众凯MBA考前辅导
数学基础班讲义
初数部分（实数，整式，方程式，应用题）
【内部资料】
主讲：
杨老师，众凯超级名师，资深MBA数学辅导专家，复旦大学博士，能深刻地把握知识点的难易度，对MBA数学研究透彻，讲课深入浅出，是数学基础差的学生的好帮手，深受学生欢迎。众凯独家授课
第一章 实数的基本运算
一.实数的分类和基本概念
???????
?(,)()()整数正整数零和负整数有理数实数分数
正分数和负分数无理数
即为无限不循环小数 注意: 1. 自然数集是非负整数集,是由正整数和零组成的.
2. 整数还有以下两种分类方法:
2n ()2n 1
n Z ?∈?±?偶数整数奇数
正整数1?
?
???
质数(也称为素数,它只有1和自身两个约数)合数(有除1和自身之外的约数)
3.有理数是能表示为
n
m
(),n Z m Z +∈∈形式的数,这是它与无理数本质的区别.
一. 实数的基本性质
1. 实数与数轴的点一一对应.
2. 若,a b 是任意两个实数,则在,,a b a b a b <=>中有且只有一个关系成立.
3. 若a 是任意实数,则2
0a ≥成立.
二. 实数的运算
实数具有加法交换律和加法结合律,乘法交换律和乘法结合律.以及分配律. 1. 乘方运算
1) 当实数0a ≠时, 01a =,1n
n a
a
-=
2) 负实数的奇次幂为负数,负实数的偶数次幂为正数. 2. 开方运算
1) 在实数范围内,负实数无偶次方根;0的偶次方根是0,正实数的偶次方根有两个,它们互为
相反数,其中正的偶次方根称为算术根. 2) 在运算有意义的前提下
,n m
a =
三. 实数运算考试的基本类型 1. 质数的判断
如果p 是质数,那么凡是m
≤
且1m ≠都可得m 不能整除p .
因此判断p 是否是质数的方法是,
小的质数能否整除p .
例1. 以下哪个数是质数.
A 131
B 98
C 567
D 434
E 以上答案均不正确 解: 98,434为偶数,因此不是质数.
567可得567++18=可以被3整除,因此得到567可以被3整除
. 11.44≈,可得131不能被3,5,7,11等质数除尽.因此可得,131是质数.
选择A
2. 分式的化简 既约分式就是
n
m
,其中,n m 互素. 例2.有一个正的既约分数,如果其分子加上24,分母加上54后,其分数值不变,那么,此既约分数的分子与分母的乘积等于
A 24
B 30
C 32
D 36
E 以上结论均不正确 解:
2424454549
n n m m +===+ 选择D
连分式的化简:
1111341023
111...1...10232341022231022123102111112...111...123410222341022????????++++??? ????? ?
????????==????????????---- ????? ?????????
裂项化简:
()1111n m n m n m n ??
=- ?++??
例3. 199
100
x =
成立 1) ()()
119823456200220001998...42200119991997...31x ??+ ?
??=+++++-+++++
2) 111
1 (122399100)
x =+
+++
??? 解: 假设1)成立 ()()0
119823456200220001998...42200119991997 (311981199199)
11 (111001100)
x ??
+ ?
??=
+++++-++++++=
=≠
++++
假设2)成立
1111111111991...11...212239910022399100100100x ??????=+
+++=+-+-++-=-= ? ? ??????????
选择B
3. 整数部分和小数部分
实数a 的整数部分就是比实数a 小的最大整数,小数部分就是扣除最大整数后留下.小数部分取值在[)0,1之间.
例4. 求 2.4-的小数部分
A 0.4
B 0.4-
C 0.6
D 0.6-
E 以上结论均不正确 解: 2.4-的小数部分为0.6. 选择C
例5. a ,它的小数部分记做b ,则1
a b
-等于 A 1 B 1- C 2 D 2- E 以上结论均不正确
解: a 的整数部分为2,因此得到2b =,)
122
a b -
===-
选择D
4.无限循环小数化简为有理数
循环节的概念: 121120............0....k k k a a a a a a
a a = ,那么循环节为k . 因此1212...0....99 (9)
k
k a a a a
a a = ,这里99...9共有k 个9.
例如: 310.333...93==, 345115
0.345345 (999333)
==
例6. m 除以10k
的余数为1 1) 既约分数n
m
满足01n m <<
2) 分数
n
m
可以化为小数部分的一个循环节有k 位数字的纯循环小数 解: 1) 单独不成立 2) 单独不成立,例如2
6
,但是6除10余4不是1. 假设 1),2)联合.
10....k a a
a = ,可得1...99 (9)
k a a a =,因为是既约分数,所以9...9m =.可以推出m 除以10k
余1.
因此1),2) 联合成立.
5. 同余问题
如果m 除以n 余s ,则m kn s =+,这里k Z ∈. 被3整除的数每位数字之和可以被3整除. 例如:1351359?++=可以被3整除. 被5整除的数末位数是0或者5.
被4整除的数只要最后两位数可以被4整除即可. 被9整除的数只要每位数字之和被9整除.
如果m 除以1n 余1s ,m 除以2n 余2s ,则1122m k n k n =+,其中11k n 除以2n 余2s ,22k n 除以1n 余
1s .
例7. 自然数n 的各位数字之积为6.
1) n 是除以5余3,且除以7余2的最小自然数 2) n 是形如42m
(m 是正整数)的最小自然数
解: 假设1) 17k 除以5余3可知, 14k =,25k 除以7余2可知,26k =.由此可得,475658n =?+?=,但是这个n 不是最小的,可以知道3523n -=是最小的自然数.因此236?=可得即为我们所求的自然数.
假设2) 1m =时是最小自然数,所以4
216n ==,可得最小自然数乘积为6.因此可得我们所求. 选择D
6. 数轴问题.
例8. a b c a b b c c a a b c ++-++---=+- 1) ,,a b c 在数轴上的位置如下图
2),,a b c 在数轴上的位置如下图
解: 假设1)成立,
a b c a b b c c a a b c a b b c a c a b c ++-++---=----+--+=---
因此1) 单独不成立. 假设2)成立
a b c a b b c c a a b c a b b c a c a b c ++-++---=--+++-++-=-+
选择E
7. 奇偶性问题
奇数和奇数的差为偶数,奇数和奇数的和为偶数. 偶数和偶数的差为偶数,偶数和偶数的和为偶数 偶数和奇数的差为奇数,偶数和奇数的和为奇数.
例9. m 为偶数
1) 设n 为整数,()1m n n =+
2) 在1,2,3,...,1990这1990个自然数中的相邻两个数之间任意添加一个加号或者减号,设这样的运算式的结果是m . 解: 假设1)成立, 显然
假设2)成立, 因为添加加号和减号都不改变最后运算结果的奇偶性.所以只要考虑
()119901990123 (199019919952)
+++++=
=?为奇数.
选择A
8.有理数和无理数的关系
例10. 设,a b 是实数,则下列结论中正确的是 A 若a 是有理数,b 是无理数,则
a
b
是无理数. B 若,a b 均是无理数,则a b +也是无理数 C 若,a b 均是无理数,则ab 也是无理数
D 若a 是有理数,b 是无理数,则ab 是无理数
E 以上结论均不正确 解: 选择E
9. 最小公倍数和最大公约数
例11. 已知两数之和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，此两数中较大那个数为
A 36
B 38
C 40
D 42
E 以上结论均不正确 解：设,x ad y bd ==，这里d 为最大公约数
所以60
84
ad bd d abd +=??
+=?
可以发现d 可以整除60,84，所以1,2,3,4,6,12d = 解方程可以发现 当12d =时才成立
532
,,623a b a a or ab b b +===?????
??===???
所以，36,24x y == 选择A
第二章 整式和分式
一 整式的运算
1. 整式的加减法运算 类似于实数的运算.
2. 整式的乘法运算
类似于实数的运算,然后合并同类项.
乘法运算的基本公式: 1) ()2
2
2
2a b a ab b ±=±+
2) ()2
2
2
2
222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
3) ()3
3
2
2
3
33a b a a b ab b ±=±+±
4) ()()2
2
a b a b a b +-=-
5) ()(
)2
2
3
3a b a ab b
a
b ±+=±
6) ()()()22
2
2222a b a c b c a b c ab bc ac ??+++++=+++++??
注意: 要知道这些公式的变形
3. 整式的除法运算
()()()()F x f x g x r x =+,这里()r x 的次数小于()f x 的次数.如果()0r x =,则()F x 可
以被()f x 整除.整式()F x 除以x a -的余式为()r x ,则()()()()F x x a g x r x =-+,故
()()r a F a =.
二 因式分解
方法一: 提取公因式
方法二: 公式法 方法三: 求根法
方法四: 二次三项式的十字相乘法 方法五: 分组分解法 方法六: 待定系数法 方法七: 取值法
三 分式运算
分式运算类似于分数运算.
考试基本题目类型: 1. 整式赋值题:
例1. 当3,4x y =-=-时，(
)2
2
2
2
2
32534x y xy x y xy
x
y xy ??---+-??值为
A 48
B 84
C 80
D 78
E 以上答案均不正确 解：代入3,4x y =-=-，然后合并同类项，就可以得到
()222223253484x y xy x y xy x y xy ??---+-=??
选择B
例2. 设410169x y z ++=，37126x y z ++=，则x y z ++的值为
A 40
B 30 C20 D 50 E 以上答案均不正确
解： 41016937126x y z x y z ++=??++=?343x z ?+=，代入方程可以得到
()231261268640x y z x z x y z ++++=?++=-=
选择A
例3. 若2
310a a ++=，求代数式432
1
352a a a a a
+--+
-的值 A 0 B a C 3a D 3- E 以上答案均不正确 解：
()()43222213521312311a a a a a
a a a a a a a
a a
+--+
-=++-++++=+
利用 2
11
310303a a a a a a
++=?++
=?+=-
因此，答案为3- 选择D
2.整式的化简
例4.已知()()()()()()2
2
111111x x x y
y y y x ?+--+=??--+-=??，求x y + A 85 B 45 C 25 D 6
5
E 以上答案均不正确 解：
()()()()()()()()2
2
21112145
21651115x x x x y x y x y y x y y y x y ?
=-??+--+=+=???????+=???--=?
--+-=????=??
选择B
例5. 已知,,x y z p xy yz xz q xyz r ++=++==，用含,,p q r 的式子表示
()()()222x y z +++
A 248r q p +++
B 8r p q +++
C 244r q p +++
D 288r q p +++
E 以上答案均不正确
解：()()()()()222248248x y z xyz xy yz xz x y z r q p +++=+++++++=+++ 选择A
例6. 已知()()2
2
10,2m n m n +=-=，求44
m n +的值
A 102
B 104
C 28
D 22
E 以上答案均不正确 解：()()2
2
10,248m n m n mn +=-=?= 因此(
)
()()(
)
()2
2
2
2
2
4
42
222236828m n m n mn m n mn mn +=+-=+--=-=
选择C
例7. 若定义2,*2a b a b a b a b ?=+=-，求()3*2x ?
A 44x -
B 44x +
C 4x
D 4
E 以上答案均不正确 解：()()3*2232244x x x ?=+-=+ 选择B
例8. 若x y z a ++=，xy yz zx b ++=，求222
x y z ++的值
A 22a b -
B 22b a -
C 22a b -
D 22
a b - E 以上答案均不正确 解：()()2
2
2
2
2
22x y z x y z xy yz zx a b ++=++-++=-
选择A
例9. 3
2
2
3
0a a c b c abc b ++-+= 1）0abc =
2）0a b c ++=
解：假设1）成立，但是，只能保证,,a b c 中有一个是零。 因此不成立。 假设2）成立 分组化简：
()()()322322220
a a c
b
c abc b a a c b b c abc a b b a abc a b c ab ++-+=+++-=---=-++=2）单独成立 选择B
例10. 222
20a b c bc ---< 1）,,a b c 是三角形的三边 2）2
0a b c ++=
解：假设1）成立，三角形有a b c <+，因此有()2
2
2
2
2
20a b c a b c bc <+?---<
1）单独成立
假设2）成立，0a b c ===也满足要求，但是不能推出结论。 选择A
3. 因式分解
例11. 已知2
24x ax --在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是
A 7
B 8
C 12
D 11
E 以上答案均不正确 解：241242123846-=-?=-?=-?=-? 所以一共可以构造8组。 选择B
例12. 分解因式 4
3
2
2221x x x x ++++
A ()22
122x x ??+
+ ?
?
?
B ()()22
21x x ++ C ()
()2
2
11x x x +++ D ()2211212x x ??
++
???
E 以上答案均不正确
解：()()()
()2
4322222
2221212111x x x x x x x x x x x ++++=+++++=++
选择E
例13. 分解因式 ()()()()2
12363x x x x x ++++-
A (
)(
2
4644x x x x +++++- B (
)(
2
4644x x x x ++-++- C (
)(
2
43
44x x x x ++++ D (
)(
2
23
44x x x x ++++
E 以上答案均不正确 解：
()()()()()()(
)(
24322
2
2
1236312367236
46864644x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-=++++=++++=++++-
选择A
例14. 已知()()2
2
22223252x y m x y n x xy y y ++-+=+-+-，求,m n
A 1,22m n =
=- B 1
,22m n =-= C 1,22m n =-=- D 1
,22
m n ==
E 以上答案均不正确
解：待定系数法，令0x =，左右两侧应该也相等， 因此 ()()2
22252y m y n y y +-+=-+-
那么就有，12222252
mn m n m n ?
=-=-
?????-=??=?
选择B
4. 整式的除法
例15. 多项式()3
2
2
1f x x a x ax =++-被1x +除余2-,则实数a 等于
A 1
B 1或者0
C -1
D -1或者0
E 1或-1 解: 取101x x +=?=-代入
()3221f x x a x ax =++-()21220,,1f a a a or a ?-=--=-?==
选择B
例16. 已知()3
2
2
1f x x a x ax =++-能被1x +整除,则实数a 的值为
A 2或者-1
B 2
C 1-
D 2-或者1
E 以上结论均不正确 解: ()2
1202,,1f a a a or a -=--=?==-.
选择A
例17.已知多项式()f x 除以2x +所得余数为1，除以3x +所得余数为1-，则多项式()f x 除以()()23x x ++所得余式是
A 25x -
B 25x +
C 1x -
D 1x +
E 21x - 解：用代入法检验，可以发现B 为正确答案。
例18. 多项式()f x 除以2
1x x ++所得的余式为3x +
1）多项式()f x 除以421x x ++所得的余式为32
234x x x +++ 2）多项式()f x 除以421x x ++所得的余式为3
2x x ++
解：用整式除法可得正确答案 选择C
5. 形如2
2
2
2220a b c ab ac bc +++++=
例19. 222
2221x y z a b c
++=成立
1)
1x y z a b c ++= 2)
0a b c x y z
++= 解: 设
,,x y z
u v w a b c
===,因此可得, 条件1) 1u v w ++=不能推出2
2
2
1u v w ++=
条件2)
111
0u v w
++=不能推出2221u v w ++= 1),2)联合可得
111000uv vw uw uv vw uw u v w uvw ++++=?=?++= 22212221u v w u v w uv uw vw ++=?+++++=
因此可得, 2
2
2
1u v w ++= 选择C
6. 0a b c ++=型的化简
例20. 3
2
2
3
0a a c b c abc b ++-+= 1）0abc =
2）0a b c ++=
解：假设1）成立，但是，只能保证,,a b c 中有一个是零。 因此不成立。 假设2）成立 分组化简：
()()()322322220
a a c
b
c abc b a a c b b c abc a b b a abc a b c ab ++-+=+++-=---=-++=2）单独成立 选择B
7. 分式化简
例21.已知2
2
320a ab b +-=，()0,0a b ≠≠，求22
a b a b b a ab
+--的值
A 3-
B 2
C 3-或2
D 3
E 以上答案均不正确
解：2
2
2
320320a a a ab b b b ????
+-=?+-= ? ?????
因此
2,3a b =或者1a
b
=- 代入后可得，3,,2or - 选择C
例22. 已知111a b b c +
=+=，求1
c a
+的值 A 1 B 2 C 12 D 1
3
E 以上答案均不正确
解：11a b =-，11c b =-，所以11c a
+= 选择A 例23. 若
123x x z y z
==
++，求x
y z -的值 A 1- B 2- C 1
2
- D 1 E 以上答案均不正确 解：设
1231,2,3x t x z t y z t x x z y z t
===?=+=+=++ 因此，,2z t y t ==
所以
12x t y z t t
==-- 选择D
第三章: 绝对值 比和比例 平均值
第一节: 充分条件
1. MBA 考试有一种和其他考试不同的题型,这种题型是什么?
2. 什么是充分条件?
3. MBA 考试中,充分性判断题中的ABCDE 分别代表什么含义?
例如: A 为3x >,B 为2x >,当A 成立,则说明32x >>,因此B 也成立.说明A 是B 的充分条件.
例如: A 为1x <,B 为3x >,则A 成立,明显B 不能成立,所以说明A 不是B 的充分条件.
下面要给出MBA 考试中的一类和其他考试不同的题目类型
例子1.1 充分性判断
解题说明: 本题要求判断所给出的条件能否充分性支持题干中陈述的结论.阅读每小题中的条件(1)和(2)后选择.
(A) 代表: (1)充分,但是(2)不充分. (B) 代表: (1)不充分,但是(2)充分.
(C) 代表: (1)单独不充分, (2)单独不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分. (D) 代表: (1)充分,(2)单独也充分.
(E) 代表: 条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和(2)联合也不充分.
1. 方程2
340x x --= 1) 1x =-
2) ()2
40x -=,x R ∈
解: 这道题目的关键是1) 1x =-,则代入22
34340x x x x --?--=,所以满足要求. 因此1) 是 结论2
340x x --=成立的充分条件.
2) ()2404x x -=?=,因此代入22
34340x x x x --?--=,所以满足要求.
因此1) 是 结论2
340x x --=成立的充分条件. 所以 (1)充分,(2)单独也充分. 因此选择 D.
2. 4a > 1）3a > 2）5a >
解: 1) 3a >不能推出4a >,所以1) 不成立. 2) 5a >可以推出4a >,所以2)成立. 所以 (1)不充分,但是(2)充分,因此选择 B
复习:
1. MBA 考试有一种和其他考试不同的题型,这种题型是什么?
2. 什么是充分条件?
3. MBA 考试中,充分性判断题中的ABCDE 分别代表什么含义?
回答:
1. 题型是:充分性判断题.
2. 定义1.1 如果条件A 成立,可以推出结论B 成立,则说A 是B 的充分条件. 上述定义可以等价写成 A B ?,则说明A 是B 的充分条件.
3. (A) 代表: (1)充分,但是(2)不充分. (B) 代表: (1)不充分,但是(2)充分.
(C) 代表: (1)单独不充分, (2)单独不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分. (D) 代表: (1)充分,(2)单独也充分.
(E) 代表: 条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和(2)联合也不充分.
第二节: 绝对值` 预习:
1. 绝对值的定义是什么?
2. 绝对值有哪些基本性质?
3. 一般处理绝对值的方法是什么?
定义1.2实数a 的绝对值用||a 表示
0000a a a a a a >??
==??-
实数a 的绝对的几何意义为数轴上表示a 的点A 到原点O 的距离.
实数的绝对值有下面这些性质: 1）0a ≥ 2）a a -= 3) a a a -≤≤ 4) x a a x a
6）
a a
b
b
=
()0b ≠ 7) a b a b +≤+ (,a b 同号时,等号成立) 8）a b a b -≥- (,a b 异号时,等号成立) 9) 2
2
,a R a a ∈=
常用化解方法:
a x x a x a x a x a x a
-≤??
-==??-≥?
例1.2 8x = 1) 35x -= 2) 26x -=
解: 1) 3535,,358,,2x x or x x or x -=?-=-=-?==- 所以 1) 单独不能推出8x =
2) 2626,,268,,4x x or x x or x -=?-=-=-?==- 所以 2) 单独不能推出 8x =
但是 1),2)联合可以推出8x =.因此选择 C
例1.3 已知 1.1x a y x -≤-≤,则有
A.2y a -≤
B. 1y a -≤
C. 2y a +≤
D. 1y a +≤
E. 以上答案均不正确 解:
方法一: 利用定义来解答
111x a x a -≤?-≤-≤, 111y x y x -≤?-≤-≤,把两个式子相加得到
22y a -≤-≤,所以 答案为 A
方法二: 利用性质7 来求解
22x a y x y a -+-≤?-≤,所以答案为A.
例1.4 已知()2
120x y x y -++-=,那么log y x =
A. 1
B. 1-
C. 0
D. 2
E. 3 解: 这道题目主要依靠 00a a =?=来求解
()2
101120202
x y x x y x y x y y -+==??-++-=????-==??,所以log 0y x =
例1.5已知
211233
x x
--=
，求 x 的取值范围 A. 1,2??+∞???? B. 1,2??-∞ ??? C. 1
2
D. ?
E. 以上答案均不正确 解: 这道题目依靠0a ≥来求解.
211212121
012033332
x x x x x x ----=?=≥?-≥?≤,所以选择 B
例1.6 充分性判断
2a b a
b
-
=-
1） 0a < 2） 0b >
解: 1) 01a a
a a
a -
=
=-,所以1a b b a b b -=--不能推出2a b a b
-=- 2) 01b b
b b
b >?
=
=,所以1a b a a b a -=-+,不能推出2a b a b
-=- 1) 2)联合可以得到
112a b a
b
-
=--=-
因此答案选择:C
复习:
1. 绝对值的定义是什么?
2. 绝对值有哪些基本性质?
3. 一般处理绝对值的方法是什么?
答案: 1. 0000a a a a a a >??
==??-
2. 1）0a ≥ 2）a a -= 3) a a a -≤≤ 4) x a a x a
6）
a a
b
b
=
()0b ≠ 7) a b a b +≤+ 8）a b a b -≥- 9) 2
2
,a R a a ∈=
3. 常用化解方法:
a x x a x a x a x a x a
-≤??
-==??-≥?
以及
4) x a a x a
基本习题:
1. 已知()2
210x y -+-=， 那么
22
11x y -的值是 A.
14 B. 3
4
- C. 4 D. 3 E. 以上答案均不正确.
2. 若 33x x -=-，则x 的取值范围是
A. 0x >
B. 3x =
C. 3x <
D. 3x ≤
E. 以上答案均不正确 3. 已知
2x y x y
+=-，则
x
y
等于 A.12 B. 3 C.1
,,33或者 D. 11,,32或者 E. 1
,,32
或者
4. 已知 1
,12
a b ==,则a b +等于 A.
32或者0 B. 1或者02 C. -12 D. 13或者22 E. 1
或者-12
基本习题解答:
1.B ()2
22
1113
2102,1144
x y x y x y -+-=?==?-=-=- 2.D 33303x x x x -=-?-≥?≤
3.C 对
2x y x y
+=-,我们要把绝对值号去掉,所以分两种情况讨论
0233x y x y x
x y x y x y
x y y +++≥?
=
=?=?=--. 同理 ()1
0233
x y x y x x y x y x y
x y
y +-++≤?
==?=?
=-- 4. D 为了去绝对值号,要分情况讨论 130,0122a b a b >>?+=+
= 11
0,0122a b a b <>?+=-=
13
0,0122a b a b <
11
0,0122
a b a b >
第三节: 比和比例