简单的三角恒等变换
[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一半角公式及其推导
(1)
2
S
α
：sin
α
2
＝±
1－cos α
2
；
(2)
2
C
α
：cos
α
2
＝±
1＋cos α
2
；
(3)
2
T
α
：tan
α
2
＝±
1－cos α
1＋cos α
(无理形式)
＝
sin α
1＋cos α
＝
1－cos α
sin α
(有理形式)．
思考1 试用cos α表示sin
α
2
、cos
α
2
、tan
α
2
.
答案∵cos α＝cos2
α
2
－sin2
α
2
＝1－2sin2
α
2
，
∴2sin2
α
2
＝1－cos α，∴sin2
α
2
＝
1－cos α
2
，
∴sin
α
2
＝±
1－cos α
2
；
∵cos α＝2cos2
α
2
－1，∴cos2
α
2
＝
1＋cos α
2
，
∴cos
α
2
＝±
1＋cos α
2
；
∵tan2
α
2
＝
sin2
α
2
cos2
α
2
＝
1－cos α
2
1＋cos α
2
＝
1－cos α
1＋cos α
，
∴tan α2＝±
1－cos α
1＋cos α
.
思考2 证明tan α
2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.
证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos
α22cos
2α
2＝tan α
2，
∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos α
sin α.
∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.
知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
·sin(x ＋φ) 使a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝
a
a 2＋b
2，sin φ＝
b a 2＋b 2
，其中φ称为
辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．
思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.
(1)sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π
4；
(2)sin x －cos x ＝2sin ?
??
?x －π
4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π
6；
(4)3sin x －cos x ＝2sin ????x －π
6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ????x ＋π
3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ?
??
?x －π
3.
思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． 答案 a sin x ＋b cos x
＝a 2
＋b 2
? ??
??
a a 2＋
b 2
sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2
(sin x cos φ＋cos x sin φ)
＝a2＋b2sin(x＋φ)
(其中sin φ＝
b
a2＋b2
，cos φ＝
a
a2＋b2
)．
题型一半角公式的应用
例1 已知cos α＝
1
3
，α为第四象限角，求sin
α
2
、cos
α
2
、tan
α
2
. 解sin
α
2
＝±
1－cos α
2
＝±
1－
1
3
2
＝±
3
3
，
cos
α
2
＝±
1＋cos α
2
＝±
1＋
1
3
2
＝±
6
3
，
tan
α
2
＝±
1－cos α
1＋cos α
＝±
1－
1
3
1＋
1
3
＝±
2
2
.
∵α为第四象限角，∴
α
2
为第二、四象限角．
当
α
2
为第二象限角时，
sin
α
2
＝
3
3
，cos
α
2
＝－
6
3
，tan
α
2
＝－
2
2
；
当
α
2
为第四象限角时，
sin
α
2
＝－
3
3
，cos
α
2
＝
6
3
，tan
α
2
＝－
2
2
.
跟踪训练1 已知sin θ＝
4
5
，且
5π
2
<θ<3π，求cos
θ
2
和tan
θ
2
.
解∵sin θ＝
4
5
，
5π
2
<θ<3π，
∴cos θ＝－1－sin2θ＝－
3
5
.
由cos θ＝2cos2
θ
2
－1得cos2
θ
2
＝
1＋cos θ
2
＝
1
5
.
∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ
2
＝－
1＋cos θ2＝－5
5
. tan θ
2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ
22cos
2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.
题型二 三角恒等式的证明
例2 (1)求证：1＋2cos 2
θ－cos 2θ＝2.
(2)求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x
sin x .
证明 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ ＝1＋2×1＋cos 2θ
2－cos 2θ
＝2＝右边． 所以原等式成立． (2)原式＝
2sin x cos x
(2sin x 2cos x 2－2sin 2
x 2)(2sin x 2cos x
2＋2sin 2
x
2
)
＝2sin x cos x 4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2)
＝sin x
2sin 2x 2＝cos x
2sin x 2＝2cos
2
x
22sin x 2cos
x 2
＝1＋cos x sin x ＝右边．
所以原等式成立．
跟踪训练2 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x
2
.
证明 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 2
2x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x
1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2
x ·cos x
1＋cos x ＝sin x
1＋cos x ＝2sin x 2cos
x
22cos
2x 2 ＝tan x
2＝右边．
所以原等式成立．
题型三 与三角函数性质有关的综合问题 例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π
3－x )，g (x )＝
12sin 2x －1
4
. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋3
2sin x )
＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )
8 ＝12cos 2x －14
， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.
(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －1
2sin 2x
＝
22cos(2x ＋π
4
)， 当2x ＋π
4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.
此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π
8
，k ∈Z }．
跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△
OAB 的周长最大？
解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ， 则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π
4)＋R .
∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π
4
.
∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π
4，
即当α＝π
4时，△OAB 的周长最大．
构建三角函数模型，解决实际问题
例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．
分析 解答本题可设∠PAB ＝θ并用θ表示PR 、PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．
解 如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ， 则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，
PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.
所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝
t 2－1
2
.
所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－1
2
＝8 1002(t －109
)2＋950.
故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2
；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)
m 2
.
1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α
2的值为( )
A.
63 B ．－63 C ．±63 D ．±3
3
2．下列各式与tan α相等的是( ) A.
1－cos 2α
1＋cos 2α
B.sin α1＋cos α
C.sin α1－cos 2α
D.1－cos 2αsin 2α
3．函数f (x )＝2sin x
2sin ? ?
?
??π3－x 2的最大值等于( )
A.12
B.3
2 C ．1 D ．2 4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋
1－sin α
1＋cos α＋1－cos α.
5．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )
A ．－
1－cos α
2 B. 1－cos α
2 C ．－
1＋cos α
2
D. 1＋cos α
2
2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π
2 D.2π3
3．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α
2等于( )
A ．－
1010 B.1010 C.310 3 D ．－35
4．函数f (x )＝sin 4
x ＋cos 2
x 的最小正周期是( )
A.π4
B.π
2 C ．π D ．2π 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝
1－cos 50°
2
，则有( ) A ．c
D ．b 6．若cos α＝－4 5 ，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.1 2 C ．2 D ．－2 二、填空题 7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2 x 的最小正周期是______． 8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为4 5，则底角的正切值为________． 10．sin 2 20°＋sin 80°·sin 40°的值为________． 三、解答题 11．已知函数f (x )＝4cos x sin ??? ?x ＋π 6－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??? ?－π6，π 4上的最大值和最小值． 12．已知sin ????α＋π3＋sin α＝－435，－π 2<α<0，求cos α的值． 13．已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2 x －2sin ????x ＋π4sin ????x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)； (2)若x ∈??? ?π12，π 2，求f (x )的取值范围． 当堂检测答案 1．答案 A 解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α 2＝ 1＋cos α2＝6 3 . 2．答案 D 解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α2sin αcos α＝sin α cos α＝tan α. 3．答案 A 解析 ∵f (x )＝2sin x 2? ???? sin π3 cos x 2－cos π3sin x 2 ＝ 32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2 ＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ????x ＋π6－12. ∴f (x )max ＝12 . 4．解 原式＝(sin α2＋cos α2 ) 2 2|cos α2|－2|sin α2| ＋(sin α2－cos α2 ) 2 2|cos α2|＋2|sin α2| ， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π 4， ∴cos α2<0，sin α 2 >0. ∴原式＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2 ) 2 2(sin α2－cos α 2) ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α 22＝－2cos α 2. 5．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°) ＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋53 2cos(x ＋20°) ＝ ? ????1122＋? ?? ? ?5322sin(x ＋20° ＋φ) ＝7sin ()x ＋20° ＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝53 14. 所以f (x )max ＝7. 课时精练答案 一、选择题 1．答案 C 2．答案 D 解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ??? ?2x ＋π 3＋θ. 当θ＝2 3π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x . 3．答案 B 解析 由题意知α2∈(3 4π，π)， ∴sin α2>0，sin α2＝ 1－cos α2＝10 10 . 4．答案 B 解析 ∵f (x )＝sin 4 x ＋1－sin 2 x ＝sin 4 x －sin 2 x ＋1＝－sin 2 x (1－sin 2 x )＋1 ＝1－sin 2x cos 2 x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78， ∴T ＝2π4＝π2. 5．答案 C 解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°， y ＝sin x 在[0，π 2 ]上是递增的． ∴a 解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－3 5. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋ sin α 2cos α21－ sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2 cos α2－sin α2 ＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－ 3 5－45＝－1 2 . 二、填空题 7．答案 π 解析 ∵f (x )＝ 22sin 2x －2 2 cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π 4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 8．答案 4780 解析 ∵(8sin α＋5cos β)2 ＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62 ＋102 ＝136. ∴80sin(α＋β)＝47， ∴sin(α＋β)＝47 80. 9．答案 3 解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为1 2 (180°－α)． ∴tan ??????12(180°－α)＝1－cos(180° －α)sin(180°－α) ＝1＋cos α sin α＝1＋ 4 53 5＝3. 10．答案 34 解析 原式＝sin 2 20°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 2 20°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°) ＝sin 2 20°＋sin 2 60°cos 2 20°－cos 2 60°sin 2 20° ＝sin 2 20°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝3 4. 三、解答题 11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ??? ?x ＋π 6－1 ＝4cos x ??? ?sin x cos π6＋cos x sin π 6－1 ＝4cos x ? ?? ??32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2 x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ??? ?2x ＋π 6， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π 3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π 6 时， f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π 6 时， f (x )取得最小值－1. 12．解 ∵sin ??? ?α＋π 3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π 3 ＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－45 3. ∴ 32sin α＋12cos α＝－45 ， ∴sin ??? ?α＋π 6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π 6， ∴cos ????α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ??????????α＋π6－π6 ＝cos ????α＋π6cos π6＋sin ????α＋π6sin π6 ＝35×32＋? ????－45×12＝33－4 10 . 13．解 (1)f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2 α－sin 2α sin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2 αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×? ????45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋1 2 ＝22sin ? ???2x ＋π4＋12， 由x ∈??? ?π12，π2得2x ＋π4∈?????? 5π12，5π4， 所以sin ????2x ＋π4∈?????? －22，1， 从而f (x )＝ 22sin ????2x ＋π4＋12∈? ????? 0，1＋22. 简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】 第25讲 简单的三角恒等变换 思维导图 知识梳理 题型归纳 题型1 三角函数式的化简 【例1-1】（2020春?临渭区期末）已知(0,)απ∈(1sin cos )(cos sin ) 2 α α αα+ +-= ． 【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果． 【解答】解：(0,)απ∈， ∴ 2(1sin cos )(cos sin )(12sin cos 2cos 1)(cos sin )2ααααααα αα++-++--= 2cos (sin cos )(cos sin )2cos cos 2 22222cos |2cos |2cos 22 α α αα αα αααα +-= ==， 故答案为：cos α． 【跟踪训练1-1】（2019秋?淮安期末）设4 2 x π π ，则 ( + ) A ．2sin x B ．2cos x C ．2sin x - D ．2cos x - ，然后结合已知角的范围进行化简即可． 【解答】解： 4 2 x π π ， sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=． 故选：A ． 【跟踪训练1-2】（2019秋?徐州期末）若α可以化简为( ) A ．2 sin α - B ． 2 cos α C ．2 tan α - D ．2tan α- 【分析】由a 为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解． 【解答】解：α为第四象限角， ∴ 1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααα αααα -+--==-． 故选：D ． 【名师指导】 1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 三角恒等变换测试题 第I 卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位 『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』 第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测） [A 组]—应知应会 1．（2020?赤峰模拟）1 tan15(tan15?-=? ) A ．B ．C ．-D ．4 【分析】把正切转化为正弦和余弦，再结合二倍角公式的逆用即可求解结论． 【解答】解：因为221sin15cos151515cos30tan151tan15cos15sin15cos15sin15sin 302 sin cos ???-?-? ?- =-===-?????? 故选：C ． 2．（2020?赣州模拟）若cos78m ?=，则sin(51)(-?= ) A ．B ．C D 【分析】由已知利用诱导公式可得cos102m ?=-， 利用二倍角的余弦函数公式可求sin51?=，进而根据诱导公式化简所求即可求解sin(51)-?的值． 【解答】解：cos78m ?=， cos(18078)cos102cos78m ∴?-?=?=-?=-，可得212sin 51cos102m -?=?=-， 21sin 512 m +∴?= ，解得：sin51?= sin(51)∴-?= 故选：A ． 3．（2019秋?临沂期末）若θ ( ) A ．2tan θ B ．2 tan θ - C ．2tan θ- D ． 2 tan θ 【分析】因为θ为第四象限角，所以sin 0θ<，再利用221cos sin θθ-=化简即可． 【解答】解：θ为第四象限角，sin 0θ∴<， ∴ 原式1cos 1cos 2cos 2 sin sin sin tan θθθθθθθ -+=-==--， 故选：D ． 4．（2019秋?沙坪坝区校级期末） sin53sin 23cos30(cos23?-?? =? ) 三角恒等变换测试题 ＿____贺孝轩 三角函数 1.画一个单位圆,则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? (只要两角之和为/2就行） ３.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+, α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= ４.和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± , βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12 sin 22 -= , 2)2 cos 2(sin sin 1α α α±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ,其中2 2 cos b a a += θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= == 普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章 《三角恒等变换》单元测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是 （ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是 （ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是 （ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13 x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2 y tan 的值是 （ ） A 、23± B 、32± C 、32- D 、23- 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是 （ ） A 、π B 、2π C 、1 D 、2 6、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ??? 的值为（ ） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 7 、函数sin 22 x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113 π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 8、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为 （ ） A 、45 B 、45 - C 、35- D 、9、已知0,4πα? ? ∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7 β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 10、已知不等式( )2cos 0444x x x f x m =+≤对于任意的566 x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m ≥ 、m ≤ C 、m ≤ 、m ≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上） 11 、函数sin 234y x x π??=+++ ??? 的最小值是 12、关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： 三角恒等变换单元测试基础篇 一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2019?北京学业考试）cos（α﹣β）等于（） A．cosαcosβ+sinαsinβB．cosαcosβ﹣sinαsinβ C．sinαcosβ+cosαsinβD．sinαcosβ﹣cosαsinβ 【解析】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．故选：A． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的公式，是基本知识的考查． 2．（2019秋?乃东区校级月考）求sin120°cos15°+cos60°cos105°的值（） A．1 B．3 C．D． 【解析】解：sin120°cos15°+cos60°cos105°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15° ＝sin（60°﹣15°）＝sin45°．故选：C． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查． 3．（2019秋?湛江校级月考）已知，则cos2α＝（） A．B．C．D． 【解析】解：由，得﹣sinα，即sin． ∴cos2α． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与二倍角的余弦，是基础题． 4．（2019秋?太和县校级月考）若，且θ为第三象限角，则的值等于（）A．B．C．﹣7 D．7 【解析】解：若，且θ为第三象限角，则sinθ， ∴tanθ，7， 故选：D． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 5．（2019?西湖区校级模拟）已知若，且θ∈（0，π），则（） A．B．C．±D． 【解析】解：∵，且θ∈（0，π）， ∴∈（0，）， ∴cos0， ∴． 故选：A． 【点睛】本题注意考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6．（2019秋?兴庆区校级月考）已知2sinα＝cosα，则（） A．B．3 C．6 D．12 【解析】解：∵已知2sinα＝cosα，∴tanα，则2+2tanα＝3，故选：B． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． 7．（2019秋?辛集市校级月考）已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，则（）A．B．C．D． 【解析】解：已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，根据三角函数的定义求出， 所以sin（）＝cos． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和 第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一 三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等）， 三角恒等变换测试题 _____贺孝轩 三角函数 1.画一个单位圆，则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? （只要两角之和为错误！未找到引用源。/2就行） 3.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+， α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= 4．和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ， βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2 222s i n 211c o s 2s i n c o s 2 c o s -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12sin 22 -= ， 2)2 c o s 2(s i n s i n 1α αα±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ， 其中2 2 cos b a a +=θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= == 简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b 第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换 1．sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17° ＝ sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12 . 2.(2017·山西太原4月模拟)已知α为锐角，若sin(α－π6)＝13，则cos(α－π3 )＝(A) A.26＋16 B.3－28 C.3＋28 D.23－16 (方法1)因为α为锐角，sin(α－π6)＝13 ， 所以cos(α－π6)＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos[(α－π6)－π6 ] ＝cos(α－π6)cos π6＋sin(α－π6)sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16 . (方法2)令α－π6＝θ，则sin θ＝13，cos θ＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos(θ－π6 ) ＝ 32×cos θ＋12×sin θ＝26＋16 . 3. (2018·佛山一模)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝(C ) A .12 B .13 C .14 D .15 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ ＝4， 即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14， 所以cos 2(θ＋π4)＝1＋cos （2θ＋π2）2＝1－sin 2θ2 ＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14 . 4．(2018·全国卷Ⅰ·文)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝2 3，则|a －b|＝(B ) A .15 B .5 5 C .25 5 D ．1 由cos 2α＝2 3，得cos 2α－sin 2α＝2 3， 所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝2 3， 所以tan α＝±5 5，即b －a 2－1＝±55，所以|a －b|＝5 5. 5．(经典真题)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝ －10 5 . 因为tan(θ＋π4)＝12，所以1＋tan θ1－tan θ＝1 2， 解得tan θ＝－1 3， 所以(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ sin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－2 3＋1 19＋1 ＝2 5， 因为θ为第二象限角，tan θ＝－1 3， 所以sin θ＋cos θ<0， 所以sin θ＋cos θ＝－10 5. 6．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b ＝ 1 . 因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋ 2sin (2x ＋π 4)， 所以1＋ 2sin(2x ＋π 4)＝A sin(ωx ＋φ)＋b ， 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 三角恒等变换测试题 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知)2,2 3(,1312cos ππαα∈= ，则=+)4(cos π α（） A. 1325 B.1327 C.26 217 D.262 7 2.若均βα,为锐角，==+= ββααcos ,5 3 )(sin ,552sin 则（） A. 552 B.2552 C.25 52552或 D.552- 3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos π πππ（） A.23- B.21- C.2 1D.23 4.=-+0000tan50tan703tan50tan70（) A.3B. 33C.3 3 - D.3- 5. =?+α αααcos2cos cos212sin22（） A.αtan B.αtan2 C.1D.2 1 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（） A.x sin 2 B.x sin 2- C.x cos 2 D.x cos 2- 7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4,则这个三角形底角的正弦值为（） A ． 1010B ．1010-C ．10103D ．10 103- 8.若).(),sin(32cos 3sin 3ππ??-∈-=-x x x ，则=?（） A.6π - B.6 πC. 65πD.65π- 9.已知1 sin cos 3 αα+=，则sin 2α=（） A ．89 -B ．21-C ．21 D ．89 10. 已知cos 23 θ=，则44cos sin θθ-的值为（） A ．3- B ．3C ．4 9 D ．1 11.求=11 5cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππ （） A.521 B.42 1C.1D.0 12. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是（） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3 x π =- 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+= = ,5 1cos ,10 1cos ． 14．在ABC ?中，已知tanA,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =． 15.若5 4 2cos ,532sin -==αα ，则角α的终边在象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ． 三．解答题（共6个小题，共74分） 17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,13 5 B c ,53cosA ==os ． 18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,5 3 )(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<． 19．（12分）已知α为第二象限角，且sinα=,415求1 2cos 2sin ) 4sin(+++ ααπ α的值． 20.（12分）已知71 tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且， 求)2tan(βα-的值及角βα-2． 21．（12 分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. 简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】 3.2 简单的三角恒等变换 一、填空题 1．若 25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________ 2．已知sin θ=－ 53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________． 4．已知α为钝角、β为锐角且sin α= 54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________． 5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________ 二、解答题 6．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 7．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4 π+x ）=cos2x ． 8．求证： αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-?-a ． 9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 2 2 ． 10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值． 11． 设－3π＜α＜－ 2 π5，化简2)πcos(1--α． 12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ． 14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos 2 x 的值． 15． 已知sin α= 1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β． 参考答案 一、填空题 1． 2 15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题 6．解：原式=θ θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1) -(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =) cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(? =tan θ． 7．证明：左边=2sin （ 4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （ 4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2 π－2x ） =cos2x =右边，原题得证． 8．证明：左边=α ααα22sin cos cos sin 21-?- =) sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+?-?-+ =) sin )(cos sin (cos )sin (cos 2 αααααα+-- = ααααsin cos sin cos +- =α αtan 1tan 1+- =右边，原题得证． 三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． 高中数学必修4??第三章《?三角恒等变换》测试题A卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．计算1－2sin222.5°的结果等于() A. B.C. D. 2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于() A.B.C．－D．－ 3．已知cos＝，则sin2α的值为() A.B．－C. D．－ 4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于() A．－3B．－C．3 D. 5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是() A.B.C. D．1＋ 6．y＝cos2x－sin2x＋2sin x cos x的最小值是() A.B．－C．2 D．－2 7．已知sin＝，则cos的值为() A.B．－C. D．－ 8.等于() A.B.C．2 D. 9．把[sin2θ＋cos(－2θ)]－sincos(＋2θ)化简，可得() A．sin2θB．－sin2θC．cos2θD．－cos2θ 10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为() A．±4B．4C．－4 D．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α＋β＝______. 14．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________． 三、解答题（共76分）. 15.（本题满分12分）已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．简单三角恒等变换典型例题
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