暑假专题——相似三角形
重点、难点：
1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。
【知识纵横】
1. 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗为什么
（2）两个直角三角形一定相似吗两个等腰直角三角形呢为什么
（3）两个等腰三角形一定相似吗两个等边三角形呢为什么
2. 相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC ∽△A'B'C'的相似比k AB
A B 1=''
，而△A'B'C'∽△ABC 的相似比k A B AB
2=
''
，这时k k 121=。
3. 相似三角形的识别
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
【典型例题】
例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。
A
D E
3
B C
2 1
答：4对
例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似
如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
B E
A C D F
解：
B E
例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。
D C
E
F A B
命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析：由AB ∥DC 得：∠F ＝∠DCE ，∠EAF ＝∠D
∴△CDE ∽△FAE
∴
=
CD FA DE
AE
，又E 为AD 中点 ∴DE ＝AE ，从而CD ＝FA ，结合已知条件，易证
BF ＝BC ，∠F ＝∠BCF
解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ∥CD
∴∠F ＝∠DCE ，∠EAF ＝∠D
∴△CDE ∽△FAE
（2）∵E 是AD 中点，∴DE ＝AE
由（1）得：
CD AF DE
AE
=
∴CD＝AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD
∴AB＝CD＝AF
∴BF＝2CD，又BC＝2CD
∴BC＝BF
∴∠F＝∠BCF
思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，（1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；
（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少
解：（1）存在
P
B C
（2）若△ADP∽△BCP，则AD
BC
AP
BP
=
设AP x
=
∴=
-∴=∴=
4
610
44 x
x
x AP
，，
或AD
BP
AP
BC
=
∴
-=∴=
4
1064
x x
x
，或x=6
∴=
AP4或AP=6
∴AP长度为4或6
例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，
且AE、BD交于点F，则S S S
DEF EBF ABF
???
：：=（）
A. 4：10：25
B. 4：9：25
C. 2：3：5
D. 2：5：25
（2001年黑龙江省中考题）思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。
∴选A
例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4
而CD×AB＝AC×BC＝2S
ABC
?，得CD=
12
5
又△CEH∽△CAB，得CM
CD
EH
AB
=
于是12
5125
5-=x
x ，解得：x =
6037
如图乙，设正方形CFGH 的边长为y cm
由GH ∥AC ，得：
GH AC BH
BC
=
即
y y 433=
-，解得：y =12
7
x y y x =
==∴>603712760
35
，， 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为
12
7
cm
例7. 如图，已知直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，设AB a AD b ==，，
BC b a b =>2()，作DE ⊥DC ，DE 交AB 于点E ，连结EC 。
（1）试判断△DCE 与△ADE 、△DCE 与△BCE 是否分别一定相似若相似，请加以证明。
（2）如果不一定相似，请指出a 、b 满足什么关系时，它们就能相似
解：（1）△DCE 与△ADE 一定相似，△DCE 与△BCE 不一定相似，分别延长BA 、CD 交于F 点
由△FAD ∽△FBC ，得：
FD FC AD BC b b ===21
2
于是FD ＝DC ，从而可证△FED ≌△CED
得∠AED ＝∠DEC
所以△DEC ∽△AED
（2）作CG ⊥AD 交AD 延长线于G ，CD a b =+22
由△AED ∽△GDC ，有
AE GD AD
GC
=
，得
AE b a DE AE AD b b a b a a b BE AB AE a b
a a
b a
BE DE
a b a b a a b a b b a b =
=
+=+?? ??
?=+=-=-=
-=-+=
-+2
222
22
22
222
22
2222
22
BC
DC
b a b
=+22
2
要使△DCE 与△BCE 相似，那么
BE DE BC
DC
=
一定成立 即a b b
b 22
2-=，得a b 223= 也就是当a b =3时，△DCE 与△BCE 一定相似。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S S DOE COB ??：：=916，则AD ：DB ＝____________。
2. 如图，△ABC 中，CE ：EB ＝1：2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为
____________。
3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为____________。
（2000年武汉市中考题）
4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a b ：，设S S 甲乙：分别表示这两个正方体的表面积，则
S S a b
a b 甲乙
==?? ?
??66222
，
又设V V 甲乙、分别表示这两个正方体的体积，则
V V a b
a b 甲乙
==?? ?
??333
。
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A. 两个球体
B. 两个圆锥体
C. 两个圆柱体
D. 两个长方体
（2）请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________；
②相似体表面积的比等于____________；
③相似体体积的比等于____________。
（2001年江苏省泰州市中考题） 5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降 m时，长臂端点升高（）
A. m
B. m
C. 8 m
D. m
6. 如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，已知BC=2，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（）
A. 4
3
B. 3
C.
2
3
3 D.
4
3
3
7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD
AC
=
1
3
，AE＝BE，则有（）
A. △AED ∽△BED
B. △AED ∽△CBD
C. △AED ∽△ABD
D. △BAD ∽△BCD
（2001年杭州市中考题）
8. 如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：FD ：FB ＝1：2：3，则S S S ADE DFGE FBCG ?：：四边形四边形等于（ ）
A. 1：9：36
B. 1：4：9
C. 1：8：27
D. 1：8：36
9. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，求证：AB CD BC
AD 22
=
10. 如图，△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，
EC 与AD 相交于点F 。
（1）求证：△ABC ∽△FCD ；
（2）若S BC FCD ?==510，，求DE 的长。
（2000年河北省中考题）
11. 阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 落在BC 上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上，作法如下：
第一步：画一个有3个顶点落在△ABC 两边上的正方形D'E'F'G'。
第二步：连结BF'，并延长交AC 于点F ；
第三步：过F 点作FE ⊥BC 于E ；
第四步：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G ；
第五步：过G 点作GD ⊥BC 于点D 。
四边形DEFG 即为所求作的四边形DEFG ，为正方形。
问题：
（1）证明上述所求作的四边形DEFG 为正方形；
（2）在△ABC 中，如果BC ABC =+=?6345，∠，∠BAC ＝75°，求上述正方形DEFG 的边长。
（江苏省扬州市中考题）
A
G F
G' F'
B D' E' D E C
12. 如图，在△ABC 中，AB AC BC ===52，，在BC 上有100个不同的点
P P P P 123100、、…，过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P E F G P E F G 11112222，…
P E F G 100100100100，设每个内接矩形的周长分别为L L L 12100、…，则L L L 12100+++=…
____________。
（安徽省竞赛题）
A
E 2
F 2
E 1
F 1
B P 1 P 2 G 2 G 1 C
13. 如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为204580222cm cm cm 、、，则△ABC 的面积为____________。
14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是____________厘米
2
。
（第11届“希望杯”邀请赛试题）
15. 如图，将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）
A E D
B F C
A. 2：1
B. 31：
C. 21：
D. 1：1
16. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等
的两部分，则AE：ED等于（）
A B
E F
D C
A. 2
B. 3
2
C.
51
2
+
D.
51
2
-
【试题答案】 1. 3：1
2. 2 9 S
3. 12
7
或
60
37
4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方
5. C
6. C
7. B
8. C
9. 由△ABC∽△DCA，得AB
CD
S
S
BC
AD
ABC
ADC
2
2
==
?
?
10. （1）略
（2）过A作AM⊥BC于M
由△ABC∽△FCD，得：
S S BC CD CD CD ABC FCD ??=?? ???=?? ??
?=22
24
S S ABC FCD ??==420
又S BC AM BC ABC ?=
=1
2
10·，，得MA =4 ∵DE ∥AM ，
∴
====+==DE AM BD BM DM DC BM BD DM BD BC ，，，12521
2
5 ∴
=+DE
4
5552
，得DE =
83
11. （1）易证明四边形EFGD 为矩形，由E F EF BF BF F G FG
'''''
==
，而E F G F ''''=，得EF ＝GF ，故四边形EFGD 为正方形。
（2）过A 作AQ ⊥BC 于Q 交GF 于P ，且AQ ＝BQ ，∠BCA ＝60°，∠QAC ＝30°，
QC QA =3
3
，又BC =+63
A
G F P
B D Q E C
即AQ AQ +
=+3363，解得AQ =-15332
由
GF BC AP AQ =，得GF BC AQ BC AQ =+=--=·8133273
3
12. 400
提示：从内接一个矩形入手，探求内接△ABC 中任一矩形的长与宽的关系。
13. 4052cm
提示：
DE BC FG BC IC
BC
++=1 14. 1617
2
解：设BC a =，则CE a =-162
由△BCE ∽△EDF ，得DE a =
34
又DE EC DC +=，即3
4
162a a a +-=
15. C
16. C
提示：延长DA 、CB 相交于G ，S S AB CD GAB GDC ??=?? ?
??=2
19
设S S GAB ?=，则
S S
S S
GA GE GD S S S GDC ABCD GAB GEF GDC ????====98159
222梯形：：：：：：
即GA GE GD AE ED ：：：：，
==--=
+153513551
2
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
相似三角形2 A卷 窗体顶端 1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（） A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′ 2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（） A．30°B．50°C．40°D．70° 3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 4、如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（） A．1对B．2对C．3对D．4对 5、△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（） A．B．C．D． 6、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（） A．200cm B．200dm C．200m D．200km 7、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（） A．B．C．D． 8、若则下列各式中不正确的是（） A．B．C．D． 9、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（） A．B．C．D． 10、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（）
A．8：3B．3：8 C．8：5D．5：8 B卷 1、计算 （1）若求的值. （2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值. 2、如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来. 3、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN. 4、如图：某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，以给人一种和谐的感觉，这样的四个矩形怎样画出来？ 窗体底端
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
八年级数学暑假学习及辅 导计划 Prepared on 21 November 2021
八年级数学暑假学习及辅导计划 新课标数学教材在内容安排上有如下的特点：七年级知识点多，八年级难点多，九年级考点多。同时，新课标数学突出考查学生的“数学思维能力”和“数学应用能力”的考核。通过暑假数学学习和辅导，进一步理顺知识框架结构；根据新课标要求适当扩充相关知识点、解题思路和解题方法，达到培养数学分析能力、解题能力，运用创新能力的目的。培养学生学数学用数学的意识来来学习数学，让学生达到醍醐灌顶的学习境界。 一、假期学习计划 （一）、总结反思、理清脉络 1、总结这两年来数学学习了哪些知识自己的大脑里是不是有很清晰的知识网络 2、反思一下自己前面所学的怎么样是不是所有的知识点都掌握的很好对自己来说哪些是好的学习方法哪些是学习方法是需要改正的 （二）、准确定位、确定目标 通过前面的总结反思，给自己有一个明确的定位，看看七年级、八年级所学的知识是不是已经掌握的很扎实如果掌握的不是那么扎实，那么暑期重点就是要将七、八年级所学的知识系统的梳理、复习。如果掌握的已经很好，那么暑期就应该有更高的要求：要研究龙岩市近年来的中考数学题：包括试题结构、试题特点；中考数学题和平时训练相比更侧重考察主要的数学思想和方法、基本数学活动经验和探究能力、应用知识的能力；比方说像中考中最热门的“动态试题”，平时学习中遇见的就不多。七、八年级所学的知识强化提高：可以购买一些类似于中考试题分类这样的书籍，将各地中考题中涉及到七、八年级知识点的试题作为暑期训练提高之用。提前预习：九年级是中考考点最集中的部分，而且有像二次函数、圆、相似形这样的中考重点章节，所以利用暑期进行适当的预习、了解它的知识体系很必要的；在预习中，还要注意哪些知识自己不易理解，开学时就要特别注意。 （三）、制定计划、注意方法 1、制定合理的学习计划，列出某些时间段所要达到的目标，和家长共同研究奖惩以及监督机制。 2、注意方法：首先要弄清最基本的概念、公理、定理和公式，暑假里要把已经学过的基本概念整理出来。其次数学需要一定的练习，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”：每一道题都要知道它的思路、不仅要知道怎样做，更要知道为什么这样做注重发现题与题之间的内在联系，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”。 最后，建议大家建立错题本，把训练中的错题或者具有代表性的而自己当时又没做出来的题目记录下来。
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
暑假专题——相似三角形 重点、难点： 1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。 2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。 【知识纵横】 1. 相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 议一议： （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 2. 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。 说明：相似比要注意顺序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比k AB A B 1 = '' ，而△A'B'C'∽△ ABC的相似比k A B AB 2 = '' ，这时k k 1 2 1 =。 3. 相似三角形的识别 （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（）对。
A D E 3 B C 2 1 答：4对 例2. 如图，已知：△ABC 、△DEF ，其中∠A ＝50°，∠B ＝60°，∠C ＝70°，∠D ＝40°，∠E ＝60°，∠F ＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△DEF 所分成的每个三角形分别对应相似？ 如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。 B E A C D F 解： B E 例3. （2008·广东省）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连结CF 交AD 于点E 。 （1）求证：△CDE ∽△FAE ； （2）当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF 。
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、错角、同旁角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的 定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝2 1 ∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝ 21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝ 2 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上 的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A
八年级数学暑假学习计划要点 如下： 新课标数学教材在内容安排上有如下的特点：初一知识点多，八年级难点多，初三考 点多。同时，新课标数学突出考查学生的“数学思维能力”和“数学应用能力”的考核。 因此，同学们在学习的过程中抛弃只做题不思考，一定要养成边学边练边想的习惯。根据 多年的教学经验，利用丰富的教研资源，编写了八年级辅导班四个阶段的内部讲义。讲义 结合北师大版教材，进一步理顺知识框架结构;根据新课标要求适当扩充相关知识点、解 题思路和解题方法，达到培养数学分析能力、解题能力，运用创新能力的目的。讲课高屋 建瓴、注重数学思维和方法的讲解，以“三七二十一思维定势法”、“三十六技”为主线，培养学生学数学用数学的意识来来学习数学，让学生达到醍醐灌顶的学习境界。 八年级数学四个学习阶段环环相扣，结合整个讲义体系，暑假课程主要内容有如下： 一、由三角形六大元素到全等的本质，探究直角三角形三大定理、等腰三角形三线合 一定理推广专题二、由三角形全等到辅助线的作法，探讨共线、共点问题 三、由平行四边形，学习定义法证明的经典思路，探讨三角形全等在初中几何中的地 位 四、从四边形一般化到特殊化，探讨数学定义在数学学习中的作用 五、由三角形全等到多边形元素的探究，学习面积法、中位线法解题的技巧 六、由a2+a到数与式、绝对值，学习恒等式的证明 七、由勾股定理到二次根式，学习二次根式的计算 八、由ax=b到方程解的实质，探究一元一次方程组的解 九、由变量之间的关系，探究应变量的实质，学习一次函数 十、从一次函数到数学建模思想的初步培养开放性、自主性学习的能力。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
初中数学相似三角形专项练习题 1 / 3 第18.1课时 相似三角形 一．填空题（基础） 1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M （第2题） （第1题） 2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有 _______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例 式： AB BE AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题 3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____， ) ()()(AC DF AB ==。 （第5题） （第4题） （第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且 ) () ()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、 G ， 图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2 k ）。 二、典型例题： 例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,, 3 4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80 3 针对练习： 1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3 2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个 例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习： 1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322 cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102 cm B ．142 cm C ．162 cm D ．182 cm 2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。 4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。
第一讲 二次根式的概念及有意义的条件 一、二次根式的概念 (0a ≥)的式子叫做二次根式。a 被称为被开方数（式），次根号。 例1：判断下列式子哪些是二次根式。 1 23 4 5 6 变式训练： 1、下列各式中是二次根式的是 。 1 ○ 2-3 4 562 m 、n 应满足的条件是 。 二、二次根式有意义的条件 笔记： 例2：当x 为何值时，下列各式有意义？ （1 变式训练： 3 x 的取值范围是 。 4 P(a ,b )所在象限为 。 5、已知实数 x 、y 满足等式：5y =,求222x xy y -+的值。
当堂检测 1有意义的x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12 x ≠ C. 0x ≥且12 x ≠ D.一切实数 2 m 的值为 。 3、下列各式中不一定是二次根式的是（ ） 4、 y =x 的取值范围为 。 5 x 的值为 。 第二讲 2 具有双重非负性 2=a 例1：（1）已知 0=,求x 、y 的值。 （2 2x+3y-1的值。 变式：已知实数x 、y |235|0x y --=,的值。 例2：（1）计算： 2 2(-- (2)若22x =-,求x 。
（3）在实数范围内分解因式：44 x- 22 x-+ 变式：在实数范围内分解因式：4 425 x- 例3：在ABC ?中，a,b,c 2|| c a b -- 变式1 2、化简求值：2a其中a= 当堂检测 1 2、在实数范围内分解因式：2 24 x- 小试牛刀 b a
b a 一、选择题（每题5分，共35分） 1 有意义的x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12 x ≠ C. 0x ≥且12 x ≠ D.一切实数 2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|, 则化简||a b +的结果为（ ） A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 3、若实数a,b 满足|1|0a +=,则() 2013 ab 为（ ） A.0 B.1 C.-1 D. 1± 4、使式子 x 的取值范围是【 】 A ．x ≥－1 B ．－1≤x ≤2 C ．x ≤2 D ．－1＜x ＜2 5、已知实数x ，y 满足x 4-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形 的周长是【 】 A ．20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 6、下列各式正确的是（ ） A. （－2）2 ＝2 B. （－2）2 ＝－4 C. （－2）2 ＝2 D. （－x ）2 ＝－x 7、如果a 是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、a -2 C 、2 a - D 、 2 1a 二、填空题（每题5分，共30分） 8 x 的取值范围是 ． 9 |x ﹣y ﹣3|互为相反数，则 x+y=
八年级数学暑假学习及辅导计划 新课标数学教材在内容安排上有如下的特点：七年级知识点多，八年级难点多，九年级考点多。同时，新课标数学突出考查学生的“数学思维能力”和“数学应用能力”的考核。通过暑假数学学习和辅导，进一步理顺知识框架结构；根据新课标要求适当扩充相关知识点、解题思路和解题方法，达到培养数学分析能力、解题能力，运用创新能力的目的。培养学生学数学用数学的意识来来学习数学，让学生达到醍醐灌顶的学习境界。 一、假期学习计划 （一）、总结反思、理清脉络 1、总结这两年来数学学习了哪些知识自己的大脑里是不是有很清晰的知识网络 2、反思一下自己前面所学的怎么样是不是所有的知识点都掌握的很好对自己来说哪些是好的学习方法哪些是学习方法是需要改正的 （二）、准确定位、确定目标 通过前面的总结反思，给自己有一个明确的定位，看看七年级、八年级所学的知识是不是已经掌握的很扎实如果掌握的不是那么扎实，那么暑期重点就是要将七、八年级所学的知识系统的梳理、复习。如果掌握的已经很好，那么暑期就应该有更高的要求：要研究龙岩市近年来的中考数学题：包括试题结构、试题特点；中考数学题和平时训练相比更侧重考察主要的数学思想和方法、基本数学活动经验和探究能力、应用知识的能力；比方说像中考中最热门的“动态试题”，平时学习中遇见的就不多。 七、八年级所学的知识强化提高：可以购买一些类似于中考试题分类这样的书籍，将各地中考题中涉及到七、八年级知识点的试题作为暑期训练提高之用。提前预习：九年级是中考考点最集中的部分，而且有像二次函数、圆、相似形这样的中考重点章节，所以利用暑期进行适当的预习、了解它的知识体系很必要的；在预习中，还要注意哪些知识自己不易理解，开学时就要特别注意。 （三）、制定计划、注意方法 1、制定合理的学习计划，列出某些时间段所要达到的目标，和家长共同研究奖惩以及监督机制。 2、注意方法：首先要弄清最基本的概念、公理、定理和公式，暑假里要把已经学过的基本概念整理出来。其次数学需要一定的练习，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”：每一道题都要知道它的思路、不仅要知道怎样做，更要知道为什么这样做注重发现题与题之间的内在联系，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”。 最后，建议大家建立错题本，把训练中的错题或者具有代表性的而自己当时又没做出来的题目记录下来。
相似三角形常见模型一 【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行） （1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△
（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连 接 DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21= ，AE AD 3 2 =，求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 F E D C B A C B D E M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
知识点二：8字型相似三角形 B C C （蝴蝶型） （平行）（不平行） （1）如图，若CD AB∥，则DOC AOB∽△ △ （2）如图，若C A∠ = ∠，则CDJ ABJ∽△ △ 1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H 求证： PE PH PF PG = 2、如图，设 AB BC CA AD DE EA ==，求证：12 ∠=∠ 变式练习： 1、（2010?威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1． P H G F E D C B A E