考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2
－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
答案 B
解析 令y ＝0，得x 2－1＝0，x ＝1或－1，抛物线交x 轴于点(1,0)，(－1,0)．
2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．
的有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．1个 答案 D
解析 由抛物线与x 轴交于两点，可知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0；又抛物线的对标轴直线x ＝－b 2a >－1，而a <0，所以b >2a,2a －b <0；
当x ＝1时，函数值y ＝a ＋b ＋c <0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y 轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．
3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有可能是( )
答案 C
解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.
4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点????－45，y 1、????－54，y 2、???
?16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1 答案 A 解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2 ＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－3 4时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而 增大，∴y 1 5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( ) A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有两个异号实数根 D ．有两个同号不等实数根 答案 D 解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2 ＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根． 二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________． 答案 形如y ＝kx ＋b (k >0，b >0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b >0) 7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0,3)，B 点的坐标为(6,5)，则从A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是__________． 答案 10 解析 如图，画点A 关于x 轴的对称点A 1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC 、BC 距离之和的最小值为线段A 1B ，画BD ⊥y 轴于D ，在Rt △A 1BD 中，A 1D ＝3＋5＝8，BD ＝6，所以A 1B ＝62＋82＝10. 8．(2010·绥化)已知关于x 的分式方程 a ＋2 x ＋1 ＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________． 答案 a ≤－1且a ≠－2 解析 去分母，a ＋2＝x ＋1， ∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2. 9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组? ?? ?? y ＝kx ＋b ， y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________． 答案 (－3，－4) 解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)． 10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集． 答案 b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；??? ? ? y ＝k 1x ＋b 1，y ＝kx ＋b ；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1 三、解答题 11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐 标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式． 解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点， ∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 即y ＝a [x 2 －(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]． ∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， ∴y ＝a (x 2 －6x ＋5)． ∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)， ∴a ×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a ＝2， ∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10. 12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象 限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2 ＋ax －2上． (1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________； (3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； (4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由． 解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋1 2 x －2. (3)如图①，可求得抛物线的顶点D ??? ?－12，－178. 设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－11 4， ∴BD 的关系式为y ＝－54x －11 4. 设直线BD 和x 轴交点为E ， 则点E ????－ 115，0，CE ＝65 . ∴△DBC 的面积为12×65×????1＋178＝158 . (4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P . 在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中， ∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN . ∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)． 同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)． 将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋1 2x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P 与点N 重合)． 13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5 x 上，直线y ＝kx ＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组? ???? a 2－ b 2－3＝0， 2a 2－5ab ＋2b 2 ＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式． 解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ， ∴抛物线的顶点D 的坐标为??? ?－1m ＋3，3m 2 ＋10m －3m ＋3. ∵点D 在双曲线y ＝－5 x 上， ∴????－1m ＋3·????3m 2＋10m －3m ＋3＝－5， 整理得：m 2＋10m ＋24＝0， 解之，得m 1＝－4，m 2＝－6， ∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2??? ?1 3，－15. 解方程组? ???? a 2 －b 2 －3＝0， 2a 2－5ab ＋2b 2 ＝0， 得????? a 1＝－2，b 1＝－1，，????? a 2＝2， b 2＝1， ∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)． ∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去． ∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2????13，－15和C 1(－2，－1)． ∴????? k ＋c ＝－5， －2k ＋c ＝－1，或? ???? 1 3k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1， 解之，得??? k ＝－4 3，c ＝－11 3 ，或? ???? k ＝－6，c ＝－13. ∴这条直线的解析式为y ＝－43x －11 3 或y ＝－6x －13. 高一数学必修一函数与方程知识梳理 函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，以下是函数与方程知识梳理，请大家学习。 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy 的零点。 (2)方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点 ①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。 ③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则 0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab 内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个 数)确定方法 ①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3)零点个数确定 0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根; 0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根; 0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度 ②求区间(,)ab的中点c; ③计算()fc; (ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac (ⅲ) 若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3 圆梦教育中心高考数学专题 1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是(). A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3 2. 已知函数f(x)=log a［&一?门对任意xw ［二，+1时，f(x)的递减区间为(). 5_ 5_ A.［车，+8) B.(l , 4 ］ 7_ 7_ C.［车，4-oo) D. ( 1 , T］ 4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是(). A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5?己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有(). ja A. b2>4ac B. b2>4ac C. b2<4ac D. b2<4ac 6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, + -) 7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为() A.—0.5 B. — 1.5 C.1.5 D.—3.5 PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点, 的长为( ) A. 2^3 B. 2^5 C? 2>/7 D?4迥 9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) () A.先增后减 B.先减后增C?单调递增D?单调递减 10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是(). 1 2 3 A. 2 B. 2 C. D.才 高一数学函数与方程知识点整理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。精品小编准备了高一语文函数与方程知识点，希望你喜欢。 1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内() A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数， f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根. 答案：C 2.(2019长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表： x123456 f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064 则函数f(x)存在零点的区间有 A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6] 解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号， f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点. 答案：C 3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是 A.(3.5，+) B.(1，+) C.(4，+) D.(4.5，+) 解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为 (n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则 1n+1m1. 答案：B 4.(2019昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 答案：B 《一次函数与方程、不等式》测试题 一、 填空题（每小题3分，共24分） 1、若32k -有意义，则函数1y kx =-的图象不经过第 象限。 2、一次函数22+=x y 的图象如图所示，则由图象可知，方程022=+x 的解为 。 4、一次函数b kx y +=的图象如图所示，由图象可知，当x 时，y 值为正数，当x 时，y 为负数。 5、已知方程组???=+=-82237y x y x 的解为???==42 y x ，那么一次函数____=y 与一次函数 ____=y 的交点为（2,4） 。 6、一次函数12+-=x y 与一次函数93--=x y 两图象有一个公共点，则这个公共点的坐标为 。 7、一次函数b ax y +=的图象过点（0，－2）和（3,0）两点，则方程0=+b ax 的解为 。 8、直线a x y += 2 1 与直线1-=bx y 相交于点（1，－2），则a ＝ ，b= 。 二、选择题（每小题3分，共24分） 1、如图，一次函数b kx y +=与x 轴的交点为（－4,0），当y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A 、4->x B 、0>x C 、4- 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 二次函数与不等式和方程的综合题 一、填空题 1、如图，二次函数y 1=ax 2 +bx+c 与一次函数y 2=kx+n 的图象相交于A （0，4），B （4，1）两点，下列三个结论： ①不等式y 1＞y 2的解集是0＜x ＜4 ②不等式y 1＜y 2的解集是x ＜0或 x ＞4 ③方程ax 2 +bx+c=kx+n 的解是x 1=0，x 2=4 其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、如图，已知反比例函数 x y 3 - =与二次函数 y=ax 2 +bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的不等式ax 2 +bx ＞x 3 - 的解集为（ ） A ．x ＜1 B ．x ＜-3 C ．x ＜-3或x ＞0 D ．-3＜x ＜0 3.已经函数y=（x-a）（x-b）-2（a＜b），m、n是方程（x-a）（x-b）-2=0的两个根（m ＜n），则a，b，m，n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 3、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m 的结论正确的是（） A．m的最大值为2 B．m的最小值为-2 C．m是负数 D．m是非负数 5、已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是（） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4). 高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］ 一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60， ，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 知识点睛 中考要求 例题精讲 【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例3】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例4】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在： （1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 高中数学-函数与方程测试题 1. 若关于x 的方程x a x cos sin 2+－2a = 0有实数解，则实数a 的取值范围是 . 2.已知f （x ）=lg b ax x +2，且f （1）=0，当x ＞0时，总有f （x ）－f （x 1）=lg x ． （1）求f （x ）的解析式； （2）若方程f （x ）=lg （m +x ）的解集是?，求实数m 的取值范围． 解：（1）由f （1）=0得：a +b =2 ① 又f （x ）－f （ x 1）=lg x ， ∴lg b ax x +2－lg bx a +2=lg x ，从而b ax x bx a ++)(=x ， ∵x ＞0，∴（a －b ）（x －1）=0 对x ＞0总成立，则a =b ② 由①②解得：a =b =1，∴f （x ）=lg 1 2+x x ． （2）原方程f （x ）=lg （m +x ）可化为 1 2+x x ＝m +x x ＞0或x ＜-1, 令g （x ）= 12+x x －x =－［x +12+（x +1）］+3， ①当x ＞0时，x +12+（1+x ）≥22（x =2－1时取等号）， ∴g （x ）≤3－22． ②当x ＜－1时，（－1 2+x ）+［－（x +1）］≥22（x =－2－1时取等号）， ∴g （x ）≥3+22． 故方程g （x ）=m 的解集为?时，m 的取值范围为（3－22，3+22）． 【评析】 （1）布列方程，运用方程思想求解参数是求参数常用的基本方法． （2）构造辅助函数g （x ），运用函数思想求值域是确定参数m 的取值范围的关键，其次要注意求补集思想的运用．一般地，函数g （x ）的值域为D ，则方程g （x ）=m 有解的充要条件是m ∈D ，解集是的充要条件是m ∈C R D ． 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解： （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一：函数与方程（组）综合应用 例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。 函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 函数与方程（1） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=2x+5的零点是________ 2、已知关于x 的一元二次方程2x 2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______ 3、函数y=-x 2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____ 4、设函数?? ?-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点是______ 5、函数f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是_______ 6、定义在R 上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，函数f(x)的一个零点为2 1，则不等式f(log 4x)<0的解集是_______ 7、求证：方程5x 2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。 8、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点； （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。 函数与方程（2） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点 2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 则函数f(x)存在零点的区间是______ 3、函数x x x f 2)2ln()(-+=的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______ 问题4 函数与方程、不等式相结合问题 一、考情分析 函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段. 二、经验分享 (1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法． (2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数． (3) 已知函数零点情况求参数的步骤 ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围． (4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围． (5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决． 三、知识拓展 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号． 2．三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 四、题型分析 (一) 函数与方程关系的应用 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数 《一次函数与方程、不等式》测试题 一、 填空题（每小题3分，共24分） 11y kx =-的图象不经过第 象限。 2、一次函数 22+=x y 的图象如图所示，则由图象可知，方程022=+x 的解 为 。 4、一次函数 b kx y +=的图象如图所示，由图象可知，当x 时，y 值为正数， 当x 时，y 为负数。 5、已知方程组???=+=-82237y x y x 的解为? ??==42 y x ，那么一次函数____=y 与一次函数 ____=y 的交点为（2,4）。 6、一次函数 12+-=x y 与一次函数93--=x y 两图象有一个公共点，则这个公 共点的坐标为 。 7、一次函数b ax y +=的图象过点（0，－2）和（3,0）两点，则方程0=+b ax 的 解为 。 8、直线 a x y += 2 1 与直线1-=bx y 相交于点（1，－2），则a ＝ ，b= 。 二、选择题（每小题3分，共24分） 1、如图，一次函数b kx y +=与x 轴的交点为（－4,0），当y ＞0时，x 的取值范围 是（ ） A 、4->x B 、0>x C 、4- 【最新整理，下载后即可编辑】 .函数与方程复习讲义 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数 )(x f y =的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y = 的图象与x 轴有点?函数 )(x f y =有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(<或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()( 2019学年数学高一上册函数与方程专项练习方程，是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号=。精品准备了数学高一上册函数与方程专项练习，具体请看以下内容。 一、选择题： 1.(2019课标全国)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(，0) B.(0，) C ) D.(，) 444224 2.方程|x2-2x|=a2+1 (a0)的解的个数是( ) A.1 B 2 C.3 D.4 3.(2019福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C (-，-2)(2，+) D.(-，-1)(1，+)2??x+2x-3，x0，4.函数f(x)=?的零点个数为()?-2+lnx，x0? A.3 B 2 C.1 D.0 5.已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x的零点依次为a，b，c，则( ) A.a 二、填空题(每小题5分，共15分) 116若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.(答案- 23 7.已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k，k+1) (kN*)，则k的值为________.(答案3) 8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2014x+log2 014x，则在R 上，函数f(x) 零点的个数为________.答案3 9. (2019深圳模拟)已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零点分别为x1， x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________.答案x1 2??x-x-1，x2或x-1，10.若f(x)=?则函数g(x)=f(x)-x的零点为____________.答案12或1 ?1，-1 11.(13分)已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点. (m=-2时，f(x)有唯一零点，该零点为x=0.) 12.下列说法正确的有________： ①对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点. ②函数f(x)=2x-x2有两个零点. ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a=1时，函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点. B组专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1x1.已知函数f(x)=log2x-??3，若实数x0是方程f(x)=0的解，且0 A恒为负B.等于零C.恒为正D.不小于零 二、填空题(每小题4分，共12分) 2.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间 [1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.答案7高一数学必修一函数与方程知识梳理
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