《微分几何》课程教学大纲
课程名称：《微分几何》
课程编码：074112303
适用专业及层次：数学与应用数学（本科）
课程总学时：72学时
课程总学分：4
一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质
微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：
通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：
本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求
第一章曲线论
教学要点：
本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题
教学时数：22学时。
教学内容：
第一节向量函数
1.1 向量函数的极限
1.2 向量函数的连续性
1.3 向量函数的微商
1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式
1.5 向量函数的积分
第二节曲线的概念
2.1 曲线的概念
2.2 光滑曲线、曲线的正常点
2.3 曲线的切线和法面
2.4 曲线的弧长、自然参数
第三节空间曲线
3.1 空间曲线的密切平面
3.2 空间曲线的基本三棱形
3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
3.4 空间曲线在一点邻近的结构
3.5 空间曲线论的基本定理
3.6 一般螺线
考核要求：
1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。
2、理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
3、理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算有关问题。
第二章曲面论
教学要点：
本章主要研究曲面概念，曲线坐标网，曲面的切平面和法线。引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论——高斯崩尼公式。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题
教学时数：50学时。
教学内容：
第一节曲面的概念
1.1 简单曲面及其参数表示
1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
1.3 曲面上的曲线族和曲线网
第二节曲面的第一基本形式
2.1 曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长
2.2 曲面上两方向的交角
2.3 正交曲线族和正交轨线
2.4 曲面域的面积
2.5 等距变换
2.6 保角变换
第三节曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
3.2 曲面上曲线的曲率
3.3 迪潘(Dupin)指标线
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
3.5 曲面的主方向和曲率线
3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
3.7 曲面在一点邻近的结构
3.8 高斯曲率的几何意义
第四节直纹面和可展曲面
4.1 直纹面
4.2 可展曲面
4.3 线汇
第五节曲面论的基本定理
5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号
5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯－科达齐－迈因納尔迪公式
5.3 曲面论的基本定理
第六节曲面上的测地线
6.1 曲面上曲线的测地曲率
6.2 曲面上的测地线
6.3 曲面上的半测地坐标网
6.4 曲面上测地线的短程性
6.5 高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式
6.6 ﹡极小曲面
第七节常高斯曲率曲面
7.1 常高斯曲率曲面
7.2 伪球面
7.3 罗氏几何
考核要求：
1、理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
2、理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。
3、理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。
4、理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。
5、初步认知张量符号, 理解曲面论的基本定理。
6、理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论——高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
7、了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。
三、教学章节及学时分配
教学时数具体分配：
四、教学方法与教学手段说明：
本课程以教师为主导、学生为主体，采用适当的教学方法，有效地调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能，打破传统的满堂灌的教学模式，增加课程讨论，充分发挥学生学习的主动性和自觉性。引导学生通过讨论、查阅资料等启发思维，加上教师适当的讲解，拓展知识面，达到了教与学相互促进的目的。
每次课前利用5-10分钟讲解上次作业当中难点，纠正错误。课后安排固定的答疑时间切实为学生解惑答疑。
五、考核方式
考核类型：考试
考核形式：闭卷
六、使用说明
对于不同层次的先修课程有具体的要求，微分几何在应用方面有很大的作用。本专业、本学期重点学习教材中的曲线、曲面论。
七、推荐教材和参考书目
1、《微分几何》，梅向明、黄敬之编，第三版，高等教育出版社，2003年12月。
2、《微分几何》，吴大任编，人民教育出版社。
3、《微分几何》，苏步青，胡和生等编，人民教育出版社，1980年。
大纲编写人：
教研室主任（审核）：
教学单位负责人：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 . 2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 . 3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 . 4、球面{}θ?θ?θsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→ 的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→ 的自然参数表示式为 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ） A 、主方向 B 、共轭方向 C 、高斯曲率 D 、渐近方向 7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ） A 、直线 B 、半立方抛物线 C 、立方抛物线 D 、抛物线 8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ） A 、双曲抛物面 B 、立方抛物线 C 、椭圆抛物面 D 、圆锥面 9、曲线()r r t =r r 在点()P t 处的挠率 （ ） A 、可正可负 B 、一定为负 C 、不可为负 D 、 一定为正 10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ） A 、高斯曲率 B 、曲率 C 、挠率 D 、法曲率 11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( ) A 、a b b -+2 B 、a b b --2 C 、a b b -+2, a b b --2 D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ） A 、u u r r E →→?= B 、v u r r F →→?= C 、v v r r F →→?= D 、uv r n M → →?= 13、曲面(,)r r u v =r r 的曲纹坐标网的微分方程是 （ ） A 、0du dv -= B 、0du dv += C 、0dudv = D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r → 关于t 的旋转速度等于 （ ） A 、)(t r →' B 、)(t r →' C 、)(t r → D 、)(t r → 15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ） A 、切平面 B 、从切平面 C 、密切平面 D 、法面 三、计算题（每小题10分，共20分）
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
制作合同 合同编号: 甲方： 地址： 电话： 传真： 乙方：海口大帅文化传媒有限公司 地址：海口市南海大道海口国家保税区海归园212 电话：3 传真：3 ￥ 甲乙双方本着平等自愿的原则协商一致的原则，经协商达成如下条款： 一、工作内容及要求： （一）甲方委托乙方制作三维动画宣传短片（以下简称“动画片”）。完成的动画片总长度暂定为分钟。最终成品象素为：。 （二）制作要求： 1、动画片应清晰表现建筑结构及建筑特色。要求画面充实、清晰，色调统一、协调； 2、动画片具体制作内容以脚本为准，脚本由甲乙双方另行签字确定成为合同附件； 二、甲方的权利与义务： （一）甲方有权对整体制作提出明确的要求和想法，对脚本和样带提出修改意见。 （二）甲方应提供各阶段图纸和相关资料，并有义务为乙方解释图纸和设计内容。 · （三）甲方在乙方提供动画制作脚本后认真审阅并提出更改意见，脚本经甲方确认后对动画制作计划不再进行较大更改。
（四）由于非乙方原因造成工作量的增加，双方协商应乙方要求的追加相应的费用及制作时间。非乙方原因包括：①做为表现内容的原设计方案更改；②甲方未及时提供制作所必需的资料；③甲方未遵照合同约定，按时、按阶段付款；④甲方对乙方提供的脚本或样带未及时提出反馈意见等。（五）甲方有义务信守合同，维护双方利益。 （六）在合同期内，甲方有权根据需要增加合作内容，因此引起成本增加则应给予相应补偿。 三、乙方的权利与义务： （一）由于非乙方原因造成工作量的增加，双方可协商相应延长产品交付的时间而不视为乙方违约。（二）乙方在动画正式制作前编写动画制作脚本，动画制作脚本应经甲方确认。在制作过程中按阶段提供制作进程报告，供甲方了解制作情况。 （三）在完成作品交付之前通知甲方验看作品质量。 （四）乙方作品质量不得低于所提供样片。 （五）乙方在规定时间内按质、按量提交最终产品。 . （六）乙方应严格信守保密原则，图纸及相关资料不得泄露给无关人员和单位，尤其是其它设计单位和人员。 （七）乙方有义务信守合同，维护双方利益。 四、制作期限及付款方式： （一）动画于书面合同签定后，甲方向乙方支付预付款及提供制作所必需的有关资料，乙方以甲方款到及脚本确认时日为项目启动时日，制作周期总计30 个日历天。 （二）甲方将支付乙方人民币元整（￥元整）作为乙方制作费用。（三）甲方应于书面合同双方签定之日支付乙方总制作费的50％作为预付款，即人民币元整（￥元整）； （四）乙方提供粗剪片后3个工作日内，甲方支付总制作费的40 %即人民币元整（￥元整）；
1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√） 3、二阶微分方程 22 A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × ) 10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ ) 11、曲线→ r =→ r (s)为一般螺线的充要条件为(r &&ρ,r &&&ρ,....r ρ)=0 （√） 12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√） 13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ ) 18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×） 21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )
制作合同 合同编号： 甲方： 地址： 电话： 传真： 乙方：海口大帅文化传媒有限公司 地址：海口市南海大道海口国家保税区海归园212 电话： 传真： 甲乙双方本着平等自愿的原则协商一致的原则，经协商达成如下条款： 一、工作内容及要求： （一）___________________________________ 甲方委托乙方制作三维动画宣传短片（以下简称“动画片” ______________________ ）。完成的动画片 总长度暂定为 _______ 分钟。最终成品象素为：_________ 。 （二）制作要求： 1、动画片应清晰表现建筑结构及建筑特色。要求画面充实、清晰，色调统一、协调； 2、动画片具体制作内容以脚本为准，脚本由甲乙双方另行签字确定成为合同附件； 二、甲方的权利与义务： （一）甲方有权对整体制作提出明确的要求和想法，对脚本和样带提出修改意见。 （二）甲方应提供各阶段图纸和相关资料，并有义务为乙方解释图纸和设计内容。 （三）甲方在乙方提供动画制作脚本后认真审阅并提出更改意见，脚本经甲方确认后对动画制作计 划不再进行较大更改。 （四）由于非乙方原因造成工作量的增加，双方协商应乙方要求的追加相应的费用及制作时间。非 乙方原因包括：①做为表现内容的原设计方案更改；②甲方未及时提供制作所必需的资料；③甲方
未遵照合同约定，按时、按阶段付款；④甲方对乙方提供的脚本或样带未及时提出反馈意见等。 （五）甲方有义务信守合同，维护双方利益。 （六）在合同期内，甲方有权根据需要增加合作内容，因此引起成本增加则应给予相应补偿。 三、乙方的权利与义务： （一）由于非乙方原因造成工作量的增加，双方可协商相应延长产品交付的时间而不视为乙方违约。 （二）乙方在动画正式制作前编写动画制作脚本，动画制作脚本应经甲方确认。在制作过程中按阶 段提供制作进程报告，供甲方了解制作情况。 （三）在完成作品交付之前通知甲方验看作品质量。 （四）乙方作品质量不得低于所提供样片。 （五）乙方在规定时间内按质、按量提交最终产品。 （六）乙方应严格信守保密原则，图纸及相关资料不得泄露给无关人员和单位，尤其是其它设计单 位和人员。 （七）乙方有义务信守合同，维护双方利益。 四、制作期限及付款方式： （一）动画于书面合同签定后，甲方向乙方支付预付款及提供制作所必需的有关资料，乙方以甲方 款到及脚本确认时日为项目启动时日，制作周期总计30 个日历天。 （二）甲方将支付乙方人民币______________ 元整（Y ___________ 元整）作为乙方制作费用。 （三）甲方应于书面合同双方签定之日支付乙方总制作费的_5_0_ %作为预付款，即人民币 元整（Y ______________ 元整）； （四）乙方提供粗剪片后丄个工作日内，甲方支付总制作费的40 %即人民币___________________ 元 整（Y ____________ 元整）; （五）乙方提供最终产品，经甲方验收合格后3个工作日内，甲方支付总制作费的尾款10 %即人
《微分几何》课程大纲 一、课程简介 教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学 主要内容：（见教学内容） 二、教学内容 第一章曲线的局部理论 主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广 重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理 第二章曲线的整体几何 主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线 重点与难点：旋转指标定理及其应用 第三章曲面的局部理论（外在形式） 主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理 第四章曲面的局部理论（内在形式） 主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线 重点与难点：共变导数和平行移动 第五章二维黎曼几何 主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形 重点与难点：指数映射和Jacobi场 第六章曲面的整体几何 主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群 重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点 三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了） 可以参照以下表格形式 教学内容教学形式作业 第一周 第二周
四、课程考核及说明 平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。 五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何
微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
三维动画制作合同书 委托单位：湖北海山文化传媒有限公司（简称甲方） 受托单位：武汉武房网络科技有限公司（简称乙方） 甲方委托乙方为甲方的LED项目“海山传媒”提供三维动画的制作，经协商达成一致，签定本合同，双方共同遵守。 一、名称：“海山传媒”项目三维动画演示 二、内容： 项目三维动画制作（ 30 秒） 三、制作工期： 制作时间按合同正式签署后，首付款到账后开始计算，7个工作日之内。 2013年3月1日-2013年12月31日。 四、制作工作计划 阶段1：签定制作合同。乙方向甲方索取制作必须的资料。 阶段2：建模组完成建模，并由甲、乙双方汇审模型的准确性。 阶段3：完成场景的渲染。 阶段4：完成后期合成，添加特效、音乐、音效及剪接。 阶段5：完成文件压缩并提交成品。 五、制作费及费用支付方式： （一）总制作费用（人民币） 总价为小写￥: 元（大写￥:壹佰捌拾万元）。 （二）费用支付方式 第一阶段：双方签订合同后，甲方须立即支付总合同额之30%，人民币小写 ￥：555000 元（大写￥：伍拾伍万伍仟元）。 第二阶段：乙方完成作品，甲方在确认后，须在三日内支付总合同额之70%，人民币小
写￥：元（大写￥壹佰贰拾玖万伍仟元）。 六、双方责任： 1．乙方应按合同约定及双方确定并签字认可的合同附件（三维动画脚本，包括视频剪辑）制作，甲方如有修改意见，必须以书面方式通知乙方后方可进行。 2．建筑外观和周边环境的三维动画制作，要依据甲、乙双方确定的方案进行制作；为使工作顺利开展，制作中甲方如要求变更制作方案，应及时提出书面意见。若更改 范围较大，除按规定制作外，相应增加的制作费用，双方另外签署补充协议。 3．在项目进行过程中，甲方至少安排一次以上到乙方工作场地，视察项目制作的进度，根据实际情况，提出修改意见，甲方如有最终修改意见，必须在最终交稿前2日内提 出，乙方根据意见做出相应的调整, 如若甲方在此之前不提出意见，乙方有权按原 方案进行制作。 4．甲方需按照合同规定的时间及时提供资料给乙方, 如有延误，则合同时间作相应的顺延。乙方需保证甲方提供的所有资料仅用于甲方要求的动画制作，不得外泄或用 作其它用途。 七、乙方提交成品的格式： 1．三维动画DVD光盘一式2份，以数据母盘形式提交甲方。 八、双方违约责任： 1．若甲方未按合同要求的时间支付制作费，甲方应从付制作费的次日起计算，每延误一天，向乙方按应付设计费的1‰偿付违约金。乙方未按合同要求的制作工期完成制 作成果，乙方应从提交日期的次日起计算，每延误一天，向甲方赔偿经济损失为制 作费总额的1‰违约金。 2．若甲方未履行合同，则视同违约，乙方有权要求甲方支付制作总额的20%作为违约金。 3．乙方未履行合同或超出提交日期十天时，则视同违约，并按已收取的制作费的双倍赔付甲方违约金。
高斯 卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月 30日—1855年2月 23日），生于布伦 瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、 物理学家、天文学家、大地测量学家。 幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 生平事迹 少年时期 高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁、工头、商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。 高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。但是根据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。 当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 三维动画制作合同书 甲方：（以下简称：甲方） 乙方：（以下简称：乙方） 甲乙双方根据友好协商、互利互惠的原则，并遵照《中华人民共和国合同法》及有关法律、法规，就甲方委托乙方制作形象宣传片等有关事宜，经协商一致签订本协议，并共同遵守。 一、协议内容 1.甲方全权委托乙方制作分钟桥梁三维演示动画片（制作总费用为人民币：￥元 （大写：）（此价格为含税价）。 2.宣传片母版完成时间为预付款到账 30日内。 3.该项目制作时间为预期时间，制作的桥梁三维演示动画超出的时间按每秒￥元标准收 费。 4.若项目周期内乙方制作的三维动画没有达到项目制作的要求，乙方向甲方提供 2 次免费修改 的权利。超出2次数后若甲方需要继续修则乙方按每次￥元收费，直至甲方审核通过。 5.支付方式：甲方在协议签订一日内支付给乙方人民币：￥元（大写：__ _元整）， 作为制作项目的启动资金。节目完成经甲方审核通过后，交付母盘同时，甲方将剩余项目款：￥元（大写：__ _元整）支付给乙方。 6.在合作过程中，甲方须向乙方提供必要的文字、图片、视频素材资料，并在全过程专人全面配 合乙方进行策划、撰稿、拍摄、联络等工作，乙方在制作过程中也应派专门人员负责总体协调、联络、制作、包装等事宜，以提高效率。 7.甲方有义务向乙方提出节目制作基本创意，如甲方不能提供，创意由乙方负责提出，经过甲方 认定后进入制作过程。宣传片脚本定稿后原则上不应改动，如有改动，产生费用由改动方负责。 二、甲方的权利和义务 1．甲方有权要求乙方按照协议约定完成合作，并有权也有义务对合作进程进行了解、督促。2．甲方向乙方提供所有内容应保证符合国家法律规范，如甲方委托乙方制作的内容被指控有违法或侵权行为时，应由甲方承担相应的责任。 3．甲方须按协议约定期限及时向乙方支付各项制作费用。 三、乙方的权利和义务 1．乙方有权要求甲方按协议约定及时支付各项制作费用。 2．乙方有权要求甲方提供所有制作内容的真实性、合法性。 3．乙方严格按协议约定制作完成甲方的内容。 4．乙方有义务向甲方定期介绍制作进程。 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 动画制作合同(模板) 委托内容合同 委托方：（以下简称“甲方”） 法定代表人： 地址： 受托方：（以下简称“乙方”） 法定代表人： 地址： 依据《中华人民共和国合同法》的有关规定，甲乙双方本着自愿、公平、诚实、信用、有偿的原则，经友好协商，就《开心超人联盟》系列动画片中的委托制作事宜达成以下协议： 一、委托内容 1、乙方根据甲方提供的剧本、人物基本模 型、动态分镜头本等进行Flash美术、Flash委托内容（以下简称“制作材料”）。 2、成片剪辑合成。 二、制作要求 1、乙方按甲方提供的工作日程执行委托内容。 2、完成时间： 三、甲方的权利与义务 1、甲方向乙方提供剧本、人物基本模型、动态分镜头本、每个场景的对话录音、导演的综合评价、每一步制作的评价。 2、甲方向乙方提供统一的、需要让其进行制作的必要创意和技术修复的清单。 3、甲方自收到乙方的委托内容次日起于5个工作日内提出创意性修复。超过期限视为接受乙方提供的委托内容。 4、甲方自收到乙方的委托内容次日起于2个工作日内提出技术性修复。技术性修复包括但不限于颜色及人物外表不当，动画和分镜头方面的技术问题。 5、创意性修复不超过动画时长的5%，超过部分由甲乙双方另行协商。 6、甲方自收到乙方的最终的委托内容的10个工作日内，认为乙方提供的委托内容不符合甲方要求的，有权单方解除合同。 7、甲方对乙方的制作的委托内容的各个方面，包括但不限于质量、画面、动作，均有最终确认验收的权利。 四、乙方的权利和义务 1、乙方根据甲方的委托制作《神奇实验室》的Flash美术、Flash委托内容，并且每日向甲方提供当日的工作报告。 2、乙方应当按时交付委托内容（包括原始 ( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 X x x x x 三维影视动画制作合同书 委托单位（甲方）： 地址： 法定代表人： 制作单位（乙方）：南昌浩瀚数字科技股份有限公司 地址：南昌市东湖区省政府大院北二路68号附二号楼 法定代表人：柯天水 甲乙双方遵循平等自愿的原则，协商一致，就甲方委托乙方制作三维动画事宜达成如下协议： 一、项目名称和工作内容： 1.项目名称：“”三维影视动画片制作 2.工作内容：秒三维影视动画片（分辨率1920*1080）。 3.项目合同三维影片单价元/秒，总价为元（大写：人民币 整）。后期如果甲方要延长或缩减时长，费用按元/秒增加或减少。 4.赠送：在300秒的基础上赠送30秒三维动画。 5.赠送：在本项目基础上剪辑短片两个（30秒，60秒各一个） 二、制作要求： 1.三维动画片应清晰表现建筑结构及建筑特色，要求画面充实、清晰，色 调统一、协调； 2.动画片具体内容以脚本为大纲； 3.乙方提供创意策划，在甲方确认后开始制作。乙方在收到附件所列全部 资料之日起 3 天内向甲方提供脚本设计方案的初稿，经双方协商确定 后，脚本终稿必须在甲乙双方确认该脚本初稿之日起 3天内完成，以确 保进度。如因甲方原因导致乙方未能如期完成上述稿件的，制作时间顺 延。 4.乙方按时向甲方提供阶段确认，甲方项目负责人在阶段确认（包括模型 确认、草路径确认、半成品确认及成品确认等），甲方在收到乙方制作 成果或确认单3日内，怠于确认或未提出书面修改意见的，视为验收合 格。 三、甲方的权利与义务： 1、甲方向乙方提供策划的总体构思，设计文件的总平面图，建筑单体的设计方案（包括相应的平、立、剖面图）等制作资料（具体资料内容详见附件），甲方于合同签订后 3天内提供全部资料，以确保动画制作时间和制作质量，如不能按时提交该制作资料，则制作时间顺延； 2. 甲方有权对整体制作提出明确的要求和想法，对脚本和样带提出修改意见并确认 3、甲方有义务信守合同，维护双方利益； 4、按本协议的约定时间支付制作费用； 5、乙方交给甲方成片后，甲方如果需要乙方提供成片的剪辑用来广告的播放，乙方要配合，及时的给甲方剪辑，剪辑的时长根据甲方的要求定。但是剪辑的内容不得超出三维影片内容。否则要加收一定的费用。 四、乙方的权利和义务： 1.乙方与甲方取得工作联系，以及取得工作所必须的制作文件； 2.乙方在动画正式制作前编写动画制作脚本，并经甲乙双方确定； 3.乙方在规定时间内按质、按量提交工作成果，并向甲方提供阶段（包括 成品）确认。 4.乙方应严格信守保密原则，图纸及相关资料不得泄漏给无关人员和单位； 5.乙方有义务信守合同，维护双方利益。 五、制作流程 提供资料策划方案分镜脚本建模预演样片成片 六、制作期限及付款方式： 1．制作期限和修改期限：合同签订、且脚本终稿经甲乙双方共同确认后20个工作日内，乙方应当完成本合同项下之动画制作工作（不包含修改工作），向甲方交付符合本合同约定的三维动画影视作品。 2、双方签字确认本协议书后以及脚本后，甲方须将整个项目费用的百分之三维动画制作合同范本格式
12-13(二)微分几何期末复习题
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