y x y y x z ；222)(ln x x y z y =??。 3、2)1,0,0(=xx f ；0)0,1,0(=yz f 。 （B ）
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案 ： 一、填空题 1. 点 M x, y, z 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M 1 x, y, z ; 关 于 xOy 平 面 的 对 称 点 为 M 2 x, y, z ；关于原点的对称点为 M 3 x, y, z . 2. 平行于 a ={1，1，1}的单位向量为 1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行， 为 1 . 5 3. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 1 – 2 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是 i 、 2 j 、 k , M 1 M 2 2 , 方向余弦 cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角 1200 、 2 2 2 1350 、 60 0 , 与 M 1 M 2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量 6 4 j 10 k ， b 3i 4 j 9k , 则 a 2b 12i 4 j 8k ， ai 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在 oz 轴上的投影为 48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1. 向量 a 与 b 的数量积 a b =（ C ）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ． 2. 非零向量 a, b 满足 a b 0 ，则有（ C ）． A a ∥ b ; B a b ( 为实数 )； C a b ； D a b 0． 3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0 是（ A ）． A a ∥ b 的充要条件； B a ⊥ b 的充要条件 ; C a b 的充要条件； Da ∥ b 的必要但不充分的条件．
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
1、党在过渡时期的总路线提出的主要任务是解决所有制问题 参考答案：错误。 党在这个过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步现实国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。过渡时期总路线构想出了一条经济文化落后国家发展社会主义的新思路，这就是建设与改造并举、发展与变革同行，把国家工业化和社会主义改造紧密结合起来，在变革生产关系中促进社会生产力发展的新思路。其中，社会主义工业化是目的，社会主义改造是不可或缺的条件和手段。 2、中国的民族资产阶级在社会主义革命阶段仍然具有两面性 参考答案：正确。 中国的民族资产阶级，不仅在民主革命阶段具有两面性，曾经是中国共产党的同盟者。在社会主义革命阶段仍然具有两面性，它有剥削工人阶级取得利润的一面，又有拥护宪法、愿意接受社会主义改造的一面。中国共产党正是根据中国民族资产阶级这一基本特点，制定了利用、限制、改造的政策，用和平赎买的方式完成了对资本主义工商业的社会主义改造。 3、对资本主义工商业的社会主义改造就是指的对生产资料所有制的改造 参考答案：错误。 国家对资本主义工商业的社会主义改造是把对所有制的改造和对人的改造结合起来进行的，在把生产资料私有制改造成为社会主义公有制的同时，把资本家由剥削者改造成为自食其力的劳动者。对资本主义工商业的和平改造在内容上包括两个方面：一方面是企业的、制度的改造，包括企业所有制和企业管理制度等，最终把资本主义私营工商企业改造为由工人当家作主，实行社会主义企业管理的全民所有制企业；另一方面是对人即对资本家的改造。对资本主义工商业的社会主义改造，是一场深刻的社会变革。如何在改造过程中，实施团结教育的功能，化解他们的消极甚至抵抗的情绪，使他们成为自食其力的劳动者，这同样十分重要。 4、社会主义改造的完成，标志着中国完全建成了社会主义社会 参考答案：错误。 社会主义改造完成后，中国进入社会主义社会初级阶段，不经过生产力的巨大发展，中国无法超越初级阶段这个现实。只有生产力高度发展了，物质精神成果丰富，我们才能完成建成社会主义社会。
习题8.1 1. 解 2. 解 3.解 4.解设 则 5. 解 A: Ⅴ B : Ⅳ C: Ⅶ D : Ⅲ 6. A点在XOY 面上，点 B在 YOZ 面上， C点在 Z轴上，点D 在Y轴上。 7. (1) A点关于 xOy 平面的对称点是（2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（a，b，-c） A点关于 yOz 平面的对称点是（-2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（-a，b，c） A点关于 xOz 平面的对称点是（2，3，-1） B点关于 xOz 平面的对称点是（a，-b，c） A点关于x轴、y轴、z轴的对称点分别是（2,3,1）（-2，-3,1）（-2,3，-1） B点关于 x轴、y轴、z轴的对称点分别是（a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) A点关于原点的对称点为（-2,3-1） B点关于原点的对称点为（-a,-b,-c) 8. 9.解 所以△M1M2M3为等腰三角形。 10.解
11. 解 12. 解 13. 解 14. 解 15. 解（1） 16. 解 17. 解 18 解 19. 解 习题8.2 1. 解（1）
（2） （3） 2. 解（1）（2）（3） (4) (5) 3. 解 4. 解 5. 解 6. 解利用向量积的几何意义 7. 解（1） （2） 8. 解 (1)
(2) (3) 10. 解（1） （2） 13. 解 习题8.3 1. 解 2. 解 3. 解（1）（2） 4~8见课本P317
9. 10. 解习题 8.4 1. 解
2. 解（1）平面中表示点（-6，-8），空间中表示一条直线； （2）平面中表示点（2,0），空间中表示一条直线； （3）平面中表示点（1,0），（0,1），空间中表示两条直线； 3. 解 4. （1）解 （2）解 （3） 解 5. （1）解 （2） 解 6. 解由参数方程得于是 于是得到在xOy坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为
高数第八章
第八章 第一节 向量及其线性运算 重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影 典型题目： 例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |= 2 222)(-(1)(-1)++= 2 211=++; COS α=-21,COS β=21 ,COS γ=-2 2 ; α=π32,β=3π,γ=4 3π. 例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求. P OM OA OA rj 方向上的投影在 解：记∠MOA=θ，有COS θ=3 1| || |=OM OA ， θθ 于是OA rj P =|3 a θ||= COS ．
θ 马云赵振 第二节数量积向量积混合积 1.两向量的数量积 a·b=│a││b│cos θ θ为两向量间的角度 （1）a·a=│a│2 （2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率 结合律如下时才成立 (Λa)·b=Λ（a·b） 2.向量积 a·b=│a││b│sin θ （1）b×a=-a×b a×b=0的充分必要条件是a平行于b
（2）满足分配率 结合律如下时才成立 （3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示 i j k a×b= │ a x a y a z │ b x b y b z 例题 1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积 解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA =1∕2│c ×b │ i j k c ×b= │ 2 2 2 │ =4i-6j+2k 1 2 4 S ABC =1∕2│4i-6j+2k │= 2222)6(4+-+=14 2.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求
第八章 单元自测题参考答案 一．填空题 1.设 xy z 3 =, 则 =??x z 3ln 3xy y . 2.设 2 21),(y x y x f += ,则 ' y f (1,3)=50 3-. 3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则 =??x z y x z y ++- . 4.设 x e y z sin =,则 =???y x z 2x x e e cos . 5.设 )1ln(2122y x z ++= ,则 =)1,1(dz dy dx 3 131+. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分 dy y ax dx xy dz 2 232+=,则常数 =a 3 . 7.函数 3 43y xy x z ++=在点A(1,2)处沿从点A 到B(2,1)方向的方向导数等于 8.函数 zx yz xy u ++=在点(1,2,3)处的梯度 =?)3,2,1(u k j i ? ??345++. 二．选择题 1.设 ,0,0, 0,),(2 22 222 =+≠+?????+=y x y x y x xy y x f 则 ).(y x f 在点(0,0)处( B ). (A) 连续，但偏导数不存在; （B ）不连续，但偏导数存在; (C ）连续，且偏导数存在; (D ）不连续，且偏导数不存在. 2.设 =z ln ),2(y x e e -则 =??) 0,0(2 2x z （D ）. (A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程 0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数，则 =??x z ( C ). (A) ;'3'2'2'1F F F F -- (B ;'3'2' 1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;' 3 '2'1'3F F F F --
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→
第八章 空间解析几何与向量代数自测题 A 一、填空 1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠ =AB u u u v 在AC u u u v 上的投影为 ；三角形的面积ABC S ? =2；同时垂直于向量AB u u u v 与AC u u u v 的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2 y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+. 3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形. 4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)-- . 5. 曲线22291x y z x z ?++=?+=?在xOy 面上的投影为222280 x x y z ?-+=?=?. 6. 曲面z =被曲面22 20x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ?-+≤?=?. 7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=. 8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为 23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题 1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-v ，取所求平面的法向量为 1207 43(6,3,10)62 3i j k n M M n =?=--=--v v v u u u u u u v v v ，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=. 2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-v ，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213 i j k n PA s =?=-=---v v v u u u v v v ，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=. 3. 求直线2 432-= -=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，
x 一、填空题 《高等数学(下册)》第八章练习题 1.设z sin( x y)，则dz 2.设z cos( x2y ), ，则 (1, ) 2 3.函数z 6( x y) x 2y 2的极值点为 4.设z e xy ，则dz 5.设 x ln z ，则 z y zx 二、选择题 1、、 f ( 、y) x 3y 3 3 x2 3 y 2、( ) A. (2、2) B. (0、0) C. (2、0) D. (0 、2) 2、f ( x, y) 在点(x ,y )处偏导数f x( x 0 , y0 )、 的( ). f y( x0 , y0 ) 存在是f ( x, y) 在该点连续 (a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。 3、设f ( x, y) ln( x y ) ，则f 2 x (1,1 、. （A） 1、 3 三、计算题 y 2 x 2 （B）1、 3 （C） 5、 6 （D） 5 . 6 、、 z x 3 、( 、、1 、、 2、设z z( x, y) 是由方程F ( x z, y z) 0 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且F F 0, 其中u x z, v y z, 求z,z. u v x y 3、求曲面x2y2xz z2 3 在点(1,2,1) 处的切平面及法线方程。 4、设u e x2y2z2,而z x2sin y,求 u . x 5、求曲线x e t, y e t, z t ,对应于t 0 点处的切线和法平面方程。 6、求函数z x 2y(4 x y) 在闭域x 0, y 0, x y 4 上的最大值及最小值。 x
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证：
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一．填空题 1.3ln 3xy y ； 2.50 3-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++. 二．选择题 1.B ； 2.D ； 3. C ； 4.D ； 5.A ； 6.B ； 7. B ； 8.A . 三.解答题 1. 解 22222222222211)221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 2 2222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2222 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(2 22-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z z x . 4. 证明 r x z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32 2 21r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r r z y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.
高等数学练习题（第八章）解答与提示 基础部分 一、判断题 （1）错误 反例：2 2 y x z += 在(0, 0)点. （2）错误 （3）正确 （4）错误 二、填空题 1．(y +1)x y d x +x y +1 ln x d y 2．0 3．0（ '''' ''''2 2 2 3 222 g x y f y x y x u g x y f y x x u - - =???+ = ??） 4． 2 2 22y x y x +- 5．d z =d x -2d y 6．-1 7． x z z 2322 - 8． ) 1(2 2 2 y x y +- 9．-1（两个驻点(0, 0), (1, 1), (0, 0)不是极值 点） 14． 4 1（最值在边界x +y =1上取得） 15．8（唯一驻点(2, -2)） 三、选择题 1. (C) 2. (C) 3. (D) 4. (D) 5. (B) 6. (B) 四、解答题 1． 2 2 2 2 2 2 111) 1)(1(1) 1() (1)(11x x y y xy y x y xy x z xy y x += +++= -++-+= ??-+， .02 =???y x z 2．'f x y f x u - =??， ''3 22 2 f x y x u = ??.
3． '''''1''2223 122 22 2 g y x g y x g y f y x z - - - -=??? 4． ' 'v u zF xF x z = ??， ' ) ''(v v u zF F F y y z +-= ??，.z xy y z x x z y = ??+?? 5．设2 2 22)33()2()1(-+-+-=z y x d ， 令)()33()2()1(2 2 2 2 2 2z y x z y x F -++-+- +-=λ，可求出驻 点)32,22,2(与)3,2,1(--得要求点为)32,22,2(. 6．极小值.2)1,21 (e z - =- 7．驻点??? ??--??? ??-21,21,21,21,2 1 ,21，最近距离 64；最远距离.68 提高部分 一、选择题 1. (C) 2. (C)（已知等式两端对t 求导，然后将所得等式两端同乘t ） 二、填空题 1. d x －d y 2. '''''??y yf ++ 3. 1 三、解答题 1． 2 ) (xy ye x f -=?? ， 2 ) (xy xe y f -=??， 2 ) (32 2 2xy e xy x f --=??， 2 ) (32 2 2xy ye x y f --=??， 2 2 ) (22 ) (2 2xy xy e y x e y x f ---=???. ∴ .22 2 ) (2 2 2 2 2 xy e y f x y y x f x f y x --=??+ ???-?? 2． ?? ? ? ????+ ????+ ??=y x x f x x x f f x f y f x f x x x x ),(),()[ ,(),()(3)(d d 2 3 ??
一、单项选择题 1---5 BAD AA 6---10 D CCC A 11---14 BACB 二、填空题 1.9 2.1(1)e π-- 3.π 4.43π- 5.1 6.4(1)e π- 7.23 8.52+e 9. 1ln 22 10. 4 2 a π 11. 1-e 12. ππ+3 13.32 14.2(1)e - 15.1 10d (,)d x x f x y y ?? 16.210d (,)d x x x f x y y ?? 17.4(1)e π- 18.1(1)e π-- 19.4 20. 2π 21.24 22.143π 23.2 4 R π 24.2 25.()10d ,d y e e y f x y x ?? 26.(1)e π- 27.1 28.π 29. 13 30.4π 三、计算题 1.求(2)d D x y σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式=4 2.求(34)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线1x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式= 76 3.求2()d d ,D y x x y -??其中D 是由抛物线2y x =及直线1y =所围成的闭区域. 解 (画图)，原式815= 4.求22()d D x y σ+??，其中D 表示圆环区域}21),{(22≤+≤y x y x . 解：原式= 23π. 5.求d D xy σ??，其中D 是直线 2 , 1x y ==及y x =所围成的闭区域. 解：原式= 98. 6.求22()d D x y xy σ++??，其中D 是由直线2,,2y y x y x ===所围成的闭区域. 解：原式=143 .
空间解析几何 1. 第5卦限；z 轴负半轴；第3卦限；第8卦限. 2. 到x 轴的距离为1；到y 轴的距离为1-；到z 轴的距离为2. 3. 14||=AB ，6||||==AC BC . 4. 2||21=M M ，21- cos =α，2 2 -cos =β，21cos =γ， πα32=，πβ43=，πγ31=，方向相反的单位向量为??? ? ??21-2221，，. 5. (1) 9cos0||||==?a a a a ； (2) 2 3 36 cos ||||= =?π b a b a ； (3) 2 3 3252-3)()2-(3+=??+?=+?b b b a a a b a b a . 6. (1) -3=?b a ； (2) k j i b a 57++=?； (3) ()()-6-2=?b a ； (4) ()()8-b b -a a b -a b a =??=?+. 7. k j i AB -3+=，i BC -=，k j k j i 30 01 -1-3 1+==?， k j 10 310 1+ = ， 8. k i 24+=，j k i 8-4-4-=，k j i k j i 8-3216-8 -4-4-024+== ?， 214||2 1 =?= ?S ABC . 9.
(1) 平行于xoy 平面； (2) 平行于z 轴； (3) 平行于y 轴且过原点； (4) 平行于z 轴且过原点； (5) 于x 轴、y 轴、z 轴的截距相等. 10. 03)-5(-2)3(1)-2(=++z y x . 11. 5k 3++=j i ，j i 5-4-=，k j i k j i 720-250 5-4-531 +==?， 平面方程为：01)7(0)-20(-1)-25(=++z y x . 12. 设平面方程为：a z y x =++，由于点(3,5,2)在平面上，解得10=a ，即平面方程为： 10=++z y x . 13. 2 14 | |2 22000= +++++= C B A D Cz By Ax d . 14. (1) 平行； (2) 相交. 15. (1) 1=x ； (2) 设平面方程为：d y ax =-，由于平面过点(1,0,-1)和(2,3,4)，解得3=a ，3=d ，即平面方程为：3-3=y x . (3) 设平面方程为：0-=cz x ，由于平面过点(3,-1,1)，解得3=c ，即平面方程为： 03-=z x . 16. (1) 3 4 1-2 -21+==+z y x ； (2) 01 15-023-+==z y x ； (3) 1 4 -9 -3 51-z y x =+=. 17. 两平面交线的方向向量为：k j i k j i 7115 -32 32 -1++=，两平面的某一交点为：
习题8.1 1. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy 平面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q 。 解：据题意，薄板区域D 是Oxy 平面上的有界闭域，(,)x y μ是定义在D 上的面密度函数，那么用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域12,,n σσσ ，以i σ?表示小区域的面积，这些小区域构成了D 的一个分割T ，在每个i σ上任取一点 (,)i i εη，那么电荷Q 即为D 上的一个积分和1 (,)n i i i i Q u εησ==?∑。当d 足够小时， 1 (,)(,)n i i i i D Q u u x y d εησσ==?=∑?? 2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形： （1）()221D x y d σ++??，其中区域D 是圆域221x y +≤； 解：（1）在圆域221x y +≤上以抛物面2221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积。 （2）D yd σ??，其中区域D 是三角形域0,0,1x y x y ≥≥+≤； 解： 在三角形域D 上以平面z y =为顶的柱体的体积。 z 轴 x 轴 y 轴 （1） （2） 3. 设1 2231()D I x y d σ=+??, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2 ; 又2 2232()D I x y d σ=+??, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.
试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)D d σσ=?? (其中σ为D 的面积; 证明 由二重积分的定义可知, 1 (,)lim (,)n i i i i D f x y d f λσξησ→==?∑?? 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以 0 1 lim lim n i i D d λλσσσσ→→==?==∑??. (2)(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=???? (其中k 为常数); 证明 0 1 1 (,)lim (,)lim (,)n n i i i i i i i i D kf x y d kf k f λλσξησξησ→→===?=?∑∑?? 1 lim (,)(,)n i i i i D k f k f x y d λξησσ→==?=∑??. (3)1 2 (,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 1 2 111222121 1 1 (,)(,)(,)n n n i i i i i i i i i i i i f f f ξησξησξησ===?=?+?∑∑∑. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1，λ2), 则有