第三章 线性系统的时域分析与校正
习题及答案
3-1 已知系统脉冲响应
t e t k 25.10125.0)(-=
试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程
T c t c t r t r t ?
?
+=+()()()()τ
近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ??
?
??????
??-+=τln 693.0
t T r =22. T T T t s ??
???
?
-+=)ln(
3τ 解 设单位阶跃输入s
s R 1)(= 当初始条件为0时有：1
1
)()(++=Ts s s R s C τ 1
11
11)(+--
=
?++=
∴
Ts T s s Ts s s C τ
τ
C t h t T T
e t T
()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T
e t t
d ()./==---051τ
12=--T T e t T d τ/ ; T
t T T d -??? ??-=-τln 2ln ?????
???? ??-+=∴
T T T t d τln 2ln
2) 求t r （即)(t c 从1.0到9
.0所需时间)
当 T
t e
T
T t h /219.0)(---
==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T
t e
T
T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==2109
01
22ln ... 3) 求 t s
T
t s s e
T
T t h /195.0)(---
==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln
T
T T T T T T T T t s τ
ττ-+=+-=--=∴
3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数
111)(2
12211211
+=+=+
=ΦK K s
K K K s K s K K s K s
令闭环增益21
2
==
ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03
32
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时
间？
（2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。
解 （1）对（a ）系统： 1
101
110)(+=
+=
s s K s G a ， 时间常数 10=T 632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；
对（a ）系统：1
101
10101100
10110100
)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=
T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。
（2）对（a ）系统： 1)
()
()(==
s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。
对（b ）系统： 101101
101
1010011)
()
()(++=++
==
Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈?
。 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为
)
()()()(a s s K
s V s s G +=Θ=
可求得K 和a 的值。
若实测结果是：加10V 电压可得1200m in r 的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s ，试求电机传递函数。
提示：注意
a s K s V s +=Ω)()(，其中dt
d t θ
ω=)(，单位是s rad
解 依题意有： 10)(=t v （伏） ππ
ω4060
21200)(=?=
∞ （弧度/秒） （1）
πωω20)(5.0)2.1(=∞= （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 a
s K
s V s s G +=Ω=
)()()(0 应有 πω401010lim )()(lim )(0
00
==+??
=?=∞→→a
K a s K s s s V s G s s s （3） [][]
at e a K
a s s L a K a s s K L s V s G L t -----=??????+-=??
????+=?=1101110)(10)()()(1101ω 由式（2），（3） [][]
ππω20140110)2.1(2.12.1=-=-=
--a a e e a
K
得 5.012.1=--a
e
解出 5776.02
.15
.0ln =-=
a （4） 将式（4）代入式（3）得 2586.74==a K π
3-6 单位反馈系统的开环传递函数)
5(4
)(+=
s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间
t s 。
解：依题，系统闭环传递函数
)1)(1(4)
4)(1(4
454)(2
12
T s T s s s s s s ++
=++=++=
Φ ??
?==25
.01
21T T
4
1)4)(1(4
)()()(210++++=++=
Φ=s C s C s C s s s s R s s C
1)
4)(1(4
lim
)()(lim 00
0=++=Φ=→→s s s R s s C s s
34
)4(4lim
)()()1(lim 0
1
1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
3
1
)1(4lim
)()()4(lim 0
4
2=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
t t e e t h 43
1
341)(--+-=
42
1
=T T ， ∴3.33.3111==???
? ??=T T T t t s s 。 3-7 设角速度指示随动系统结构图如图3-48所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，
且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。 写出系统闭环传递函数
K
s s K
s 101010)(2++=Φ
闭环特征多项式
2
002
202
1211010)(???
? ??++=???? ??+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ????
???=???
? ??=K T T 10110
2
2
00 联立求解得 ??
?==5
.22
.00K T
因此有 159.075.40''<''==T t s
3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量
%5%≤σ，调节时间 s t s 3<，峰值时间s t p 1<，
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解 依题
%5%≤σ， )45(707.0?≤≥?βξ；
35
.3<=
n
s t ωξ， 17.1>?n ωξ；
n
p t ωξπ
21-=
1<， 14.312>-?n ωξ
综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。
3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函数
相当于一纯积分环节。
（1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？
（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速为多少？瞬时最
大心速多大？
解 依题，系统传递函数为
2
222205
.005.0105.0)(n
n n s s K s s K
s ωξωω++=+
+=Φ ???
?????==n n K
ωξω205.0105.0 令 5.0=ξ可解出 ???==2020
n
K ω
将 s t 1=代入二阶系统阶跃响应公式
()
βωξξ
ξω+---
=-t e t h n t n 22
1sin 11)(
可得 m in 00145.60000024.1)1(次次==s h
5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为
min 78.69163.1163.01(次次）==+=s t h p
3-10 机器人控制系统结构图如图3-50所示。试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。
解 依题，系统传递函数为
2
22
12121211
2)1()1()1(1)
1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=+++
+= 由 ??
???=-=≤=--5.0102.0212n p o
o t e ωξπσξπξ 联立求解得
??
?==1078
.0n
ωξ 比较)(s Φ分母系数得
??
?
??=-===146.0121001221K K K n n ξωω 3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图3-51所示。试确定系统的闭环传递函数。 解 依题，系统闭环传递函数形式应为
2
2
22.)(n
n n
s s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：
21
)(lim )()(lim (0
==?
Φ=Φ=∞Φ→→K s
s s s R s s h s s ） ???
????
=-===-=--o o
o o n p e t 25225.2212
12ξξπσξωπ
联立求解得 ??
?==717
.1404
.0n ωξ
所以有 95
.239.19
.5717.1717.1404.02717.12)(2
222++=+??+?=Φs s s s s 3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为
)
12.0(5
.12)(+=
s s s G
试求系统在误差初条件1)0(,10)0(==e
e 作用下的时间响应。 解 依题意，系统闭环传递函数为 5
.6255
.62)(1)()()()(2++=+==
Φs s s G s G s R s C s 当0)(=t r 时，系统微分方程为
)(5.62
)(
5
)(=
+
'
+
''t c
t
c
t
c
考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换
[][]0)(5.62
)0(
)(
5
)0(
)0(
)(
2=
+
-
+
'
-
-s
C
c
s
C
s
c
c s
s
C
s
整理得()())0(
)0(
5
)(
5.62
5
2c
c
s
s
C
s
s'
+
+
=
+
+（1）对单位反馈系统有)(
)(
)(t c
t r
t e-
=，所以
1
1
)0(
)0(
)0(
10
10
0(
)0(
)0(
-
=
-
=
'
-
'
=
'
-
=
-
=
-
=
e
r
c
e
r
c）
将初始条件代入式（1）得
2
2
25.7
)5.2
(
26
)5.2
(
10
5.
62
5
51
10
)
(
+
+
+
+
-
=
+
+
-
-
=
s
s
s
s
s
s
C
2
2
2
25.7
)5.2
(
5.7
47
.3
5.7
)5.2
(
)5.2
(
10
+
+
-
+
+
+
-
=
s
s
s
)8.70
5.7
sin(
6.10
5.7
sin
47.3
5.7
cos
10
)(5.2
5.2
5.2?
+
-
=
-
-
=-
-
-t
e
t
e
t
e
t
c t
t
t
3-13设图3-52（a）所示系统的单位阶跃响应如图3-52（b）所示。试确定系统参数
,
1
K
2
K和a。
解由系统阶跃响应曲线有
?
?
?
?
?
=
-
=
=
=
∞
o
o
o
o
p
t
h
3.
33
3
)3
4(
1.0
3
)
(
σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ?????
===-=--o o o
o n
p e t 3.331.01212
ξξπσωξπ 联立求解得 ??
?==28.3333
.0n
ωξ 由式（1）???====22
21108
21n n a K ξωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=?
Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s 3-14 图3-53所示是电压测量系统，输入电压)(t e t 伏，输出位移)(t y 厘米，放大器增益10=K ，丝杠每转螺距1mm ，电位计滑臂每移动1厘米电压增量为0.4V 。当对电机加10V 阶跃电压时（带负载）稳态转速为1000m in r ，达到该值63.2%需要0.5s 。画出系统方框图，求出
传递函数)(/)(s E s Y ，并求系统单位阶跃响应的峰值时间p t 、超调量o o
σ、调节时间s
t 和稳
态值)(∞h 。
解 依题意可列出环节传递函数如下 比较点： )()()(s F s E s E t -= V 放大器：
10)
()
(==K s E s U a 电动机： 1
5.03515.060101000
1)()(+=+?=+=Ωs s s T K s U s m m a r/s/V
丝杠：1.0
)
(
)
(
1
=
=
Θ
K
s
s
Y
cm/r
电位器：4.0
)
(
)
(
2
=
=K
s
Y
s
F
V/cm
画出系统结构图如图解3-14所示
系统传递函数为
3
4
2
3
10
)
(
)
(
)
(
2+
+
=
=
Φ
s
s
s
E
s
Y
s
t
?
?
?
??
?
?
=
=
=
866
.0
2
2
3
2
n
n
ω
ξ
ω
∴44.5
12
''
=
-
=
n
p
t
ω
ξ
π
o
o
o
o e433
.0
2
1=
=-
-ξ
ξπ
σ
5.3
5.3
''
=
=
n
s
t
ξω
5.2
1
)
(
lim
)
(
=
?
Φ
=
∞
→s
s
s
h
s
3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。
（1）0
10
11
4
2
2
)(2
3
4
5=
+
+
+
+
+
=s
s
s
s
s
s
D
（2）0
48
32
24
12
3
)(2
3
4
5=
+
+
+
+
+
=s
s
s
s
s
s
D
（3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 ε124- 10 S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434?-= 32348
316?-= 0 S 2
424316
4
12?-?= 48 S 121644812
0?-?= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s S 0 48
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。 （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2
S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出：
))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s
S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4
=-+s s 可解出：
)5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-16 图3-54是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K 值围。
解 由结构图，系统开环传递函数为：
)
4()124()(232++++=s s s s s K s G
??
?==3
4
v K K k 系统型别开环增益 0244)(2
3
4
5
=+++++=K Ks Ks s s s s D Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 )1(4K -- K 1
K
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>?
K
S )
1(41647322
K K K --+- 933.0536.0<
S 0 K 0>?K
∴使系统稳定的K 值围是： 933.0536.0< 3-17 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5)(3()(++= s s s K s G 要求系统特征根的实部不大于1-，试确定开环增益的取值围。 解 系统开环增益 15K K k =。特征方程为： 0158)(2 3 =+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有： 0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5 18K - 18 K S 0 8-K 8>? K 使系统稳定的开环增益围为： 15 1815158<= ) 12)(1() 1()(+++= s Ts s s K s G 试在满足 1,0>>K T 的条件下，确定使系统稳定的T 和K 的取值围，并以T 和K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。 解 特征方程为： 0)1()2(2)(2 3 =+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>?T S 2 T +2 K 2->?T S T TK K +-+221 1 4 2-+ ? K 综合所得条件，当1>K 时，使系统稳定的参数取值 围如图解3-18中阴影部所示。 3-19 图3-55是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数1)(=s G c 。 （1） 求使系统稳定的功率放大器增益K 的取值围； （2） 设20=K ，传感器的传递函数1 1 )(+= s s H τ（τ不一定是0.1），求使系统稳定的τ的取值围。 解 （1）当控制器传递函数1)(=s G c 时 K s s s s K s R s C s 64.2)11.0)(6() 11.0(64.2)()()(++++== Φ 04.2660164.26)10)(6()(2 3 =+++=+++=K s s s K s s s s D 4.26 36.360 164.269604.2616601:0 1 23 >→<→-K K s K K s K s s Routh ∴ 36.360< （2）20=K ，1 1 )(+=s s H τ时 8 .52)1)(6() 1(8.52)()()(++++==Φs s s s s R s C s ττ 08.526)16(8.52)1)(6()(23=++++=+++=s s s s s s s D τττ 8 .52357 .00 1 68.166167.08.52166:0 1 23 s s s s Routh <→+-->→+ττττττ ∴ 357.00<<τ 3-20 图3-56是船舶横摇镇定系统结构图，引入环速度反馈是为了增加船只的阻尼。 （1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ) () (s M s N Θ； （2） 为保证N M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2K 、 1K 和3K 应满足的方程； （3） 取2K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和3K 值。 解 （1） )5.01()5.02.0(5.01 2.05.012.05.0112.05.0)()(213222 12322K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s a N ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015 .0)()(1lim )() ()(lim )(2 100 ≤+=??=? =∞→→K K s M s s s s M s s M s N s N N s ΘΘθ 得 821≥K K 。 由 )() (s M s N Θ 有： ?? ? ??=+=+=5.025.02.05.013 231n n K K K K ωξω， 可得 21325.0125.02.0K K K K +=+ （3）12=K 时，81≥K ，525.02.03≥+K ，可解出 072.43≥K 。 3-21 温度计的传递函数为 1 1 +Ts ，用其测量容器的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ?? ?==1 1v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010 。 解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1 111)()(1)()()(+=+-=-== ΦTs Ts Ts s R s C s R s E s e C T s Ts Ts s s R s s e s e s ss ?==?+=Φ=→→5.21010 1lim )()(lim 2 3-22 系统结构图如图3-57所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。 解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 ) 1() 12(10)(2++= s s s s G ∞==∞ →)(lim s G K s p ∞==→)(lim 0 s sG K s v 10)(lim 20 ==→s G s K s a 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 )20()12(1012011(10 12)(2+++=++ +?+=s s s s s s s s s s G ） （） ∞==→)(lim 0 s G K s p 5.0)(lim 0 ==→s sG K s v 0)(lim 20 ==→s G s K s a 3-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ) 22)(4() 1(7)(2 ++++= s s s s s s G 试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2 t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。 解 ) 22)(4() 1(7)( 2 ++++= s s s s s s G ?? ?==1 8 7v K 由静态误差系数法 )(1)(t t r =时， 0=ss e t t r =)(时， 14.17 8 ===K A e ss 2)(t t r =时， ∞=ss e 3-24 系统结构图如图3-58所示。已知)(1)()()(21t t n t n t r ===，试分别计算 )()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的 稳态误差的影响。 解 ) 1)(1()(21++= s T s T s K s G ? ??=1v K )(1)(t t r =时， 0=ssr e ； K s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121211 )(1)(1t t n =时， K s s s s N s s e en s en s ssn 11) (lim )()(lim 1110 10 -=Φ=Φ=→→ K s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121222 )(1)(2t t n =时， 01 ) (lim )()(lim 2120 20 =Φ=Φ=→→s s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干 扰因引起的稳态误差。 3-25 系统结构图如图3-59所示，要使系统对)(t r 而言是II 型的，试确定参数0K 和τ 的值。 解 )1()1)(1() 1() 1)(1()1(1)1)(1()1()(02121021+-+++= +++- +++=s K K s T s T s K s T s T s K K s T s T s K s G ττττ ) 1()() 1(00212 21K K s K K T T s T T s K -+-+++= ττ 依题意应有：?? ?=-+=-00 10210τK K T T K K 联立求解得 ?? ?+==2 101T T K K τ 此时系统开环传递函数为 2 2121)()(s T T K s T T K s G ++= 考虑系统的稳定性，系统特征方程为 0)()(21221=+++=K s T T K s T T s D 当 1T ，2T ，0>K 时，系统稳定。 3-26 宇航员机动控制系统结构图如图3-60所示。其中控制器可以用增益2K 来表示； 宇航员及其装备的总转动惯量2 25m kg I ?=。 （1） 当输入为斜坡信号t t r =)(m 时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss e 1=cm ；
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