第1页 第2页
某某大学概率论与数理统计期末试卷A （20200115）
一、 单项选择(每小题3分，共30分，请用铅笔在选项框处涂黑，否则影响自动评分)
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
1. □ □ □ □
2. □ □ □ □
3. □ □ □ □
4. □ □ □ □
5. □ □ □ □
6.
□ □ □ □
7. □ □ □ □
8. □ □ □ □
9. □ □ □ □
10. □ □ □ □
二、（8分）假定有三种投资理财的方式：基金理财、国债理财、银行存款，每种投资方式相对物价(CPI)
上涨而言都存在一定的风险。某人只选择一种投资方式，且选择上述三种投资方式之一进行投资理财的概率分别为0.4、0.3、0.3。据统计，以上各种理财方式收益赶不上CPI 涨幅的概率分别为0.3，0.2，
0.2.求此人投资收益赶不上CPI 涨幅的概率。
三、（8分）某人的一串钥匙上有3把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数X 的分布律和分布函数。
四、（10分）某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上7点55分到8点之间，而火车这段时间开出
的时间Y 的概率密度为2,05()250,Y y y f y -?≤≤?
=???
（
5）其他，求(1)此人能及时上火车的概率(2)已知在
=(05)Y y y ≤≤的条件下，X 的条件密度函数。
五、（10分）设随机变量X 与Y 独立同分布，且~(0,1)X N ，求22Z X Y =+的分布密度。
注意：学号参照范例用铅笔工整书写和填涂，上方写学号，下方填涂,一一对齐；每六点连线确定一个数字，连线不间断，不涂改；数字1可连左边或右边，请认真完成。选择题填涂选项作答，其它题须在框内作答。本卷共4页。
设123、、A A A 分布表示基金理财、国债理财、银行存款，B 为理财方式收益赶不上CPI 涨幅
3
1
()(()0.40.30.30.20.30.20.24===?+?+?=∑)i i i P B P A P B A
所求分布律为即1
()1,2,33P X k k ===，. 故所求分布函数为0
11
123()223
31
3x x F x x x
≥?
（
1
）
1,05
5()0,
X x f x ?≤≤?=?
??其它，
(,)=()()
X Y X Y f x y f x f y 与独立，则55
2(5)1
()(,).1253
x y
x
y P X Y f x y dxdy dx dy ≤-≤===??
??
（2）在=(05)Y y y ≤≤的条件下，
因为1,05
5()=()()0,
X X X Y x X Y f x y f x f x ?≤≤?=???与独立，则其它
(,)=()()X Y X Y f x y f x f y 与独立，则，221
(,)exp{()/2}2f x y x y π
=
-+ 0()0≤=当时，Z z F z ，
2222
2222
22
20
00()()()1exp{()/2}21=2π
πθπ
+<-->=≤=+≤=
-+=????
?当时，Z x y z
r r
z
r z F z P Z z P X Y z x y dxdy d e rdr e rdr
所以Z 的概率密度函数2
2
,0()0z
Z ze z f z -??>=???，
其它
第3页 第4页
六、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为
22,0()0,x X e x f x -?≥=??其他
， 2
12(),2Y f y e y π--
=-∞<<+∞（y ）
求: （1 ;)32(Y X E -）（2 );32(Y X D -）（3XY ρ）.
七、（8分）假设某天来超市的人数为1000人，每人的消费是独立的，每人购物开支服从U(40,200)分布（单位：元）， 问超市该天营业额介于11.8万~12.2万元之间的概率。( 1.369)0.0855( 1.000)0.1586Φ-=Φ-=，30=5.477
八、（10分）（1）设总体X 概率密度为
1(),2x
f x e x θ
θ
-=-∞<<+∞
其中θ为大于零的未知参数，n X X X ,,,21 为X 的样本，求θ的矩法估计量。 （2）总体X 分布律为
22
123
2(1)(1)X P
θθθθ--
其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为X 的样本，其某次观测值为：1，2，1，求θ的极大似然估计值。
九、（6分）设12,,
,n X X X 为正态总体),(2σμN 的样本，2X 和S 分别为样本均值和样本方差，设221
()T X S n
=-，
（1）证明T 是2μ的无偏估计量（2）当=0=1T μσ，时，求的方差。
解（1(23)23132E X Y EX EY -=-=-=-） （2(23)491910D X Y DX DY -=+=+=） （3）因为X 和Y 相互独立，所以0=XY ρ. 设i X 为第i 个人购物开支，1,2,,200i =，则()120i E X =，2
160()12i
D X =
且121000,,,X X X 相互独立，由中心极限定理得：1000
1i i X =∑近似服从25600000(120000,)12N ，所以所求概率为：1000
1122000120000118000120000
(118000122000)()()25600000256000001212
(1.369)( 1.369)12( 1.369)0.829i
i P X =--<<≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-Φ-=∑
（1）1()02x
E X x e dx θθ-+∞-∞
==?
， 2221()2.2x
E X x e dx θ
θθ
-+∞-∞==?
22112n
i i X n θ==∑，2
1
1?2θ==∑n i i X n ， 或222
11?()()22θθ
--===
?=n n D X E X S S n n
（2）225
()()2(1)2(1)L θθθθθθ=-=-，ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++-
ln 515?0,16
d L d θθθθ=-==-
（1）
2222222
11
(()()()()()
E T E X E S D X E X D X n n n n
σσμμ=-=+-=+-=）
（2）1
~(0,)X N n
，22~(0,1),()~(1)1
1
X
X N n
n
χ则 22(1)~(1)n S n χ--，222()D X n =
，2
2()1
D S n =-，2X 与S 独立， 22221
222(()()=1(1)D T D X D S n n n n n
=+
+=--）