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1.数学启动阶段学习计划（60天）
考研数学复习具有基础性和长期性的特点，数学知识的学习是一个长期积累的过程，要遵循由浅入深的原则,先将知识基础打牢,构建起知识体系,然后再去追求技巧以及方法,一座高楼大厦必定是建立在坚实的地基之上，因此我们将基础知识的复习安排在第一阶段，希望大家给予足够重视。
同时，有一个科学的学习计划，才能更迅速有效地掌握数学知识。我们按照这个原则制定了详尽的数学学习计划，使得同学们能够迅速的巩固基础知识，循序渐进，加快数学学习的步伐，为今后数学水平的提高打下一个坚实的基础。在研究生考试过程中先人一步，胜人一筹。
2.1复习书目推荐
《高等数学》上、下册第六版 同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 《线性代数》第二版 居余马编著 清华大学出版社
2.2学习计划
使用说明：
① 高等数学任务表中的用书为推荐教材当中《高等数学》第六版，线性代数任务表中的用书为推荐用书中的《线性代数第二版》 ② 本次计划是60天的学习任务，包括高等数学上册和线性代数的内容。
③ 每个学习任务完成时间是3天，每天的学习时间以2-3小时最佳，同学们根据自己的时间合理安排每天的学习内容。 ④ 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题，后面备有大纲要求，学员要根据大纲要求合理学习知识点。 同学们在复习的时候一定要和您周围的同学、老师多交流学习心得。只有您总结出来的方法才是最适合您的学习方法. 学习计划：
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数学（一）
《高等数学》学习任务表：
任务名称
任务对应章节 任务对应知识点
习题章节 习题
大纲要求
学 习 任 务 1
第1章 第1节 映射与函数
函数的概念
函数有界性单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 初等函数具体概念和形式，函数关系的建立
习题 1－1
4(1) (2) (3)(7) (8) (9) (10),
5(1)(2) (3)(4), 7(1),8,9(1)(2), 13,15(1) (2)(3)(4), 17,18
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则.
第1章 第2节 数列的极限 数列极限的定义
数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性) 习题 1－2 1(1) (2) (4) (5) (7) (8)
第1章 第3节 函数的极限
函数极限的概念
函数的左极限、右极限与极限存在性 函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等） 习题 1－3
1,2,3,4
第1章 第4节
无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的定义 无穷小与无穷大之间的关系
习题 1－4 1,4,5,6,8
第1章 第5节
极限运算法则 极限的运算法则(6个定理以及一些推论)
习题 1－5 1(1) (2) (3) (4) (6) (7) (10) (11) (12) (14),2(1) (2),3(1),
4(1) (2) (3) (4),5(1) (3) 学 习 任 务 2
第1章 第6节 极限存在准则 两个重要极限
函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）
两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）
利用函数极限求数列极限
习题 1－6
1(1) (2)(4) (5) (6), 2(1)(2)
(3),4 (2)(3) (4)(5)
1．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
2．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
3．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
4．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、
第1章 第7节 无穷小的比较
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用
一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法
习题 1－7
1,2,3(1) (2),4(2) (3) (4)
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第1章 第8节 函数的连续性与间断点
函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点） 判断函数的连续性和间断点的类型
习题 1－8 1,2(1) (2),3(1) (2) (4),4,5
最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
第1章 第9节 连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的、和、差、积、商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性
习题 1－9
1,3(2) (4) (5) (6), 4(1) (4)(5)(6),5,6
第1章 第10节 闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)
习题 1－10 1,2,3,4
第1章 总复习题
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题一 1,2,3(1)(2),5,9(1)(2) (4)(5)(6),11,12,13
学 习 任 务 3
第2章 第1节 导数概念
导数的定义、几何意义、力学意义 单侧与双侧可导的关系 可导与连续之间的关系
函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质
按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限
会求平面曲线的切线方程和法线方程 习题 2－1
3,6(1)(2)(3),7,8,9(1)(2)(4)(5)(7),11,13, 14,16(1),17 ,18
1.理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
第2章 第2节 函数的求导法则 导数的四则运算公式（和、差、积、商） 反函数的求导公式 复合函数的求导法则 基本初等函数的导数公式 分段函数的求导
习题 2－2
2(1)(6)(7)(9),3 (2) (3),4,7(1)(3)(6) (8)(9),8(8)(9),9, 10(1)(2),
11(2)(4) (6)(8)(9) (10)
第2章 第3节 高阶导数 高阶导数
n 阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式） 习题 2－3 3,4,9,10(1) (2), 11(1)(2)(3)(4)
学 习 任 务 4
第2章 第4节
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 隐函数的求导方法，对数求导法 由参数方程确定的函数的求导方法
习题 2－4
2,4(1)(2)(3),7(1)(2), 8(1)(3)(4),9(2),10,11
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系.
2.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
3．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
第2章 第5节 函数的微分
函数微分的定义，几何意义 基本初等函数的微分公式
微分运算法则，微分形式不变性
习题 2－5
1,2,
3(1)(4)(7)(8)(10), 4(1)(2)(3)(5)(7)(8), 5,6
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第2章 总复习题二
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题二
1,2,3,6(1)(2),7, 8(1)(3)(4)(5),
9(1),11,12(1)(2),13,14,16 学 习 任 务 5
第3章 第1节 微分中值定理 费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义 构造辅助函数
习题 3－1 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,11,12,13,15
1．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗
日(Lagrange)中值定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
第3章 第2节 洛必达法则 洛必达法则及其应用
习题 3－2 1(1)(2)(3)(4)(5) (6) (9)(12)(14)(15), 2,3,4
学 习 任 务 6
第3章 第3节 泰勒公式
泰勒中值定理 麦克劳林展开式
习题 3－3 2,3,4,5,6,7,10(1)(2) (3) 1．理解并会用泰勒(Taylor)定理. 2．理解函数的极值概念，掌握用导数判断
函数的单调性和求函数极值的方法，
掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 第3章 第4节 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调区间，极值点 函数的凹凸区间，拐点 渐近线
习题 3－4
3(2)(3)(5)(6),4,5(1) (2)(3) (4),6,7,
9(1)(2)(3)(4) (5)(6), 10(1) 3),11,12,14,15
第3章 第5节 函数的极值与最大值最小值 函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件
最大值最小值问题
函数类的最值问题和应用类的最值问题 习题 3—5
1(1) (2)(4) (5)(7) (8)(9)(10), 4(1) (2) (3), 5,6,7,8,9,10, 11,12,13,14 学 习 任 务 7
第3章 第6节 函数图形的描述
利用导数作函数图形 函数
()f x 的间断点、()f x '和()f x ''的
零点和不存在的点，渐近线 由各个区间内
()f x '和()f x ''的符号确
定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点 习题 3－6
1,3,4,5 1．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：
在区间(,)a b 内，设函数
()f x 具有二阶导
数。当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的）.会
求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
2．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
第3章 第7节 曲率 弧微分
曲率的定义，曲率的计算公式 曲率圆、曲率半径
习题 3－7 1,2,3,4,5,6, 7,8
第3章 总复习题三 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题三
1,2(1),2(2),4,5,6,9,
10(1)(3)(4),11(2)(3),12,14,17,19,20
学 习 任 务 8
第4章 第1节 不定积分的概念与性质
原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）
基本的积分公式
原函数的存在性、几何意义和力学意义 习题 4－1
2(1)(2)(7)(10)(13) (14) (17)(18) (19) (21) (22)(24) (25),5
1．理解原函数的概念，理解不定积分的概念．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．
第4章 第2节 换元积分法 第一类换元积分法（凑微分法） 第二类换元积分法
习题 4－2 2(1)(3)(6)(9)(12) (15)(18) (24)(26)
第 5 页共9 页(30)(33)(36),
2(16) (21)(37) (39) (42) (44)
第4章第3节分部积分法分部积分法习题
4－3
1,2,3,4,6,7,8,9,11,
12,14,16,17,18,20,
24
学习任务9第4章第4节
有理函数积分
有理函数积分法，可化为有理函数的积分习题
4－4
1,2,3,5,6,7,9,10,12,14,15,17,
18,19,21,23,24
1．会求有理函数、三角函数有理式和简
单无理函数的积分．
第4章
总复习题四
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基
本公式、基本方法
总复习题四1,2,3,5,6,8,9,10,12,15,16,18,
19,21,23,24,25,26,29,30,32,33
,35,36,38,39
第5章第1节
定积分的概念与
性质
定积分的定义与性质(7个性质)
函数可积的两个充分条件
习题
5—1
3(3)(4),11,12(2)(3),13(5) 1．理解定积分的概念．
2．掌握定积分的性质。
学习任务10第5章第2节
微积分的基本公
式
积分上限函数及其导数
牛顿－莱布尼兹公式
习题
5—2
2,3,4,5(2)(3),
6 (6)(12),7(4),8(1),
9(2),10,11,12
1．掌握定积分中值定理，掌握换元积分法
与分部积分法．
2．理解积分上限的函数，会求它的导数，
掌握牛顿－莱布尼茨公式．
3．了解反常积分的概念，会计算反常积分．第5章第3节
定积分的换元法
和分部积分法
定积分的换元法
定积分的分部积分法
习题
5—3
1(9)(10)(12)(13)(15)(18)(21)(
22)(24),
2,3,5,6,7(7)(10)(13)
第5章第4节
反常积分
无穷限的反常积分
无界函数的反常积分
习题
5—4
1(4)(10),2,3
第5章
总复习题五
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基
本公式、基本方法
总复习题五1(1)(2)(4),2(2)(4),
3(1),4(1) (2),5(1),
6,7,8(1),10(1) (2)
(4)(8) ,11,12,14
学习任务11第6章第1节
定积分的元素法
元素法习题
6—2
1(1)(4),2(1),3,4,5(1)(2),7,6,
8(2),9,11,12,14,15(1) (3)(4),
17,19,21,22,24,25,
28,29
1．掌握用定积分表达和计算一些几何量
与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、
旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知
的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）
及函数的平均值．
第6章第2节
定积分在几何学
上的应用
求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐
标情形）
旋转体的体积及侧面积
平行截面面积为已知的立体的体积
平面曲线的弧长
第6章第3节
定积分在物理学
上的应用
用定积分求功、水压力、引力习题
6—3
1,2,3,4,6,7,8,9,
11
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第6章 总复习题
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题六
1,2,3,4,7,8,9 学 习 任 务 12
第7章 第1节 微分方程的基本概念
微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解 习题 7—1 1(1)(2)(4)(5),2(3) (4),4(2),5(1),6 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．
第7章 第2节 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程的概念及其解法
习题 7—2 1(1)(3)(5)(6)(8),3,4,6
第7章 第3节 齐次方程
一阶齐次微分方程的形式及其解法 可化为齐次的方程
习题 7—3 1(1)(4)(5),2(1),3, 4(1)(2)(4)
第7章 第4节 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的形式和解法 伯努利方程的形式和解法
习题 7—4
1(1)(4)(8),1(10), 2(1)(5),
7(1)(2)(3)(4), 8(1)(4)(5)
学 习 任 务 13
第7章 第5节 可降阶的高阶微分方程 用降阶法解下列微分方程：()
()n y
f x =，
(),y f x y '''=和(),y f y y '''=
习题 7—5 1(1)(4)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5),3 1．会用降阶法解下列形式的微分方程：
()(),(,)(,n y f x y f x y y f y y ''''''===和．
2．理解线性微分方程解的性质及解的结构．
3．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
第7章 第6节 高阶线性微分方程
n 阶线性微分方程的形式
线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质 习题 7—6 1(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9), 4(2)(3)(4)
第7章 第7节常系数齐次线性微分方程
特征方程
特征方程的根与微分方程通解中的对应项 微分方程的通解
习题 7—7 1(1)(5)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5)
学 习 任 务 14
第7章第8节 常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 习题 7—8 1(1) (3) (4)(5)(7) (9) (10), 2(1) (2) (4),6
1．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
2．会解欧拉方程．
3．会用微分方程解决一些简单的应用问
题． 第7章第9节 欧拉方程
欧拉方程的形式和通解
习题 7—9 1,2,6,7
第7章总复习题
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题七
1,2,3(1)(2) (3) (4)(7) (8) (9), 4(1)(3)(4),5,7,10(1)
《线性代数》学习任务表：
任务名称
任务对应章节 任务对应知识点
习题章节 习题
大纲要求
第1章 第1节 n 阶行列式的定义及性质
二阶行列式、三阶行列式的计算 n 阶行列式的定义、性质（7个） 各类三角形行列式的计算
第1章 习题 7，8，9,10，11,12,14, 15,16，17, 18,20,21, 23,25,26, 28,29
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质． 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
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学 习 任 务 15
第1章 第2节 n 阶行列式的计算
计算n 阶行列式的常用方法：
递推公式法、加边法、归纳法、性质、展开定理
范德蒙行列式的概念及其计算公式 各类分块三角形行列式的计算
3．会用克莱姆法则．
第1章 第3节 克拉默
(Cramer)法则 克拉默法则（非齐次线性方程组在系数行列式不等于零时的行列式的解法）
克拉默法则的推论及其等价命题（齐次线性方程组有非零解充分必要条件） 第1章 习题
31,32，33,37,42
学 习 任 务 16
第2章 第1节 高斯消元法
矩阵的概念与表示符号
系数矩阵、增广矩阵，行简化阶梯矩阵 非齐次线性方程组有解的条件 齐次线性方程组有非零解的条件
第2章 习题 1,2,5,6,9,10,12,16,18,19,21,22,23,24,33,35,37,39
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
第2章 第2节 矩阵的加法、数量乘法、乘法
矩阵的加法、数量乘法、乘法的运算律 单位矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵的概念与性质
方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 方阵的多项式
第2章 第3节 矩阵的转置、对称矩阵
矩阵的转置运算的定义和运算律
对称矩阵和反对称矩阵的定义及充要条件 第2章 第4节 可逆矩阵的逆矩阵
可逆矩阵的定义和逆矩阵的唯一性 伴随矩阵的定义，利用伴随矩阵求逆 矩阵可逆的充分必要条件及推论 可逆矩阵的运算律
第2章 习题 40(1)(5),41(1)(3), 42,43,44,45,46
第2章 第5节 矩阵的初等变换和初等矩阵 初等行（列）变换的概念 初等矩阵的定义（符号表示） 初等变换和初等矩阵的性质 学 习 任 务
第2章 第5节 矩阵的初等变换和初等矩阵 用初等变换求逆矩阵的方法： 初等行变换、初等列变换
第2章 习题
49,50,51,52,54,55 58(1),61,62(1)(2) (3),64
1．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
2．了解分块矩阵及其运算．
第2章 第6节 分块矩阵
分块矩阵的定义和运算：加法、数量乘法、乘法、转置运算，可逆分块矩阵的逆矩阵
第3章 第1节 n 维向量及其线性相关性
n 维向量的概念，n 维实向量空间R n
的定义 向量的加法、数乘运算及其运算规则 向量的线性组合和线性表示的定义 向量组的线性相关、线性无关的定义
第3章 习题
1,3,5,7，8,9,10,11，12
1．理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．
2．理解向量组线性相关、线性无关的概
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向量组线性相关性判定的几个定理 念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．
3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩
4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.
第3章 第2节 向量组的秩及其极大线性无关组 向量组的秩的定义 两个向量组等价的定义 极大线性无关组的定义 定理3.4及推论1--3
第3章 习题
13(3),14，15,16,17, 18,19,21,23
第3章 第3节 矩阵的秩
矩阵的行（列）秩的定义
矩阵的行（列）秩与初等变换的相关定理3.5--3.8
矩阵的秩的定义和两个判定的充要条件，定理3.9--3.10，用初等变换求矩阵的秩的方法
矩阵相加、相乘以后的秩的情况：性质1--3 矩阵相抵（矩阵等价）的定义
第3章 习题
学 习 任 务 18
第3章 第4节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 齐次线性方程组的矩阵表示、向量表示 齐次线性方程组有非零解的充要条件 基础解系的定义，定理3.14
齐次线性方程组的一般解（通解）的解法 第3章 习题
28(1),28(2),31,32, 33，29(1),29(2), 30,34,35,36,37
1．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．
2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
4．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
第3章 第5节 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
非齐次线性方程组有解的几个等价命题（定理3.15）和推论
非齐次线性方程组的解的性质
非齐次线性方程组的特解和一般解（通解）的解法
第4章 第1节 R n
的基与向量关于基的坐标 基、坐标、坐标向量的定义，自然基（标准基）的概念
过渡矩阵的定义和相关定理：定理4.1--4.2 第4章 习题
1,2,3(2)(3),4
1．了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
2．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
3．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法．
4．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．
第4章 第2节 R n
中向量的内积、标准正交基和正交矩阵
内积的定义和运算性质 柯西-施瓦兹不等式
向量的长度和夹角的概念，定理4.4 正交向量组的概念和性质：定理4.5 标准正交基的定义
施密特（Schmidt ）正交化方法
正交矩阵的概念和性质：定理4.6--4.8 6,8,9(1) (2),10,11, 12,13
学 习 任 第5章 第1节 矩阵的特征值和特征向量，相似
特征值、特征向量、特征多项式、特征矩阵、特征方程的定义
特征值和特征向量的性质：定理5.1--5.2，
第5章 习题
1,2,4,5,6,8,9,15
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.
2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可
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务 19
矩阵
性质1--2
相似矩阵的概念和性质，定理5.4
相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
第5章 第2节 矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化的概念和充分必要条件：定理5.5，定理5.6和推论 定理5.7--5.9（了解）
第5章 习题 16,18,20,21,22,23, 24,25
第5章 第3节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：定理5.10--5.11
实对称矩阵对角化的方法：定理5.12 学 习 任 务 20
第6章 第1节 二次型的定义和矩阵表示，合同矩阵
二次型及其矩阵的定义 两矩阵合同的定义和性质
第6章 习题 1,2,3,4,7,8,9,10(1) (2)
1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
第6章 第2节 化二次型为标准形
标准二次型的概念
用正交变换法化二次型为标准形：定理6.1，用配方法化二次型为标准形 第6章 第3节 惯性定理和二次型的规范形 正（负）惯性指数的概念 惯性定理及推论，规范形
第6章 习题 18,21,22,25,26,27, 28,29
第6章 第4节 正定二次型和正定矩阵 正定二次型和正定矩阵的定义及结论 实对称矩阵是正定矩阵的等价命题（定理6.4）、必要条件（定理6.5）、充要条件（定理6.6）
1.矩阵和线性变换： 线性变换的定义： 线性映射（linear mapping）是从一个 向量空间V到另一个向量空间W的映射 且保持加法运算和数量乘法运算，而线性 变换（linear transformation）是线性空间V 到其自身的线性映射。 一个矩阵对应了一个线性变换这个说法， 就可以知道这个说法并不严谨。（基） 矩阵是对线性变换的表示；确定了定义域空间与目标空间的两组基，就可以很自然地得到该线性变换的矩阵表示。 两个矩阵相乘，表示了三个线性空间的变换。要想从第一个空间转换到第三个空间，则第一个变换的定义域空间U到目标空间 V1，第二个变换的定义域空间V2到目标 空间W，必须满足V1和V2是一个空间。 矩阵把v'i换成vi的换基矩阵与把vi 换成v'i的换基矩阵这两个矩阵是互逆的.
2恒等变换与伸缩变换 3矩阵对角化 条件： n个线性无关的特征向量；每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的代数重数；充分条件n个特征值互不相等（充分条件）； 代数重数：特征多项式的次数；几何重数：与某一个特征值λ相关联的线性无关的特征向量的最大个数。 所以对角化其实就是要用特征向量组成的基来代替标准基，描述线性变换，使得多个耦合的变量尽可能的解耦。 如果A为实对称阵，则其必可以正交相似对角化。其中U内的每个向量互相正交。即：u1.T=u1.I. 线性变换： 可以发现里面并不涉及矩阵维度的变化。其中中间的对角矩阵相当于对矩阵的每一列（t 特征向量）进行拉伸。两边的同维方阵使用的是同一组基，即上述的线性变换始终在一组基
里面，所以相当于在同一空间内做旋转。在一个n维空间里，标准正交基是唯一存在的，该n维空间里面所有的向量都可由该组正交基线性变换得到。 所以矩阵的对角化涉及到的运动包括：旋转和缩放。 A矩阵将一个向量从x这组基的空间旋转到x这组基的空间，并在每个方向进行了缩放。 4.SVD 证明：AA.T的特征向量组就是P矩阵： 2 ∑∑∑∑∑ T T T T T T T =?=?== A P V A V P AA P V V P P P 得证对A进行矩阵分解得到的P矩阵就是AA.T的特征向量组成的P矩阵。 SVD的一些应用 1.降维 左奇用于行数的压缩。右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。 2.PCA使用SVD求解 PCA求解过程中的协方差矩阵为特征之间（列之间）的关系矩阵（m*m）。而SVD的右奇异矩阵也是关于特征之间（矩阵列之间）的关系，所以PCA里面的协方差矩阵可以通过SVD得到。 SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵，也能求出我们的右奇异矩阵。 3.奇异（乱入的） 若n阶方阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵 4.几何意义： 奇异值分解把线性变换清晰地分解为旋转、缩放、投影这三种基本线性变换。 其中，P为m*m矩阵，Q为n*n矩阵。 =∑。A矩阵的作用是将一个向量从Q 这组正交基向量的其中涉及的变换：AQ P 空间旋转到P这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。如果Q维度比P大，则表示还进行了投影。
《应用数学基础》考试题（2010.1.11） 学院 姓名 学号 一、填空题（10?3分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号） 1.若z z -=，则=)Re(z ；2.=i i ；3.=-? =1 ||2 2010 4z i z z ；4. Res =]0,sin [4 2z z ； 5.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在iy x z +=可导，则=')(z f ； 6. =-? =dz z z z 2 ||3 ) 1(sin π ；7.1 3 +-z i z 在0=z 展成泰勒级数的收敛域为 ；8.z e w =将直线1=x 映射成 ；9.傅氏变换)()]([ωF t f F =，则=)]([at f F ；其中a 为非零常数；10.拉氏变换=][3t L ，且其收敛域为 。 二、计算题（10?6分=60分；要求写出主要计算步骤） 1.求c b a ,,的值，使)2()(2222y xy cx i by axy x z f +++++=在复平面上处处解析； 2.求dz z z z z ?=--2 ||) 1(12，沿正向；3.把 2 ) 1(z z +展成z 的幂级数，并指出收敛域；4. 将 ) 1(2 +z z e z 在1||0<
小学数学“深度学习”教学研讨暨名师大课堂活动心得体会 真武小学姜阳 我有幸参加了为期两天的。在这短短的两天内, 我观摩了8位优秀老师的示范课，从中获得了不少的教学经验。8位老师各有各的风格，不同的设计思路却展现同样的精彩。他们对教材的理解、清晰的思路和灵活的教法，让我切实感受到了他们扎实的教学功底和深厚的技巧。同时他们毫无保留的把自己在教学中的经验体会拿出来与大家分享，受益匪浅。下面我就结合实际来谈谈自己的一些体会。 一、理解和掌握教材 上好一节课首先要正确理解教材和把握教材，只有把教材吃透了，才能灵活变通教学方式，才能用最少的时间给学生以最大的收获，提高课堂教学的效率。强震球老师的《认识分数》对教材的把握和理解是非常到位的，结合图片和练习，引导学生一遍遍说把一些物体看作一个整体，将它平均分成几份，其中的一份就是它的几分之几，加深了学生对分数的认识，从根本上理解了分数的含义。同时，在做题过程中，他不断提问“为什么它们都是四分之一”，“为什么每一份表示的分数不一样”等，引发学生思考，自主探究，一节课下来，教学重难点都被学生内化吸收，效果显著。教材是主要的教学资源，是教与学的重要凭借，教师对教材内容的理解，不但要理解知识内容，更重要的是要理解其中的思维能力训练的内容和教学方法。杜海良老师在讲《体积和容积》时，先是往空杯子倒水，让学生体验空间，为学生正确认识“体积”奠定了基础，再让学生摸一摸桌肚，进一步对空间增加感性认识，最后往水里丢石子，通过“溢出的水多说明什么”概括出体积概念。他通过一系列的活动，让学生观察、猜测、实验最后验证，逐渐理解体积和容积的意义，发展空间观念和数学思维能力。听了这几位优秀教师的课，使我深深感受到教师只有知道上什么，什么是重难点，选准切入点和教学方法，把学习的主动权还给学生，才能上好一节课。 二、教师要学会思考 顾志能老师指出，数学知识，往往就是一种规定，思考规定背后的道理，那会让我们变得更加聪明。一个有追求，爱钻研，会思考的老师
走向深度学习发展数学核心素养 淮安市席桥镇中心小学张洪权赵君秋 【摘要】：数学“核心素养”是指我们用数学的观点、思维方式和方法去观察、分析、解决问题的能力及其倾向性。“核心素养”是最终目标，而“深度学习”是实现目标的路径，“深度 学习”更需要教师“深度教学”。本文力求从在教学实践层面上，提出以下几点思考：以课程 标准为起点，对教材深度钻研与理解;适当的问题引领，促进学生思维深度交锋;以学生为中心， 学法上深度指导与渗透。 近年来，人们对深度学习的研究逐渐升温，我们接到本次年会的主题后也组织了骨干教师进行学习研究，我们认为：无论怎样解释“深度学习”，我们都不难发现，深度学习与当前的热点话题“核心素养”有很大的关系。因此，我们可以不去讨论深度学习的具体含义，但可以肯定，深度学习一定是在深层次上促使学生更加喜爱学科、喜爱学习、喜爱课堂的学习，是着力于培育学生核心素养的学习。 2014年3月，教育部在《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》文件中提出“核心素养”，引发了教育界的广泛关注。中国学生强调的核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础（人文底蕴、科学精神），自主发展（学会学习、健康生活），社会参与（责任担当、实践创新）三个方面。“今天，这个概念体系正在成为新一轮课程改革的方向。”（《人民教育》社评） 数学“核心素养”是指我们用数学的观点、思维方式和方法去观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、教学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性和品质等。“核心素养”是最终目标，而“深度学习”是实现目标的路径，专家们指出：“当今的教育应该有一个从浅层的教学活动为基础转向深度的学习。”“深度学习”，是高级学习，核心概念是深度。布鲁姆知识体系图将记忆、理解、应用归为初级知识，分析、评价、创造归为高级认知。深度教学是尽量把低层面的内容（记忆、理解、应用）交给学生去自学，课堂的大部分时间都在上层（分析、评价、创造）。 “深度学习”更需要教师“深度教学”。如何在教学实践层面去落实基于“核心素养”下的“深度教学”，让每一节课更有价值，值得我们去深思。下面提出几点粗浅的思考，与同仁商榷。 一、以课程标准为起点，对教材深度钻研与理解 课程标准（2011）提出了“数感”、“符号意识”、“空间观念”等十大核心概念，核心概念不是另外的教学内容，而是蕴含在相关数学知识的教学之中的上位概念。正如课程标准修订组核心成员马云鹏所说：“核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了教学内容的本质特征以及数学思维方式。数学内容的四个方面都以10个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。” 课堂教学中我们要认真落实新课标提出的十大核心概念，从数学本质的角度挖掘教材，为发展学生数学核心素养保障基础。教师应该根据教材的教学内容，认真思考：是什么？挖掘教材的根本
在学习数据挖掘的时候，我们一定要掌握一些数学基础，毕竟数据挖掘中涉及到了很多的算法。说到这里我们要给大家说一说数据挖掘的概念，数据挖掘就是从大量数据中获取隐含的、潜在的是有价值信息的过程，数据挖掘也是这些年计算机领域主要的研究内容。那么数据挖 掘需要什么数学基础呢？下面我们就为大家讲解一下这些知识。 首先给大家说一下数据挖掘的基本流程吧，数据挖掘的基本流程就是对原始数据进行填补遗漏、消除异常、噪声等处理，提高数据挖掘的有效性和准确性。然后使用特定的算法对原始 数据进行归纳抽象，去掉肮脏数据，最终得到一个关系模型。当新的数据加入数据集中时， 可以根据该关系模型决定新数据的分类和处理模式。同时，新数据也将带来对整体模型的变化，数据和模型处于动态对应的状态。看到这里，我们不难发现，数据挖掘就是一个典型的 数据建模的过程，这就需要我们使用一些工具、方法、理论知识来进行解决这些问题。 一般来说，数据挖掘需要的数据基础有很多，比如统计机器学习所需要的主要理论和技术:泛 函分析、覆盖数、描述长度理论与算法复杂度研究、与测度论、统计理论、VC维理论、非 线性规划技术、几何变换等等，下面我们就给大家说一下数据挖掘涉及到的数学基础。 我们先要给大家说的就是线性代数和统计学，在数据挖掘过程中，我们少不了建模，而在这 个建模过程中，我们需要掌握两个基础的数据学科，这两大数学学科就是线性代数和统计学。这两门学科代表了机器学习中最主流的两大类方法的基础。第一种是以研究函数和变换为重
点的代数方法，而另一种是以研究统计模型和样本分布为重点的统计方法。这两个学科侧重 虽有不同，但是常常是共同使用的，对于代数方法，往往需要统计上的解释，对于统计模型，其具体计算则需要代数的帮助。以代数和统计为出发点，继续学习的话，就很容易会发现需 要更多的数学。而这些数学基础都是我们需要掌握的知识。 在这篇文章中我们给大家讲述了数据挖掘的知识以及数据挖掘需要的数学基础。如果想要走 进数据分析行业的话，还是需要了解这些知识的，由于篇幅原因我们就给大家讲到这里了， 在下一篇文章中我们继续给大家讲述更多有用的知识。
北京石油化工学院2012年高职升本科 《应用数学基础》考试大纲 一、考试性质 “高职升本科”考试是为选拔北京市高等职业教育应届优秀毕业生进入本科学习所组织的选拔性考试。 二、考试科目 《应用数学基础》 三、适用专业 本课程考试适用于报考《计算机科学与技术》、《电子信息工程》、《电气工程与自动化》、《信息管理与信息系统》专业的考生。 四、考试目的 本次考试的目的主要是测试考生在高职或相当于高职阶段的学习中是否具有本科学习的能力。是否了解或理解一元微积分各个部分的基本概念和基本理论，是否掌握了各种基本方法和基本运算，是否具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及应用一元微积分基本知识分析并解决简单的实际问题的能力。 五、考试内容 根据应用数学基础课程大纲的要求，并考虑高职高专教育的教学实际，特制定本课程考试内容。 1．函数、极限和连续 1.1函数 1.1.1 知识范围 （1）函数的概念 函数的定义，函数的表示法，分段函数。 （2）函数的性质 单调性、奇偶性、有界性、周期性。 （3）反函数 反函数的定义，反函数的图像。 （4）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 （5）函数的四则运算与复合运算。 （6）初等函数。 1.1.2 要求 （1）理解函数的概念，会求函数的表达式及定义域，会求分段函数的定义域及函数值，会描绘简单的分段函数的图像。 （2）理解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。 （3）掌握函数的四则运算与复合运算。 （4）熟练掌握基本初等函数的性质及其图像。 （5）了解初等函数的概念。 （6）会建立简单实际问题的函数关系式。 1.2 极限 1.2.1 知识范围 （1）数列极限的概念 数列、数列极限的定义。 （2）数列极限的性质 唯一性、有界性。 （3）函数极限的概念 自变量趋于有限值时函数的极限，左、右极限及其与极限的关系，自变量趋于无穷大时函数的极限，函数极限的性质。 （4）无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的定义，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质，无穷小的比较。 （5）极限的运算法则。 （6）极限存在准则，两个重要极限。 1.2.2 要求 （1）理解极限的概念。会求函数在一点处的左右极限。 （2）熟练掌握极限的四则运算法则。
第3章机器人学的数学基础 在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之间的几何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间几何关系可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态。 3.1 位置和姿态表示 为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一个参考坐标系中进行比较。该坐标系统通常被称为世界坐标系。基于此共同的坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础。通常，我们对每个物体或连杆都定义一个本体坐标系，又称局部坐标系，每个物体与附着在该物体上本体坐标系是相对静止的,即其相对位置和姿态是固定的。 因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的本体坐标系之间的位姿关系来确定了，本体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，本体坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系。图3-1表示了机器人手臂及其周围物体在世界坐标系∑w中及各自本体坐标系中的位置和姿态。 z y x z ∑W y z x x zzzzzz x y y x p z z y \ 图 3-1 机器人手臂及其周围物体的位置和姿态 3.1.1 位置描述
建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置矢量来进行定位。例如， 图3-1中立方体的质心p 在世界坐标系中的表示是： ????? ?????=wz wy wx w p p p p 下标w 代表了世界坐标系，因为位置矢量p 在不同坐标系中数值表示不同。以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法。当采用不同的坐标系表示时，会有不同的位置描述方法。例如 基于圆柱坐标系的空间矢量表示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等。 3.1.2 方位描述 机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间中该物体的姿态，既方位。空间中的物体，不但要考虑它的位置，还要考虑它的方位。空间物体通常用自身本体坐标系的坐标原点表示位置，坐标轴的方向代表方位。物体的相对位置和方位通常用它们各自的本体坐标系之间的关系来表示。相对位置关系用局部坐标系的坐标原点之间的关系表示，方位关系用各自本体坐标系的坐标轴单位方向矢量之间的关系来表示。常用的方位描述包括旋转矩阵表示法，固定角表示法，欧拉角表示法，等效轴角表示法，欧拉参数表示法等。我们主要介绍旋转矩阵方位描述法，并简介固定角表示法，其它方法参考教科书。 A. 旋转矩阵描述法 一个本体坐标系{B}相对于另一个参考坐标系{A}的姿态描述，用这个本体坐标系{B}的三个坐标轴的单位方向向量分别在参考坐标系的{A}三个坐标轴上的投影值，共9个投影分量所组成的矩阵（称作旋转矩阵）来表示两个坐标系之间的方位关系，这种方位描述方法称作旋转矩阵方位描述法。具体解释如下： B Z A z B Y {A} {B} A Y A X B X
数学课堂的“”深度学习“之我见” 螺山中心学校吴长青 回顾多年的数学教学经历，仔细回味“深度学习”的含义，才愕然发现在我们日常的教学活动中，我们曾经“善意”或者“无意”地剥夺了学生很多权利。学生的深度学习与教师的教学形式有着很大的关系，如果深挖小学生数学深度学习的缺失原因，就要从我们日常的教学过程和内涵中入手。经过反思和调查，我将小学生数学深度学习的缺失原因归纳为一下几点： 一、为完成教学目标，充分的课前预设桎梏学生深度学习能力的养成 新的课程改革已经进行很多年，但我们依然还经常看到在我们的小学数学课堂上，很多教师为了顺利完成课前预设，将教学内容做好铺垫，减小坡度，使学生的探究的过程非常顺利。很多时候，学生的探究和小组交流仅仅流于形式，即便没有真正完成，教师就已经终止了学生的继续探究，剩下的内容由教师按照设计好的方案进行引领，最终达到完成教学任务的目的。教师没有关注学生的认知起点和原始问题，没能很好地引领学生利用原有的知识和方法进行探究新领域。因而，在大多数的课堂上，我们很少看到学生独立思考时紧锁的双眉，更少看到学生为捍卫自己想法时的激烈争辩。也许，我们可以高喊其目的是为了提高课堂教学效率，但这样做的结果却抹掉了学生自主探究的热情，桎梏了学生深度学习能力的养成。 二、单纯地追求分数制约着学生深度学习能力的发展
《小学数学新课程标准》提出义务教育阶段数学课程的总体目标和分学段目标，并从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面具体阐述。可在现实的数学教学活动中，我们不难发现，分数的追求造成很多教师紧紧把握知识传授的这把金钥匙，却忽视其他方面能力的培养。《标准》中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。很多课堂上，教师为了找到提高分数的捷径，舍不出时间让学生经历探究活动，舍不出时间让学生提出质疑，于是填鸭式的教学和重复的练习使学生成为了答卷工具，学生仅仅靠记忆和模仿形成了短暂的知识掌握，殊不知很多知识会随着年龄的增长会逐渐淡忘。没有经历亲身探究的学习活动最终也只是肤浅的，机械的、被动的，并严重地制约着学生深度学习的发展。 三、重复乏味的作业影响着学生深度学习能力的建立 数学学习的最终目的是什么现行小学数学教学大纲所提出的小学数学教学目的是：使学生理解和掌握数量关系和空间形式的最基础知识，能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则计算，初步了解现代数学中的某些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和空间观念，并能运用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题。在学生的作业中，基础练习当然必不可少，可能够发展学生思维
第六章模糊数学基础6.1概述 6.1.1传统数学与模糊数学 6.1.2不相容原理 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 6.2.2 隶属度函数 6.3 模糊逻辑与模糊推理 6.3.1模糊逻辑 6.3.2模糊语言 6.3.3 模糊推理
第六章 模糊数学基础 6.1 概述 6.1.1 传统数学与模糊数学 6.1.2 不相容原理 1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授首先提出用隶属度函数 (membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 一、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义 传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C ，C ={实数r |8≤r ≤12}，用特征函数μC (r )表示其成员，如图6.1(a)所示。 ??? ? ?≤≤=其它 ， ， 012 81)(r r C μ 在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。例如，“接近10的实数”是一个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，用“隶属度(Membership)” μF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。 1 812 1 107.2911 0.750.275 12.8 r r μC （r ） μF （r ） (a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对比
《应用数学基础》试题库(三年制高职适用) 第8章空间解析几何与多元函数微积分简介 8.1.1(单项选择题)空间直角坐标系中的点A(1,-2,3)位于第( )卦限. A. 二 B. 四 C. 六 D. 八(难度:A;水平:b) 8.1.2(单项选择题)向量a=5i+2j-3k的模为( ). A. 6 B. 4 C. 38 D. (难度:B;水平:a) 8.1.3(单项选择题)点M(-1,2)是平面区域{(x,y)|x-y+10}的( ). A. 内点 B. 外点 C. 边界点 D. 其它点(难度:C;水平:c) 8.1.4(单项选择题)极限( ). A. 0 B. 1 C. π D. (难度:B;水平:b) 8.1.5(单项选择题)函数的极大值点为( ). A. (0,0) B. (0,1) C. (1,0) D. (-1,0) (难度:D;水平:d) 8.2.1(填空题)在空间直角坐标系中,三个坐标平面上的点的坐标分别为. (难度:A;水平:a) 8.2.2(填空题)空间一点P(4,3,-5)与原点的距离为.(难度:B;水平:b) 8.2.3(填空题)平面2x -7y + 3 = 0的特殊位置是. (难度:A;水平:b) 8.2.4(填空题)由圆x 2+y 2=1及x轴所围的上半闭区域用集合表示为. (难度:C;水平:c) 8.2.5(填空题)由y0z平面上的椭圆绕z轴旋转一周所形成 的旋转曲面的方程为. (难度:B;水平:b) 8.2.6(填空题)极限. (难度:B;水平:b) 8.2.7(填空题)设点(x0,y0)是二元函数z =f (x,y)的驻点,且A= fxx(x0,y0),B= fxy(x0,y0),C= fyy(x0,y0). 则当时,点(x0,y0)是极值点. (难度:A;水平:a) 8.2.8(填空题)二元复合函数关于y的偏导数为 . (难度:D;水平:d) 8.3.1(判断题)点P(-3,0,0)位于x轴上.( ). (难度:A;水平:b) 8.3.2(判断题)平面4x+3y-z-5=0的法向量为(3,-1,-5).( ). (难度:B;水平:b) 8.3.3(判断题)函数的所有间断点为(0,1)与(1,0).( ). (难度:C;水平:c) 8.3.4(判断题)函数z=5x2y-4xy2关于x的偏导数为zx=2xy.( ). (难度:A;水平:a) 8.4.1(计算与解答题)已知,求. (难度:A;水平:a) 8.4.2(计算与解答题)求函数的定义域. (难度:A;水平:b) 8.4.3(计算与解答题)求极限. (难度:A;水平:a) 8.4.4(计算与解答题)求函数的偏导数. (难度:B;水平:b) 8.4.5(计算与解答题)已知函数,求. (难度:B;水平:b) 8.4.6(计算与解答题)设,求.(难度:C;水平:c) 8.4.7(计算与解答题)求函数的极值. (难度:C;水平:c) 8.4.8(计算与解答题)求函数在约束条件下可能 的极值点. (难度:D;水平:d) 8.5.1(应用题) 克服行驶阻力后汽车前进的 驱动力使汽车产生了加速度a.汽车 质量为m.车轮半径为r. 建立车轮
第二章 一、判断 1. 正规矩阵的最小多项式无重零点. ( ) 2. 酉矩阵的最小多项式无重零点. ( ) 3. 若 A ?n ′n 可对角化, 则其特征多项式必无重零点. ( ) 4. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的最小多项式 ()(1)(2)?λλλ=--. ( ) 5. 设A 是3阶正规矩阵, A 的特征值是3, 2, 2。则A 的第3个不变因子 23)2)(3()(--=λλλd . ( ) 6. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的第3个不变因子 3()(1)(2)d λλλ=--. ( ) 7. 若 A ? m ′n ，则 A H A 的特征值必为非负实数. ( ) 8. 设 A ?n ′n ，若 A H =A ,则对任意的 x ?n ,x H Ax 均为实数. ( ) 9. 若满足02=+E A ，则A 可对角化. ( ) 10. 若满足E A A 22=+，则A 可对角化. ( ) 11. 正规矩阵n n C A ?∈是酉矩阵的充要条件是A 的特征值都是实数. ( ) 12. 若A A H =，则R A ∈)(σ. ( ) 13. 若A 为正规矩阵，则其对应于不同特征值的特征向量是正交的. ( ) 二、填空 1．设 A ?4′4, 且 d 4(l )=(l -1)(l -2), 则 A 3-4A 2+5A -2E = . 2. 设 A =[a ij ]5′5为酉矩阵， B =A -1，记 B =[b ij ]n ′n ，则 b ij 2 =i ,j =15? . 3．设 A ?4′4为正规矩阵，其特征值为1、1、2、4，则 A 的最小多项式为 . 4．设A 为正规矩阵，其特征值为1、3、3. 若B A ~，则B E -λ的最后一个不变因子为 .
授课章节 工业机器人运动学的数学基础 授课形式 讲授 授课时间 第 周 周 （ 月 日） 第 至 节 教学目标 知识目标：了解空间点、向量、坐标系及刚体的表示。 能力目标：能用数学模型表示空间点、向量、坐标系及刚体。 素质目标：提高自学意识 教学重点 空间点、向量、坐标系及刚体的表示 教学难点 空间点、向量、坐标系及刚体的数学模型 教 学 过 程 方法手段 时间分配 导入 为了描述机器人末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系，通常需要以数学形式来对机器人的运动进行分析研究，其中矩阵常用来表示空间点、 空间向量、坐标系平移、旋转以及变换，还可以表示 坐标系中的物体和其他运动元件。 3分钟 介绍 重点讲解及任务分析 一、 空间点的表示 如图所示，空间点P 在空间中的位置，可以用它的相对于参考坐标系的三个坐标来表示： x y z P a i b j c k =++ 二、空间向量的表示 向量可以由三个起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于点A ，终止于点B ，那么它可以表示为()()()AB x x y y z z P B A i B A j B A k =-+-+-。特殊情况下，如果一个向量起始于原点（如图4-1-2所示），则有： x y z P a i b j c k =++ 42分钟（视频、PPT 、动 画）
三、坐标系的表示 一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个向量表示，通常 着三个向量相互垂直。 四、刚体的表示 在外力作用下,物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内部各部分相对位置保持恒定(没有形变)，这种理想物理模 型称之为刚体。增加刚体的定义： 体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。 刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。因此，常用“刚体的质心” 来研究刚体的平动。 一个物体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。由于这个 坐标系一直固连在该物体上，所以该物体相对于坐标系的位姿 是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么 这个物体相对于固定坐标系的位姿也就已知了 练 习 作 业
深度学习:让数学学习在课堂真正发生 内容摘要： 数学学习是一个学生自我数学建构的过程，在这一过程中，他们学会知识，学会思考，积累数学活动经验和数学思想方法，形成数学素养，发展数学思维。本文就一线数学教学中存在的浅层学习现象，结合课例谈教学中如何帮助和引导学生进行深层学习。 关键词： 深度学习求真求新求联 深度学习是一种有意义的学习方式，是在理解的基础上，学习者能够批判地学习新思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习。美国学者Ference M anon和R oger Sa在《学习的本质区别:结果和过程》一文，最早提出了深度学习（Deep Learning)和浅层学习(Surface Learnig)这两个相对应的学习概念。[i ] 课程改革到今天，我们提倡数学教学从儿童出发，以儿童的立场教数学，让学生经历数学化的过程，在教学形式上做了很多的改进和尝试，但是在实际一线教学中依然存在浅层学习的问题和现象。 1、形式化。我们常常看到一些公开课课堂，当堂开展小组研究探索，短时间内就有多种解法，小组汇报时每人的方法都不同，有条有理，个个都具有代表性。细细想想，这样的儿童真实吗？这样的课堂可能吗？ 2、程式化。老师们在教学中完全依赖教材，不求变，不求思，每天教学就是走教材流程。没有期待的数学课堂会有深度学习吗？。 3、碎片化。教学缺乏整体性，不能对教学素材进行有机整合和有效沟通,不挖掘教学中基于数学活动经验和数学思想方法的隐性教学内容，浅表化的教学，使得学生学习如同散沙一般,呈碎片状。 学生的数学学习在课堂真正发生必须有深度学习，在深度学习中不断建构自己的数学体系，在深度学习中体会思考的乐趣。 一、“求真”—深度学习的保鲜剂 学习情境是学生深度学习的场域。学习情境的真实展现，学生学习过程的真实展开，是学生自我建构知识结构的必备条件，只有真正经历用已有数学活动经验，不断解决新问题的过程，学生的深度学习才有生命力。 1、开展真研究 利用学生已有认知经验，组织学生研究是学生自主学习的良好方式，但在课堂上往往受时空的限制，有时很难有效地完成，要么蜻蜓点水，要么变成个别同学的研究，最终使研究演变成假研究。教学中我们可以根据实际情况，明确任务，把研究放在合适的时间，比如有一定难度的研究可以放在课前，教师针对学生的研究情况展开教学，在课堂上组织交流分享，碰撞研究火花，课堂上让学生在独立研究的基础上，与同伴在共赢共进中进行深度学习。 六下《认识圆柱、圆锥》 对于圆柱特征的认识，在课堂教学中我们常常是请学生用带来的圆柱体物体观察交流，总结特征。从课堂教学来看，有一部分学生是没有参与到研究中来的。 换一个角度去考虑，让每个孩子都动起来，在动手做的过程中，引发思考、启迪思维，真正感受圆柱的特征，课堂交流研讨就会更有质量，对圆柱的认识就会更深刻。从实际教学情况来看，学生做有以下几种情况：1、手工型：用数学书后面给好的模板做。2、模仿型：用长方形纸卷出一个上下一样粗的圆筒，然后用圆筒一头按在纸上画出大小一样的两个圆
小学数学深度学习心得 体会 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
小学数学“深度学习”教学研讨暨名师大课堂活动心得体会 真武小学姜阳 我有幸参加了为期两天的。在这短短的两天内, 我观摩了8位优秀老师的示范课，从中获得了不少的教学经验。8位老师各有各的风格，不同的设计思路却展现同样的精彩。他们对教材的理解、清晰的思路和灵活的教法，让我切实感受到了他们扎实的教学功底和深厚的技巧。同时他们毫无保留的把自己在教学中的经验体会拿出来与大家分享，受益匪浅。下面我就结合实际来谈谈自己的一些体会。 一、理解和掌握教材? 上好一节课首先要正确理解教材和把握教材，只有把教材吃透了，才能灵活变通教学方式，才能用最少的时间给学生以最大的收获，提高课堂教学的效率。强震球老师的《认识分数》对教材的把握和理解是非常到位的，结合图片和练习，引导学生一遍遍说把一些物体看作一个整体，将它平均分成几份，其中的一份就是它的几分之几，加深了学生对分数的认识，从根本上理解了分数的含义。同时，在做题过程中，他不断提问“为什么它们都是四分之一”，“为什么每一份表示的分数不一样”等，引发学生思考，自主探究，一节课下来，教学重难点都被学生内化吸收，效果显着。教材是主要的教学资源，是教与学的重要凭借，教师对教材内容的理解，不但要理解知识内容，更重要的是要理解其中的思维能力训练的内容和教学方法。杜海良老师在讲《体积和容积》时，先是往空杯子倒水，让学生体验空间，为学生正确认识“体积”奠定了基础，再让学生摸一摸桌肚，进一步对空间增加感性认识，最后往水里丢石子，通过“溢出的水多说明什么”概括出体积概念。他通过一系列的活动，让学生观察、猜测、实验最后验证，逐渐理解体积和容积的意义，发展空间观念和数学思维能力。听了这几位优秀教师的课，使我深深感受到教师只有知道上什么，什么是重难点，选准切入点和教学方法，把学习的主动权还给学生，才能上好一节课。 二、教师要学会思考 顾志能老师指出，数学知识，往往就是一种规定，思考规定背后的道理，那会让我们变得更加聪明。一个有追求，爱钻研，会思考的老师带给学生的不仅仅是课本知识，还有数学的思考。顾老师的《比万大的计数单位》
《应用数学基础》试题 一、选择题（10分） 6. _________. 4.已知f (x )是2x 的一个原函数,且f (x )=( ) 是任意常数) C.2x ln2+C (C 是任意常数) D.2x ln2 12. 14. 则f ’(2)=_________. 17.求曲线y =e x + x cos3x 在点(0,1)处的切线方程. 18. 1．函数 f (x x )的定义域是( ) A ．[-3,2] B ．[-3,2) C ．[-2,3) D ．[-2,3] 24.（1 7．函数f _________. 12 13 14 4．对于函数f (x ),下列命题正确的是（ ） A ．若x 0 B x 0为极值点 C ．若x 0 D ．若x 0
8 9．曲线y=x 2 +1在点（1，2）处的切线方程为 ． 10的单调增加区间为 ． 19 21． 试确定常数a 和b 的值，x =0处连续． 1.函数f (x ） A.[-1，1] B.[-1， 3] C.（-1，1） D.（-1，3） 3. x =1处的导数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.不存在 6.g (x )=x 2 +1,则f [g (x )]=_______________. 2 ） A ．0 B C D ．3 4．x =0是函数f (x ）
A ．零点 B ．驻点 C ．极值点 D ．非极值点 6．已知f (x +1)=x 2 ，则f (x )=________. 10函数f (x )=2x 3+3x 2 -12x +1的单调减少区间为________. 11．函数f (x )=x 3 -3x 的极小值为________. 13．设f f (0)=2，则f (x )=________. 17．求极限x x x x cos 12 e e lim 0--+-→. 五、应用题（本大题9分） 24．设区域D 由曲线y =e x ，y =x 2 与直线x =0，x =1围成. （1）求D 的面积A ； （2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x . 8.极限x x x 20 ) 21(lim -→-=________________. 9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________. 13.设f (x )连续且 ? +=x x x t t f 0 22cos d )(，则f (x )=________________. 19.计算定积分 ? π20 2d 2sin x x . 20.求不定积分 ?++211x x d x . 21.求函数f (x )=x 3 -6x 2 +9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 7.极限0lim →x x x 3 31?? ? ?? -=___________. 8.当x →0时，sin(2x 2 )与ax 2 是等价无究小，则a =___________. 9.极限∞→x lim 1sin 2++x x x =___________. 11.设y =x sin x ，则y ''=___________. 12.曲线y =x 3 +3x 2 -1的拐点为___________. 17.求极限0 lim →x ) 1ln(1sin e 2x x x +--. 18.求不定积分 ?.d ln x x x 22.计算定积分2 2 1021 x x -? d x.
机器学习方法有哪些 数学基础 有无数激情满满大步向前，誓要在机器学习领域有一番作为的同学，在看到公式的一刻突然就觉得自己狗带了。是啊，机器学习之 所以相对于其他开发工作，更有门槛的根本原因就是数学。每一个 算法，要在训练集上最大程度拟合同时又保证泛化能力，需要不断 分析结果和数据，调优参数，这需要我们对数据分布和模型底层的 数学原理有一定的理解。所幸的是如果只是想合理应用机器学习， 而不是做相关方向高精尖的research，需要的数学知识啃一啃还是 基本能理解下来的。至于更高深的部分，恩，博主非常愿意承认自 己是『数学渣』。 基本所有常见机器学习算法需要的数学基础，都集中在微积分、线性代数和概率与统计当中。下面我们先过一过知识重点，文章的 后部分会介绍一些帮助学习和巩固这些知识的资料。 微积分 微分的计算及其几何、物理含义，是机器学习中大多数算法的求解过程的核心。比如算法中运用到梯度下降法、牛顿法等。如果对 其几何意义有充分的理解，就能理解“梯度下降是用平面来逼近局部，牛顿法是用曲面逼近局部”，能够更好地理解运用这样的方法。 凸优化和条件最优化的相关知识在算法中的应用随处可见，如果能有系统的学习将使得你对算法的认识达到一个新高度。 线性代数 大多数机器学习的算法要应用起来，依赖于高效的计算，这种场景下，程序员GG们习惯的多层for循环通常就行不通了，而大多数 的循环操作可转化成矩阵之间的乘法运算，这就和线性代数有莫大 的关系了
向量的内积运算更是随处可见。 矩阵乘法与分解在机器学习的主成分分析(PCA)和奇异值分解(SVD)等部分呈现刷屏状地出现。 概率与统计 从广义来说，机器学习在做的很多事情，和统计层面数据分析和发掘隐藏的模式，是非常类似的。 极大似然思想、贝叶斯模型是理论基础，朴素贝叶斯 (Na?veBayes)、语言模型(N-gram)、隐马尔科夫(HMM)、隐变量混合 概率模型是他们的高级形态。 常见分布如高斯分布是混合高斯模型(GMM)等的基础。 典型算法 绝大多数问题用典型机器学习的算法都能解决，粗略地列举一下这些方法如下： 处理分类问题的常用算法包括：逻辑回归(工业界最常用)，支持向量机，随机森林，朴素贝叶斯(NLP中常用)，深度神经网络(视频、图片、语音等多媒体数据中使用)。 处理回归问题的常用算法包括：线性回归，普通最小二乘回归(OrdinaryLeastSquaresRegression)，逐步回归(StepwiseRegression)，多元自适应回归样条(MultivariateAdaptiveRegressionSplines) 处理聚类问题的常用算法包括：K均值(K-means)，基于密度聚类，LDA等等。 降维的常用算法包括：主成分分析(PCA),奇异值分解(SVD)等。 模型融合(modelensemble)和提升(boosting)的算法包括：bagging，adaboost，GBDT，GBRT 其他很重要的算法包括：EM算法等等。
小学数学深度学习之我见 “深度学习”是在理解学习的基础上，以培养高阶思维能力、反思能力和实际问题解决能力为旨归的一种学习。促进学生深度学习，就是促进学生主动地、专注地、批判性地学习，并将所学知识迁移到新的情境中，去尝试解决新的问题。数学学习是一个学生自我数学建构的过程，在这一过程中，他们学会知识，学会思考，积累数学活动经验和数学思想方法，发展数学思维。如何让孩子的数学学习不是浮于浅表的、机械模仿的，而是真正能落到实处，触及孩子的思维、情感、态度和价值观呢？ 一．联系生活，创设情境 数学来源于生活，让数学教学充满生活气息，才能真正调动起学生学习数学的积极性和主动性。有些数学问题单凭字面理解十分抽象，只凭口头讲解很难解释清楚，而如果创设一些学生熟悉的有利于数学学习的思维情景，则可起到事半功倍的效果。一个好的生活情景，能促发强烈的问题意识，利于引发学生的探究情感，培养创新意识。就要求解决问题的素材是学生自己熟悉的，或是自己感受过的、理解的，与他们的生活世界密切相关。这种呈现方式，对学生来说，具有亲切感，更容易理解和接受，并产生浓厚的学习兴趣，激发他们的学习动机，更重要的是能使他们把学到的知识运用于实际生活，培养他们解决实际问题的能力。在《轴对称图形》这一课中也巧妙运用了生活情景这一方法，选取学生生活中常见的图形，如天安门、东方明珠塔、飞机、蝴蝶等。通过这些图形学生很顺利的进入到教学状态中来，课堂效果很好，气氛很轻松、和谐。教学时，联系学生的生活实际，利用他们喜闻乐见的素材创设生活情景，使学生产生“数学就在我们身边”的亲近感。让学生在生活实践情景中学习数学，只有在具体的参与过程中，学生才能通过亲身体验去感悟、体验知识的由来、本质及应用前景。增强数学的应用意识。《东南西北》这节课中就采用了生活式的情景：利用学生生活中东南西北方向的识别经验，探索，发现平面图上的东南西北方位的规律。结合学生生活背景，提供各类平面图，让学生识别方位，经历知识内化的过程。 生动的生活经验，不仅能激发学生的学习兴趣，最重要的是还能把生活的经验纳入数学的知识体系中，对数学形成一个新的认识。 二．利用迁移，探究新知 学数学中，新知识一般是旧知识的延伸或组合，两者之间必有很多共同属性。新旧知识的共同点越多，越容易实现知识的迁移。在教学中，要努力揭示新旧知识之间的共同因素，尽力创设情境，凡是学生能在已学的基础上类推的，尽量引导他们自己推出应学的新知识。 在平行四边形面积之前已经学习了长方形的面积公式，长方形的面积公式和平行四边形的面积公式有相似之处，也有不同之处。教师直接把公式告诉学生，