有限元法的发展现状及应用
学院：机电学院班级：机制1044班姓名：于中文学号：10 【摘要】简述了有限元法的起源、基本理论及发展现状。有限元法自1943 年次提出以来, 有限元理论及其应用得到了迅速发展。发展至今, 已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题, 由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题, 由线性问题扩展到非线性问题。重点总结了有限元法在生物医学、激光超声研究、机电工程、汽车产品开发、物流运输、建筑等多个领域的应用。
【关键词】有限元; 发展现状; 分析方法
有限元法( Finite Element Method, FEM) , 是计算力学中的一种重要的方法, 它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中, 用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题, 有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合, 且单元本身又可以有不同形状,因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域; 然后对单元( 小区域) 进行力学分析, 最后再整体分析。这种化整为零, 集零为整的方法就是有限元的基本思路。
1 、有限元法的发展现状
有限元法是R. Courant 于1943年首先提出的。自从提出有限元概念以来, 有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题, 都得到了新的解决方案。传统的FEM假设: 分析域是无限的; 材料是同质的, 甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的; 对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。为解决这类问题,
美国学者提出用GFEM( Gener-alizedFiniteElement Method) 解决分析域内含有大量孔洞特征的问题; 比利时学者提出用HSM( the Hybrid metis Singular element of Membraneplate) 解决实际开裂问题。在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时, FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计, 结果不但降低了约40%的前桥自重, 还避免了在制造过程中的大量焊接工艺, 降低了生产成本。
FEM在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统IGFEX后, 有限元法渗透到工程分析的各个领域中, 从大型的三峡工程到微米级器件都采用FEM进行分析, 在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时, 为了估计并控制误差, 常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差, 与传统算法不同, 将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。在均匀化迭代过程中, 采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分, 以便得到一个合适的起始均匀网格; 在变密度化迭代过程中,只进行网格的细化操作, 并充分利用上一次迭代的结果, 在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化, 保证了全局网格尺寸分布的合理性, 使得不同尺寸的网格能光滑衔接, 从而提高网格质量。整个方案简单易行, 稳定可靠, 数次迭代即可快速收敛, 生成的网格布局合理, 质量高。
2 、有限元法的应用
有限元法最初应用在求解结构的平面问题上,发展至今, 已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题, 由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题,由结构力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科, 由线性问题扩展到非线性问题, 由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料, 从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等, 由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合, 其应用的深度和广
度都得到了极大的拓展。
2. 1 有限元法在生物医学中的应用
在对人体力学结构进行力学研究时, 力学实验几乎无法直接进行, 这时用有限元数值模拟力学实验的方法恰成为一种有效手段。
2. 1. 1 改良及优化器械的设计
利用有限元力学分析, 可以改良医疗器械的力学性能以及优化器械的设计。除了实验方法外, 利用有限元法对器械进行的模拟力学实验具有时间短、费用少、可处理复杂条件、力学性能测试全面及其重复性好等优点。另外, 还可进行优化设计, 指导对医疗器械的设计及改进, 以获得更好的临床疗效。
2. 1. 2 利用有限元模型进行力学仿真实验
利用有限元软件的强大建模功能及其接口工具, 可以很逼真地建立三维人体骨骼、肌肉、血管、口腔、中耳等器官组织的模型, 并能够赋予其生物力学特性。在仿真实验中, 对模型进行实验条件仿真, 模拟拉伸、弯曲、扭转、抗疲劳等力学实验, 可以求解在不同实验条件下任意部位的变形, 应力、应变分布, 内部能量变化及极限破坏情况。目前有限元法在国内已经得到了普遍应用, 取得了大量的成就。然而与国外生物力学中有限元的应用情况相比, 国内的有限元工作依然有一定差距, 所以在有限元的研究中, 为解决实际的临床问题仍然需要不懈地努力。
2. 2 有限元方法在激光超声研究中的应用
在激光热弹机制激发超声的理论研究工作中,大部分工作在求解热传导和热弹方程过程中采用解析计算方法, 在数值计算中主要采用显式或隐式有限差分法, 而这些文献工作都局限在板材上, 当脉冲激光非轴对称地照射到管状材料表面时, 用这些方法求解都非常困难。另外, 在激光作用过程中, 由于温度的变化, 材料的热物理性能也随之发生变化, 以上所有的解析方法都无法应用于实际情况。而在数值计算中, 有限元方法能够灵活处理复杂的几何模型并且能够得到全场数值解, 另外有限元模型能够考虑材料参数随温度变化的实际情况。
2. 3 有限元法在机电工程上的应用
在电机中, 电流会使绕组发热, 涡流损耗和磁滞损耗会使铁芯发热。温度分布不均造成的局部过热, 会危及电机的绝缘和安全运行; 在瞬态过程中, 巨大的电磁力有可能损坏电机的端部绕组。为了准确地预测并防止这些不良现象的产生, 都需要进行电磁场的计算, 有限元法正是计算电磁场的一种有力工具。
2. 4 有限元法在汽车产品开发中的应用
作为制造业的中坚, 汽车工业一直是以有限元为主的CAE技术应用的先锋。有限元法在汽车零部件结构强度、刚度的分析中最显著的应用是在车架、车身设计中的应用。车架和车身有限元分析的目的在于提高其承载能力和抗变形能力、减轻其自身重量并节省材料。就整个汽车而言, 当车架和车身重量减轻后, 整车重量也随之降低, 从而改善整车的动力性和经济性等性能。
应用有限元法对整车结构进行分析, 可在产品设计初期对其刚度和强度有充分认识, 使产品在设计阶段就可保证使用要求, 缩短设计试验周期, 节省大量的试验和生产费用, 是提高产品可靠性既经济又实用的方法之一。它在汽车设计及产品开发中的应用使得汽车在轻量化、舒适性和操纵稳定性方面得到改进和提高。
2. 5 有限元法在物流运输行业的应用
运输是物流的重要环节, 但在运输过程中包装件不可避免地会遇到碰撞、跌落等冲击, 致使产品遭到致命损坏。采用有限元技术模拟包装件在运输中碰撞、跌落等状态, 能够减少或避免不必要的人工反复实物实验和破坏性实验, 缩小实验周期和费用。吴彦颖通过跌落模拟分析计算了不同工况下运输包装件的冲击力学响应, 并结合以往的环境试验结果, 得出了缓冲包装的可靠性和包装件内部无法检测部件的环境适应性结论; 还将理论模拟结果与模拟试验测量结果进行对比, 验证了数值模型和模拟方法的有效性。国内对产品采用不同材料作为缓冲包装均进行了有限元跌落模拟分析。
国外研究人员对电视机、烤箱、收音机等电子产品采用缓冲包装后, 利用有限元软件进行跌落模拟, 主要研究模拟分析过程中的关键技术。
2. 6 有限元法在建筑方面的应用
现今有限元技术在建筑业也凸显了它的重大作用。天津大学从事有限元的研究人员对河北古寺塔进行了地震反应分析。研究发现, 水平地震作用下, 塔结构在下部会出现拉应力区域, 更易开裂、破坏, 而且强烈地震的鞭梢效应会导致塔刹破坏, 因此提出对塔体抗震加固时可采用塔体加箍、碳纤维布加固等措施。
3 、结束语
有限元法在制造业、医学、物流、建筑等各领域中都得到了广泛应用, 但是
由于计算能力等条件的限制, 国内有限元法的应用相比于国外而言还有一定的差距。不过随着我国高性能计算机和计算技术的日益发展, 计算能力逐步提高, 有限元法将成为更有效的一种分析方法。
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第21卷 第1期 岩石力学与工程学报 21(1)：1～8 2002年1月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Jan .，2002 2000年2月8日收到初稿，2000年6月20日收到修改稿。 * 香港(RGC-CA99/00，EG01)及武汉市科委(991002024)资助项目。 作者 郑 宏 简介：男，1964年生，博士，1985年毕业于东北工学院机械系，现任研究员，主要从事岩土力学数值方法的研究工作。 界面问题的混合有限元法 * 郑 宏1 李焯芬2 葛修润1 岳中琦2 (1中国科学院武汉岩土力学研究所 武汉 430071) (2香港大学土木工程系 香港) 摘要 给出了界面问题的混合有限元提法，由该提法可导出良态、小规模的有限元方程组。对于复杂接触问题中的某些常见的技术性难题，如大面积、非光滑接触问题、刚体位移问题等都给出了相应的处理技术。 关键词 接触非线性问题，有限元，界面 分类号 O 241.82 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2002)01-0001-08 1 引 言 各类人工和天然界面的存在是岩土力学非线性问题的主要来源之一，当然，由于接触非线性本身就极具挑战性，所以几十年来，一直是非常活跃的研究领域。最新的关于接触问题的算法和模型的评论可参见文[1]。 与计算力学相比，岩土工程中的接触问题要复杂得多，这表现在，岩土工程中的接触通常是大面积、非光滑的，而且还具有剪胀特性等。即使忽略剪胀性，计算力学中所建议的一些算法如变分不等式方法[2] 和数学规化法[3] 等，在求解岩土工程中的界面问题时也会遇到某些困难，如变分不等法要求摩擦系数充分小才能确保解的存在[4] ，而数学规化法通常要求接触面充分光滑。 如果按单元形状进行分类，可将岩土力学中所使用的接触单元分成三类。以二维情况为例，第一类是分布型或Goodman 型节理单元[5]，这类单元含2个以上的节点对，其主要优点是程序实现简单，因而在应用中最为普遍。然而其缺点也非常明显：如果采用精确积分，则可能导致“剪切锁死”现象；如果采用缩减积分，则会使解的精度受到影响[6，7] 。 第二类是“点-边”模型 [7，8] ，虽然这一模型可模拟 大滑移，但因求解过程中可能出现不稳定，因而尚需做更深入地研究。第三类是Katona 提出的“点对”模型[9]，该模型可导出一对称的有限元方程组，然 而，当存在摩擦时，该算法收敛较慢甚至不收敛。 至于岩土力学中界面的本构模型也可分为两类，第一类认为接触应力和相对位移之间有非线性的本构关系，从而可利用位移型有限元法，其代表性论文见文[10～13]。这一类型通常要引入界面的法向和切向刚度K n ，K s ，一般认为适用于含充填物的结构面，然而，无论是原位试验还是室内试验所得到的K n ，K s 的分散度都较大。第二类认为界面的滑动和分离是由Mohr-Coulomb 准则和无拉应力准则控制的，即接触应力和相对位移之间的关系是刚塑性的，这类模型被认为适用于描述人工界面，如衬砌-围岩界面、桩-土界面和无充填物的自然结构面。目前，DDA 和FLAC 都应用这一模型。 处理界面约束时通常采用两种方法，即罚法和Lagrange 乘子法。众所周知，罚法中罚参数的选取不当会导致总体刚度矩阵的病态(罚参数太大时)或严重违反约束条件(罚参数太小时)，但由于罚法能很容易地嵌入现有的有限元程序，因而被广泛地使用。Lagrange 乘子法强调精确满足接触约束条件，但会增加方程组的阶数，而且由于刚体位移的存在，使得一些常规的求解技术失效。文[7]详细讨论了这两种方法各自的优缺点。 本文基于有界面时的虚位移原理，导出了界面问题的混合有限元提法。与Lagrange 乘子法类似，本文的提法也精确满足界面约束条件，而且，为了减少方程组的规模，提高求解效率，建议了一种高效的凝缩方法，该方法可将所有非接触节点的自由
可变形离散元的坐标变换 0 接触检测算法 对非连续问题来说，判断是否接触是很重要的。减少相隔较远的颗粒间的接触判断可以提高算法效率()()o N o N →2。直接检测的算法分为两类：一类是圆形边界，另一类是矩形边界。对矩形边界，有离散单元的直接映射检测算法，单元每改变一次位置该方法需调用一次： Step 1：将离散元映射到胞元。根据每个单元中心位置将单元映射到胞元上。因此每个单元都唯一的与一个胞元对应。即对每个单元中心坐标取整，其中d 为胞元边长，max()elements d R > min min int int( ), int int()i i i i x x y y x y d d --=+=+11 （1） Step 2：找到可能接触的离散元。每个离散元都与其映射胞元中心重合且被完全覆盖，两个胞元相邻的单元有可能接触。事实上对下面的胞元，因为每个胞元都可作为中心元被检查两次，所以只需检查左下角的四个。 如何将单元映射到胞元上呢？不同的映射方法定义了不同的算法，如屏风法、分类法、Munjiza-NBS 法和Williams-C 网格法。 1 屏风法： [,,,...,]N E e e e e =123，N 为单元个数。离散元素映射到细胞的获得是通过设置阵列C 指单独列出的头连接的胞元。
映射进行如下： STEP 1 设置空为-1 Loop over all rows of cells(i=1; i ≤Ncel ; i++) { Loop over all cells in a row(j=1;j ≤Ncel ; j++) { set C[i][j ] = ?1 } } Loop over all discrete elements(k=1; k ≤N; k++) { set E[k] = ?1 } STEP 2 离散元映射到胞元。单元每运动一次执行一次，例如每个时间步执行一次。对每个胞元设置一个独立的链表： Loop over all discrete elements (k=1; k ≤N;k++) { Integerise current coordinates and set min min int int( ), int int() i i i i x x i x d y y j y d -==+-==+11 Place the discrete element onto the corresponding singly connected list by setting E[k] = C[i][j ] and afterwards C[i][j ] = k } 当单元移动后再进行映射时不需要初始化。当单元分离时步骤1再次进行。一旦 离散元都映射到胞元，则检测开始。对所有离散元循环，找到离散元映射的胞元，然后检查该胞元相邻和周围胞元中的单元。 Loop over discrete elements (k=1; k ≤N; k++) { Integerise current coordinates and set min min int int( ), int int() i i i i x x i x d y y j y d -==+-==+11 if C[i][j]≤N { C[i][j]=C[i][j]+N loop over all discrete elements from C[i][j] list { loop over all discrete elements from neighboring cells, i.e. lists C[i-1][j-1], C[i][j-1], C[i+1][j-1], C[i-1][j], C[i][j] { direct check for contact between discrete elements } } } } 搜索只遍历所有离散元，并不遍历所有胞元。 2 分类法 如果离散元是分散分布的，则胞元矩阵会很大，所以为节省RAM 和CPU 产生
有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
有限元法 第一章绪论 1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 2.有限元法的特点：A物理概念清晰。B复杂的结构适应性。C各种物理问题的适用性。D适合计算机实现的高效性。 3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。 4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。 位移法求解步骤：A结构的离散化。B单元分析。C单元集成。D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。E由节点位移计算单元的应力与应变。 5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。b对无限求解域问题没有较好的处理方法。c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。 6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。屈曲模态：对于屈曲，即使相同的的构件，如果端部的支持状态不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态 第三章弹性力学基础知识 1.弹性力学又称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外力因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 2.弹性力学的几个基本假定：A连续性假定。B弹性假定。C均匀性和各向同性假定。D小变形假定。E无初应力假定。 3.外力分为面力和体积力。面力：指分布在物体表面上的外力，如内压力、接触压力等。面力是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比，且是各质点位置的函数，如重力、惯性力等。 4.弹性力学的平面问题：弹性力学可分为空间问题和平面问题。平面问题有两种情况：一种是平面应力问题，所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板所受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用；另一种是平面应变问题，适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。 第四章平面问题的有限元法 1.常用的平面单元形状有三角形、四边形等。 2.集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点。 3.整体刚度矩阵的性质：a整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。b整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的。c整体刚度矩阵[K]是一个对称矩阵。d整体刚度矩阵[K]是一个带状分布的稀疏矩阵。e整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。
《有限元分析》报告基本要求： 1. 以个人为单位完成有限元分析计算，并将计算结果上交；（不允许出现相同的分析模型，如相 同两人均为不及格） 2. 以个人为单位撰写计算分析报告； 3. 按下列模板格式完成分析报告； 4. 计算结果要求提交电子版，报告要求提交电子版和纸质版。（以上文字在报告中可删除） 《有限元分析》报告 一、问题描述 （要求：应结合图对问题进行详细描述，同时应清楚阐述所研究问题的受力状况和约束情况。图应清楚、明晰，且有必要的尺寸数据。） 一个平面刚架右端固定，在左端施加一个y 方向的-3000N 的力P1，中间施加一个Y 方向的-1000N 的力P2，试以静力来分析，求解各接点的位移。已知组成刚架的各梁除梁长外，其余的几何特性相同。 横截面积：A=0.0072 m2 横截高度：H=0.42m 惯性矩：I=0.0021028m4ｘ 弹性模量： E=2.06ｘ10n/ m2/ 泊松比：u=0.3 二、数学模型 （要求：针对问题描述给出相应的数学模型，应包含示意图，示意图中应有必要的尺寸数据；如进行了简化等处理，此处还应给出文字说明。） （此图仅为例题）
三、有限元建模（具体步骤以自己实际分析过程为主，需截图操作过程） 用ANSYS 分析平面刚架 1．设定分析模块 选择菜单路径：MainMenu—preference 弹出“PRreferences for GUI Filtering”对话框，如图示，在对话框中选取：Structural”,单击[OK]按钮，完成选择。 2．选择单元类型并定义单元的实常数 （1）新建单元类型并定 （2）定义单元的实常数在”Real Constants for BEAM3”对话框的AREA中输入“0。0072”在IZZ 中输入“0。0002108”，在HEIGHT中输入“0.42”。其他的3个常数不定义。单击[OK]按 钮，完成选择 3．定义材料属性 在”Define Material Model Behavier”对话框的”Material Models Available”中，依次双击“Structural→Linear→Elastic→Isotropic”如图
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
1.软件形式： ㈠. SolidWorks的内置形式： ◆COSMOSXpress——只有对一些具有简单载荷和支撑类型的零件的静态分析。 ㈡. SolidWorks的插件形式： ◆COSMOSWorks Designer——对零件或装配体的静态分析。 ◆COSMOSWorks Professional——对零件或装配体的静态、热传导、扭曲、频率、掉落测试、优化、疲劳分析。 ◆COSMOSWorks Advanced Professional——在COSMOSWorks Professional的所有功能上增加了非线性和高级动力学分析。 ㈢. 单独发行形式： ◆COSMOS DesignSTAR——功能与COSMOSWorks Advanced Professional相同。 2.使用FEA的一般步骤： FEA=Finite Element Analysis——是一种工程数值分析工具，但不是唯一的数值分析工具！其它的数值分析工具还有：有限差分法、边界元法、有限体积法… ①建立数学模型——有时，需要修改CAD几何模型以满足网格划分的需要， （即从CAD几何体→FEA几何体），共有下列三法： ▲特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理（注：如果选中了“使用中面的壳网格”做为“网格类型”，COSMOSWorks会自动地创建曲面几何体）。▲清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。如模型中的细长面、多重实体、移动实体及其它质量问题会造成网格划分的困难甚至无法划分网格—这时我们可以使用CAD质量检查工具（即SW菜单: Tools→Check…）来检验问题所在，另外含有非常短的边或面、小的特征也必须清除掉（小特征是指其特征尺寸相对于整个模型尺寸非常小！但如果分析的目的是找出圆角附近的应力分布，那么此时非常小的内部圆角应该被保留）。 ②建立有限元模型——即FEA的预处理部分，包括五个步骤： ▲选择网格种类及定义分析类型（共有静态、热传导、频率…等八种类别）——这时将产生一个FEA算例，左侧浏览器中之算例名称之后的括号里是配置名称； ▲添加材料属性: 材料属性通常从材料库中选择，它不并考虑缺陷和表面条件等因素，与几何模型相比，它有更多的不确定性。 ◇右键单击“实体文件夹”并选择“应用材料到所有”——所有零部件将被赋予相同的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下的某个具体零件文件夹并选择“应用材料到所有实体”——某个零件的所有实体(多实体)将被赋予指定的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下具体零件的某个“Body”并选择“应用材料到实体”——只有
第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。
有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。 有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。 有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。 在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量； 在有限元力法中，选节点力作为未知量； 在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰
有限元法的分析 从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。 有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。
有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。 有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。 有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图
有限元分析的目的和概念 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体(deformed body))都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信息一般有三类： (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移(displacement)); (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态(称为应变(strain)); (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态(称为应力(stress)); 若该构件为简单形状，且外力分布也比较单一，如：杆、梁、柱、板就可以采用材料力学的方法，一般都可以给出解析公式，应用比较方便;但对于几何形状较为复杂的构件却很难得到准确的结果，甚至根本得不到结果。 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案;然后，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。 为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢?这时因为有限元方法是基于“离散逼近 (discretized approximation)”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。 一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域 (sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用分段线性函数的连接); 基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。因为实际问题被较简单的问题所代替，所以这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 步骤 有限元分析的基本步骤通常为：
第一步前处理。根据实际问题定义求解模型，包括以下几个方面: (1) 定义问题的几何区域：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 (2) 定义单元类型: (3) 定义单元的材料属性: (4) 定义单元的几何属性，如长度、面积等； (5) 定义单元的连通性: (6) 定义单元的基函数; (7) 定义边界条件: (8) 定义载荷。 第二步总装求解: 将单元总装成整个离散域的总矩阵方程(联合方程组)。总装是在相邻单元结点进行。状态变量及其导数(如果可能)连续性建立在结点处。联立方程组的求解可用直接法、迭代法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。 第三步后处理: 对所求出的解根据有关准则进行分析和评价。后处理使用户能简便提取信息，了解计算结果。 基本特点 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是
随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA 在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件 LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室(Lawrence Livermore National Lab.)由J.O.Hallquist 主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。此软件受到美国能源部的大力资助以及世界十余家著名数值模拟软件公司（如ANSYS、MSC.software、ETA等）的加盟，极大地加强了其的前后处理能力和通用性，在全世界范围内得到了广泛的使用。在软件的广告中声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题。即使是这样一个被人们所称道的数值模拟软件，实际上仍在诸多不足，特别是在爆炸冲击方面，功能相对较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日——欧拉结合方面不如DYTRAN灵活。虽然提供了十余种岩土介质模型，但每种模型都有不足，缺少基本材料数据和依据，让用户难于选择和使用。2. MSC.software公司的DYTRAN软件 当前另一个可以计算侵彻与爆炸的商业通用软件是MSC.Software Corporation ( MSC公司) 的MSC.DYTR AN程序。该程序在是在LS-DYNA3D的框架下，在程序中增加荷兰PISCES INTERNATIONAL公司开发的PICSES的高级流体动力学和流体——结构相互作用功能，还在PISCES的欧拉模式算法基础上，开发了物质流动算法和流固耦合算法。在同类软件中，其高度非线性、流—固耦合方面有独特之处。MSC.DYTR AN的算法基本上可以概况为：MSC.DYTRAN采用基于Lagrange格式的有限单元方法（FEM）模拟结构的变形和应力，用基于纯Euler格式的有限体积方法（FVM）描述材料（包括气体和液体）流动，对通过流体与固体界面传递相互作用的流体—结构耦合分析，采用基于混合的Lagrange格式和纯Euler 格式的有限单元与有限体积技术，完成全耦合的流体-结构相互作用模拟。MSC.DYTRAN用有限体积法跟踪
一、结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。 这一步要解决以下几个方面的问题: 1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。 2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。 3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。 4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。 5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。 二、选择位移插值函数 1、位移插值函数的要求 在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。 位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。 2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求： 1）位移插值函数必须包含常应变状态。 2）位移插值函数必须包含刚体位移。 3、复杂单元形函数的构造 对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。 形函数的性质： 1）相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。 2）形函数之和恒等于 1。 1、建立数学模型（特征消隐，理想化，清除）（（即从CAD 几何体→FEA 几何体），共 有下列三法：▲ 特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲ 理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理▲ 清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。） 2、建立有限元模型：（选择网格种类及定义分析类型；添加材料属性；施加约束；定义载 荷；网格划分） 3、求解有限元模型：再在此基础上计算应变和应力等其它物理量；在热分析中，FEA 首先 计算的是网格中每个节点的温度（标量），再在此基础上计算温度梯度和热流等其它物理量. 一般如果模型可划分网格，那么它就可以求解，但如果没有定义材料或载荷，则求解会终止。 4、结果分析：材料线性假设、小变形假设、静态载荷假设等等。
有限元分析基础教程Fundamentals of Finite Element Analysis (ANSYS算例) 曾攀 清华大学 2008-12
有限元分析基础教程曾攀 有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀 (清华大学) 内容简介 全教程包括两大部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。本书以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建、典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例等一系列规范性方式来描述有限元分析的力学原理、程序编制以及实例应用；给出的典型实例都详细提供有完整的数学推演过程以及ANSYS实现过程。本教程的基本理论阐述简明扼要，重点突出，实例丰富，教程中的二部分内容相互衔接，也可独立使用，适合于具有大学高年级学生程度的人员作为培训教材，也适合于不同程度的读者进行自学；对于希望在MATLAB程序以及ANSYS平台进行建模分析的读者，本教程更值得参考。 本基础教程的读者对象：机械、力学、土木、水利、航空航天等专业的工程技术人员、科研工作者。
目录 [[[[[[\\\\\\ 【ANSYS算例】3.3.7(3) 三梁平面框架结构的有限元分析 1 【ANSYS算例】4.3.2(4) 三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较 3 【ANSYS算例】5.3(8) 平面问题斜支座的处理 6 【ANSYS算例】6.2(2) 受均匀载荷方形板的有限元分析9 【ANSYS算例】6.4.2(1) 8万吨模锻液压机主牌坊的分析(GUI) 15 【ANSYS算例】6.4.2(2) 8万吨模锻液压机主牌坊的参数化建模与分析(命令流) 17 【ANSYS算例】7.2(1) 汽车悬挂系统的振动模态分析(GUI) 20 【ANSYS算例】7.2(2) 汽车悬挂系统的振动模态分析(命令流) 23 【ANSYS算例】7.3(1) 带有张拉的绳索的振动模态分析(GUI) 24 【ANSYS算例】7.3(2) 带有张拉的绳索的振动模态分析(命令流) 27 【ANSYS算例】7.4(1) 机翼模型的振动模态分析(GUI) 28 【ANSYS算例】7.4(2) 机翼模型的振动模态分析(命令流) 30 【ANSYS算例】8.2(1) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(GUI) 31 【ANSYS算例】8.2(2) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(命令流) 33 【ANSYS算例】8.3(1) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(GUI) 34 【ANSYS算例】8.3(2) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(命令流) 38 【ANSYS算例】8.4(1) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(GUI) 39 【ANSYS算例】8.4(2) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(命令流) 42 【ANSYS算例】9.2(2) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(命令流) 45 【ANSYS算例】9.3(1) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI) 46 【ANSYS算例】9.3(2) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(命令流) 49 附录 B ANSYS软件的基本操作52 B.1 基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step) 53 B.2 log命令流文件的调入操作(可由GUI环境下生成log文件) 56 B.3 完全的直接命令输入方式操作56 B.4 APDL参数化编程的初步操作57