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Coincidence of Lyapunov exponents for random walks in weak random potentials

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t h

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8The Annals of Probability 2008,Vol.36,No.4,1528–1583DOI:10.1214/00-AOP368c Institute of Mathematical Statistics ,2008COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS FOR RANDOM WALKS IN WEAK RANDOM POTENTIALS 1By Markus Flury University of Z¨u rich We investigate the free energy of nearest-neighbor random walks on Z d ,endowed with a drift along the ?rst axis and evolving in a nonnegative random potential given by i.i.d.random variables.Our main result concerns the ballistic regime in dimensions d ≥4,at which we show that quenched and annealed Lyapunov exponents are equal as soon as the strength of the potential is small enough.1.Introduction and main results.1.1.Random walk in random potential.Let S =(S (n ))n ∈N 0be a nearest-neighbor random walk on the lattice Z d ,with start at the origin and drift h in the direction of the ?rst axis.We suppose S to be de?ned on a prob-ability space (?,F ,P h )and we denote by E h the associated expectation.Such a random process is characterized by the distributions of its ?nite-step subpaths S [n ]def =(S (0),...,S (n )),n ∈N .In the nondrifting case h =0,these distributions are uniform on the nearest-neighbor paths in Z d .That is,for n ∈N and x 0the origin,we have P 0[S [n ]=(x 0,...,x n )]= 1

Received October 2006;revised September 2007.1Supported by the Swiss National Fund under contract nos.20-55648.98,20-63798.00and 20-100536/1.

AMS 2000subject classi?cations.Primary 60K37;secondary 34D08,60K35.

Key words and phrases.Random walk,random potential,Lyapunov exponents,inter-acting path potential.

This is an electronic reprint of the original article published by the Institute of Mathematical Statistics in The Annals of Probability ,2008,Vol.36,No.4,1528–1583.This reprint di?ers from the original in pagination and typographic detail.

2M.FLURY

to the nondrifting case by means of the density function

dP h S[n]?1

E0[exp(h·S1(n))],n∈N,

(1.1)

with S1denoting the?rst component of S.

The random walk S is a Markov chain with independent growths,which means the following.Suppose m,n∈N0and set

S[m,n]def=(S(m),...,S(n)).

When x0,...,x n∈Z d ful?ll P h[S[n]=(x0,...,x m)]>0,we have

P h[S[m,n]=(x m,...,x n)|S[m]=(x0,...,x m)]

=P h[S[n?m]=(x m?x m,...,x n?x m)].

We will constantly make use of this property and will simply refer to it as the Markov property(committing a slight abuse of standard terminology). In addition to the in?uence of the drift,we want S to underlie the in?uence of a random potential on the lattice.To this end,let V=(V x)x∈Z d be a family of independent,identically distributed random variables,independent of the random walk itself,with ess inf V x=0and E V d x<∞.To avoid trivialities, we also assume P[V x=0]<1.

Using the random potential V,we are now able to introduce path mea-sures for the random walk.Thereby,we distinguish between the so-called quenched setting,where the path measure depends on the concrete realiza-tion of the potential V,and the annealed setting,where the measure depends on averaged values of the potential only.

The quenched path potential is given by

Φqu V,β(N)def=β

n=1V S(n),N∈N,

where the so-called inverted temperatureβ≥0is a parameter for the strength of the potential.The quenched path measure is de?ned by means of the den-sity function

dQ qu V,h,β,N

Z qu V,h,β,N

,N∈N,

where the normalization

Z qu V,h,β,N def=E h[exp(?Φqu V,β(N))],N∈N,

is called the quenched partition function.The quenched setting de?nes a discrete-time model for a particle moving in a random medium.Here,the path measure is itself random,the randomness coming from the random

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS3 environment V.Under a concrete realization of the path measure,the walker jumps from site to site,thereby trying to stay in regions where the potential takes on small values.The drift,however,implies a restriction in the search for such an“optimal strategy”by imposing a particular direction on the walk.

The annealed path measure is de?ned by means of the density function

dQ an h,β,N

E Z qu

V,h,β,N

,N∈N,

and E Z qu V,h,β,N is called the annealed partition function.While our main interest lies in the quenched setting,the annealed model no longer depends on the realizations of the environment and is thus easier to handle.A walker under the annealed measure?nds himself in a similar situation as in the quenched setting.To see this,observe that the quenched potential can be expressed by

Φqu V,β(N)=β x∈Z d?x(N)V x,

where

?x(N)def=

n=11{S(n)=x}

denotes the number of visits to the site x∈Z d by the N-step random walk S[1,N].An annealed path potential is given by

Φanβ(N)def= x∈Z d?anβ(?x(N)),N∈N,

where

?anβ(t)def=?log E exp(?tβV x),t∈R+,

(1.2)

is a nonnegative function which is concave increasing by the H¨o lder inequal-ity.Now,by the independence assumption on V,it is easily seen that

dQ an h,β,N

Z an h,β,N

where the normalizing constant

Z an h,β,N def=E h[exp(?Φanβ(N))]

equals the annealed partition function E Z qu V,h,β,N.By the concavity of?anβ, the more often the random walk intersects its own path,the smaller the potentialΦanβ.Therefore,on the one hand,it is convenient for the walker to

4M.FLURY

return to places he has already visited,while on the other hand,he is urged to proceed in the direction of the drift.

In a similar model in a continuous setting,namely Brownian motion in a Poissonian potential,the contrary in?uence of drift and potential on the long-time behavior of the walk was?rst studied by A.S.Sznitman.By means of the powerful method of enlargement of obstacles,he established a precise picture in both quenched and annealed settings(see Chapter5of his book [12]).Among his results there is an accurate description of a phase transition from localization for largeβ(or small h)to delocalization for smallβ(or large h).In the delocalized phase,the random walk is ballistic,that is,the displacement of S(N)from the origin grows of order O(N),while in the localized phase,the walk behaves sub-ballistic,that is,the displacement is of order o(N).The analogous results for the discrete setting have been established by Zerner in[15]and Flury in[7].

1.2.Lyapunov exponents.The above results on the transition from sub-ballistic to ballistic behavior are based on large deviation principles for the random walk under the path measures and on phase transitions for the quenched and annealed free energies

log Z qu V,h,β,N and log Z an h,β,N.

The free energies are important values for the study of the path measures. The moments of the path potential under these measures,for instance,may be evaluated by di?erentiating the free energies with respect to the inverted temperature.For a more direct motivation in the context of random branch-ing processes,and a thorough study of the one-dimensional case,we refer to [8]by Greven and den Hollander.

The main subject of the present article is the long-time behavior of the free energies.We?rst deal with the phase transitions in this behavior,as established in[7].The associated phase diagrams coincide with the ones for the random walk itself.They are characterized by values from the so-called point-to-hyperplane setting.For h>0,β≥0and L∈N,we set

Z an h,β,L def=

∞

n=1E h[exp(?Φanβ(n));{S1(n)=L}].

Theorem A.For anyβ≥0,there are continuous,nonnegative func-tions m an(·,β)on R+such that

log

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS5

log

log Z qu V,h,β,N,

m an(h,β)=?lim

N→∞

m qu(0,β)≥h,

λh?λˉh qu(h,β),if

m an(0,β)≥h,

λh?λˉh an(h,β),if

m qu(ˉh qu(h,β),β)=h?ˉh qu(h,β),

n log Z h·e1

n,ω

,P-a.s.,

m an(h,β)=λh?lim n→∞1

m qu(ˉh,β)=

m an(ˉh,β)=

6M.FLURY

the random walk is already stopped at its?rst entrance into the hyperplane has no e?ect on the limits in Corollary C of[7](as will become clear in Section2.1).

In accordance with the long-time behavior of the random walk itself, in Theorem A,we have the following picture for the behavior of the free energies:in the sub-ballistic regime,the walker remains near the origin in the annealed case and in regions with small potential in the quenched case. Therefore,since

?anβ(t)

lim

t→∞

log E0[exp(h·S1(n))].

In the ballistic regime,on the other hand,the walk obeys the drift and dislocates with a nonvanishing velocity.As a consequence,the path potential and the“spatial part”of the density for the drift must not be neglected,as they contribute the subtraction termλˉh qu(h,β),respectivelyλˉh an(h,β),to the corresponding Lyapunov exponent(see[7]for a rigorous interpretation of this last point).

1.3.Main results and preliminaries.Our?rst new result concerns the simpler annealed setting.For h>0,the critical parameterβan c(h)for the phase transition is given by

,N∈N.

K h,β

(b)m an is analytic on the open set{(h,β)∈(0,∞)2:β=βan c(h)}.

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS7 Part(a)of Theorem B is established in Section3.1,essentially by sub-additivity arguments.The sub-ballistic part in(b)is a straightforward con-sequence of Theorem A.The more complicated ballistic part is proved in Section3.2by renewal techniques.

The next theorem is the main result of this article.It concerns dimensions d≥4and nonvanishing drifts h>0.It states that quenched and annealed Lyapunov exponents coincide once the strength of the potential is chosen to be small enough.

Theorem C.Suppose d≥4and h>0.There then existsβ0>0such that

m qu(h,β)=m an(h,β)

for allβ≤β0.Moreover,when V x is essentially bounded,there exists K fr.e.<∞such that

√

E|log Z qu

V,h,β,N?log Z an h,β,N|≤K fr.e.(1+β

8M.FLURY

In order to achieve a heuristic understanding of Theorem D,we consider

two independent copies S1=(S1(n))n∈N

0and S2=(S2(n))n∈N

of the ran-

dom walk S.For x∈Z d,we set

?1x(N)def=

n=11{S1(n)=x}and?2x(N)def=N n=11{S2(n)=x}.

Recall that we have Z an h,β,N=E Z qu V,h,β,N,by the independence assumption on the potential.In a similar way,and by the independence of S1and S2,we obtain

E(Z qu

V,h,β,N

)2=E h exp ? x∈Z d?anβ(?1x(N)+?2x(N)) , (E Z qu V,h,β,N)2=E h exp ? x∈Z d?anβ(?1x(N))+?anβ(?2x(N)) ,

where E h denotes the expectation with respect to the product measure P h?P h.With the further notation

Ψβ,N def= x∈Z d?anβ(?1x(N))+?anβ(?2x(N))??anβ(?1x(N)+?2x(N)) (1.3)

and with E an h,β,N the expectation with respect to the annealed product path measure Q an h,β,N?Q an h,β,N,we thus have

E(Z qu

V,h,β,N

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS9 side of(1.4)should then stay bounded as N→∞because of(1.5)and limβ↓0?anβ(1)=0.

The equality of the Lyapunov exponents,knowing that the quenched free energy is deterministic,is obtained from Theorem D by rather elementary methods.On the other hand,the estimate of the speed of convergence for the free energy has a more complicated derivation,requiring a concentra-tion inequality for the quenched free energy.In this particular model,the usual concentration estimate is not sharp enough.For this reason,we re-place Z qu V,h,β,N by a modi?ed partition function.For h>0,β≥0,k∈R+ and N∈N,we de?ne

Z qu V,h,β,k,N def=E h e?β x∈Z d?x(N)V x(ω); x∈Z d?x(N)2≤kN .

The justi?cation for such a replacement is given in the following lemma, which is proved in Section3.3.

Lemma E.Suppose h>0andβ0<βan c(h),and let K h,β

0be chosen

according to Theorem B.For anyε<1/K h,β

0,there then exists kε<∞

such that

E Z qu

V,h,β,kε,N≥εZ an h,β,N

for all N∈N andβ≤β0.

By Theorem A,Theorem D and Lemma E,we now have the means to prove the coincidence of the Lyapunov exponents and to estimate the speed of convergence for the free energy.

Proof of Theorem C.By the quenched part of Theorem A,we have

lim

N→∞

log Z qu V,h,β,N≥?m an(h,β) ≥lim inf N→∞P Z qu V,h,β,N≥1

2E Z qu

V,h,β,N

+(E(Z qu V,h,β,N)2)1/2P[Z qu V,h,β,N≥1

E Z qu

V,h,β,N ≥1E(Z qu V,h,β,N)2.

(1.6)

10M.FLURY

The lower estimate for m qu (h,β)thus follows from Theorem D .

We proceed to the estimate for the speed of convergence.Assume that

V def =ess sup V x <∞.

We ?rst investigate the modi?ed partition function Z qu V ,h,β,k,N .For N ∈N ,let M qu h,β,k,N be a median of log Z qu V ,h,β,k,N ,that is,a real number M qu h,β,k,N with

P [log Z qu V ,h,β,k,N ≤M qu h,β,k,N ]≥

12.Also,let B N def ={x ∈Z d : x 1≤N }and let f :[?1,1]B N →R be given by

f k (v )def =lo

g E

h e ?βV x ∈B N ?x (N )v x ;

x ∈B N

?x (N )2≤kN

for v =(v x )x ∈B N ∈[?1,1]B N .We then obviously have log Z qu V ,h,β,k,N =f k ?(V x /V )x ∈B N .Since the function f is convex by the H¨o lder inequality,the sets f ?1((?∞,a ])for a ∈R are also convex.In addition,for any v,w ∈[?1,1]B N ,we have

|f k (v )?f k (w )|

≤sup βV

x ∈B N ?x |v x ?w x |:?∈N B N 0with x ∈B N ?2x ≤kN

≤βV √kN .We can thus apply

Theorem 6.6of [13]to obtain the concentration inequality

P [|log Z qu V ,h,β,k,N ?M qu h,β,k,N |≥t ]≤4exp ?t 2

16β2kV 2N dt

(1.8)

=8V β√

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS11 It remains to?nd an estimate for|log E Z qu V,h,β,k,N?M qu h,β,k,N|.By the de?-nition of the median and an application of the Markov inequality,we have 1

2E Z qu

V,h,β,k,N

)?M qu h,β,k,N.Since we are looking for an

upper bound,we can suppose t k,N≥0.Again from(1.7),we obtain P Z qu V,h,β,k,N≥1

16β2V2kN . Moreover,analogously to(1.6),we know that

P Z qu V,h,β,k,N≥14(E Z qu V,h,β,k,N)2

E(Z qu

V,h,β,kε,N )2≥ε2

(E Z qu V,h,β,N)2

K s.m.

(1.12)

for allβ≤β0and N∈N.A combination of(1.10),(1.11)and(1.12)then implies that

t k

ε,N≤βK1

√

kεlog

16K s.m.

N+log2

(1.13)

and thus,as consequence of(1.8),(1.9)and(1.13),

E|log E Z qu

V,h,β,kε,N?log Z qu V,h,β,kε,N|≤βK2

√

kεπ+K1.

12M.FLURY

It remains to transfer(1.14)to the unmodi?ed partition functions.By the triangle inequality,|log E Z qu V,h,β,N?log Z qu V,h,β,N|is bounded by

log E Z qu V,h,β,N?log E Z qu V,h,β,kε,N+|log E Z qu V,h,β,kε,N?log Z qu V,h,β,kε,N|?log Z qu V,h,β,kε,N+log E Z qu V,h,β,kε,N?log E Z qu V,h,β,kε,N+log Z qu V,h,β,N. In order to handle the last summand in the above formula,recall also that

E log Z qu

V,h,β,N≤log E Z qu V,h,β,N,

by Jensen’s inequality.From(1.14)and Lemma E,we thus obtain

E|log E Z qu

V,h,β,N?log Z qu V,h,β,N|

≤2log E Z qu V,h,β,N

N+2log2

for allβ≤β0and N∈N.By setting K fr.e.def=2max{K2,log2?logε},the proof of Theorem C is completed.

For the proof of Theorem B,Theorem D and Lemma E,it remains to consider the annealed setting only.In Section2,we deal with the“point-to-hyperplane”setting.That is,under the annealed path measure,we analyze ?nite paths S[n]with S1(n)=L for?xed L∈N.In the?rst two subsections, such paths are approximated by more speci?c paths,the so-called bridges, and a renewal formalism is found by introducing irreducibility for bridges. In Section2.3,we then prove the existence of a gap between the exponential decay rates of arbitrary and irreducible bridges.

In Section3.1,we introduce an analogous renewal formalism for the “?xed-number-of-steps”setting.In Section3.2,the exponential gap from Section2.3is transferred to that setting,implying the crucial part of Theo-rem B,namely analyticity of the Lyapunov exponent in the ballistic regime. With the renewal formalism and the exponential gap,we then also have the means to prove Lemma E,which is done in Section3.3.

Finally,Section4is devoted to the proof of the second-moment estimate in Theorem D.It is based on a local decay estimate for sums of independent random variables and again on the gap between the exponential behaviors of arbitrary and irreducible bridges.

2.Endpoint in given hyperplane.As in the previous section,we consider

a nearest-neighbor random walk S=(S(n))n∈N

0on Z d,with start at the

origin and drift h in the direction of the?rst axis,de?ned on a probability space(?,F,P h).

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS13 In this section,we investigate the behavior of?nite random paths with start at the origin and endpoint in a hyperplane

H L def={(ξ1,...,ξd)∈Z d:ξ1=L},

exponentially weighted by a nonrandom path potentialΦβ.We therefore allow a more general setting forΦβthan for the annealed path potentialΦanβfrom Section1.More precisely,we assume that?:R+→R+is a nonconstant, concave increasing function with

lim t→0?(t)=?(0)=0

(2.1) and

lim t→∞?(t)=∞,

(2.2)

lim

t→∞

?(t)

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We derive some elementary properties of the path potentialΦβarising from the assumptions on?β.For N,M∈N0with M≤N,let

R(N)def={x∈Z d:?x(N)≥1},

R(M,N)def={x∈Z d:?x(M,N)≥1}

denote the sets of sites visited by S[1,N],respectively S[M+1,N]. Lemma2.1.(a)For anyβ≥0and N∈N0,we have

?β(1)?R(N)≤Φβ(N)≤?β(1)N.

(b)For anyβ≥0and M,N∈N0with M≤N,we have

Φβ(N)≤Φβ(M)+Φβ(M,N).

Moreover,ifω∈{R(M)∩R(M,N)=?},we have

Φβ(N,ω)=Φβ(M,ω)+Φβ(M,N,ω).

(c)For anyβ≥0and M1,M2,N∈N0with M1≤M2≤N,we have

Φβ(N)≥Φβ(M1,M2).

Moreover,ifω∈{R(M1)∩R(M2,N)=?},we have

Φβ(N,ω)≥Φβ(M1,ω)+Φβ(M2,N,ω).

Proof.(a)For the lower bound,we use the monotonicity of?βto obtain

Φβ(N)= x∈R(N)?β(?x(N))≥ x∈R(N)?β(1)=?β(1)?R(N).

For the upper estimate,we inductively apply the concavity of?βto obtain Φβ(N)= x∈Z d?β(?x(N))≤ x∈Z d?β(1)?x(N)=?β(1)N.

(b)By the concavity of?βand(2.1),we have

Φβ(N)= x∈Z d?β(?x(M)+?x(M,N))

≤ x∈Z d?β(?x(M))+?β(?x(M,N))

=Φβ(M)+Φβ(M,N).

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS15 Forω∈{R(M)∩R(M,N)=?},we have

Φβ(N,ω)= x∈R(M,ω)?β(?x(N,ω))+ x∈R(M,N,ω)?β(?x(N,ω))

= x∈R(M,ω)?β(?x(M,ω))+ x∈R(M,N,ω)?β(?x(M,N,ω))

=Φβ(M,ω)+Φβ(M,N,ω).

(c)The monotony of?βimplies that

Φβ(N)= x∈Z d?β(?x(N))≥ x∈Z d?β(?x(M1,M2))=Φβ(M1,M2). Forω∈{R(M1)∩R(M2,N)=?},we have

Φβ(N,ω)≥ x∈R(M1,ω)?β(?x(N,ω))+ x∈R(M2,N,ω)?β(?x(N,ω))

≥ x∈R(M1,ω)?β(?x(M1,ω))+ x∈R(M2,N,ω)?β(?x(M2,N,ω))

=Φβ(M1,ω)+Φβ(M2,N,ω).

2.1.Masses for paths and bridges.We start with a few comments on the process of the?rst components of S,that is,

S1def=(S1(n))n∈N0.

The process S1is itself a random walk on Z,again with independent incre-ments and drift in the positive direction.It can be expressed by

S1(n)=

m=1(S1(m)?S1(m?1))

for n∈N,where the random variables(S1(m)?S1(m?1))m∈N are inde-pendent and identically distributed.Since E h S1(n)>0for h>0,we then have

P h[S1(n)→∞as n→∞]=1,

by the strong law of large numbers.This convergence property,as we show next,implies transience to the process S1,which is here equivalent to the fact that the probability

α(h)def=P h[S1(n)>0for all n∈N]

(2.5)

16M.FLURY

is strictly greater than zero:for h>0,and with m∈N0denoting the last time the random walk S1is in L∈N0,we have

∞

m=0P h[S1(m)=L,S1(m+n)>L for all n∈N]

∞

m=0P h[S1(n)=L]P h[S1(n)>0for all n∈N]

and therefore

∞

m=0P h[S1(m)=L]=1

P h[S1(1)=1]

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS17 sinceα(h)>0by(2.6),and therefore

P h[S1(1)=?1]

P h[H?1<∞]=

Z an h,β,L from the point-to-hyperplane setting of Section1is given by

G h,β(L)≤

G h,β(L)≥E h[exp(?Φβ(L));{S1(L)=L}],

which implies the lower estimate.Forω∈{S1(N)=L},we obviously have L≤?R(N,ω).From Lemma2.1(a),we thus obtain

E h[exp(?Φβ(L));{S1(N)=L}]≤e??β(1)L P h[S1(N)=L]

for all L∈N,from which the lower estimate now follows by(2.6).

We are interested in the exponential behavior of

18M.FLURY

For L∈N and M,N∈N0with M≤N,we de?ne

br(L;N)def={S[N]is a bridge of span L},

br(L;M,N)def={S[M,N]is a bridge of span L}.

For h,β≥0and L∈N,we further de?ne

b h,β(L;N)def=E h[exp(?Φβ(N));br(L;N)],

B h,β(L)≤e??β(1)L.

Proof.The lower estimate is proved as in Remark2.3.For the upper estimate,observe that

b h,β(L;N)≤b h,0(L;N)e??β(1)L

for L≤N by Lemma2.1(a).By the Markov property,we furthermore have

b h,0(L;N)=P h[0≤S1(n)

and thus

=inf a n

B h,β)L∈N.The subadditivity property is a consequence of the following lemma.

COINCIDENCE OF LYAPUNOV EXPONENTS19 Lemma2.6.For h,β≥0and L1,L2∈N,we have

B h,β(L1)

B h,β(L1+L2)≤1

B h,β(L1)

B h,β(L1+L2)≥

∞

N=1N?1 M=1E h[e?Φβ(M)1br(L1;M)e?Φβ(M,N)1br(L2;M,N)]

∞

N=1N?1 M=1b h,β(L1;M)b h,β(L2;N?M)

=B h,β(L2),

which proves the lower estimate of the lemma.

The upper estimate is shown in a similar way.The event br(L1+L2;N) is contained in the union

N?1

M1=1N?1 M2=M1br(L1;M1)∩{S1(M2)=L1}∩br(L2;M2,N),

in which M1,forω∈br(L1+L2;N),may be chosen as the time of the?rst

visit of S[N](ω)to the hyperplane H L

1,and where M2stands for the time of

the last visit to H L

1.By splitting over all possible values of M1and M2,and

using Lemma2.1(c)and the Markov property to renew the random walk at these times,we obtain

20M.FLURY

×eΦβ(M2,N)1br(L2;M2,N)]

∞

N=1N?1 M1=1N?1 M2=M1b h,β(L1;M1)P h[S1(M2?M1)=0]b h,β(L2;N?M2)

=B h,β(L2)

∞

m=0P h[S1(m)=0],

from which the upper estimate of the lemma follows by(2.6).

Proposition2.7.For any h,β≥0,the mass

B h,β(L)

B h,βexists in[?β(1),∞),is continuous as function on R+×R+and satis?es

m B(h,β)L

(2.9)

for all L∈N.Moreover,for nonvanishing h>0,we have

m B(h,β)L

(2.10)

for all L∈N.

Proof.The sequence(?log

m B(h,β)=inf ?log L:L∈N ∈[?∞,∞),

which includes the existence of the limit and implies the estimate in(2.9). The lower bound?β(1)for the mass

m B is upper semicontinuous.In order to obtain lower semicontinuity,it is convenient to consider

Bλ,β(L)def=∞ N=1E0[exp(?Φβ(N)?λN);br(L;N)]

forλ≥0and L∈N.By the de?nition of P h in(1.1),we have

m B(λh,β)def=lim L→∞?log Bλh,β(L)m B(h,β)+h,

whereλh=log E0[exp(h·S1(1))].It consequently su?ces to show that m B is lower semicontinuous.

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。

Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。一，稳定性的概念稳定性的概念初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题 ax dt dx = ， x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e x at t x 0 )(= ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x 0|多小，只要 |x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e x at t x 0 )(= 。与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程 ),(x t f dt dx =， x(t 0)=x 0 , x ∈R n (2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件： f (t ，0)=0 (3) (3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】 Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍容。（1）定义法

X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵

高等代数二次型

第五讲二次型一、二次型的概念及标准形 1、二次型的概念及几种表述数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。有以下几种表述方式：（1）1211 (,,,)n n n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑；（2）22 2 12111222(,,,)2n nn n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x <=++ ++∑；（3）12(,, ,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ?=，且T A A =，并称A 为二次型的矩阵。 2、矩阵合同（1）设,,n n A B F ?∈若存在可逆矩阵n n T F ?∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。（2）合同是矩阵间的一种等价关系。（3）二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。 3、标准形（1）二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +称为标准形。（2）任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。（3）任何对称矩阵都合同于一个对角阵。 4、复数域上二次型的规范形（1）复二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1i d =或0，称为复数域上的规范形。（2）任何复二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范形22 21212(,, ,)n r f x x x y y y =++ +，其中r A =秩，且规范形是唯一的。（3）任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r E ?? ??? ，其中r A =秩。（4）两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。 5、实数域上二次型的规范形（1）实二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1,1i d =-或0，称为实数域上的规范形。（2）任何实二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范形22 22 212121(,, ,)n p p r f x x x y y y y y +=+++-- -，其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。（3）惯性定理任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。（1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子

dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps;

二次型的正定性在函数极值判定中的

二次型的正定性在函数极值判定中的应用函数的极值在微分学的理论与应用中是极为重要的。关于一元函数与二元函数极值的判定比较容易，但是，对于两个以上自变量的多元函数的极值的判定就比较困难了，并且在《微积分》与《高等数学》的教科书上也没有一般的结论。虽然用正定二次型的理论判定多元函数极值存在的充分条件是很方便的，由于教学中线性代数的内容安排在微积分之后，因此求多元函数极值的问题始终不能通过课堂教学得到解决。这里从二元函数的极值入手，利用正定二次型的结论，给出一般多元函数极值判定的一个充分条件。二元函数极值判别的一个的充分条件为： ),(y x f z =设函数在点的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数，且 ),(y x f z =),00y x （0),(),(0000=′=′y x f y x f y x 记，，),(00y x f A xx ′′=),(00y x f B xy ′′=),(00y x f C yy ′′= （1）若且0（或），则为极小值；若且（或），则为极大值。 02A 0>C ),(00y x f 02?AC B ),(00y x f （3）若，则是否为极值，需进一步讨论才能确定。 02=?AC B ),(00y x f 若记，我们可以用二次型的正定性将这个结论叙述为： ????????′′′′′′′′=),(),(),(),(),(0000000000y x f y x f y x f y x f y x H yy xy xy xx ??????? ?=C B B A （1）如果为正定矩阵（且或），则为极小值；如果为负定矩阵（且),00y x H （02A 0>C ),(00y x f ),00y x H （02

Lyapunov方程求解(附件)

广西大学实验报告纸学院：电气工程学院专业：自动化成绩：组员：陈平忠（1302120238）黄智榜（1302120237）班级：实验地点：808实验室 2015年12月 18日实验内容：Lyapunov 方程求解【实验目的】 1、掌握求解Lyapunov 方程的一种方法，了解并使用MATLAB 中相应函数。【实验设备与软件】 1、硬件：PC 机一台；软件：MATLAB/Simulink 。【实验原理】 1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov 方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程： Q PA P A T -=+ 该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程： Q P PG G T -=- 该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。 2、在MATLAB 控制工具箱中，函数lyap 和dlyap 用来求解lyapunov 方程。 P =lyap （T A ,Q )可解连续时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和A 为具有相同维数的方阵（A 是系统矩阵）。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。 P =dlyap （T G ，Q ）可解离散时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和G 为具有相同维数的方阵(G 是系统矩阵)。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。 3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容：输入连续状态空间模型()∑=D C,B,A,:

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日

目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

化二次型为标准形的方法

编号2009011146 毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1) ０引言 (1) 1矩阵及二次型的相关概念 (1) 1．1矩阵的相关概念 (1) 1．2二次型的相关概念 (2) 2化二次型为标准形的方法 (3) 2．1配方法 (3) 2．2初等变换法（合同变换法） (5) 2．3正交变换法 (6) 2．4雅可比法 (8) 2．5MATLAB法 (12) 3 小结 (14) 参考文献 (15) 英文摘要 (15) 致谢 (16)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二O一年月日

化二次型为标准形的方法王瑜完巧玲（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000 ）摘要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的．关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比. ０引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 py x =将其化为2 1i n i i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法． 1 矩阵及二次型的相关概念 1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基． i ) n ααα,,,21 线性无关； ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量β j ，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设

二次型的应用与思想方法

第一章绪论二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透. 下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.

第二章二次型的基本知识 2.1 二次型的定义在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式 222ax bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴） cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-??''=+? (2) 把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到. 设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21 的二次齐次多项式 2121111212112 2222 22()222n n n n n nn n f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x . =++++++++ （3）称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如: 222 112132233 3243x x x x x x x x x +++++. 就是有理数域上的一个三元二次型. 2.2 二次型的矩阵表示首先我们引入定义：定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系 1111122122112222112. n n n n n n n n nn n x c y c y c y , x c y c y c y ,x c y c y c y =+++??=+++??? ?=+++? (4) 称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,如果系数行列式

化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、二次型及其矩阵表示在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

Lyapunov指数的计算方法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0 x-c];

二次型及其应用

学生毕业论文课题名称二次型及其应用姓名兰海峰学号 1209401-23 学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学指导教师陈暑波副教授 2016 年 3月 15日 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※ ※ ※※※※※※※※※ 2016届学生毕业论文材料（四）

湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业设计（论文）作者签名：二○一六年六月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1. 二次型基本理论 (2) 1.1 二次型的矩阵表示 (2) 1.2 矩阵的合同关系 (2) 1.3 二次型的标准型、规范型及其性质 (3) 1.4 正定二次型及其性质 (3) 2. 二次型的实例应用 (5) 2.1 二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1 二次型与因式分解 (5) 2.1.2 二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4 求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5 二次型与条件极值 (12) 2.2 二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1 二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2 二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18)

二次型与极值

二次型与极值摘要 n元函数极值的判别法很多，在本文中我们将利用二次型来判别n元函数的普通极值与条件极值并应用到二元函数上。首先，再讨论二次型与普通极值的关系时我们先讨论极值存在的必要条件，再讨论极值存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），在讨论第一充分条件是利用函数的连续性，而在讨论极值存在的第二充分条件中以二阶偏导数和泰勒展开式的知识为基础，利用二次型的性质得出极值的存在性和为何种极值就取决于二次型的正定性和负定性，当二次型为正定时多元函数此时取极小值；当二次型为负定时多元函数此时取极大值；当二次型为不定时，此时多元函数无极值。再从多元函数的情形中得到二元函数和一元函数的极值判别法。在讨论n元函数的条件极值问题时，利用的是拉格朗日乘数法先得出条件极值的必要条件，再根据必要条件讨论n元函数极值存在的充分条件再举一在实际问题中的条件极值的例子加以说明。关键词：二次型，n元函数，极值，稳定点，正定性，负定性。

QUADRATIC FORM AND EXTREME V ALUE PROBLEME OF MULTI-V ARIABLE FUNCTION ABSTRCT The circular function extreme value distinction law are very many, we will use in this article two time distinguished the circular function the ordinary extreme value and the condition extreme value and will apply in the dual function. First, then discusses two time with when the ordinary extreme value relations we first discuss the extreme value existence the essential condition, then discusses the extreme value existence the in discusses the first sufficiency is uses the function the continuity, but in the discussion extreme value existence second sufficiency take two steps partial derivative and the Taylor’s expansion knowledge as the foundation，Obtains using two nature why the extreme value the existence and a kind of extreme value is decided by two qualitative and negative qualitative, when two this time are taking the minimum for fixed time the function of many variables; When two this time take the maximum value for the negative fixed time function of many variables; When two are the indefinite tenses, this time the function of many variables does not have the extreme value. Again obtains the dual function and a circular function extreme value distinction law from the function of many variables situation. When discusses the n circular function the condition minimum problem ,uses is the Lagrange multi plicator law first obtains the condition extreme value the essential condition, then discusses the n circular function extreme value existence according to the essential condition the sufficiency to lift again one performs in the actual problem condition extreme value example to explain KEY WORDS: Quadratic Form, Extreme Value, Multi-Variable Function, Extreme Value, Stable Point, Positive Definite Property, Negative Definite Property