正视图 侧视图
俯视图
河南省豫南九校2011-2012学年高三上学期第一次联考（数
学理）
命题学校：泌阳县第一高级中学
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 1．复数32
i
i -+的虚部为 （ ）
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
2.设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是 （ ） A ．M N R = B ．{|01}M N x x =<< C ．N N ∈ D ．M N φ= 3． 已知平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60?，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．从
22
1x y m n
-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 （ ）
A ．
12
B ．
47
C ．
23
D ．
34
5．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长 分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
6．已知43sin()sin 0,32π
π
ααα+
+=-<<则2cos(3πα+等于（ ） A ．45- B ．3
5
- C ．35 D ．45
7设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，
则曲线r 的离心率等于（ ）
A ．1
322或
B ．23或2
C ．12
或2 D ．23
32或
8．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同
的分配方案的种数为（ ）
A ．80
B ．120
C ．140
D ． 50
（9）在(3
x －23x)11 的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则
∫1
x p dx 等于 （A ）1 （B ）
6
7 （C ）7
6 （D ）1113
10．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”： ||||sin ,m n m n θ*=?其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a b c 、、，下列结论正确的是 A ．若,a b a c *=*则b c = B ．()()a b c a b c *=*
C ．()a b a b *=-*
D ．()a b c a c b c +*=*+*
11．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，
则点C 到平面A 1DM 的距离为（ ）
A 6
B 6
C 2
D ．
12
a 12.已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的增函数，函数 y = f (x －1) 的图象关于点 (1, 0)
对称. 若对任意的 x, y ∈R ，不等式 f (x 2－6x + 21) + f (y 2
－8y) < 0 恒成立，
则当 x > 3 时，x 2 + y 2
的取值范围是（ ） （A ）(3, 7) （B ）(9, 25) （C ）(13, 49) （D ）(9, 49)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分。把答案填在答题卷中的横线上。）
13．设等比数列{}n a 的公比1
2q =
，前n 项和为n S ，则44
S a = 。 14．设曲线ax y e =在点（0，1）处的切线与直线21x y ++=0垂直，则a= 。 15．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)1000,1500，
,的人数依次为1、
2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的S = ．（用数字作答）
月收入（元）
频率/组距
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
0.0008
0.0004
0.00030.0001
否
输入A 1，A 2，.……A 6
i=i+1
开始
结束
输出S i<7？S ＝0,i ＝2
S ＝S+A i
是
图甲 图乙
16．下列说法： ①“,23x x R ?∈>使”的否定是“,3x x R ?∈≤使2”； ②函数sin(2)sin(2)36
y x x ππ
=+
-的最小正周期是;π ③命题“函数0()f x x x =在处有极值，则0'()0f x =”的否命题是真命题；
④()f x ∞∞ 是（-,0）(0,+)上的奇函数，0x >时的解析式是()2x f x =，则0x <时的解析式为()2.x f x -=-其中正确的说法是 。
三、解答题（本大题共5小题共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =211
n a -(*n ∈N )，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
如图已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2
的正方形， PD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点． （Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB 和DE 所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P-BF-C 6
P-ABCD
的体积． 19．（本小题满分12分）
2011年深圳大运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都
有K 和D 两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
（I ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第
一名的概率；
（II ）若该运动员选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望EX 。
A B
E
C
P
D F
20． （本小题满分１２分）
已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
-2
4
2
y
32-
-4
2
2[来源:https://www.doczj.com/doc/304589783.html,]
（Ⅰ）求12的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且
满足OM ON ⊥
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数()(1)ln(1)(1).f x ax a x a =-++>- （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0a >时，设()f x 的最小值为(),()g a g a t <若恒成立，求实数t 的取值范围。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 是⊙O 切线，A 为切点，PBC 为割线，弦CD//AP ，AD 、BC
相交于E 点，F 为CE 上一点，且2
.DE EF EC =?
（1）求证：A 、P 、D 、F 四点共圆；
（2）若AE ·ED=24，DE=EB=4，求PA 的长。 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()||f x x a =-.
（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}
15x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
豫南九校第一次联考理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13 15 14 2 15 6000 16 ①④
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
1127
21026
a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+22
?=2n +2n 。………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
2
1
1
n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1?， 所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4
n+1?n
4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
。……………12分
18．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点，ABCD 是边长为2的正方形 ?DF ∥BE 且DF =BE ?DFBE 为平行四边形 ? DE ∥BF ?DE PB PBF 与是∠的所成角．
PBF ?中，BF=5 ,PF=2，PB=3?5
5
2cos =
∠PBF ?异面直线PB 和DE 所成角的余弦为5
5
2………………6分
（Ⅱ）以D 为原点，射线DA,DC,DP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设PD=a,
可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=
因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，
设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得 0
=0
PF FB ??=?????
n n 即 0+2=0x a z
x y -=??
?
令x=1,得11,2z y a ==-，所以11
(1,,)2a =-n . 由已知，二面角P-BF-C 的余弦
62
1
6
cos <,>||||514a a ?=
==
+m n m n m n 解得2=a ．………10分 因为PD 是四棱锥P-ABCD 的高，所以，其体积为18
2433
P ABCD V -=??=．………12分
A
B
E C
P
D
F
19．（本题满分12分）
解: I ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．……1分 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系
列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名． ……2分 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ，“该运动员完成D 动作得40分”为事件B ，
则P （A ）＝3
4
，P （B ）＝34
． …………4分
记“该运动员获得第一名”为事件C ，依题意得 P （C ）＝P （AB ）＋()P AB ＝33134
4
4
4×＋×
＝34
． 该运动员获得第一名的概率为34．…………6分
（II ）若该运动员选择乙系列，X 的可能取值是50，70，90，110，
…………7分 则P （X ＝50）＝11
1010
×＝1100，
P （X ＝70）＝
191010×＝9100，P （X ＝90）＝91
1010×＝9100，
P （X ＝110）＝99
1010
×＝81100．
…………9分
X 的分布列为： X 50
70
90
110
P
1
100
9100
9100
81
100
∴EX ＝50×
1100＋70×9100＋90×9100＋110×81
100
＝104． ……12分
20．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设抛物线)0(2:2
2≠=p px y C ，则有)0(22
≠=x p x
y ，据此验证4个点知（3，32-）
、（4，-4）在抛物线上，易求x y C 4:2
2= ………………2分
设1C ：)0(:22
222>>=+b a b
y a x C ，把点（-2，0）（2，22）代入得： ??????
?=+=121214
2
22b a a
解得?????==14
22b a ∴1C 方程为1422
=+y x
………………………………………………………………5分 （Ⅱ）法一：
假设存在这样的直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为,1my x =-两交点坐标
为),(),,(2211y x N y x M ，
由?????=+=-14
12
2y x my x 消去x ，得,032)4(22=-++my y m …………………………7分
∴4
3
,4222
1221+-=+-=
+m y y m m y y ① 212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++
4
44434212222
2+-=+-?++-?+=m m m m m m m ② ………………………9分
由OM ON ⊥
，即0=?，得(*)02121=+y y x x
将①②代入（*）式，得04
3
444222=+-++-m m m ， 解得21±=m …………………11分
所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或
22y x =-+…………………………………………………………………………………12分
法二：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分 当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，
与1C 的交点坐标为),(),,(2211y x N y x M
由2
214(1)
x y y k x ??+=??=-?消掉y ，得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=， …………8分 于是 2122814k x x k +=+，2122
4(1)
14k x x k
-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-?-=-++
即222
2
12222
4(1)83(1)141414k k k y y k k k k
-=-+=-+++ ② ………………………………10分 由OM ON ⊥
，即0=?，得(*)02121=+y y x x
将①、②代入（*）式，得 222222
4(1)34
0141414k k k k k k
---==+++，解得2k =±；……11分 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+．………12分
21．（本题满分12分） （Ⅰ）解：11
()(1)11
a ax f x a x x x +-'=-
=>-++， ┄┄┄┄┄┄1分 当0a =时，1
()01
f x x '=-
<+， 所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；
当0a ≠时，1()
()1
a x a f x x -'=
+， 若0a >，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '<得1
1x a -<<，
所以函数()f x 的减区间为1(1,)a -，增区间为1
(,)a
+∞；
若10a -<<，此时11a ≤-，所以1()()01
a x a f x x -'=<+，
所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；
综上，当10a -<≤时，函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间， 当0a >时，函数()f x 的减区间为1
(1,)a -，增区间为1(,)a
+∞．┄6分
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）得，11()()1(1)ln(1)g a f a a a ==-++， ┄┄┄┄┄┄7分
因为0a >，所以()111()0(1)ln(1)0g a t t
g a t a a a a a a
，则()0h x <恒成立， 由于()ln(1)h x x t '=-+-，
当0t ≥时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上是减函数， 所以()(0)0h x h <=成立； ┄┄┄┄┄┄10分
当0t <时，若()0h x '>得01t
x e -<<-，
故函数()h x 在(0,1)t
e --上是增函数，
即对01t
x e -<<-，()(0)0h x h >=，与题意不符；
综上，0t ≥为所求． ┄┄┄┄┄┄12分 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
Ⅰ）证明：2
,DE EF
DE EF EC CE ED
=?∴= ， 又DEF CED ∠=∠，
DEF CED ∴?? ，EDF ECD ∠=∠，
又//,CD PA ECD P ∴∠=∠
故P EDF ∠=∠，所以,,,A P D F 四点共圆．┄┄┄┄5分 (Ⅱ)解：由（Ⅰ）及相交弦定理得24PE EF AE ED ?=?=， 又24BE EC AE ED ?=?=，
28
6,,9,5,153
DE EC EF PE PB PC PB BE EC EC ∴======++=，
由切割线定理得2
51575PA PB PC =?=?=，
所以53PA = ┄┄┄┄10分 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
法一：①由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．
又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以?
??=+-=-531
3a a ，解得a =2. ┄┄4分
②当a =2时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，
于是??
?
??>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,
3,12|3||2|)(x x x x x x x x g
所以当3-
综上可得，g(x )的最小值为5．
从而若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为(]5,∞-．┄┄┄┄10分
法二：①同法一．
②当a =2时，|2|)(-=x x f ．设)5()()(++=x f x f x g ．
由5)3()2(|3||2|=+--≥++-x x x x （当且仅当23≤≤-x 时等号成立），
得)(x g 的最小值为5．从而，若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立．则m 的取值范围为(]5,∞-