伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译
引言
大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。
然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。的确，在学
校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专
门学院的教程差不多也有三百多年的历史。笛卡尔（Descartes）之创造解析学
和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。可是，事实是这样的：
数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实
地的向前迈进了。
数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念
还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？
是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得
到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会
吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣，
而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。哲学家公认：近代数
学与基本的宇宙说是有直接关系的。心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏
见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的
伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。的确，谁都要珍
重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。
这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门
数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。
这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。伽罗华殁于一百年以前，
死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门
数学在今日已成为数学中的重要部分了。自古以来的二十五位大数学家中，他就是
其中之一位。
他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的
L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而
仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人
是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了，
他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他
把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为
是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。(在决斗的
前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。
敬祝他的灵魂安乐！
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I 群的重要
在讲群论之先，先把群论之所以重要的几个原因之一说一下。
我们都知道数学中一椿要紧的事情是解方程式。代数方程式
可以依他的次数来分类。一次方程式
ax+b=0
只要是学过初等代数的小孩子都会解。他的解答是
x=-b/a
二次方程式
2
ax + bx +c =0
的解法在初等代数中也有，他的解答是
x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a
在纪元前数世纪，巴比伦人(Babylonians)已能解这种形式的方
程式了。
三次方程式
3 2
ax + bx +cx +d =0
和四次方程式
4 3 2
ax + bx +cx +dx +e =0
的解法已比解一次，二次的方程式难得多了。直到十六世纪才有了解法。这法子在每本方程式论的书中都可以找到。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。向来数学家虽都不会解一般高于四次的方程式，可是都相信一定是可能的。直到十九世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。
此处读者应该要懂得透澈的是刚才所说的“不可能”三个字。
一个问题之能否解决是要看我们对于解答所加的限制条件而定的，比如
x+5=3
是能解的，假使我们允许x可以是负数的话，设若我们限定x不能是负数，那末这方程式就不能解了。
同样，假使x表示银圆数，方程式
2x+3=10
是可解的。如果x表示人数，这方程式就不能解了，因为x=3.5没有意义。
要三等分任意一角，若只准用直尺与圆规，这是不可能的，但是若许用别的仪器，就可能了。
一个代数式之为可约的(reducible,就是说可以分解因数)或不可约
的(irreducible)，要看我们在什么数域(Field)中分解因数而定。比如：
2
x + 1
在实数域(Field of Real Numbers)中是不可约的，可是在复数域(Field of Complex Numbers)中却是可约的，因为
2
x + 1 =(x+i)(x-i)
----
此处的i=√-1.简单的说：我们若单说一个代数式是可约的或是不
可约的，而不说出在什么数域内，这话是全然没有意义的。
数学家知道特别说明范围(Environmont)的重要。我们说：一个命
辞在什么范围中是对的，在什么范围中是错的，甚而至于在什么
范围中是绝对没有意义的。
那末，刚才所说的一般高于四次的方程式不能解究竟是什么意思呢？这个问题的答案是：一般高于四次的方程式不能用根式解的
所谓“不能用根式解”是说方程式的根不能用有限次的有理运算
（加，减，乘，除）和开方表作方程式的系数之函数。
为要说明这一点，拿一次方程式
ax+b=0
来看，这方程式的根是
x=-b/a;
所以x的值可以用a除b而得，这是一个有理运算!二次方程式
2
ax + bx +c =0
的两根是
x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a
这也可以由有限次的有理运算和开方而得。
同样，一般的三次，四次方程式的根也可用有限次的有理运算
和开方表作系数的函数，换句话说：他们可以用根式解(Solvable
by Radicals)
可是，若论到高于四次的方程式时，这就不再成立了。当然，
这是指一般高于四次的方程式而言，有些特殊的高次方程式
还是可以用根式解的。
以后我们将看到怎样用群论的原理来证明一般高于四次的方
程式还是可以用根式解的。
我们还可以看到：用群论的道理来证明以直尺，圆规三等分
任意角之不可能是何等简单而绮丽，正如应用群论于其他名
题一样。
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III 群的重要性质
有时一个群的一部分元素自己形成一体，这种群称为约群(Subgroup).
例如，前章的(a)例中，一切整数对于加法而言，固然成为一群，若单
拿一切偶数来看，对于加法而言，他们也成一群；因为群的四个性质
都能适合：
1。两个偶数的和还是偶数。
2。零是主元素。
3。一个正偶数的逆元素是一个负偶数，而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
4。结合律当然成立。
所以单是偶数全体对于加法而言作成一个群，这群是那个由一切整数
对于加法而言作成的群的约群。
仿此，一个置换群（即是以置换作元素的群）也可以有约群。例如，
拿
1,(12),(123),(132),(13),(23)
六个置换来看，此处1表示那个不动置换(Identity Substitution,即是将
x1代作x1,x2代作x2,x3代作x3的置换)。这六个置换形成一群，因为群
的四条性质都成立：
1。这六个中每两个的积还是这六个中的一个置换，
比如
(12)(123)=(13)
(123)(132)=1,
(13)(23)=(123)
(123)(123)=(132)
等等。
2。主元素是1。
3。每个元素的逆元素都在这六个元素之中，比如(123)的逆元素是(132) (12)的逆元素是(12)等等。
4。结合律成立
现在从这六个置换中取出1和(12)两个来，这两个也做成一个群，这是原来
那个群的约群。
我们很容易证明：约群的元数(Order，即是元素的个数)是原来的群的元数
的约数。
一种最重要的约群是不变约群(Invarient Subgroup)。为要解释这个名词，先
得说明变形(Transform)的意义。
设有一个元素(12),我们用另一个元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132) 去左乘他，如此所得的结果是
(132)(12)(123)=(23)
这个结果(23)就称为(12)应用(123)的变形。
同样，群中一个元素若以另一个元素右乘，再用这另一个元素的逆元素左乘，所得结果称为元素应用另一个元素的变形。
一个约群中任何元素应用原来的群中任何元素的变形，若仍是约群中的元素，这约群就称为原来那个群的不变约群。
不变约群是很重要的，尤其重要的是一种极大不变真约群(Maximal Invarient Proper Subgroup)。设H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真约群。。。。。。若将G的元数用H的元数去除，H的元数用K的元数去除，。。。
如此所得诸数，称为群G的组合因数(Composition Factors).假使这些组合因数
都是质数，我们就说G是一个可解群(Solvable Group).这里“可解”两个字的意
义，容后再说。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素(不是主元素)的乘幂，比如在群
1,(123),(132)
中，
2
(123) =(123)(123)=(132)
3
(123) =(123)(123)(123)=1
这群中的元素都是(123)的乘幂，像这种群，称为循环群(Cyclic Group).
在一个置换群中，如果每个文字都有一个而且只有一个置换将文字换成其他某
一个文字(这个文字也可以和原来那个文字相同)，那末，这个群就称为正置换
群(Regular Substitution Group)。例如方才所说的群
1,(123),(132)
在1中x1变成x1,在(123)中x1变成x2,在(132)中x1变成，。。。。。。所以这是
一个循环正置换群(Regular Cyclic Group), 这种群在方程式的应用上很重要，
在以后的各章中可以见到。
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II 群是什么
数学中的系统(Systom)可以是一部教学的机器(A Mathematical
Machine),他的主要成分是
(1)元素(Element);
(2)一种运算(Operation);
例如：
(a) (1) 元素是一切整数(正或负或0)
(2)运算是加法。
((1)元素是一切有理数(0除外)
(2)运算是乘法。
? (1)元素是某几个文字(如x1,x2,x3)的置换(Substitution)
(2)运算是将一个转换跟着另一个置换(这个待以后再解释)
(d) (1) 元素是下图的旋转，转的度数是60度或是60度的倍数；
(该图样子是将一个圆用三条直径分成相同六块)
(2)运算是如?中一般，将一个旋转跟着另一个旋转。
从这么一个简单的出发点着手，看去似乎弄不出什么东西来，
然而这样讨论下去所得的结果会令人诧异的！
这种系统若能满足下列四条性质，就称为群(Group):
1.假使两个元素用那规定的运算结合时，所得的结果还是系统
中的一个元素。
例如：
在(a)中，一个整数加到另一个整数上去的结果还是一个整数。
在(b)中，两个有理数相乘的结果还是一个有理数。
在?中，设有一个转换将x1代作x2,x2代作x3,x3代作x1,即是将
x1 x2 x3
换作
x2 x3 x1
若在这置换之后跟着另一个置换，假设这另一个置换是将x2代作
x3,x3代作x1,x1代作x2的，那末，这两个置换结合的结果是一个
将
x1 x2 x3
换作
x3 x1 x2
的置换。
在(d)中，设在一个60度的旋转（逆时针方向）之后跟着一个120度的旋转(逆时针方向)，其结果是一个180度的旋转(逆时针方向).
2 系统中必须含有主元素(Identity Element)，所谓主元素是
这样的性质的元素：他与系统中任意另一个元素结合的结果仍是那
另一个元素。
例如，
在(a)中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。在(b)中，主元素是1，因为任意一个有理数用1乘了之后的积还是那个有理数。
在?中，主元素是那个将x1代作x1，x2代作x2，x3代作x3的置换，因为任意一个置换和这个置换结合的结果还是那个转换。
在(d)中，主元素是那个360度的旋转，因为系统中任意一个旋转和
这个旋转结合的结果还是那个旋转。
3。每个元素必须有一个逆元素(Inverse Element).所谓一个元素
的逆元素是这样规定的：一个元素和他的逆元素用系统中的运算结合的结果是主元素。
例如，
在(a)中，3的逆元素是—3，因为3加上—3的和是0。
在(b)中，a/b的逆元素是b/a,因为a/b和b/a相乘的积是1。
在?中，将x代作1x2,x2代作x3,x3代作x1的置换的逆元素是那个将x2
代作x1,x3代作x2，x1代作x3的置换，因为x2这两个置换结合的结果是
那个将x2代作x2,x3代作x3,x1代作x1的置换。
在(d)中，那个60度的旋转（逆时针方向）的逆元素是一个—60度的旋转（一个顺时针方向的60度的旋转）。因为这两个旋转结合的结果和那个
360度的旋转一样。
4.结合律(Associative Law)必须成立。
因为一个群必须具备上述的四条性质，所以在(a)中若把0去掉，那系
就不成为群了，因为那样一来，系统里没有主元素。
一切整数用乘法作系统中的运算不成一群。比如拿3来说，他的逆元素1/3
不在系统中。
所以一个系统之是否成群，不但要看他的元素，还要看他的运算才能决定。读者所当注意的是：
(1)元素不必一定是数，可以是一种运动［如在(d)中］，也可以是一种动作
［如在?中］，或者其他的东西，我们不限定数学的对象是数，这样我们
把数学的领域开拓出去了。
(2)运算不必一定要是加法或乘法，或寻常算术，代数中所称为的运算，尽
可以是旁的方法［如在?,(d)两例中］
但在习惯上，我们不管那是什么样的运算，都愿意叫他做乘法；例如在? 中，一个置换群跟着另一个置换也可以说是一个置换乘另一个置换。当然
这个乘法切不可与普通算术或代数中乘法相混，这个广义的乘法的性质可
以和普通乘法的性质大异。
例如，在普通的乘法中，
2*3=3*2
我们说：普通的乘法是适合交换律(Commutative Law)的，这就是说，普通
乘法中因子的次序可以交换，其结果相同。可是，若说?中的“乘法”，
交换律就不成立了，比如我们拿一个将x1代作x3，x3代作x1，x2代作x2的置换和一个将x1代作x2，x2代作x3，x3代作x1的置换来看，若先施行第一个置换而后第二个置换于式子
x1x2+x3
那末，这式子先变成
x3x2+x1
再变成
x1x3+x2
若将施行置换的次序交换一下，那末，原来的式子先变成
x2x3+x1
再变成
x2x1+x3
这个结果显见得和以前那个不一样了。
所以这种“乘法”是不适合交换律的，因此，相乘时元素的次序
很重要；两个元素用运算结合时当照一定的次序结合。
在下一章中，我们讲一些关于置换群(Substitution Group)的有趣
的性质，因为伽罗华用来解方程式的就是这种群。
但在事前先要讲一个简单的记法。
比如一个将x1代作x2,x2代作x3,x3代作x1的置换，这个置换我们可以用简单记号来表示他：这些x可以省去，只要用1,2,3来代表
x1,x2,x3好了；于是这个置换可以记作
(1 2 3)
这记号的意思是说：
1变作2，
2变作3，
3变作1。
换句话说，就是
x1变作x2，
x2变作x3，
x3变作x1。
同样，一个将x2代作x3,x3代作x1,x1代作x2的置换可以记作
(2 3 1)
总之，在这种记号中，每个数变作他后一个数，而最后的一
数则变成最先的一数，如此完成一个循环，同样
(1 3 2)
表示一个将x1代作x3,x3代作x2,x2代作x1的置换，又如
(13)(2)或(13)
表示一个将x1代作x3,x3代作x1,x2代作x2的置换，所以前面
讲乘法交换律时所说两个置换相乘的例子，若照第一种次序是(13)(123)=(23)
若照第二种次序是
(123)(13)=(12)
由这两个式子我们知道这种乘法是不适合交换律的，将一个元
素右乘或左乘另一个元素，他的结果是完全不同的！
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VI.用直尺与圆规的作图
伽罗华发明了判别方程式能否用根式解的鉴定以后，他还创了如何求一个能用根式解的方程式的根的方法，这方法是利用一组辅肋方程式(Auxiliary Equation), 这些辅肋方程式的次数恰是原来那个方程式的群的组合因数。
现在将这方法的大意说在下面：先把第一个辅肋方程式的根加入数域
F中，读者当能回忆我们以前说过：将数域扩大了可以增加P(y) 分解
因数的可能性，即是能将P(y)的不可约部分减少，因此能将方程式的
群变小，当然，要数域扩大了之后的确能继续分解P(y)的因数，这效果
才会发生。
现在假设数域经第一个辅肋方程式的根之加入而扩大了，而且使分解因
数的工作因之可以再继续下去，结果使方程式在这扩大了的数域F1中的
群是H。
再将第二个辅肋方程式的根加入F1中，使方程式的群变为K，如此做去，
直到后来，方程式在那个最后扩大成的数域Fm中的群是1。函数x1显然
不能被群1中的置换变更他的值，所以x1必在数域Fm中。仿此，其余的
根也都在Fm中。
这样先决定了方程式的群和此群的组合因数，才知道辅肋方程式的次数。
由此我们可以知道什么样的数应该加入原来的数域里去，而把方程式的
群变为1。于是可以决定方程式的根存在于怎样一个数域中。
现在取方程式
3
x - 3x +1 = 0
作例来帮助我们了解上面的话，这方程式在有理数域中的群是由1,(123), (132)三个置换作成的，此群的唯一极大不变真约群是1，因之组合因数是3 所以有一个辅肋方程式，他的次数是3，而这个辅肋方程式的根含有一个
立方根，所以这个立方根必须加入数域中，才能使方程式的群变为1，而这
原来的方程式的根可以从有理数域中的数及这个立方根单用有理数运算得出。我们再看以上的讨论和那个以直尺，圆规三等分任意角的可能性有什么关系。
首先我们要问：单用直尺与圆规能作些什么？当然，我们只能作直线和圆。这两样的代数表示就是一次和二次方程式。所以要求他们的交点，我们至多只要解一个二次方程式就可以把交点的坐标用有理运算和平方根表作系数的函数。所以凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以有限次的加，减，乘，除和平方根表出，而且我们从初等几何学中知道这事的反面也对：假使给了两线段a,b和单位长度，我们可以用直尺与圆规作出他们的和a+b,差a-b,积ab, 商a/b,以及这些量的平方根如(ab)^1/2,b^1/2之类，这种运算当然可以重复应
用于一切已经作出的线段。
我们讨论一个作圆单用直尺，圆规是否可能时，必须作出一个表示这作圆的代数方程式：假使这方程式在数域中可以分解成单是一次和二次的代数式，那么，一切实数根当然都能用直尺与圆规作出。但是，即使方程式不能分解成上述的样子，只要方程式的实数根能用有限次的有理运算与平方根作已知的几何量的函数，那末，这作图单用直尺，圆规还是可能的，否则这作图
就不可能了。
现在我们要找一个表示三等分角的方程式，我们只要证明了一个特别的角不
能用直尺与圆规三等分，那末，这三等分任意角的作图当然是不可能了。
我们取120度这角来看，且假定这角位于一个半径是单位长的圆之中心。假使我们能作出cos40度来，那末，只要取OA=cos40,于是a就是一只40度的角，而三等分120度的作图就完成了。（因为示图不好作，虫虫们不好理解的话
跳过这节就是）。
应用三角恒等式
3
2cos3α = 8 cosα - 6 cos α
而且令x=2cosα,则有
2cos 3α = x^3 - 3x
因为3α = 120 度，cos3α = -1/2;所以上面的方程式可以写作
x^3 - 3x +1 =0
这正是我们以前讨论过的方程式。
现在假说所给的只有单位长，我们可以作出一个半径是单位长的圆，
而且可以作OB=1/2，于是角AOC=120度。因为所给的只有单位长，
所以我们的数域当限定是有理数域。
所以要解这个方程式，必须将一个立方根加入于有理数域中，然而
一个立方根是不能用直尺与圆规作出的，这样，我们可以知道：用
直尺与圆规三等分任意角是不可能的。
以相似的方法，不难证明用直尺，圆规解决立方倍积问题也是不可能
的，对于这个问题，方程式是
x^3=2
数域是有理数域，这方程式在这个数域中的群含有六个置换。读者
当证明须加入一个平方根和一个立方根于有理数域中，方程式的群
才会变成1。又因一个立方根是不能用直尺，圆规作出的，所以我们
这个立方倍积问题是不可能的。
仿此，我们可以应用群论去探讨正多边形作图的问题。
IV. 一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。
比如我们有一个三次方程式
3 2
ax + bx + cx +d =0
而且假定他的三个根x1,x2,x3是相异的，我们随便取一个这三个根的函数，如x1x2+x3
来看，在这函数中，我们若将这些x互相替换，那末，一共有多少种置换呢？
我们可以作(12) 一类的置换，这种置换是将x 中的两个互相对换的(12)将
x1x2+x3
变成
x2x1+x3
又如(13)将
x1x2+x3
变成
x3x2+x1
等等
其次是像(123)一类的置换，这个置换把原来的函数变成
x2x3+x1
除了以上两类置换，还有一种就是那个不动置换了。所以一共是六个置换：
1,(12),(13),(23),(123),(132)
换句话说，对于这三个x，一共有3!种可能的替换。
同理，对于四个x有4！种可能的置换，一般的情形，对于n个x就有n!可能
的替换。
读者当注意：于一个函数施行一个置换的时候，函数的值可以因此而变，也
可以仍旧不变，例如若将(12)这个置换施行于函数
x1+x2
这函数的值不变，可是，若将(12)施行于函数
x1-x2
函数的值就由x1-x2一变而为x2-x1了。
现在假定有一个n次的方程式，他有n个不同的根：
x1,x2,x3,.......xn.
我们可以证明：在函数
V1=m1x1+m2x2+m3x3+......+mnxn
[这个函数也称作伽罗华函数(Galois Function)] 中，一定可以如此
选择这些m,使x的每种置换都变更这函数的值，如此，当x作各种
可能的置换时，这函数就有n!个不同的值。我们用
V1,V2,V3,......Vn!
表示这些不同的值。于是再作出式子
P(y)=(y-V1)(y-V2)......(y-Vn!),
此处y是一个变数。
将P(y)的各因子乘出来，就得到一个y的各项式，这个多项式也许是可约的，也许是不可约的，那就要看在什么数域分解因数而定了。
假设P(y)在某一个一定的数域中分解因数，包含V1而在这数域中为不可约的部分设是
(y-V1)(y-V2) 或y^2 - (V1+V2)y + V1V2
在这部分中所含的V仅有V1与V2，那个不动置换和那种将V1，V2互相交换的x的
置换作成一群，这是可以证明的事，这个群就称为方程式在这数域中的群(The
Group of the given Equation fort the given Field).
将这个群中的置换施行于函数y^2 - (V1+V2)y + V1V2 时，函数之值显然不变。因
为V1和V2交换后函数的值不变，至于那个不个不动置换当然不会变更函数的值。仿此，假使P(y)中包含V1的不可约部分也含有V2和V3，那么，方程式在这数域中的群就是那些使这些不可约部分不变的置换做成的。
一般地说，一个方程式在一个一定的数域的群是由P(y)中包含V1的不可约部分而决定的。假使这个不可约部分记作G(y),那末，G(y)=0就称为伽罗华分解式(Galois Resolvent).
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，往往又可以
继续分解因数，所以扩大数域可以将方程式的群变小，这一点重要的事实，我们以后
还要回过来说的。
对于一般的n次方程式，在一个包含他的系数的数域中，P(y)可能是完全不可约的。这样，方程式在这个数域中的群就含有一切可能的n！个置换了。
我们可以证明下列的事实：假使方程式的根的任意一个函数的值在一个数域中，那
么，方程式在这个数域中的群的一切置换都不变更这函数的值。而且，假使
一个函数的值不在数域中，那末，群中至少有一个置换，他能变更这函数的
值。
应用这一点重要性质，我们不必很麻烦地去找伽罗华分解式，就可以求方程
式在一个数域中群。
例如二次方程式
2
x + 3x +1=0,
他有两个根x1,x2,因为他只有两个根，所以可能的置换只有1和(12)两种，所
以这方程式的群或者含有这两个置换或者只有1一个，这就要凭在什么数域中
而决定了
现在取函数
x1-x2
来看，从初等代数中我们知道：二次方程式
2
x + bx + c = 0
的两个根之差是
x1-x2= (b^2-4c)^1/
在此例中，b=3,c=1,所以
x1- x2 = 5^1/2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换，他能变更这函数的值。而1和(12)两个置换中只有(12) 变更函数x1-x2的值。所以群中必含有(12), 因此，这方程式在有理数域中的群是由
1,(12)
两个转换作成的。
如果所讨论的数域是实数域，那么，5^1/2在这数域中，所以群中一切置换都不改变函数x1-x2的值。所以(12)不能在群中，这方程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。
我们再取方程式
x^3-3x+1=0
作例，他有三个根x1,x2,x3.所以至多有六种可能的置换。
即是
1,(12),(13),(23),(123),(132)
现在要求这方程式在有理数域中的群，我们应用
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
这个函数，三次方程式
x^3+cx+d=0
的根的函数
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
之值是±(-4c^3 - 27d^2)^1/2.现在c = -3, d = 1, 所以
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)=±9
±9是有理数，在有理数域中，所以群中一切置换都不能变更函
函数的值。但在上列六个置换中，只有1，(123),(132)不变更这
数的值，所以这个三次方程式在有理数域中的群的元素或者就是
这三个置换，或者只是1一个，所以单利用函数
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
还不能决定这个方程式在有理数域中的群。我们再应用另外一个
函数
x1
如果群中只有1一个元素，那么，1不会变更函数x1的值，所以x1
必在有理数域中，换句话说，这个三次方程式的根x1必须是有理
数，同样的道理，x2,x3 也须是有理数，但是，这个三次方程式
没有一个根是有理数，所以，他在有理数域中的群不能单含1一个
元素，这群必定是由1,(123),(132)三个元素作成的。
如此，我们利用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)和x1两个函数而决定了这个
方程式在有理数域中的群。
刚才讨论的这个三次方程式是有特别的用处的。在讨论以直尺圆规
三等分任意角的可能与否时，便用到这个方程式，我们将在第六章
中讲他。
读者可以去试一番：证明方程式
x^3 - 2 = 0
在有理数域中的群含有六个置换。这个方程式显然表示立方倍积(The Duplication of the Cube)的老问题。在第六章中我们将看到单用直尺
与圆规这问题是不可能的
至此，我们已经知道什么叫做一个方程式在一个数域中的群，而且知
道如何去求他，下面要看他有什么用处。
--
V。伽罗华的鉴定
伽罗华证明了下面的事实：一个方程在一个含有他的系数的数域中的
群若是可解群，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这条件之下
方程式始能用根式解。
在第七章中我们将证明这事实。现在我们且先讨论几个方程式在一个
含有其系数的数域中的群，而应用伽罗华的鉴定来看看他们是否可以
用根式解。
首先取一般的二次方程式
2
a x + bx + c = 0
来看，他的两个根是x1,x2,这方程式在一个含有他的系数的数域中的群之元素是1和(12).这群的唯一的极大不变真约群是1，所以此群的组合因数是
2/1=2
是一个质数，因此，根据伽罗华的鉴定，凡二次方程式可用根式解的。这事实在伽罗华之前早已为人所共知，可是用伽罗华的理论得出这个结果是何等简单而美妙啊！
其次，取一般的三次方程式
3 2
a x + bx + cx + d =0
来看，因为他有三个根x1,x2,x3,所以在一个含有他的系数的数域中，他的群含有
1,(12),(13),(23),(123),(132)
六个置换，此群的唯一极大不变真约群H含有1,(123),(132)三个置换，而H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
6/3=2,与3/1=3
两个都是质数，所以凡三次方程式者是可用根式解的。
我们再看一般的四次方程式
4 3 2
a x +
b x + cx +dx +e =0
他在一个含有其系数的数域中的群的元数是4!=24,这个群的组合因数是
2,3,2,2,(可能过程比较复杂，文中有参考文献）
这些都是质数，所以四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，G含有5!个置换，G的极大不变真约群H含有5!/2 个置换，而H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
2与5!/2
5!/2当然不是质数，所以一般的五次方程式是不能用根式解的。
其实，对于一般的n次方程式，n若是大于4，组合因数便是
2与n!/2
而后者当然不是质数。
如此，应用群的理论，我们得到一个美妙而有力的方法来决定一个
方程式之能否用根式解。
不但如此，在下一章中我们还要应用群论来解方程式的方法以及这
法子与三等分任意一角诸作圆周问题的关系。
--
* 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱*
V。伽罗华的鉴定
伽罗华证明了下面的事实：一个方程在一个含有他的系数的数域中的
群若是可解群，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这条件之下
方程式始能用根式解。
在第七章中我们将证明这事实。现在我们且先讨论几个方程式在一个
含有其系数的数域中的群，而应用伽罗华的鉴定来看看他们是否可以
用根式解。
首先取一般的二次方程式
2
a x + bx + c = 0
来看，他的两个根是x1,x2,这方程式在一个含有他的系数的数域中的群
之元素是1和(12).这群的唯一的极大不变真约群是1，所以此群的组合因
数是
2/1=2
是一个质数，因此，根据伽罗华的鉴定，凡二次方程式可用根式解的。
这事实在伽罗华之前早已为人所共知，可是用伽罗华的理论得出这个结
果是何等简单而美妙啊！
其次，取一般的三次方程式
3 2
a x + bx + cx + d =0
来看，因为他有三个根x1,x2,x3,所以在一个含有他的系数的数域中，他
的群含有
1,(12),(13),(23),(123),(132)
六个置换，此群的唯一极大不变真约群H含有1,(123),(132)三个置换，而
H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
6/3=2,与3/1=3
两个都是质数，所以凡三次方程式者是可用根式解的。
我们再看一般的四次方程式
4 3 2
a x +
b x + cx +dx +e =0
他在一个含有其系数的数域中的群的元数是4!=24,这个群的组合因数是
2,3,2,2,(可能过程比较复杂，文中有参考文献）
这些都是质数，所以四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，G含有5!个置换，G的极大不变真约群H含有5!/2 个置换，而H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
2与5!/2
5!/2当然不是质数，所以一般的五次方程式是不能用根式解的。
其实，对于一般的n次方程式，n若是大于4，组合因数便是
2与n!/2
而后者当然不是质数。
如此，应用群的理论，我们得到一个美妙而有力的方法来决定一个
方程式之能否用根式解。
不但如此，在下一章中我们还要应用群论来解方程式的方法以及这
法子与三等分任意一角诸作圆周问题的关系。
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VII 伽罗华的鉴定为什么是对的
现在我们要证明一个方程式若有一个可解群，这方程式就可用根式解。
每个人在他少年的时候也许都有过这个经验：想应用方程式的根与系
数去解方程式。例如在二次方程式
2
x + bx +c =0
的两个根x1,x2 中，我们知道有
x1 + x2 = -b (1)
与
x1x2=c (2)
的关系，那么，我们为什么不从这两个方程式中去解x1,x2呢？我们
很容易发见这条路是走不通的，因为如果从（1）中得出x1的值而后
代入（2）中，结果是
2
x2 + b x2 + c = 0,
这正与原来的二次方程式丝毫也没分别。所以这个法子只令我们兜了
一个圈子又回到原来的出发点去了。但是，如果我们能得到一对都是
一次的方程式，那末，如果我们能得到一对都是一次的方程式，那末，
x1和x2就实实在在可以求得了。
如果方程的群是一个元数为质数的循环正置换群，那末，这方程式的
确可以照刚才所说的法子去解，这一点我们立刻就要说明。而且我们
还要观察这个特殊情形与一般的有可解群的方程式有什么关系。
现在先就这特殊情形来考究，设方程式
f(x) = 0
有n 个相异的根，而且在那个由方程式的系数及1之n个n次根决定的数
域中，此方程式的群是一个元数为质数的循环正置换群。
在此我们先要问什么叫做1之n个n次根。我们都知道1有三个立方根：1，-1/2+1/2*(-3)^1/2, -1/2-1/2*(-3)^1/2
(通常都记作1，ω，ω^2) 仿此，在一般的情形，1有n个n次根，这n个
n 次根我们记作
1, ρ, ρ^2, ......ρ^(n-1)
1的三个立方根只包含有理数和有理数的根数，同样1的n个n次根也只包含有理数和有理数的根数，所以这种数加入数域中去时并不影响到“方程式
是能用根式解”的这句命辞。
因为我们假定这方程式的群是一个元数为质数的循环正置换群，群中元素
都是置换群，群中的元素都是置换
(123......n)
的乘幂，这个置换的n次乘幂就是不动置换。
现在我们要应用一组一次方程式
x1 + (ρ^k) x2 + ( ρ^2k) x3 + ......+(ρ^(n-1)k) xn = γk
此处k的值为0与n-1间之任何整数，所以这是将n个方程式写作一
个的简便写法。例如当k = 0时，（3）就成为
x1 + x2 + x3 + ......+ xn = γ0
当k = 1 时，（3）就成为
x1 + ρx2 + ρ^2 x3 + ......+ρ^(n-1) xn= γ1
等等。
因为一个方程式的最高次项系数是1，则诸根之和等于方程式中第二项的系数的负值，所以γ0之值可以直接从方程式的系数中求得。现在要将
置换
(1234.....n)
施行于(3)的左端，(3) 式左端就成为
x2 + (ρ^k)x3 + ( ρ^2k)x4 + ......+(ρ^(n-1)k)x1
但是若将（3）式左端用ρ^(-k)一乘，也可得出同样的结果，这是
因为ρ^n=1的缘故。所以置换
(1234.....n)
将γk之值变为ρ^(-k)γk. 又因ρ^n=1，故γk^n = ( ρ^(-k)γk)^n
所以置换
(1234......n)
不变更γk^n的值。同样，群中其他的置换也不变γk^n。
如此，群中一切置换既然都不变更γk^n之值，γk^n之值必在那数
域中。因此，γk是数域中某一个数的n次根，这就是说：所有γ的
值都可由根式得到（对于那数域而言！）。而由（3）中可以将x用
ρ与γ表出，于是这组方程式（3）是可以用根式解的。但是这些x
就是方程式f(x)=0 的根。所以我们已经证明：如果方程式在一数域中
的群是元数为质数的循环正置换群，则此方程式必可用根式解。
举例来说：方程式
x^3 - 3x +1 =0
在有理数域中的群是1，(123),(132);这是一个元数为质数的循环正置
换群，所以我们可以从
x1 + x2 + x3 =0
x1 + ωx2 + ω^2 x3 = γ1
x1 + ω^2 x2 + ωx3=γ2
这三个一次方程式中解他。此处ω表示1的一个虚立方根，γ1与γ2
可以由数域中的数的根数而得。换句话说，如果把这种根加入到数域
中去，则x都存在于扩大的数域中。
但是，假使方程式的群不是一个元数为质数的循环正置换群，那又怎样
呢？
方程式的群是一个可解群时，他的解法在前面已说了一个梗概，在那里我们已经知道：假使组合因数都是质数，虽则方程式的群不是一个元数为质数的循环正置换群，这方程式还是能用根式解的。因为这时候每个辅肋方程式在那个用前几个辅肋方程式的根扩大成的数域中的群是一个元数为质数的循环正置换群。
如此，每个辅肋方程式既有一个元数为质数的循环正置换群，根据以前所说的，这些辅肋方程式都能用根式解。所以这些加入原来的数域去的辅肋方程式的根，都只不过是原来的数域中的数的根数而已。这样看来，只要方程式的群是可解群，这方程式就是能用根式解的。
在一般的情形，我们常可以取
y^2 = ( x(1) -x(2) )^2 * (x(1) - x(3) )^2 ....(x(n-1) - x(n))^2
作第一个辅肋方程式，此式右端是所有每两个根之差的平方之积。假若方程式的第一项系数是1的话，那末，上式的右端正是方程式的判别式(Discriminant) ,例如二次方程式
x^2 + bx + c =0
的两个根x1, x2 之差之平方是
(x1-x2)^2 = ( x1 + x2) ^2 - 4x1x2 = b^2 -4c
这恰是方程式的判别式。同样，高次方程式的判别式也可
从系数求得。现在第一个辅肋方程式的两个根就是这判
别式的两个平方根，将这两个平方根加入数域中，方程
式在这新的数域F1中的群是H，我们再照同样方法用其
余的辅肋方程式进行下去。
设若所要解的方程式是一个一般的三次方程，将第一个辅
肋方程式的根加入原来的数域之后，方程式的群变为H，在
这情形，H是一个元数为质数的循环正置换群，所以我们
可以利用
x1 + x2 + x3 =0
x1 + ωx2 + ω^2 x3 = γ1
x1 + ω^2 x2 + ωx3=γ2
这三个一次方程式来解原来的三次方程式，此中的γ1，γ2
可由数域(这数域是由三次方程式的系数以及第一个辅助方程
式的根而决定的）中的数之根数求得。换句话说，假使把γ1，
γ2的值也加入数域中，则方程式的群变为1，这也就是说，
x1,x2,x3存在于这个最后经γ1，γ2之加入而扩大成的数域中。
如此我们已经证明：方程式在一个由其系数与1之n个n 次根而决定的数域中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式
解的。
当然，如果方程式在一个含有其系数的数域中的群是可解群，
则对于这数域而言，此方程式是可以解的。
本书所说的已够使读者知道一个大概，我们希望读者继续去研究这门引人入胜的数学。要知道用群论解方程式并不是这个令人
惊叹的群的概念的唯一应用。
应用群论于几何学，使几何学起了一个大的改革。还有在相对
论中，群论也极重要。培尔(E.T.Bell)说过：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐。
群的概念是近世纪科学思想的出色的新工具之一。”
--
伽罗华与群论————（要义）
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1。数学并不像普通一般人所相信的，仅是一组呆板的定义和
法则。在把人们的心从他的偏见和旧的定义中解放出来以后，
现代的数学已开辟了一块非常膏腴的园地。
2。不过这种解放绝对不是纷乱无主的。在推广了定义，选定
了公理和确定了数域以后，我们就要遵从这些限制，只要我们
在这一个系统里研究的话，对于他们就要表示忠诚。
3。然则，在起初的时候我们将如何选择那些公理和定义以及数域呢？那是要看目的如何而定的。如伽罗华的目的是要用既定
的方法来解方程式。
4。有了目的，有了和这目的契合的公理，那末，方法又怎样呢？这方法就是要用一个以一些变化作元素的群之元素来变化
那些我们所研究的东西，并且找出对于这些变化不会更易的东西，这些在我们的系统中是不会变更的。
5。从现代数学中可以得到的另一个训示是：一个很小的原因
可以引起惊人的结果。这正是：“星星之火，可以燎原”，一
个问题可以是可能的或不可能的，只要在条件上有点轻微的变更。这个拿几何学最好做比喻：只在一条公理上有一点细微的
变化，把其余的公理照旧，就把欧几里得几何学变成非欧几里
要点： Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；
（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？ （3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？ （4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？ （5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？ （6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数． （7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？ （8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？ （9）方程本身蕴涵的代数结构： 方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。那么某些置换是哪些置换呢？ 四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换 E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方
伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译 引言 大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。 然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。的确，在学 校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专 门学院的教程差不多也有三百多年的历史。笛卡尔（Descartes）之创造解析学 和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。可是，事实是这样的： 数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实 地的向前迈进了。 数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念 还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？ 是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得 到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会 吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣， 而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。哲学家公认：近代数 学与基本的宇宙说是有直接关系的。心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏 见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的 伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。的确，谁都要珍 重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。 这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门 数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。 这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。伽罗华殁于一百年以前， 死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门 数学在今日已成为数学中的重要部分了。自古以来的二十五位大数学家中，他就是 其中之一位。 他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的 L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而 仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人 是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了， 他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他 把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为 是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。(在决斗的 前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。 敬祝他的灵魂安乐！ --
从方程论到群论 南京航空航天大学 二О一三年四月十四日 摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。为群论理论普及服务。整个故事从方程论开始。从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。这是方程论的一次巨大飞跃。之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。 关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。 引言 1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。 1
伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。 1.一元一次、一元二次方程 人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。对以上简单问题，换另一角度。假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是 X+3=10 这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。对等式移项得 X-7=0 为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.
物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐
群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群
§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数
满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e
阿贝尔和伽罗瓦的比较 今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦 1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点 1．1 两人的个人基本情况比较 1．2 数学研究的成就不同 阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解． 伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件． 1．3 运气不同 “阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．” 但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表． 1．4 成果的广泛性不同
阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的． 但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同 “阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．” “伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．” 1．6 心理状况不同 阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿
SHANGHAI UNIVERSITY 上海大学第一学年春季学期 （新生研讨课） 课程名称：数学进展中的几个案例和启示 课程号：0100Y035 授课教师：郭秀云 学号：_____13122070____ 姓名：_____曹颖_______ 所属：____理工二组____ 成绩：_______________ 评语：
论伽罗瓦对数学的贡献 曹颖（13122070） 摘要：埃瓦里斯特·伽罗瓦法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人，被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。他在21年的人生中为数学领域做出了杰出的贡献，可惜他的一生只能被称为“天才的悲剧”，令人惋惜悲叹。 关键词：伽罗瓦、群论、贡献、体会 一、引言 在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也成功解决了3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。而5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。 二、正文 1.伽罗瓦理论的产生背景 用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。 伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式△1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程=0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群
伽罗瓦理论 用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。 在伽罗瓦死去14年后的1846年，法国数学家刘维尔整理出版了伽罗瓦的手稿，人们才逐渐理解了伽罗瓦的思想。 伽罗瓦运用他的理论彻底解决了方程的根式可解问题，他的主要结论可以归结为：一个方程根式可解当且仅当他的伽罗瓦群是可解群。 诚然，对于伽罗瓦的时代来说，群论无疑太过于超前了，当时的数学家们要么完全不能理解，以至于在几十年之后，当一位大数学家看到了他的理论后，苦苦思索了3个月，才能够理解其含义；当时的数学家们要么出于某种偏见，不给予他正确的评价，短视蒙蔽了他们，使得英才早逝。伽罗瓦的生命永远的停留在了21岁，我们不敢去想象，如果他的生命再
群论的基础及应用 第二章群论的应用 2.1图论的结构群应用 在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。 e 4 图 2.1 通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}， γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}） 出现在γ上第一部分的 根点{d}指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为 s=（γ，U）， 其中 U={x，4，y，a，7，8}， γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}
U={a ，b ，c ，d ，e ，f} σ V={x ，3，u ，v ，5，4} 图2.2 考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。 我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U ，则它是自同构。此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s. 我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构 F[U]={f|f=（γ，U ），γ??[U]} 其中?[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。 一个结构群满足规则F ： 1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U] 2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]； 2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。 例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=?（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用 ][][n F n F S n →?（1） 证明： 设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ?γγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于
群论在信号处理中的应用 1 引言 1.1 群论的历史与背景 群论是法国传奇式人物埃瓦里斯特?伽罗瓦（Evariste Galois，1811～1832）的发明。伽罗瓦是一位天才的数学家，但刚过 20 岁就不幸死于一场愚蠢的决斗。伽罗瓦在决斗的前一夜，还在匆匆完成他的伟大数学创造。他创建了群论，并用群论证明了代数方程能用根式求解的条件，证明了一般的五次和五次以上代数方程不能通过有限次加、减、乘、除和开方来精确求解。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 1.2 群的定义以及基本性质 首先来简要说明一下群的定义[2]：设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)； Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。 Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。 一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G： （1）封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c; （2）结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c); （3）单位元存在：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元; （4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b. 通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。 1.3 群论在各领域的应用
伽罗瓦群论的诞生 方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1x n，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程x p-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理
伽罗瓦理论之美 伽罗瓦（évaristeGalois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。 可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。 首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I'm
embarking in thiswork.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。） 当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑 中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。 让我们先来看一些对比： （1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根
伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团 1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！ 群论、数学质变的前夕 为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。 在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。 在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。 在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。 与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。 此后，五次方程的进展一度陷入迷局。当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进
《群论基础》习题 1．讨论以下集合是否构成群： （1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法； （2）1的任何次根（n k i n e π 21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法； （3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法； （4）m ?n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）； 2．回答问题： （1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。 （2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。 （3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。 （4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？ （5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有 何特点？ 3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？ (1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i (5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i 4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于 哪一个点群。 5．确定以下分子所属点群： （1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇 （3）8-羟基喹啉 （4）肼 （5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯 （7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°） （8）环戊二烯 （9）环丁烷 （10）六氯乙烷 （11）丁二烯 6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。 7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。 8．利用C 2h 的特征标表说明： （1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。 （2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。 9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。 11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示： A 1g ? B 1g A 1u ? A 1u B 2u ? E 1g E 1g ? E 2u E 1g ? B 2g A 2u ? E 1u 12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。（D 2点群）
北师大 结构化学 课后习题 第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ?C 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ??(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?()010001h xy σ=- 则 21 00100100???()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=--
我对伽罗华的看法 有人认为，数学已经是一门古老的学科，笛卡尔创造解析学和牛顿发明微积分，都是十七世纪的事情。德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯曾说过，数学是科学之王，那些被我们熟知的数学大家，也是年老资深，阅历成就无数，历史的厚重让数学给人一种只可远观的感觉。伽罗华的出现，为数学增添了悲情色彩，也为数学注入了年轻与热情。 在19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一，年轻的伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。他还漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数（所以正十七边形可做图），解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。 这是伽罗华在二十岁就发现的理论，而他此时对数学的研究，仅仅五年。伽罗华无疑是数学界的奇才，然而回顾他短暂的一生，我们感受到的却是一种天才的孤独与悲哀，论文多次被丢失，遭受牢狱之苦，最终在决斗中结束了他二十一岁年轻的生命，伽罗华的那些卓越超群的思想大大地领先与他同时代人们的思考，以至于在他死后许多年，他的理论也未能为当代数学家所接受。 可以想象在19世纪初，有这样一位年轻人，一次又一次想把自己的思想传播出去却听不到回音，一次又一次送出自己的论文，却都石沉大海。怀着对数学的热爱，对事业必胜的信念，他坚持着，孤独着。查阅了许多有关伽罗华的资料，千篇一律。的确，他充满悲情的生命轨迹已经定格，而人们也对他卓越的数学才能与数学成就给予了高度评价。第一次知道伽罗华的时候，我是很震撼的，为他天才的数学头脑震撼，更多的是对他生命过早终结的惋惜；当我再次读起他的故事的时候，也是很震撼的，被他天才的数学才能所震撼，被他不羁的人格震撼，如果不那么早陨落，或许数学界将提早进步很多年。只是历史没有假设，历史也不会因为某个人而改变，就像没有人会因为知道自己会改变历史而改变自己的人生轨迹。伽罗华是有遗憾的，历史尊重了伽罗华最后的选择。 没有那么多界限，没有那么多遥不可及，伽罗华有天才的数学头脑，而我看到了他对真理的坚持、对事业的热爱和那颗坚持不懈坚定不移的心。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。还好历史的曲折并不能埋没真理的光辉，由伽罗华开始的群论，还将继续发展下去，不仅是近代数学，现代许多学科分支中，都有群论的身影。
课程名称：物理学中的群论基础 一、课程编码：1800008 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、计算物理 三、先修课程：线性代数、量子力学、固体物理（晶体结构部分） 四、教学目标 通过本课程的学习，使学生掌握群的基本概念与定理和群的线性表示理论及其在物理学中对称性分析上的一些基本应用。此外，本课程还将使学生了解并掌握晶体点群与空间群、SU(2)与SO(3)群、以及李群的基本概念。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 群的基本概念 6学时 1.1 群 1.2 子群与陪集 1.3 共轭元与共轭类 1.4 群的同态与同构 1.5 群的直积 2. 群表示理论 16学时 2.1 群的表示 2.2 舒尔引理 2.3 正交性定理 2.4 正规（正则）表示 2.5 完全（完备）性关系 2.6 特征标表 2.7 函数变换和表示的构造 2.8 对称变换群基函数的性质 2.9 投影算符 2.10 基础表示 2.11 分导表示、诱导表示 2.12 表示的直积与CG系数 2.13 直积群的表示 3. 置换群 6学时 3.1 置换 3.2 共轭类、配分和Young图 3.3 Young盘和图形方法 3.4 Young算符 3.5 分支律与外积 4. 点群和空间群 16学时 4.1 点群的对称操作 4.2 第一类点群
4.3 第二类点群 4.4 点群的特征标表 4.5 晶体的宏观性质与对称性 4.6 平移群和Bravais格子 4.7 空间群简介 5. 李群 6学时 5.1 李群的概念 5.2 无穷小生成元 5.3 无穷小算符 5.4 群上的不变积分 5.5 李代数简介 6. SO(3)群和SU(2)群 6学时 6.1 三维幺模正交群SO(3) 6.2 二维幺模幺正群SU(2) 6.3 SU(2)群的不可约表示 6.4 SO(3)群的不可约表示及双群 7. 群论与量子力学 8学时 7.1 哈密顿算符的群 7.2 微扰引起的能级劈裂 7.3 矩阵元定理与选择定则 7.4 不可约张量算符和Wigner-Eckart定理 7.5 实表示 7.6 时间反演对称性和附加简并 7.7 角动量的耦合 七、考核与成绩评定 成绩以百分制衡量，评定依据：平时作业及考勤占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 徐建军，《物理学中的群论基础》，清华大学出版社，2010. 2. 徐婉棠，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社，1999. 3. 马中骐，《物理学中的群论（第三版）——有限群篇》，科学出版社，2016. 4. 陶瑞宝，《物理学中的群论》，高等教育出版社，2011. 5. 谢希德、蒋平、陆奋，《群论及其在物理学中的应用》，科学出版社，2010. 九、大纲撰写人：刘贵斌
伽罗瓦 河北师范学院邓明立 伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学． 伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败． 1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果． 据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取． 柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿． 1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在