圆锥曲线(理1)
一．基础题组
1. 【辽宁省抚顺市第一中学2016届高三10月月考10】已知双曲线22
2:
14x y C b
-= (0)b >的一条渐近线方程为6
2
y x =
，12,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，12||:||3:1PF PF =，则21||PF PF +
的值是（ ） A ．4 B ．26 C ．210 D ．
610
5
【答案】C
考点：双曲线的定义、渐近线及向量的综合应用。
2. 【嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试7】设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的
左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2
e （ ▲ ）
A.221+
B. 224-
C.225-
D.223+
【答案】C 【解析】
试题分析：设1AF AB m ==，则12BF m =， 22222AF m a
BF m a =-=-，∵22AB AF BF m =+=，m a m a m a m 24222=?=-+-∴m AF )2
2
1(2-=∴∵12AF F ?为直角三角形，∴2
2
2
1212F F AF AF =+∴
225(2)24m c -=m a 24= =∴24c 28)22
5
(a ?-,
2e ∴225-=，故选C ．
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题考查双曲线的标准方程与性质,考查双曲线的定义,解题的关键是确定
2AF ；设1AF AB m ==，计算出221 2AF m ??
=- ? ???
，再利用勾股定理，即可建立a c
，的关系，从而求出2
e 的值. 二．能力题组
1. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试7】如图，已知双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为21,F F ，421=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点1,APF A ?的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1=PQ |，则双曲线的离心率是 ( )
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2 【答案】B
2. 【临川一中2015—2016年度第一学期高三期中考试12】已知双曲线C 的方程为
22
145
x y -=，其左、右焦点分别是1F 、2F ．已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()00,x y P （00x >，00y >）满足11211
121||||
PF MF F F MF PF F F = ，则12PMF PMF S S ??-=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C
考点：1、双曲线的定义与性质；2、点到直线的距离； 3、平面向量的数量积．
【规律总结】（1）圆锥曲线与平面向量的综合，通常是将向量表示为坐标形式，然后利用向量运算转化为代数运算进行求解；（2）圆锥曲线中的面积问题通常涉及到三角形的面积，而求三角形面积的关键是确定底边和高的长．
3.【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试10】平面直角坐标系中，已知
)01(，F ，动点),1(t P -，线段PF 的垂直平分线与直线t y =的交点为M ，设M 的轨迹为曲
线?，则?的方程为 ，A 、B 、C 为曲线?上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ?为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 个。
【答案】x y 42=,无数个
考点：抛物线的定义及性质.
4. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试19】 （本小题满分15分）如图，
椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点，AF 的
最大值为M ，BF 的最小值为m ，满足2
34
M m a ?=
。 （Ⅰ）若线段AB 垂直于x 轴时，，求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两点，O 是坐标原点，记GFD ?的面积为1S ，OED ?的面积为2S ，求
12
22
12
2S S S S +的取值范围。
【答案】（Ⅰ）13422
=+y x （Ⅱ）9
(0,)41
试题解析：(Ⅰ) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得
,,M a c m a c =+=-而234M m a ?=
，所以有2223
4
a c a -=，即224a c =，2a c =， 又
2
3
22=a b 且222c b a +=，得43,12==b a ， 因此椭圆的方程为：13
42
2
=+y x （4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2a c =，2
2
3b a c c =-=，椭圆的方程为22
22143x y c c
+=.
根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，
并设1122(,),(,)A x y B x y 则由22
22()143y k x c x y c c
=+??
?+=??消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=
从而有21212122286,(2)4343ck ck
x x y y k x x c k k +=-+=++=++，
（6分）
所以22
243(,)4343
ck ck G k k -++. 因为DG AB ⊥，所以22
23431443
D ck
k k ck
x k +?=---+，2
243D ck x k =-+. 由Rt FGD ?与Rt EOD ?相似，所以
22222
2221222
2
2243()()943434399()43
ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）
令
1
2
S t S =，则9t >，从而 1222122229114199
S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41
.
考点：椭圆的综合问题.
5. 【西藏日喀则地区一高2015学年第一学期10月检测20】 椭圆C :22
221x y a b
+=（0a b >>）
的上顶点为A ，4,33b ??
P
???
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）存在两个定点()11,0M ，()21,0M -． 【解析】
试题分析：（1）由题设可得22
4033b c c -+
=①，又点P 在椭圆C 上，可得2
2216199b a b
+=②，又222
2b c a +==③，由①③联立解得c ，b 2
，即可得解．
（2）设动直线l 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消去y ，整理得
()2
22214220k
x kmx m +++-=（﹡），由△=0，得22
21m k =+，假设存在()11,0λM ，
()22,0λM 满足题设，则由()()
()22121212122221
11
1
k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++?=
=
=++对任意的实数k 恒成
立．由121221
λλλλ+=??
+=?即可求出这两个定点的坐标．
试题解析：（1）()F ,0c ，()0,b A ，由题设可知F F 0A?P =
，得
2018高考真题分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2 2 221x y a b -=（a,b ＞0）的左、 右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平 分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 A. 23 B 6 2 D. 3【答案】B 【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组??????? =-+=0,b y a x b x c b y 得点 Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组??????? =++=0 ,b y a x b x c b y 得点P ),(a c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223 c a =，所以26=e 。 故选B 2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线 x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为)0(2 2 >=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得412162 2 =-=-=y x m ，所以双曲线方 程为42 2 =-y x ，即14 42 2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为 直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45 【答案】C 【解析】因为12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则有 P F F F 212=,，因为 2130=∠F PF ，所以 0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F == ，即c c c a =?=-22 1 23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4 3=e ，选C. 4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、22 B 、23 C 、4 D 、5 【答案】B 【解析】设抛物线方程为2 2y px =，则点(2,2)M p ±Q 焦点,02p ?? ??? ，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 2 2492p P ? ?-+= ?? ?， 解得2p =，所以44223OM =+?=.
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析 第九章 圆锥曲线 一、选择题 1. 【2016高考新课标1卷】已知方程22 2213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n 的取值范围是( ) （A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 2. 【2014高考广东卷.理.4】若实数k 满足09k <<，则曲线 221259x y k -=-与曲线22 1259x y k -=-的( ) A .离心率相等 B .虚半轴长相等 C .实半轴长相等 D .焦距相等 3. 【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点， M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A ） 3 （B ）2 3 （C ）2 （D ）1 4. 【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲 线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x 5. 【2014山东.理10】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22 221x y a b -=， 1C 与2C 的离心率之积为 2 3 ，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x 6. 【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22 22:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211 sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）
典型高考数学试题解读与变式2018版 考点42 圆锥曲线中的综合性问题 【考纲要求】 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【命题规律】 圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）探究直线与曲线的公共点 例1.【2016新课标卷】在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：2 2(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （1）求 OH ON ； （2）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【解析】（1）由已知得),0(t M ,),2(2 t p t P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2 t p t N ,ON 的方程为x t p y =, 代入px y 22 =整理得022 2 =-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2( 2 t p t H . 所以N 为OH 的中点,即 2| || |=ON OH .
（2）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2= -,即)(2t y p t x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y , 解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点M 到定点()1,0F 和定直线4x =的距离之比为1 2 ，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程； （2）过点F 作斜率不为0的任意一条直线与曲线C 交于两点,A B ，试问在x 轴上是否存在一点P （与点F 不重合），使得APF BPF ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． （2）存在. 设直线()()()()1122:10,1,,1,,,0l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则()2 222 1{ 314123412 x ty ty y x y =+?++=+=，即()2234690t y ty ++-=， 1212 2269 ,3434 t y y y y t t --+= =++， 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即 12 12011y y ty m ty m +=+-+-，
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
北京版（第01期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编： 专题09 圆锥曲线（原卷版）无答案 一．基础题组 1.【北京市朝阳区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】若双曲线 22 2 21(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,3] D ．(1,3) 2.【北京市西城区2013年高三二模试卷（理科）】已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） （A 3（B 3 （C 3 （D ）23 3.【北京市东城区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题(理科)】过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5. 【北京市西城区2013年高三二模试卷（理科）】已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） （A 3 （B 3 （C 3 （D ）236. 【北京市海淀区2013届高三5月模拟】 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛 物线2 4y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ?是以1AF 为底边
的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A B ．1+．1+ D ．2 7.【北京市顺义区2013年高考数学二模试卷(理科)】已知双曲线() 0,0122 22>>=-b a b y a x 的离心率为3 6 2,顶点与椭圆15822=+y x 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标 为 ,渐近线方程为 . 8.【北京市房山区2013年高考数学二模试卷(理科)】双曲线2 2 21(0)y x b b -=>的一条渐近线 方程为y =，则b = . 9.【北京市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】若双曲线C:22 21(0)3 x y a a - => ,则抛物线2 8y x =的焦点到C 的渐近线距离是______。 10.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考（二）数学试题（理科）】若双曲线 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 . 11.【北京市顺义区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】已知双曲线 ()0,01222 2>>=-b a b y a x 的离心率为36 2,顶点与椭圆15822=+y x 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 . 12．【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1 (,0)2 F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线 50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 . 13.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】已知椭圆C ： 22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A ．直线y m =+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
(2018 全国二卷)19.( 12 分) 设抛物线C ： y 2 4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k 0)的直线I 与C 交于A ,B 两点，|AB| 8 . (1)求I 的方程 (2)求过点A , B 且与C 的准线相切的圆的方程. (2018全国三卷)20. (12分) (1)证明：k 1 ； 2 ⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P FA F B 0 .证明：FA , 2 已知斜率为k 的直线I 与椭圆c ：- 4 2 7 1交于A , B 两点，线段AB 的中点为 ujur FP ,
FB成等差数列，并求该数列的公差.
（2018北京卷）（19）（本小题14分） 已知抛物线C: y2=2px经过点P （1, 2）.过点Q （0, 1）的直线I与抛物线C有两个不同的交点A, B,且直线PA交y轴于M ,直线PB交y轴于N. （I ）求直线I的斜率的取值范围； （2018天津卷）（19）（本小题满分14分） 2 2 设椭圆笃笃1 （a>b>0）的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 a b —，点A的坐标为（b,0），且FB AB 6j2 . 3 （I）求椭圆的方程; （II）设直线I: y kx（k 0）与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB 交于点Q. AQ 5名sin AOQ （O为原点），求k的值. PQ （2018江苏卷）18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点（禺）,焦点F1（加皿。）, 圆O的直径为F1F2. （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标; ②直线I与椭圆C交于A,B两点.若△ OAB的面积为纽6， 7 求直线I的方程. （2018浙江卷）21.（本题满分15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C: y2=4x上存在不同的两点A, B满足PA PB的中点均在C
高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。
两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:
专题09 圆锥曲线 一．基础题组 1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆22 1259 x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦 点，则双曲 线的渐近线的斜率为 （ ） （A ）±2 （B ） 43± （C ）12± （D ）34 ± 【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b -=的两条渐进线是：b y a =±。根据题意：5c =，2 4a c =，从而 2245a c =，22222 1 42 a a b b a c a ==?=±- 本题答案选C 2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -相应于焦点F 的准线方程为7 .2 x =-则这个椭圆的方程是( ) （A ） 222(1)21213x y -+= （B ）22 2(1)21213x y ++= （C ） 22 (1)15x y -+= （D ）22(1)15 x y ++= 【答案】D 3.【2007天津，文7】设双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，抛物线2 4y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） Ａ． 22 11224 x y -= Ｂ． 22 14896 x y -=
Ｃ．22 2133 x y -= Ｄ． 22 136 x y -= 【答案】D 4.【2008天津，文7】设椭圆22 221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦 点相同，离心率为 1 2 ，则此椭圆的方程为 （A ） 2211216x y += （B ）2211612 x y += （C ）2214864x y += （D ）22 16448x y += 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在轴上，排除A 、C ，由1 2 e = 排除D ，选B ． 5.【2009天津，文4】设双曲线122 22=-b y a x (a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线 的渐近线方程为( ) A.x y 2±= B.y ＝±2x C.x y 2 2 ±= D.x y 21±= 【答案】C 【解析】由题意知:2b ＝2,322=c ,则可求得2=a ,则双曲线方程为:12 22 =-y x ,故其渐 近线方程为x y 2 2± =. 6.【2010天津，文13】已知双曲线22 221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ， 它的一个焦点与抛物线y 2 ＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为__________． 【答案】22 1412 x y -=
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一
致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
2018年高考圆锥曲线大题 一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．
3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆． （1）求C的轨迹方程； （2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA
题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若
专题九 立体几何2 1.如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 2.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥. 3.如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F. （Ⅰ）证明：1//EF B C ； （Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值. 4.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平面BEC ，BE EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段 BE ，DC 的中点. (Ⅰ)求证：//GF 平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值． D D 1 C 1 A 1 E F A B C B 1 A B C D E A 1 B 1 C 1 G F B A C D E
5.如题（19）图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,.,2 ABC PC ACB D E π =∠= 分别为线段,AB BC 上的点，且 2,2 2.CD DE CE EB ==== （1）证明：DE ⊥平面PCD （2）求二面角A PD C --的余弦值。 6.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N （1）请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线//MN 平面BDH （3）求二面角A EG M --的余弦值. 7.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2 π ∠BA = ，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与 BE 的交点．将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置，如图2． （I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值． 8.如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 题（19）图 P C E D B A
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是
1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由
专题09 圆锥曲线中的定点、定值问题 一、题型选讲 题型一 圆锥曲线中过定点问题 圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。 例1、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22， 且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M(m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q. (1) 求椭圆C 的标准方程． (2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 思路分析 第(2)问中先要求出P ，Q 点，写出圆的方程(直径式)，然后，即令斜率k 的系数为零，常数项也为零，得出关于x ，y 的方程可得定点．审题注意题中m 是常数，而非变量． 规范解答 (1)由题意，得???e ＝c a ＝2 2，a 2 c －c ＝1， ，解得???a ＝2， c ＝1，所以a 2 ＝2，b 2 ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22 ＋y 2 ＝1.(4分) (2)解法1 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x －m)． 又准线方程为x ＝2， 所以点P 的坐标为P(2，k(2－m))．(6分) 由?????y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2， 得，x 2＋2k 2(x －m)2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0， 所以x A ＋x B ＝4k 2m 2k 2＋1，则x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k ????2k 2m 2k 2＋1－m ＝－km 2k 2＋1 ， (8分)