必修2 第四章 圆与方程复习
一、知识点归纳
(一).圆的两种方程
(1)圆的标准方程
222()()x a y b r -+-=,表示_____________.
(2)圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x .
①当D 2+E 2
-4F >0时,方程 ② 表示(1)当0422>-+F E D 时,表示__________; ②当0422=-+F E D 时,方程只有实数解2D x -=,2
E y -=,即只表示_______; ③当0422<-+
F E D 时,方程_____________________________________________. 综上所述,方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆.
(二).点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:
(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在_____;(2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在______; (3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在______. (三).直线与圆的位置关系
设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当r d >时,直线l 与圆C ______;(2)当r d =时,直线l 与圆C ________;
(3)当r d <时,直线l 与圆C ________.
(四).圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C _______;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C ______;
(3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C ____;(4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C ___;
(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C ______.
二、基本题型
题型一:求圆的方程
例1 .求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.
【方法总结】求圆的方程有两种常用方法:直接法与待定系数法,根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法,若有三个条件则选用待定系数法。
题型二:弦长、弧问题
例2、求直线063:=--y x l 被圆042:2
2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
变式练习:1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 2、求两圆0222=-+-+y x y x 和52
2=+y x 的公共弦长
题型三:圆的切线问题
例3 .过圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.
【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。
变式练习:自点A (-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线m 所在直线与圆C :x 2 + y 2 -4x -4y +7 = 0相切,求光线L 、m 所在的直线方程.
题型四:直线与圆的位置关系
例4、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.
变式练习:若直线m x y +=与曲线24x y -=
有且只有一个公共点,求实数m 的取值范
围.
题型五:圆与圆的位置关系 例5、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2
22=++-+y x y x C 的位置关系,
变式练习:圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。 题型六:圆中的对称问题
例6、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
题型七:与圆有关的动点轨迹问题
例7.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆上()2
214x y ++=运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
题型八:圆中的最值问题
例8:圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
【思想方法】
1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问题生动直观地加以解决,避免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式或韦达定理加以解决
2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式,与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式.
【自我检测】
1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值 依次为( ).
(A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4
2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( ).
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( ).
(A) 11<<-a (B) 10<- 4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线,则切线长为( ). (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5 5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) . (A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x 6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切,则a 的值为( ). (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D )-1 7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( ). (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= (D )x y 3 3-= 8.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ). (A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 (D )(x+1)2+(y+1)2=4 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( ). (A) 6π (B)4π (C)3π (D )2 π 10.M (x 0,y 0)为圆x 2+y 2=a 2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是( ). (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D )相切或相交 11.已知圆0242 2=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若?=∠90APB .求m 的值. 12.已知直角坐标平面内点Q(2,0),圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 1.以(3,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( ) A .(x +3)2+(y -1)2=4 B .(x -3)2+(y +1)2=4 C .(x -3)2+(y +1)2=16 D .(x +3)2+(y -1)2=16 2.一圆的标准方程为x 2+(y +1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( ) A .(1,0),4 B .(-1,0),2 2 C .(0,1),4 D .(0,-1),2 2 3.圆(x +2)2+(y -2)2=m 2的圆心为________,半径为________. 4.若点P (-3,4)在圆x 2+y 2=a 2上,则a 的值是________. 5.以点(-2,1)为圆心且与直线x +y =1相切的圆的方程是____________________. 6.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .x 2+(y -2)2=1 B .x 2+(y +2)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .x 2+(y -3)2=1 7.一个圆经过点A (5,0)与B (-2,1),圆心在直线x -3y -10=0上,求此圆的方程. 8.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是( ) A .|a |<1 B .a <1 13 C .|a |<1 5 D .|a |<1 13 9.圆(x -1)2+y 2=25上的点到点A (5,5)的最大距离是__________. 10.设直线ax -y +3=0与圆(x -1)2 +(y -2)2 =4相交于A ,B 两点,且弦AB 的长为 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 () ()2 2 2 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 ()2 2 2 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()22 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.22 0Ax By C xy D x Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 4040A B A B C C D E AF D E F A A A ?? =≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 m i n P A A N r A C ==- m a x P A A M r A C = = + 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直A C ) 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 (数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法: 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程: 四、参数方程: 五、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC) 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线l 与圆C 相切意味着什么? 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点... i )点在圆外 如定点()00,P x y ,圆:()()222x a y b r -+-=,[()()22 200x a y b r -+->] 第一步:设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步:通过d r =k ?,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对k 存在有效,当k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线,求切线方程. 答案:3410x y -+=和1x = ii )点在圆上 1) 若点()00x y ,在圆222x y r +=上,则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点()00x y ,在圆()()22 2x a y b r -+-=上,则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形,222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理....及勾股定理——常用 第4章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 【课时目标】 1.用定义推导圆的标准方程,并能表达点与圆的位置关系.2.掌握求圆的标准方程的不同求法. 1.设圆的圆心是A (a ,b ),半径长为r ,则圆的标准方程是________________,当圆的圆心在坐标原点 时,圆的半径为r ,则圆的标准方程是________________. 2.设点P 到圆心的距离为d ,圆的半径为r ,点P 在圆外?________;点P 在圆上?________;点P 在圆内?________. 一、选择题 1.点(sin θ,cos θ)与圆x 2+y 2=12 的位置关系是( ) A .在圆上 B .在圆内 C .在圆外 D .不能确定 2.已知以点A (2,-3)为圆心,半径长等于5的圆O ,则点M (5,-7)与圆O 的位置关系是( ) A .在圆内 B .在圆上 C .在圆外 D .无法判断 3.若直线y =ax +b 通过第一、二、四象限,则圆(x +a )2+(y +b )2=1的圆心位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.圆(x -3)2+(y +4)2=1关于直线y =x 对称的圆的方程是( ) A .(x +3)2+(y +4)2=1 B .(x +4)2+(y -3)2=1 C .(x -4)2+(y -3)2=1 D .(x -3)2+(y -4)2=1 5.方程y =9-x 2表示的曲线是( ) A .一条射线 B .一个圆 C .两条射线 D .半个圆 6.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上.则此圆的方程是( ) A .(x -2)2+(y +3)2=13 B .(x +2)2+(y -3)2=13 C .(x -2)2+(y +3)2=52 D .(x +2)2+(y -3)2=52 二、填空题 7.已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程是________________________________________________________________________. 8.圆O 的方程为(x -3)2+(y -4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为________. 9.如果直线l 将圆(x -1)2+(y -2)2=5平分且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是________. 三、解答题 10.已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,-2),且圆心C 在直线l :x -y +1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程. 高一数学必修二圆与方程 知识点整理 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件方程形式 圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心 (a , b ),半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节:圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。二、圆的方程 (1) ; 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系: 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内 (2) 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为?- D E ? ,半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时,方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 (3) 求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . (1) 此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2) 若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线 y =2x +5 上,半径为 2. 练习: 1.方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是( ) A.以(1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 B.以(1,2) 为圆心, 为半径的圆 C.以(-1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 D.以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆 2.过点 A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线 x +y -2=0 上的圆的方程是( ). A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4 3.点(1,1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A. -1 < a < 1 B. 0 < a < 1 C. a < -1 或 a > 1 D. a = ±1 4.若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆,则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M (5,-7),则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y =x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 7. 以点 C (-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 1 D 2 + E 2 - 4F 必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程,则 2222 0004040 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数:往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系:圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系:相切时,利用到圆心与切点的连线垂直直线;相交时,利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?<人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
人教版高中数学必修二圆与方程题库完整
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人教版高中数学必修二 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程
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(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)
数学必修2圆与方程知识点专题讲义
新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]