数学建模竞赛
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2.
3.
指导教师或指导教师组负责人：数模组
日期： 2009 年 8 月 11 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：
数学建模竞赛
编号专用页评阅编号：
基于导弹发射问题的数学模型
摘要
本文主要讨论了导弹发射问题，同时通过建立合理的数学模型确定导弹能够成功击毁敌机的条件。运用多种模型及计算机软件模拟击毁敌机的过程。
针对问题一：我们用微分方程的知识建立了二维平面上的导弹追逐模型。利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出微分方程和初值条件，并经过严格的数学公式推导和合理的假设，求解出导弹追踪敌机的轨迹方程。通过模型的求解，我们得出这样的结论：发射该种导弹击毁敌机的条件是：M y <，即
M v v v Nv <-2
1
2
221.
针对问题二：由于导弹是来自地面所以用微分方程的知识建立了三维空间上的导弹追逐模型，并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题，运用问题1的解决方法求解得出II 型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程
针对问题三：我们建立了比例制导模型和RBF-BP 神经网络模型两个模型，其中比例制导模型运用matlab 软件编程模拟导弹击毁敌机的整个过程，运行程序后输入N ，M ，高度H ，敌机速度v 等各个参数，程序会输出导弹能击毁敌机的最小速度，并且将这个过程表现在三维图像中。RBF-BP 神经网络模型运用matlab 软件建立RBF 神经网络，通过多个曲线上的点，以及输入导弹速度V 与N 逼近出整条曲线,从而确定最短的M 。然后利用多个（M,N ）与V 的组合数据建立BP 神经网络，神经网络通过自组学习得到（M,N ）与V 的关系。接着利用几个检验数据进行精确度分析，得到分别0.0021，0.0013，0.0006，-0.0011，-0.0019，-0.0028的单位速度误差。最后只要输入相应的M,N 就能得到最小的击毁敌机的速度。
最后我们对上述模型分别进行分析评价，提出了一些可能的改进方向。
关键字：matlab 导弹发射 微分方程 模拟 神经网络 比例制导
一、问题重述
1、某边防导弹基地的雷达发现位于其正东 N 公里处有一家来犯敌机正欲逃往正北方向 M 公里处的安全区。该基地的I型空对空追踪导弹和II型地对空追踪导弹均可针对目标随时自动调节追踪方向，截击敌机。但敌机一旦进入安全区后，由于电子干扰作用，I型、II型导弹均将失去追踪目标，无法将敌机击毁。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜。而在此时，基地即下令巡航飞机发射I型追踪导弹击毁敌机。在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。
2、如此时在基地即发射II型地对空追踪导弹去击毁敌机，假定敌机始终距地面高度为h公里向正北方向飞行，其他假定同情况1中所述，在试确定导弹追踪敌机的轨迹，并在适当的假定下，及发射该种导弹击毁敌机的条件；
3、若导弹的速度可在发射前根据需要设定，导弹基地的位置和敌机的速度看做设定的常数，对于不同的N、M取值，编写计算机程序，利用计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。
二、模型的假设
假设1：导弹与敌机的速率恒定。
假设2：导弹飞行的轨迹切线方向始终指向敌机。
假设3：导弹飞行的轨迹和敌机飞行的高度始终在同一平面内。
假设4：相对几百千米的路程导弹与敌机的长度可以忽略，均可看成物理质点。
假设5：导弹在飞行过程中速度只存在方向上的变化，大小并没发生变化。
假设6：导弹中安装有计算装置，导弹可以向目标发射电磁波，再通过计算装置实时计算导弹的位置。
假设7：敌机始终在离地h处飞行，不存在竖直方向上的波动。
三、符号说明
四、问题的分析与模型的建立
问题一：
模型A(微分方程模型)]1[
由于我方导弹发射点与敌机处于同一高度,故敌机的运行轨迹和导弹的运行轨迹是处于同一高度且在平行于地面的平面上,故可建立起平面直角坐标系.又由于导弹飞行方向始终指向敌机,即导弹飞行方向随时间的改变而改变,故可建立起微分方程并求解.（求解示意图如图-1）
图-1
分别记敌机与导弹最开始所在处为A 、B ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，敌机逃窜方向所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系。则A 点坐标为（0，0），B 点坐标为（-N ，0），安全区与y 轴交点C （0，M ）。其中设敌机以匀速1v 向正北方向（即y 轴方向运动），导弹飞行的速度为2v 且运动过程中速度大小不变。
初始时刻：敌机位于原点（0，0），导弹位于B(-N,0)点。 即： 0)(,0)(=-'=-N y N y
在时刻t ：导弹位于点P(x,y)，此时敌机在点C(0, t v 1)，CP 与曲线（轨迹）相交于点P ，于是有以下等式：
x
y t v dx dy
--==1
tan θ………………………….(1) 对上式化简： t v y dx
dy
x
1-=-………………………………..(2) 两端对x 求导： dx dt
v dx
y d x 122-= (3)
由
2v dt
ds
=，2)(1dx dy dx ds +=，s 为x 的增函数，得：
22)(11dx
dy
v dx ds ds dt dx dt +==…………………..(4) 将（4）式代入（3）式得：
22122)(1dx dy
v v dx
y d x +-= (5)
问题二：
模型B （改进的微分方程模型）]2[
表面上看,这是一个三维空间上的导弹追逐问题,但由于导弹的方向始终指向敌机，
事实上我们可以把他简化为一个二维平面上的导弹追逐问题,即在由导弹和敌机最开始所在点及导弹追上敌机时所在点所组成的平面上。点线面之间的关系如下图-2所示：
图-2
如图-2，B 点（-N ，0）是地面导弹发射基地，D 点(0,0,h)是敌机开始飞行地，A 点(0,0,0)是敌机垂直映射到地面的投影，h 是敌机飞行的高度，C 点(0,M,h)是敌机飞
行线与安全区的交点。然后我们将该问题转化为在平面BDC 上的问题，运用模型A 的方法就行求解。
此时考虑在平面BDC 上，以D 点为原点，BD 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立与问题一种一样的模型。
初始时刻：敌机位于原点（0，0），导弹位于点)0,(22N h +-
即 0)(,0)(2222=+-'=+-N h y N h y 建立的微分方程为：
22122)(1dx dy
v v dx
y d x +-= (5)
余下情况和模型A 相同。 问题三：
模型C （比例制导模型）]3[
运用制导理论中的比例制导法，在空间直角坐标系中，令导弹每一时刻都计算与目
标的坐标差错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，及
距离r ，这样任意时刻的仰角为：r z ?=?sin 导弹所在位置坐标与x 轴夹角x y
??=θtan 。
令导弹下一时刻的坐标增量θ?cos cos KQ dx =错误！未找到引用源。，θ?sin cos KQ dy =错误！未找到引用源。，?sin KO dz =，KQ 是导弹在xy 平面上的分速度，KO 是导弹在z 方向的分速度]2[，在制导过程中，导弹的速度矢量的转动角速度与导弹和目标连线转动角速度成比例]7[。
敌机的空间坐标随时间变化规律为(0,错误！未找到引用源。,H)。编制程序模拟导
弹发射的过程，并计算出击中的最小速度。程序见附表-1
模型D （RBF-BP 神经网络模型）]4[
由模型A 知:问题1的轨迹是一条曲线，表达式是常微分方程。为了简化需要，在RBF-BP 模型中，采用欧拉折线法，用)())((i i i x y x x x y y +-'=代替)(x y y =，
1,,1,0),,(1-=∈+n i x x x i i ，如下图:
图-3
建立直角坐标系，使敌机初始位置为(0,0),导弹初始位置为(-N,0),则安全区为(0,M)。
假设导弹每经过时间TT 调整一次方向使指向敌机，且速度大小不变，为V 。则导弹初始速度方向为正x 坐标轴，大小为V 。用i c 表示导弹在时刻iTT 处的横坐标，i d 表示导弹在时刻iTT 处的纵坐标，i m 表示敌机在时刻iTT 处的纵坐标。用f V 表示敌机的速度，令f V 为0.005单位速度。用xi V 表示导弹在时刻iTT 处速度在横坐标方向的分量，用yi V 表示导弹在时刻iTT 处速度在纵坐标方向的分量。 所以有:
TT V c c xi i i ?+=+1； TT V d d yi i i ?+=+1； TT V m m f i i ?+=+1；
2
2)(i
i i i
xi c d m c V V +-?-
=； 2
2)()
(i
i i i i yi c d m d m V V +--?=
； 00=m ；
N c -=0； 00=d ； V V x =0； 00=y V
如此通过迭代，可以解出在不同时刻上，导弹的位置。然后用MATLAB 进行RBF 网络学习算法，逼近曲线，通过代入导弹横坐标为0的条件，即可求出撞击位置。求解程序附表-2.
重复以上方法，通过不同N 与V 可以求出不同的M ，最后通过BP 神经网络对(M,N)与V 的关系进行网络训练。最后只要输入任意(M,N)组合就能得到相应的可确保击毁敌机的V 。求解程序附表-3.
五、模型的求解与结果的分析
问题一：
模型A(微分方程模型) ]5[ 对于下式：
22122)(1dx dy
v v dx
y d x +-= (5)
初始条件： 0)(,0)(=-'=-N y N y ……………………………………..(6) （5）式是不显含未知函数y 的二阶方程.
于是，令
dx dy
p =
，则dx dp dx
y d =22，代入（5），（6）式，得：
?????=-+=0
)(12
N p p k dx dp x (7)
其中2
1
v v k -
=. 分离变量得： ???
?
???????
??--??
?
??-=k
k x N N x p 21………………………………(8) 即： ?????=-????
??????? ??--??? ??-=0)(21N y x N N x dx dy k k ………………………………(9) 直接积分得：
2
11111112
k Nk
N x k N x k N
y k
k --???????
???? ??---??? ??-+-
=-+……………(10) 当x=0时，导弹击中目标，此时
2
1
222121v v v Nv k Nk
y -=--
=…………………………………………(11) 这是敌机飞行的距离，由此可得所用的时间：
21
2221v v Nv v y
t -==
………………………………………………（12） 由上述（11）式及求解过程可知，发射该种导弹击毁敌机的条件是：
M y <，即M v v v Nv <-2
1
2
221.
问题二：
模型B （改进的微分方程模型）]6[
建立的微分方程如下：
22122)(1dx dy
v v dx
y d x +-= (5)
0)(,0)(2222=+-'=+-N h y N h y (13)
如同模型A 的求解过程进行求解，可得：
2
221221222
2
111112k k N h N h x k N h x k N h y k
k
-+-???
????
????
?
??+---
???
?
??+-++-
=-+ 当x=0时，导弹击中目标，此时
2
1
2
221222
221v v v v N h k
k
N h y -+=-+-= (14)
这是敌机飞行的距离，由此可得所用的时间：
2
1
2
22221
v v v N h v y t -+== (15)
由上述（14）式及求解过程可知，发射该种导弹击毁敌机的条件是：
M y <，即M v v v v N h <-+2
1
2
22122
问题三：
模型C （比例制导模型）]7[
该程序针对不同的N ，M ，敌机的高度h ，敌机的速度v 等的变化，有不同的输出结果。程序运行时可以直接输入这些参量的具体数据。敌机进入安全区之前被导弹击中，程序最终会输出导弹的最慢的发射速度，并会将导弹追击敌机的过程画出。
如输入N=50000，M=200000，h=18000，v=400，则输出：
轨迹图为：
图-4
模型D（RBF-BP神经网络模型）
(I) RBF算法：
1. 标准的RBF网络包括三层:输入层,非线性隐含层和线性输出层,其结构如图-5 所示:
图-5 RBF 网络结构
图中,n T n R x x x X ∈=),,,(21 为网络输入矢量,1R y ∈为网络输出矢量,W 为隐含层和输出层之间的l ×1 阶权值矩阵,T l ),,,(21φφ? =Φ为隐含层输出, Φ的各个分量均定义为具有径向对称的基函数,通常取如下形式的高斯函数:
,,2,1,2
2
2l i e
i i c X i ==--
δφ
其中,i c 为第i 个节点的基函数中心,i δ为第i 个节点的输入量的方差。 RBF 网络的输出表达式为:
∑==l
j j j y 1φω，
设有K 个输入样本n T n R x x x X ∈=),,,(21 及相应的K 个输出样本,,,2,1,K k d k =在输入k X 时RBF 网络的输出记为k y 。那么确定RBF 网络的结构和参数的目的是使得误差函数:
∑=-=K
k k k y d E 1
2)(21
达到最小值。
2. 基函数中心，输入量方差与隐含层和输出层之间的权值得确定: (I)基于K-均值聚类方法求取基函数中心 （1）网络初始化。
随机选取l 个训练样本作为聚类中心),,2,1(l i c i =。 （2）将输入的训练样本集合按最近邻规则分组。
按照),,2,1(n p x p =与中心i c 之间的欧氏距离将p x 分配到输入样本的各个聚类集
合),,2,1(l i i =?中。 （3）重新调整聚类中心。
计算各个聚类集合i ?中训练样本的平均值，即新的聚类中心i c ，如果新的聚类中心不再发生变化，则所得到的i c 即为RBF 神经网络最终的基函数中心，否则返回（2），进入下一轮的中心求解。
(II)求解方差
RBF 神经网络的基函数为高斯函数时，方差可由下式求解： l i l
c i ,,2,1,2m a x
==
σ 式中max c 为中所选取中心之间的最大距离。
(III)计算隐含层与输出层之间的权值
隐含层至输出层之间神经元的连接权值可以用最小二乘法直接计算得到，计算公式如下:
,,2,1,2max
2
l i e
w c c X l i
==-
3.]8[ RBF 网络学习算法在MATLAB 中实现:
(I)函数()newrb 可以建立一个径向基神经网络，格式为: ),,,,,(DF MN SPREAD GOAL T P newrb net =,
P 为输入向量，T 为目标向量，GOAL 为圴方误差，默认为0，SPREAD 为径向基函数的分布密度，默认为1，MN 为神经元的最大数目，DF 为两次显示之间所添加的神经元数目。
(II)函数()sim 可以求出径向基神经网络的输出值，格式为: ),(x n e t s i m t =,
net 为径向基神经网络，t 为输出值(向量)，x 为输入值(向量)。 (II) BP 算法：
1. BP 算法图解：
图-6 2. 改进BP 算法原理]8[
改进的BP 算法，应用带动量的批处理梯度下降的思想，即每一个输入样本对网络并不立即产生作用，而是等到全部输入样本到齐，将全部误差求和累加，再集中修改权值一次，即根据总误差∑=k e E E 修正权值，以提高收敛速度，在调整权值时加入动量项，降低网络对于误差曲面局部细节的敏感性，有效抑制网络限于局部极小，此时，
()()λλη
,1t W W E t W ij ij
e
ij ?+??=+?为动量系数，加入的动量项相当于阻尼项，以减少学习过程的振荡趋势，从而改善收敛性。下面为其算法： （1） 初始化权值和阈值； （2） 给定输入x 和目标输出y ； （3） 计算实际输出y ：
???
? ??=∑=n j j ij j
x W f y 0 n j ,...,2,1= （4） 修正权值，比传统的算法增加了动量项，加权调节公式为：
()()()()t W t W t W t w ij ij ij ij ?++?+=+λη11 ()()()t W y t W W E T W ij i i ij ij
e
IJ ?+=?+??=+?ληδλη
1 ()2
2
1
∑∑∑-==k i ik
ik k k e y y E E
若j 为输出节点，则
()∑-=k
ij k i j W y y δδ
若j 为隐节点，则
()∑-=k
ij k i j j W y y δδ1
（5） 若达到误差精度或循环次数要求，则输出结果，否则返回到（2）。
用MATLAB 神经网络工具箱进行设计与分析求解: (1)网络构建和初始化]9[
在MATLAB 中改进的BP 算法进行测试、仿真，第一步是建立网络对象。函数()newff 建立一个可训练的前馈网络，这需要4个输入参数；第1个参数是一个2?R 的矩阵以定义R 个输入向量的最小值和最大值；第2个参数是一个表示每层神经元个数的数组；第3个参数是包含每层用到的转移函数名称的细胞数组；最后1个参数是用到的训练函数的名称。
命令为：);''},'','tan {'],1,3[],5,0;2,1([traingd purelin sig newff net -=
这个命令建立了网络对象并且初始化了网络权值和偏置，它的输入是两个原属的向量，第1层有3个神经元，第2层有1个神经元。第1层的转移韩式是sigmoid -tan ，输出层的转移函数是linear 。输入向量的第1个元素的范围是-1到2，输入向量的第2个元素的范围是0到5，训练函数是traingd 。接下来就可以进行训练了。 （2） 网络训练
带动量的批处理梯度下降法用训练函数traingd 触发。如果训练次数超过epochs ，则性能函数低于goal ，梯度值低于grad min ，或者训练时间超过time 训练就会结束。
六、模型的评价与改进
问题一：
模型A （微分方程模型）：
优点：该模型能够通过微分方程模型的建立，在现有的条件下，较为准确的确定发射该种导弹击毁敌机的条件。
缺点：该模型忽略了敌机和导弹飞行时速度的变化。
问题二：
模型B（改进的微分方程模型）：
优点：该模型在原来模型A的基础上，通过三维向二维的转变，简化了问题的求解过程，大大减少了运算量。
缺点：该模型在敌机与导弹的速度的考虑上不够严密，存在较大的偶然性。
问题三：
模型C（比例制导模型）：
优点：将导弹追击敌机的整个过程用三维图像画出。本模型使用方便，要判断导弹需要多大速度才能击落敌机，只需运行程序，输入N和M，速度v，高度H四个值即可，程序会输出能击中敌机的最小速度和三维模拟图。考虑到了导弹和敌机接近时不看做质点。
缺点：本模型没有考虑导弹的速度大小和敌机速度会改变，与真是情况有一定偏差。
模型D（RBF-BP神经网络模型）：
优点：能够自主地不断学习，不断逼近真实的关系曲线。是从模糊到精确的一个模型。
这能够在一定程度上保证随机的意外的可能，更符合实际。
缺点：因为RBF模型在N数值较大时运算时间较长，以至于收集到的关于（M,N）与V 的关系的数据范围比较狭窄，导致BP模型的精确范围也比较狭窄。
模型的该进：导弹具有推进器，可以考虑速度大小按某个函数变化，导弹速度大小在一定时间内匀速增加。导弹在追击过程中，始终对准敌机，改进方向可以是
使导弹一直对准敌机前方一点点的地方，这样在最后的时候可以增加打中
的概率。
七、参考文献
[1] 吴建成，高等数学，北京：高等教育出版社，2005.6
[2] 吴义明，齐欢，地空导弹追踪法的改进，华中科技大学系统工程研
究所，湖北武汉 430074