P
A
2008年中考数学-圆-解答题
（08黑龙江大庆）26．（本题7分）
如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥．
（1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2
）若6AD AE ==，，求BC 的长．
（08吉林长春）22、（６分）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平
放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.
B
·ｏ ２２、连结OA ，OP ，由切线长定理和勾股定理可得半径OP
（08吉林长春）25、（８分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．
求证：（1）△ABC 是等边三角形；
（2）CE AE 3
1
=．
25．证明：（1）连结OD 得OD ∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB ＝OD 得∠OBD ＝∠ODB ∴∠OBD=∠A ∴BC ＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC 是等边三角形 (2)连结CD ，则CD ⊥AB ∴D 是AB 中点 ∵AE ＝
12AD=14AB ∴EC=3AE ∴CE AE 3
1
=．
（08辽宁沈阳）21．如图所示，AB 是O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O 于点D ，
点E 在O 上．
（1）若52AOD ∠=
，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．
21．解：（1）OD AB ⊥ ， AD DB
∴= ··················· 3分 11
522622
DEB AOD ∴∠=
∠=?= ····················· 5分 （2）OD AB ⊥ ，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形， 3OC = ，5OA =，
由勾股定理可得4AC == ··············· 8分
28AB AC ∴== ····························· 10分
（08辽宁大连）19．如图9，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°．求∠P 的度数．
（08辽宁十二市）20.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为 AF 的中点，连接AE ．
求证：ABE OCB △≌△．
C
（第26题） B
D
A
E
O
D
第21题图
图 9图10
O
D
B
C
F E
A
20.解：（1）证明：如图2． AB 是O 的直径．
90E ∴∠=
···················· 1分
又BC 是O 的切线，90OBC ∴∠=
E OBC ∴∠=∠ ·················· 3分 OD 过圆心，BD DE =，
EF
FB ∴= BOC A ∴∠=∠． ····························· 6分 E 为 AF 中点，
EF BF AE ∴==
30ABE ∴∠= ······························ 8分 90E ∠=
1
2
AE AB OB ∴=
= ···························· 9分 ABE OCB ∴△≌△． ··························· 10分
2008年中考数学-圆-解答题
(08北京市卷19题)19．（本小题满分5分）
已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=
，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，， 且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，
并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD
解：（1） （2）
(08北京市卷19题解析)（本小题满分5分） 解：（1）直线BD
与O 相切． 证明：如图1，连结OD ．
OA OD = ， A ADO
∴∠=∠．
90C ∠= ， 90CBD CDB ∴∠+∠= ．
又CBD A ∠=∠ ，
90ADO CDB ∴∠+∠= ． 90ODB ∴∠= ．
∴直线BD 与O 相切． ·························· 2分 （2）解法一：如图1，连结DE ．
AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠= ．
:8:5AD AO = ，
4
cos 5
AD A AE ∴==． ···························· 3分
90C ∠= ，CBD A ∠=∠，
4
cos 5
BC CBD BD ∴∠=
=． ························· 4分 2BC = ， 5
2
BD ∴=． ······················· 5分
解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 1
2
AH DH AD ∴==．
:8:5AD AO = ，
4
cos 5AH A AO ∴==． ······ 3分
90C ∠= ，CBD A ∠=∠，
4
cos 5BC CBD BD ∴∠==． ·········· 4分
2BC = ，
5
2
BD ∴=． ································ 5分
（08天津市卷）21．（本小题8分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点， （Ⅰ）求AOD ∠的度数；
图2
O
D
B
C
F E
A
A
A
A
A
B
D C
E
O
C A B
E F M
N 图①
C
A
B
E F
M
N 图②
（Ⅱ）若8=AO cm ，6=DO cm ，求OE 的长． 21．本小题满分8分． 解（Ⅰ）∵AB ∥CD ，
∴?=∠+∠180ADC BAD ． ························ 1分 ∵⊙O 内切于梯形ABCD ，
∴AO 平分BAD ∠，有BAD DAO ∠=∠21
，
DO 平分ADC ∠，有ADC ADO ∠=
∠2
1
． ∴?
=∠+∠=
∠+∠90)(2
1
ADC BAD ADO DAO ． ∴?=∠+∠-?=∠90)(180ADO DAO AOD ． ·················· 4分 （Ⅱ）∵在Rt△AOD 中，8=AO cm ，6=DO cm ，
∴由勾股定理，得1022=+=DO AO AD cm ． ················ 5分 ∵E 为切点，∴AD OE ⊥．有?=∠90AEO ． ················· 6分 ∴AOD AEO ∠=∠．
又OAD ∠为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ················ 7分 ∴AD AO OD OE =，∴8.4=?=AD
OD AO OE cm ． ·················· 8分
（08天津市卷）25．（本小题10分）
已知Rt △ABC 中，?=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为?45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：2
2
2
BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，?=∠90MDN 就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
25．本小题满分10分．
（Ⅰ）证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，
则△DCM ≌△ACM ． ························· 1分 有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =． ··········· 2分 由DCM DCM ECF DCN ∠-?=∠-∠=∠45， ACM ECF ACB BCN ∠-∠-
∠=∠
ACM ACM ∠-?=∠-?-?=454590，
得BCN DCN ∠=∠． ···························· 3分 又CN CN =，
∴△CDN ≌△CBN ． ························· 4分 有BN DN =，B CDN ∠=∠．
∴?=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ················· 5分 ∴在Rt△MDN 中，由勾股定理，
得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ··············· 6分 （Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ················· 7分 证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ， 则△GCM ≌△ACM ． ·············· 8分
有CA CG =，AM GM =，
ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠．
又由CB CA =，得 CB CG =．
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E F
M
N G B
由?+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ，
ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+?=∠-∠-?=∠-∠=∠45)(90．
得BCN GCN ∠=∠． ·························· 9分 又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ．
有BN GN =，
45=∠=∠B CGN ，?=∠-?=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴ 9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt△MGN 中，由勾股定理，
得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ··············· 10分
（08内蒙赤峰）24．（本题满分14分）
如图（1），两半径为r 的等圆1O 和2O 相交于M N ，两点，且2O 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O 和2O 于A B ，两点，连结NA NB ，． （1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想NAB △的形状，并给出证明； （3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
24．解：（1）2O 在1O 上 ·········· （1
证明：2O 过点
1O ，
12O O r ∴=．
又1O 的半径也是r ，
∴点2O 在1O 上．
············· （3分） （2）NAB △是等边三角形 ········· （5分）
证明：MN AB ⊥ ，
90NMB NMA ∴∠=∠= ．
BN ∴是2O 的直径，AN 是1O 的直径，
即2BN AN r ==，2O 在BN 上，1O 在AN 上． ·············· （7分） 连结12O O ，则12O O 是NAB △的中位线．
1222AB OO r ∴==．
AB BN AN ∴==，则NAB △是等边三角形． ·············· （9分）
（3）仍然成立． ··························· （11分）
证明：由（2）得在1O 中 MN
所对的圆周角为60
． 在2O 中 MN
所对的圆周角为60
． ·················· （12分） ∴当点A B ，在点M 的两侧时，
在1O 中 MN
所对的圆周角60MAN ∠=
， 在2O 中 MN
所对的圆周角60MBN ∠=
， NAB ∴△是等边三角形． ······················· （14分）
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．
（08内蒙乌兰察布）21．（本小题11分）
如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；
（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．
21．（1）证明：AB 是O 的直径，
图（1）
图（2）
图（1）
图（2）
90D ∴∠= ， 90A ABD ∴∠+∠= ． DBC A ∠=∠ ，
90DBC ABD ∴∠+∠=
即90ABC ∠=
．
AB BC ∴⊥．
BC ∴是O 的切线． （2）OC BD ⊥ ，
1
62
BE ED BD ∴===．
90BEC D ∠=∠= ，DBC A ∠=∠， BEC ADB ∴△∽△． BE EC AD DB ∴=． 61012
AD ∴=．7.2AD ∴=．
（08山西省卷）23．（本题8分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点。求证：GE 是⊙O 的切线。
2008年中考数学-圆-解答题
（08山东济南19题）19．(本小题满分7分)
（1）已知：如图1，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．
求证：AB=DE ．
（2）已知：如图2，30PAC ∠=?，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF
解：（08山东济南19题）19． （1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠DEF
∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB ........................................... 1分 ∵BE =CF ，∴BE +EC = CF + EC 即BC =EF .............................. 2分 ∴△ABC ≌△DEF
∴AB =DE ............................ 3分 （2）解：过点O 作OG ⊥AP 于点G
连接OF ........................... 4分 ∵ DB =10，∴ OD =5 ∴ AO =AD +OD =3+5=8
∵∠PAC =30°
∴ OG =12AO =1
842?=cm............... 5分
∵ OG ⊥EF ，∴ EG =GF
∵ GF 3
∴ EF =6cm ........................ 7分
（08山东济宁24题）24．（9分）
如图，ABC △内接于O ，过点A 的直线交O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，
2AB AP AD = ．
（1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=
，O 的半径为1，且P 为 AC 的中点，求AD 的长．
第19题图2 第19题图2
解：（08山东济宁24题）（1）证明：连接BP ． ··············· 1分
2AB AP AD = ，AB AD
AP AB
∴
=． 又BAD PAB ∠=∠ ， ABD APB ∴△∽△． ·········· 3分 ABC APB ∠=∠ ，APB ACB ∠=∠， ABC ACB ∴∠=∠．
AB AC ∴=． ············· 4分 （2）解：由（1）知AB AC =．
60ABC ∠= ，ABC ∴△为等边三角形．
60BAC ∴∠= ． ····························· 5分 P 为 AC 的中点，1302
ABP PAC ABC ∴∠=∠=∠= ．
90BAP BAC PAC ∴∠=∠+∠= ．
BP ∴为直径．2BP ∴=．························· 7分
1
12
AP BP ∴==．2223AB BP AP ∴=-=．
2AB AP AD = ，
2
3AB AD AP
∴==． ···························· 9分
（08山东聊城24题）24．（本题满分10分）小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶
部是圆柱侧面的一部分（如图1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图2），其中顶部圆弧AB 的圆心1O 在竖直边缘AD 上，另一条圆弧BC 的圆心2O 在水平边缘DC 的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm ）解决下面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）.
（1）计算出弧AB 所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB 的长度（精确到0.1cm ）；
（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到1cm 2
）；
（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？
解：（08山东聊城24题）（1）易知6050BE AE ==，，
连接1O B ，设弧AB 的半径为R ． 在1Rt O BE △中，由勾股定理得
22260(50)R R =+-．
解得61R =． ·············· 2分 由160
sin 61
BE BO E R ∠=
=，得 179.61BO E ∠ ≈． ····························
3分 ∴弧AB 的长79.61
π6184.8180
=
??≈（cm ）． ················· 4分 （2）扇形1O AB 的面积184.8612586.42=??≈（cm 2
）． ··········· 5分
扇形2O BC 的面积21π40400π1256.64=??=≈（cm 2
）． ··········· 6分
梯形12O BO D 的面积1(2940)6020702
=?+?=（cm 2
）． ············ 7分
第24题图
图2
图1 第24题图
∴遮雨罩一个侧面的面积
=扇形1O AB 的面积+梯形12O BO D 的面积－扇形2O BC 的面积
2586.420701256.63400=+-≈（cm 2） ·················· 8分
（注：用其它方法计算，只要误差不超过2cm 2
，可给满分）
（3）遮雨罩顶部的面积84.818015264=?=（cm 2
）． ············· 9分 ∴遮雨罩的总面积340021526422064=?+=（cm 2） 2.2≈（cm 2） .
制做这个遮雨罩大约需要2.2平方米玻璃钢材料． ··············· 10分
（08山东临沂23题）23．（本小题满分9分）
如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，以AB 上的一点O 为圆心分别与均AC 、BC 相切于点D 、E 。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵求sin ∠BOC 的值。
解：（08山东临沂23题）⑴连接OD 、OE ，设OD ＝r. ∵AC 、BC 切⊙O 于D 、E ，
∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，OD ＝OE …………………………1分 解法一：又∵∠ACB ＝90°，
∴四边形是ODCE 正方形,……………………………………2分 ∴CD ＝OD ＝OE ＝r ，OD ∥BC,
∴AD ＝4－r ，△AOD ∽△ABC ，…………………………3分
∴
,BC OD AC AD =即,244r
r =-………………………………4分 ∴4
3
=r .……………………………………………………5分
解法二：∵ABC BO C AO C S S S ???=+，……………………3分
∴
BC AC OE BC OD AC ?=?+?21
2121， 即242
1
221421??=?+?r r ，…………………………4分 ∴4
3
=r .……………………………………………………………………5分
⑵过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，在Rt △ABC 与Rt △OEC 中，根据勾股定理,得
52242
2
=+=AB ,23434342
2=??
?
??+??? ??=OC ,…………7分 由
CF AB BC AC ?=?2121，得5
54=?=AB BC AC CF …………8分 ∴1010
32
43554sin =
?==
∠OC CF BOC ,即10103sin =∠BOC .…………9分
（08山东泰安24题）24．（本小题满分10分）
如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=
，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC
边的中点，连结DE ．
（1）求证：DE 与O 相切；
（2）若O
3DE =，求AE ．
（08山东泰安24题）（本小题满分10分）
（1）证明：连结OE BE ， AB ∴是直径 BE AC ∴⊥ ··························································································································· 1分 D 是BC 的中点 DE DB ∴= ··························································································································· 2分
DBE DEB ∴∠=∠ 又OE OB =
OBE OEB ∴∠=∠
DBE OBE DEB OEB ∴∠+∠=∠+∠ 即ABD OED ∠=∠ ··············································································································· 4分
但90ABC ∠=
90OED ∴∠= ····················································································································· 5分 DE ∴是O 的切线 ·············································································································· 6分
（2
）AC =
==
3AB BC BE AC ∴=
== ·
···························································································· 9分
AE ∴=·
·············································································· 10分
（第24题）
（08山东潍坊20题）20．（本题满分9分）
如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．
（1）求证ABC ADB △∽△；
（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．
（08山东烟台24题）24、（本题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长
.
（08山东枣庄23题）23．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE
(1) 求证：AM MB EM MC ?=?；
(2) 求EM 的长；
（3）求sin ∠EOB
的值.
（08山东枣庄23题）(本题满分10分)
解：⑴ 连接AC ，EB ，则∠CAM =∠BEM . ……………1分 又∠AMC =∠EMB , ∴△AMC ∽△EMB ．
∴
EM MB
AM MC
=，即AM MB EM MC ?=?．………3分 (2) ∵DC 为⊙O 的直径，
∴∠DEC =90°，EC 7.== ………………………4分
∵OA =OB =4，M 为OB 的中点，∴AM =6，BM =2． …………………………………5分 设EM =x ，则CM =7－x ．代入(1),得 62(7)x x ?=-.
D B
B
解得x 1=3，x 2=4．但EM ＞MC ，∴EM=4. …………………………………………7分 (3) 由(2)知，OE =EM =4．作EF ⊥OB 于F ，则OF =MF =
4
1OB =1． ………………8分
在Rt △EOF 中，EF =,15142222=-=-OF OE …………………………9分
∴sin ∠EOB =4
15
=
OE EF . ……………………………………………………………10分
（08年江苏淮安26题）(本小题10分)
如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若
DE=3． 求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长； (3)阴影部分的面积．
（08年江苏连云港18题）（本小题满分8分）
如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．
（08年江苏连云港18题）解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=
．又2BAC B ∠=∠，
30B ∴∠= ，60BAC ∠= ． ······················· 3分
又OA OC =，所以OAC △是等边三角形，由6AC =，知6OA =． ······ 5分
PA 是O 的切线，90OAP ∴∠= ．
在Rt OAP △中，6OA =，60AOC ∠=
，
所以，tan 60PA OA == ······················· 8分
（08年江苏连云港25题）（本小题满分12分）
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
（08年江苏连云港25题）解：（1）如图所示： ················ 4分 B
C
P
O A
（第18题图）
（第25题答图1）
（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ·········· 6分
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ·································· 8分
（3）此中转站应建在EFH △的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）． ·················· 10分 理由如下：
由47.835.182.9HEF HEG GEF ∠=∠+∠=+=
，
50.0EHF ∠= ，47.1EFH ∠=
，
故EFH △是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为EFH △的外接圆，
设此外接圆为O ，直线EG 与O 交于点E M ，， 则50.053.8EMF EHF EGF ∠=∠=<=∠
．
故点G 在O 内，从而O 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆．
所以中转站建在EFH △的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
························· 12分
（08年江苏南通22题）已知：如图，M 是
AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝
．
（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．
（08年江苏南通22题）解：（1）连结OM ．∵点M 是
AB 的中点，∴OM ⊥AB ． …………………………………1分
过点O 作OD ⊥MN 于点D ，
由垂径定理，得1
2
MD MN == ………………………3分
在Rt △ODM 中，OM ＝4，MD =OD 2． 故圆心O 到弦MN 的距离为2 cm ． …………………………5分
（2）cos ∠OMD ＝MD OM =，…………………………………6分 ∴∠OMD ＝30°，∴∠ACM ＝60°．……………………………8分
（08年江苏南通27题）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作
规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说
明理由．
（08年江苏南通27题）解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长＝16×π
2
＝8π，圆锥底面周长＝2πr ，∴圆的半径为4cm ．………2分
由于所给正方形纸片的对角线长为，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16420++=+cm ，20+>
（第22题）
A
B
C M
N
O ·
（第27题） 方案一 方案二
A E F
（第25题答图2） （第22题）
A B
C
M
N
O · D
∴方案一不可行． ………………………………………………………………………5分
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为r cm ，圆锥的母线长为R cm ，则
(1r R +=， ① 2π2π4
R
r =． ② …………………………7分
由①②，可得R ==
，r == ………………9分
cm ． ………10分
（08年江苏苏州27题）(本题9分)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以
A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线A
B 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥B
C 于T
(1)求证AK=MT ； (2)求证：AD ⊥BC ； (3)当AK=BD 时， 求证：BN AC
BP BM
=．
（08年江苏宿迁23题）（本题满分10分）
如图，⊙O 的直径AB 是4，过B 点的直线MN 是⊙O 的切线，D 、C 是⊙O 上的两点，连接AD 、
BD 、CD 和BC ．
(1)求证：CDB CBN ∠=∠； (2)若DC 是ADB ∠的平分线，且?=∠15DAB ，求DC 的长．
（08年江苏宿迁23题）(1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径 ∴?=∠+∠=∠90CDB ADC ADB ∵MN 切⊙O 于点B
∴?=∠+∠=∠90CBN ABC ABN ∴CBN ABC CDB ADC ∠+∠=∠+∠
∵ABC ADC ∠=∠ ∴CDB CBN ∠=∠.
(2) 如右图,连接OC OD ,,过点O 作CD OE ⊥于点E . ∵CD 平分ADB ∠ ∴BDC ADC ∠=∠ ∴弧AC =弧BC
∵AB 是⊙O 的直径
∴?=∠90BOC 又∵?=∠15DAB
∴?=∠30DOB ∵CD OE OC OD ⊥=, ∴?=∠30ODE ∵2=OD
∴3,1==DE OE ∴322==DE CD .
（08年江苏泰州23题）如图，⊿ABC 内接于⊙O ，AD 是⊿ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，⊿ABE 与⊿ADC 相似吗？请证明你的结论。
（08年江苏泰州23题）解：△ABE 与△ADC 相似.………………………………………………………… ２分
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°……………………………………………… ５分 ∵∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC …………………………………………………７分 又∵∠AEB=∠ACD ，∴△ABE ∽△ADC …………………………………………… 9分
N
M
B
A 第23题
A
B
M N
（08年江苏扬州24题）（本题满分12分） 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B 。小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB 。
（1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8㎝，BC=10㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π）
（08年江苏镇江26题）（本小题满分7分）推理运算
如图，AB 为O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．
（1）OCD ∠的平分线CE 交O 于E ，连结OE ．求证：E 为 ADB 的中点；
（2）如果O 的半径为1
，CD =， ①求O 到弦AC 的距离；
②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为
12
．
（08年江苏镇江26题）（1）OC OE = ，E OCE ∴∠=∠ ········ （1分） 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠．
OE CD ∴∥． ···························· （2分）
又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=
．
E ∴为 ADB 的中点． ························· （3分）
（2）①CD AB ⊥ ，AB 为O
的直径，CD ，
12CH CD ∴==
． ························· （4分） 又1OC =
，2sin 1CH COB OC ∴∠===． 60COB ∴∠= ， ··························· （5分） 30BAC ∴∠= ．
作OP AC ⊥于P ，则11
22
OP OA =
=． ················· （6分） ②3 ·································· （7分）
（08浙江淮安26题）26．(本小题10分)
如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若
DE=3．
求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长；
(3)阴影部分的面积．
（08浙江嘉兴20题）20．如图，正方形网格中，ABC △为格点三角形（顶点都是格点），将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90
得到11AB C △．
（1）在正方形网格中，作出11AB C △； （2）设网格小正方形的边长为1，求旋转
过程中动点B 所经过的路径长．
A
B
D
E O C
H
（第20题）
解：（08浙江嘉兴20题）20．（1）如图
（2）旋转过程中动点B 所经过的路径为一段圆弧． 4AC = ，3BC =，5AB ∴=． 又190BAB ∠= ，
∴动点B 所经过的路径长为
5π2
．
（08浙江金华20题）20、(本题8分)如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥
OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，sin ∠COD=5
4
。(1)求弦AB 的长；（2）
CD 的长；（3）劣弧AB 的长（结果保留三个有效数字，sin53.13o
≈0.8,Л≈3.142）
（08浙江宿迁）23．（本题满分10分）
如图，⊙O 的直径AB 是4，过B 点的直线MN 是⊙O 的切线，D 、C 是⊙O 上的两点，连接AD 、
BD 、CD 和BC ．
(1)求证：CDB CBN ∠=∠； (2)若DC 是ADB ∠的平分线，且?=∠15DAB ，求DC 的长．
（08浙江义乌）20．已知：如图△ABC 内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，过A 点的切线与OC 的延长
线交于点D ，30B ∠=0
，OH =
（1）AOC ∠的度数；
（2）劣弧 AC 的长（结果保留π）；
（3）线段AD 的长（结果保留根号）.
20．解：（1）0
60AOC ∠= ………………………………2分
（2）在三角形AOC 中，OH AC ⊥ ∴ 01030
OH AO COS =
= ……………………1分 ∴ AC 的长=
6010101801803n r πππ
??==……1分 ∴ AC 的长是
103
π
……………………………………………………………………1分 （3） ∵AD 是切线 ∴AD OA ⊥ ……………………………………………………1分
∵0
60AOC ∠=
∴AD =…………………………………………………1分 ∴线段AD
的长是……………………………………………………………1分
（08上海市卷）21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分） “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．
N
M
B
A
（第20题）
（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．
21．（1）（图形正确）； ······················· （3分）
（2）解：由已知OC DE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=
．
1:0.75i = ，4
3
CH EH ∴
=． ······················ （1分） 在Rt HEC △中，222
EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE = ，
得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．3EH ∴=，4CH =． ········· （3分）
7DH DE EH ∴=+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+．
在Rt ODH △中，2
2
2
OH DH OD +=，222(4)7(7)r r ∴++=+． 解得8
3
r =
． ····························· （3分）
（08安徽芜湖23题）23． （本小题满分12分）在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ．
（1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线;
（2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求
EF
AC
的值．
（08安徽芜湖23题解析）
（1） 证明：由已知DE ⊥DB ，⊙O 是Rt△BDE 的外接圆，∴BE 是⊙O 的直径，点O 是BE 的中点，连结OD ， ································· 1分 ∵90C ∠= ，∴90DBC BDC ∠+∠= ． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠．
∴90ODB BDC ∠+∠= ，即∴90ODC ∠= ················· 4分 又∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线． ··············· 5分 （2） 解：设⊙O 的半径为r ，
在Rt△ABC 中， 22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB = ··················· 7分 ∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=
，∴△ADO ∽△ACB ．
∴
AO OD AB BC =．∴15159r r
-=． ∴458r =．∴454
BE = ············· 10分
又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=
．∴△BEF ∽△BAC
∴45
34154
EF BE AC BA ===． ······················· 12分
图
7 E H
图
8
（08江西省卷）22．如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合），设OAB α∠=，C β∠=． （1）当35α=
时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
22．（1）解：连接OB ，则OA OB =，
35OBA OAB ∴∠=∠= ． ·············· 1分 180110AOB OAB OBA ∴∠=-∠-∠=
． ······ 2分 1
552
C AOB β∴=∠=
∠= ． ······················· 3分 （2）答：α与β之间的关系是90αβ+=
． ················ 4分 证一：连接OB ，则OA OB =．OBA OAB α∴∠=∠=． ··········· 5分
1802AOB α∴∠=- ． ·························· 6分 11
(1802)9022
C AOB βαα∴=∠=
∠=-=- ． ∴90αβ+= ． ····························· 8分
证二：连接OB ，则OA OB =．
22AOB C β∴∠=∠=． ·········· 5分
过O 作OD AB ⊥于点D ，则OD 平分AOB ∠．
6分
1
2
AOD AOB β∴∠=∠=．
在Rt AOD △中，90OAD AOD ∠+∠=
， ·· 7分
∴90αβ+=
． ····························· 8分
证三：延长AO 交O 于E ，连接BE ，
则E C β∠=∠=． ··············· 5分
AE 是O 的直径，∴90ABE ∠= ． ····· 6分
90BAE E ∴∠+∠= ，
∴90αβ+= ． ·····························
8分 （08江西南昌）21．如图，AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．
（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；
（2）当30D ∠=
，1BC =时，求圆中阴影部分的面积．
21．解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC BD =；②OF BC ∥；③BCD A ∠=∠；④BCE OAF △∽△；⑤2
BC BE AB = ；
⑥222
BC CE BE =+；⑦ABC △是直角三角形；⑧BCD △是等腰三角形． ··· 3分 （2）连结OC ，则OC OA OB ==．
30D ∠= ，30A D ∴∠=∠= ，120AOC ∴∠= ． · 4分
AB 为O 的直径，90ACB ∴∠= ．
在Rt ABC △中，1BC =，2AB ∴=
，AC = ·· 5分
OF AC ⊥ ，AF CF ∴=．
OA OB = ，OF ∴是ABC △的中位线．
11
22
OF BC ∴==．
111222AOC S AC OF ∴=
== △． ·················· 6分
B
A
B
A
2133
AOC S OA π
=π?=扇形． ························· 7分
3AOC
AOC S S S π∴=-=-△阴影扇形 ···················· 8分 说明：第（1）问每写对一条得1分，共3分．
(08福建南平21题)21．（9分）如图，线段AB 经过圆心O ，交O 于点A C ，，点D 在O 上，连接AD BD ，，30A B ∠=∠=
．BD 是O 的切线吗？请说明理由．
(08福建南平21题解析)21．答：BD 是O 的切线． ············· 2分 理由1：连接OD ，OA OD = ，30ADO A ∴∠=∠=
············ 4分
30A B ∠=∠= ，180()120BDA A B ∴∠=-∠+∠= ··········· 7分 90BDO BDA ADO ∴∠=∠-∠= 即OD BD ⊥
BD ∴是O 的切线． ··············· 9分 理由2：连接OD ，OA OD = ，
30ADO A ∴∠=∠= ··············· 4分 60BOD ADO A ∴∠=∠+∠= ··········· 7分 30B ∠= ，
180()90BDO BOD B ∴∠=-∠+∠=
，即OD BD ⊥
BD ∴是O 的切线． ··························· 9分
理由3：连接OD ，OA OD = ，30ADO A ∴∠=∠=
············ 4分
在BD 的延长线上取一点E ，30A B ∠=∠=
60ADE A B ∴∠=∠+∠= ························· 7分 90EDO ADO ADE ∴∠=∠+∠= ，即OD BD ⊥
BD ∴是O 的切线． ··························· 9分
理由4：连接OD ，OA OD = ，30ADO A ∴∠=∠=
············ 4分 连接CD ，则90ADC ∠=
························· 5分
60ODC ADC ADO ∴∠=∠-∠= ······················ 6分 OD OC = ，60OCD ∴∠=
30B ∠= ，30BDC OCD B ∴∠=∠-∠= ················· 7分
90ODB ODC BDC ∴∠=∠+∠= ，即OD BD ⊥
BD ∴是O 的切线． ··························· 9分
(08福建泉州25题)25、（8分）如图：⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4的半径都为1，其中⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4两两外切，并且O 1、O 2、O 3三点在同一直线上。 （1）请直接O 2O 4写出的长；
（2）若⊙O 1沿图中箭头所示方向在⊙O 2、的圆周上滚动，最后⊙O 1滚动到⊙O 4的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O 1移动的距离（精确到0.01）。
(08福建厦门23题)23．（本题满分10分）
已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是O 的切线；
（2）若1202CAB AB ∠== ，，求BC 的值．
23．（1）证明：AB AC = ，
C B ∴∠=∠． ······························ 1分 又OP OB =， OPB B ∠=∠ ······························· 2分 C OPB ∴∠=∠． ···························· 3分 OP A
D ∴∥ ·······························
4分
又PD AC ⊥ 于D ，90ADP ∴∠=
，
90DPO ∴∠=
． ····························· 5分 PD ∴是O 的切线． ··························· 6分
（2）连结AP ，AB 是直径， 90APB ∴∠= ， ········· 8分
2AB AC ==，120CAB ∠= ，
60BAP ∴∠= ． ····························· 9分
BP BC ∴=∴= ························· 10分
2008年中考数学-圆-解答题
（08湖北鄂州25题）25．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形 ABCD 中，P 为边CD 的中点，直线AP 交圆于E 点．
（1） 求弦DE 的长．（2）若Q 是线段BC 上一动点，当BQ
ADP 与以Q C P ，，为顶点的三角形相似．
（08湖北鄂州25题解答）（1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点． 在Rt ADP △中，AP = ·················· 1分 又11
22
ADP S AD DP AP DF =
= △ DF ∴=
································ 2分 AD 的度数为90
45DEA ∴∠=
5
DE ∴==
··························· 4分
（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有
AD DP
QC CP
= 得：1QC =．
即点Q 与点B 重合，0BQ ∴=························ 5分
（第23题） E 25题图1
E
25题图2
E 25题图3
E 图12
如图3，当Rt Rt ADP PCQ △∽△时，有AD PD
PC QC
= 得14QC =
，即34
BQ BC CQ =-= ····················· 7分 ∴当0BQ =或3
4
BQ =时，三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点的三角形相似． · 8分
（08湖北恩施22题）22.（本题满分9分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线；
（3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长.
（08湖北恩施22题解答）解：(1)证明:连接AD
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB =90°
又BD =CD
∴AD 是BC 的垂直平分线
∴AB =AC 3分 (2)连接OD
∵点O 、D 分别是AB 、BC 的中点 ∴OD ∥AC 又DE ⊥AC ∴OD ⊥DE
∴DE 为⊙O 的切线 6分 (3)由AB =AC , ∠BAC =60°知?ABC 是等边三角形 ∵⊙O 的半径为5
∴AB =BC =10, CD =2
1
BC =5
又∠C =60° ∴DE =CD ·sin60°=2
3
5
（08湖北黄冈）16．（本题满分8ABC △中，AB AC =，以AB
过点D 作DE AC ⊥于点E ． 求证：DE 是O 的切线．
（08湖北黄冈）17．（本题满分8分）如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平
地面是相切的，20AB CD ==cm ，200BD =cm ，且AB CD ，
与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
（08湖北荆门26题）26．（本小题满分10分）如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，
(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =2
1
3-，求证△DCE ≌△OCB ．
（08湖北荆门26题解答）解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．
又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形． 又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°， ∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．
A C
B D 第26题图
而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．
故△CDE 为等腰三角形． …………………………………………………4分 (2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2212-=3．
OF =
213-,∴AF =AO +OF =2
1
3+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ． 而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,
故△CDE ≌△COB . ……………………………………………10分
（08湖北荆州21题）21．（本题7分）已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C
且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°， AD
的长为
，求弦AD 、AC 的长．
（08湖北十堰23题）23．(8分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ，且AB ∥CD ．连接OB 、
OC ，延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于N ． ⑴求证：MN 是⊙O 的切线；
⑵当0B=6cm ，OC=8cm 时，求⊙O 的半径及MN 的长．
第23题图
O
G
C
A
B
D
N
M
F
E
（08湖北十堰23题解答）解：⑴证明：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于点E 、F 、G ，
∴DCB ．OCB ABC ，OBC ∠=∠∠=∠2
1
21 …………………1分
∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠DCB ＝180°．
∴．DCB ABC OCB OBC ?=??=∠+∠=∠+∠901802
1
)(21
∴．OCB OBC －BOC ?=?-?=∠+∠?
=∠9090180)(180 ……2分 ∵MN ∥OB ，∴∠NMC ＝∠BOC ＝90°．∴MN 是⊙O 的切线．……4分 ⑵连接OF ，则OF ⊥BC ．…………………………………5分
由⑴知，△BOC 是Rt △，∴．
OC DB BC 10862222=+=+= ∵OF ，BC OC OB S BOC ??=??=?2
12
1
∴6×8＝10×OF ．∴0F ＝4.8．
即⊙O 的半径为4.8cm ． …………………………………6分 由⑴知，∠NCM ＝∠BCO ，∠NMC ＝∠BOC ＝90°， ∴△NMC ∽△BOC ． …………………7分 ∴
．MN ．CO CM OB MN 8
8
.486+==即 ∴MN ＝9.6(cm)． …………………………………8分
（08湖北天门22题）22．(本小题满分10分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的
平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F ． (1)求证：EF 为⊙O 的切线；
(2)若sin ∠ABC ＝5
4，CF ＝1，求⊙O 的半径及EF 的长．
E (第22题图)
（08湖北武汉）22.（本题8分）如图，AB 是⊙O 的直 线 ，AC 是 弦 ，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.OE 交AD 于点F.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC AB ＝35，求AFDF 的值
.
22.⑴略；⑵
8
5
； （08湖北仙桃等22题）22. （本题满分8分） 如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且BAC D ∠=∠. （1）求证：AD 是半圆O 的切线； （2）若2=BC ，2=CE ，求AD 的长.
（08湖北仙桃等22题解答）（8分）（1）证明：∵AB 为半⊙O 的直径
∴
90=∠BCA
又∵BC ∥OD ， ∴AC OE ⊥
∴0
90=∠+∠DAE D 而BAC D ∠=∠
∴0
90=∠+∠DAE OAE
∴AD 是半圆O 的切线………………………………………………（3分）
（2）∵AC OE ⊥ ∴222==CE AC 在ABC Rt ?中，322)22(2222=+=+=
BC AC AB …（5分）
由DOA ?∽ABC ?可得：
BC OA AC AD = 即23
2
2=AD ∴
6=AD …………………………………………………………（8分）
(08湖北咸宁21题)21．（本题满分9分）
如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．
(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的
一种方案：
①你选用的已知数是 ； ②写出求解过程（结果用字母表示）．
(08湖北咸宁21题解答)21．解：（1）A E 与⊙O 相切．----------------1分
理由：连接OC ．
∵CD ∥OA ∴AOC OCD ∠=∠， ODC AOB ∠=∠．
又∵OD =OC ， ∴ODC OCD ∠=∠．∴AOB AOC ∠=∠．
在△AOC 和△AOB 中
OA=OA ， AOB AOC ∠=∠，OB=OC ， ∴△AOC ≌△AOB ， ∴ACO ABO ∠=∠．
∵AB 与⊙O 相切， ∴ACO ABO ∠=∠=90°．
∴A E 与⊙O 相切． --------------------------------------------------5分 （2）①选择a 、b 、c ，或其中2个
② 解答举例：
若选择a 、b 、c ，
方法一：由CD ∥OA ， a b c r
=，得bc
r a =．
方法二：在Rt △ABE 中 ，由勾股定理222(2)()b r c a c ++=+，
得r =
．
A
B C D E O a
b c （第21题图）A
B
C D
E O
a b c
专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D
证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.
2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙ O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O
4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan = F ，求DE 的长。 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A
7. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E 。 求证：（1）AC 平分∠DAB ； （2）若∠B=60°，32 CD ，求AE 的长。 8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 （1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）求DE 的长。 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CB=CA=6，半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ，且AG=4，将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 （1）求证：DE 为⊙F 的切线； （2）求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
2010---2011全国各地中考模拟数学试题压轴题汇编 一、解答题 1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。 （1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN； （2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。 答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900， ∴四边形OBNM为矩形。 ∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900 ∵AM PM AO BO ，AO=BO=1， ∴AM=PM。 ∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM， ∴OM=PN， ∵∠OPC=900， ∴∠OPM+CPN=900， 又∵∠OPM+∠POM=900∴∠CPN=∠POM，∴△OPM≌△PCN. （2）∵AM=PM=APsin450= 2 m 2 ， ∴NC=PM= 2 m 2 ，∴BN=OM=PN=1- 2 m 2 ； A B C N P M O x y x=1 第1题图
∴BC=BN-NC=1- 2 m 2 - 2 m 2 =12m （3）△PBC可能为等腰三角形。 ①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1） ②当点C在第四象限，且PB=CB时， 有BN=PN=1- 2 2 m， ∴BC=PB=2PN=2-m， ∴NC=BN+BC=1- 2 2 m+2-m， 由⑵知：NC=PM= 2 2 m， ∴1- 2 2 m+2-m= 2 2 m，∴m=1. ∴PM= 2 2 m= 2 2 ，BN=1- 2 2 m=1- 2 2 ， ∴P（ 2 2 ,1- 2 2 ）. ∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（ 2 2 ,1- 2 2 ） 2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x的二次函数y＝-x2＋(k2-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方． (1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A 的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类（一）—— 《圆》 一．选择题 1．（2020?普陀区二模）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020?杨浦区二模）已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（） A．0＜d＜3 B．0＜d＜7 C．3＜d＜7 D．0≤d＜3 3．（2020?杨浦区二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D． 4．（2020?金山区二模）如图，∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆与ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是（） A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞4 5．（2020?长宁区二模）如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（） A．内切B．外离C．相交D．外切
6．（2020?黄浦区二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（） A．内含B．内切C．相交D．外切7．（2020?浦东新区二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（） A．360°B．540°C．720°D．900°8．（2020?浦东新区二模）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5＜r＜12 B．18＜r＜25 C．1＜r＜8 D．5＜r＜8 9．（2020?崇明区二模）如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是，那么它是（） A．等边三角形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形10．（2020?闵行区一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（） A．内含B．内切C．外切D．相交．11．（2020?金山区一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（） A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切 C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内 12．（2020?嘉定区一模）下列四个选项中的表述，正确的是（） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 13．（2020?奉贤区一模）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（） A．外离B．外切C．相交D．内含14．（2019?青浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，
中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6． （1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ； （2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相 交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ． （1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O
全国各地中考模拟数学试题（doc 20页）
2010---2011全国各地中考模拟数学试题重组汇编 实验与操作 一、选择题 1.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题） 将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图 ②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠ BPE=130°，则∠PEF的度数为( ) A．60° B．65° C．70°D．75° 答：B P F E D C B A F E D C B A ①②
2.（2010年河南中考模拟题4）分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③都可以 答案：A 3.（2010年西湖区月考）有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半园，正好与对边BC相切，如图(甲).将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图(乙).这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（） A.（π－32）cm2 1π＋3）cm2 B.（ 2 4π－3）cm2 C.（ 3 2π＋3）cm2 D.（ 3 答案：C 4.（2010 河南模拟）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯
形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A 正三角形 B 正五边形 C 等腰梯形 D 菱形 答案：D 5.（2010年广西桂林适应训练）、在1，2，3，4，…，999，1000，这1000个自然数中，数字“0”出现的次数一共是（）次． A.182 B.189 C.192 D.194 答案：C 6.（2010年中考模拟）（大连 市）将一张等边三角形纸片按 图1－①所示的方式对折，再按 图1－②所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是 ( ) 答案：A 二、填空题 D C B A ②①
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠． （1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2 tan 3 B = ，求半圆的半径． 【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】 分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论； （2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接CO . ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，
∵在Rt △ACB 中，2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =，AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形. 2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6)． （1）当G(4，8)时，则∠FGE= ° （2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形． 要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）． 【答案】（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE="90" °． （2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P 在以EF 为直径
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
中考新概念型题型 一、选择题 1．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（原创）已知222 22112 11,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足 )1,0(2 1 2121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ） A 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同 B 、因为y 1,y 2的对称轴相同 C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为km D 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案：D 二、填空题 1、（2011年江苏盐都中考模拟）规定一种新运算a ※b=a 2－2b,如1※2=-3，则2※（－2）= . 答案6 2、(2011浙江杭州模拟16)刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到：32＋（－2）－1＝6．现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m ，再将实数对(m ，1)放入其中后，得到的实数是 ． 答案：9 三、解答题 1、（2011年北京四中中考模拟20）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD ≠CD ，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗请你判断并证明你的结论。 解：正确。 证明如下： 方法一：设AC ，BD 交于O ，∵AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADE ， ∴∠BAC=∠DAC AB=AD ，∴AO ⊥BD AO BD 2 1S ABD ?=?，CO BD 21 S BCD ?=? CO BD 2 1 AO BD 21S S S BCD ABD ABCD ?+?=+=∴??四边形 AC BD 2 1 )CO AO (BD 21?=+= 方法二：∵AB=AD ， ∴点A 在线段BD 的中垂线上。 又∵CB=CD ，∴点C 与在线段BD 的中垂线上， ∴AC 所在的直线是线段BD 的中垂线，即BD ⊥AC ； A B C D O
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°
2020年河南省中考数学模拟试题含答案 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用黑色水笔把答案直接写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 一、选择题 （每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母 涂在答题卡上． 1．下列各数中，最小的数是 A ．3 B ． 32 C ．2p D ．23 - 2．据报道，中国工商银行2015年实现净利润2 777亿元．数据2 777亿用科学计数法表示为 A ．2.777×1010 B ．2.777×1011 C ．2.777×1012 D ．0.2777×1013 3．下列计算正确的是 A ．822-= B ．2(3)-＝6 C ．3a 4－2a 2＝a 2 D ．32()a -＝a 5 4．如图所示的几何体的俯视图是 5．某班50名同学的年龄统计如下： 年龄（岁） 12 13 14 15 学生数（人） 1 23 20 6 该班同学年龄的众数和中位数分别是 A ．6 ,13 B ．13，13.5 C ．13，14 D ．14，14 A B C D （第4题）
6．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为 A ． 6 B ．9 C ．12 D ．15 7．如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定．．．正确的是 A ．CD ⊥A B B ．∠OAD ＝2∠CBD C ．∠AO D ＝2∠BCD D ．弧AC ＝ 弧BC 8．从2，2，3，4四个数中随机取两个数，第一个作为个位上的数字，第二个作为十位上的 数字，组成一个两位数，则这个两位数是2的倍数的概率是 A ．1 B ．45 C ．34 D ． 12 9．如图，CB 平分∠ECD ，AB ∥CD ，AB 与EC 交于点A ． 若∠B ＝40°，则∠EAB 的度数为 A ．50° B ． 60° C ． 70° D ．80° 10．如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A →C →B 运动，到达B 点即停止运动，PD ⊥AB 交AB 于点D ．设运动时间为x （s ），△ADP 的面积为y （cm 2），则y 与x （第6题） O A B C D D （第7题） P A B C D A B C D （第10 题） （第9题） E A C D B
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时． （1）求弦AC的长； （2）求证：BC∥PA． 【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC?BG．
【2014】23、（本题满分是8分） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求AC的长。 A B D O C (第23题图)
【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点， （1）求证：∠ABC+∠ACB=0 90 （2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值. 【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ； （2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． （第23题图）
【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0 60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D (1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长 【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE （1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径