一、黎曼积分
1. 设函数()??
?
??
??≥+=--.0,2sin ,0,
1x e e x x x f x x π则()x f 的一个原函数是( B ). (A) ()???????
12
x e x x x x F x ππ
(C) ()???????
x e x x x x F x ππ
2. 设函数()()()??
?
??=>+≤+=?-x dt t f x F x x x x x f 12.0,4cos ,0,1π,则( D ). (A) ()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x F 在()+∞∞-,上可微,但不是()x f 的原函数. (C)()x F 在()+∞∞-,上不连续 (D) ()x F 在()+∞∞-,上连续,但不是()x f 的原函数. (注: 因为0=x 是()x f 的第一类跳跃间断点,因而()x f 不可能在包括0=x 点在内的区间上有原函数,因此(A)不正确.当()x f 有第一类间断点()b a x ,0∈,但()x f 在[]0,x a 与
()b x ,0内连续时,函数()()()b a x dt t f x F x
,,
1∈=?-在区间()b a ,内连续,因此(C)也不正确,
而导函数不可能有第一类间断点,故(B)不正确,因而正确选项为(D)).
3. 设函数()?????=≠+=,0,0,0,1sin 21cos 222x x x x x x x f ()?????=≠=.0,
0,
0,1cos 22
x x x
x x F 则在()+∞∞-,内( A ).
(A) ()x f 不连续且不可微, ()x F 可微,且()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x f 不连续,不存在原函数,因而()x F 不是()x f 的原函数. (C) ()x f 与()x F 均为可微函数,且()x F 为()x f 的一个原函数. (D) ()x f 连续且()()x f x F ='.
(注: 可以验证0=x 为()x f 的第二类间断点,且()x F 为()x f 的一个原函数).
4. ()()+∞∞-∈???>≤+=,,
0,cos ,
0,12x x x x x x f 的全体原函数为( C )
(A) ()?????>+≤++=,0,sin ,0,31213x C x x C x x x f (B) ()?????>+≤++=,0,sin ,
0,313x C x x x x x f
(C) ()?????>+≤++=,0,sin ,0,313x C x x C x x x f (D) ()?????>≤++=,0,
sin ,
0,1313x x x x x x f
5. 设()??+=+=10
21
011ln ,1dx x I dx x x
I ,则1I 与2I 的关系是( A )
(A) 21I I <, (B) 21I I >, (C) 21I I =, (D) 不确定. (注: 令()()()()()0011
111ln 12
≤?≤+-+='?+-+=
x f x
x x f x x x x f ,即 ()x x
x
+≤+1ln 1) 6．()=??
?
??+?x d x sin 1sin 12（ C ） （A ）C x x ++-cot ；（B ）C x x ++-sin cot ；
（C ）C x x ++-sin sin 1；（D ）C x x
++sin sin 1
。
7. 已知1
34I dx x
=-?,则I =( D )
(A) 1ln 344x --; (B) ln 34x C -+; (C) 1ln 344x C -+ ; (D) 1
ln 344
x C --+.
8. 若
()22x
f x dx x e
C =+?,则()f x =(
D )
(A) 2x xe ; (B) 222x
x e ; (C) 2x
xe
C +; (D) ()221x x x e +.
9. 设x
e -是()
f x 的一个原函数,则()xf x dx =?
( B )
(A) ()1x
e
x C --+; (B)()1x e x C -++; (C) ()1x e x C --+; (D) ()1x e x C --++.
10. 若()f x 是()g x 的一个原函数,则正确的是( B ) (A)
()()f x dx g x C =+?; (B) ()()g x dx f x C =+?;
(C) ()()g x dx f x C '=+?; (D) ()()f x dx g x C '=+?.
11.
2sin 3xdx =?( D ) (A) 22cos 33x C +; (B) 32cos 23x C +; (C) 22cos 33x C -+; (D) 32
cos 23
x C -+.
12. 若ln x 是函数()f x 的原函数,那么()f x 的另一个原函数是( A ) (A) ln ax ; (B)
1ln ax a ; (C) ln x a +; (D) ()2
1ln 2
x . 13. 若()F x 和()G x 是函数()f x 的任意两个原函数,则( B )成立,其中C 是任意常数. (A) ()()G x F x C +=; (B) ()()G x F x C -=; (C) ()()0G x F x -=; (D) 以上都不对.
14.
4225xdx
x x =++?( D )
(A) 42
1ln 252x x C +++; (B) 212arctan 2x C ++; (C) 211arctan 22x C ++; (D) 211
arctan 42
x C ++. 15. 设()
22sin cos f x x '=,则()f x =( B )
(A) 21sin sin 2x x C -
+; (B) 21
2x x C -+; (C) 241sin sin 2x x C -+; (D) 2
412
x x C -+.
16. 设()()F x f x '=,()f x 为可导函数且()01f =,又()()2
F x xf x x =+,则
()f x =( A )
(A) 21x -+; (B) 2
1x -+; (C) 21x --; (D) 2
1x --.
17. 设??
==
202
2220
1sin ,sin π
π
dx x x I dx x x I ,则1I 与2I 的关系是( A )
(A) 21I I >, (B) 21I I <, (C) 21I I =, (D) 不确定.
18. 设()()??==
34
2
34
1cos ln ,sin ln π
ππ
πdx x I
dx x I ,则1I 与2I 的关系是( B )
(A) 21I I <, (B) 21I I >, (C) 21I I =, (D) 不确定.
19*. 已知=a ()
()
???----=+=+22
4322243222cos sin ,cos sin ,1sin π
ππ
πππdx x x x c dx x x b dx x x ,则(D)
(A) a c b << (B) b c a << (C) c a b << (D) b a c <<
20. 积分?--1
01dx x
e x
的值为(A) (A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定
21. 积分
?
---1
1dx x
e x
的值为(B) (A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定
22. 积分
()?+π
20
sin dx x x 的值为(A)
(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定
23 积分
=-?
-dx e e x
x π
cos cos 2
(D)
(A) e (B) e 2 (C) 1 (D) 0 (注: 因为x
e
cos 与x
e
cos -在??????2,
0π上于??
?
???ππ,2所对应的积分和式可以取成绝对值相等,符号相反.另外,也可用变量替换t x -=π证明
=-?
-dx e e x x π
cos cos 2dx e e x
x
?---π0cos cos 2)
24. 把+
→0x 时的无穷小量???
===
x
x x
dt t dt t dt t 0
30
2
sin ,tan ,cos 2
γβα排列起
来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小量,则正确的排列次序是(B) (A) γβα,, (B) βγα,, (C) γαβ,, (D) αγβ,,
25. 已知连续曲线()x f y =关于点()()00,≠a a 对称,则对()+∞∞-∈?,c ,()=-?-c
c
dx x a f
( D ) (A) ()dx x a f c ?-0
22
, (B) ()dx x a f c
?--022, (C) ()dx x c f a
?-0
2, (D) 0.
(注: 由初等函数的性质可知,()x a f -是关于变量x 的奇函数.事实上.令()()x a f x g -=,曲线()x f y =关于点()0,a 对称,则()()()()x g x a f x a f x g -=--=+=-,即()()x a f x g -=为x 的奇函数,因此对()+∞∞-∈?,c ,均有
()()0==-??--c
c
c c
dx x g dx x a f ).
26. 设函数()x f 在[]b a ,上连续且无零点,()()()
?
?
+=
x
b
x
a
dt t f dt t f x F 1
,则方程
()0=x F 在()b a ,内根的个数恰为( B )
(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3 .
(注: 由于()x f 在[]b a ,上连续,则()x F 在[]b a ,上连续且可导,()()
()()??
==
b a a
b
dt t f b F dt t f a F ,1
.
因为()x f 在[]b a ,上连续无零点,所以()x f 在[]b a ,上不变号,再由积分的保号性,必有
()()0
x f x f x F 1
+
='.再次由()x f 不变号可知,()x F '在[]b a ,上定号,因此,()x F 在[]b a ,上单调,在()b a ,内最多有一个零
点.)
27. 设()x f 为可导奇函数,()x g 为()x f 的反函数,则()()
=-?-dt x t xg dx d x f x x
(A)
(A) ()()
()x f x dt t g x f '+?-20 (B) ()()
()x f x dt t g x f '-?
-20
(C)
()()
()x f x dt t g x f '+?
-0
(D)
()()
()x f x dt t g x f '-?
-0
.
(注: 令()()()
()()
?
?
---=-=
x f x x
x f x x
dt x t g x dt x t xg x I ,令u x t =-,则du dt =,于是
()()()
()()()
()()()()
()()
()()()()()()()
x f x du u g x f x f xg du u g x f x f xg du u g x I du u g x x I x f x f x f x f '+='+='--+='?=?
?
?
?----2
其中()()x x f g =).
28. 设()x f 在[]B A ,上连续,B b a A <<<,则极限()()=-+?
→b
a
h dx h
x f h x f 0lim ( D )
(A) ()a f (B) ()b f (C) 0 (D)()()a f b f -. (注: 方法1 设()x F 为()x f 的一个原函数,则
()()()()[]()()[]()()()()a f b f a F b F h
a F h a F
b F h b F dx h x f h x f h b
a h -='-'=-+--+=-+→→?
00lim
lim
方法 2 令()()()[]()()????
??-+=-+=???b a b
a b a dx x f dx h x f h dx x f h x f h h I 11,令t h x =+,
则()()()??????-=??++b a h
b h a dx x f dt t f h h I 1,令0→h ,并应用洛比达法则,得
()()()()()()()a f b f h a f h b f h
dx
x f dt t f h I h b
a
h
b h
a h h -=+-+=-=→++→→??
1
lim
lim
lim 0
)
29. 设()x f 在()+∞∞-,上可导,0>α,则()()[]=--+?-
→α
αααααdt t f t f 2
41lim (B)
(A) ()α2f ' (B) ()0f ' (C) ()αf ' (D)
()02
1
f '. (注: 原式=()()()()()082222lim 8lim 002200f f f dx x f dx x f d d '=--=??????-→-→??α
αααα
ααα
α).
30. 极限=+?
+∞
→x x
t
x dt e
t
21lim
(B) (A) 1 (B) 0 (C)
2
1
(D) 不存在 (注: 由初等函数t e t
,的性质可知,存在0>X ,使当X x >,且[]x x t 2,∈时,有
x
t e
x e t +<+<
1210 由积分的保序性及比较性质得到
()+∞→→+=
+<+
?
x e
x
x dt e x
dt e t x
x
x
x
x
x
t 012121022)
31* 设()x ?在[]a ,0上连续,对()a x ,0∈,()()()()()??-==
x
k k x dt t t f x f dt t x f 0
10
1,??,
,3,2=k .则由已知函数()x f 1表示出的()=x f k (C)
(A)
()x f k 11 (B) ()[]k x f k 11 (C) ()[]k
x f k 1!
1 (D)
()()[]k x f k 1!11- (注: 因()x ?连续,则()x f 1可导且()()x x f ?='1,于是
()()()()()()[]()[]()x f f t f dt t f t f dt t t f x f x
x
x 212
10
210
110
122102121=-='==?
??,
()()()()[]()()x f t f d t f dt t t f x f x
x
31012
10
23!
31)(21===?
??,用数学归纳法可得 ()()()()()[]()()x f k t f d t f k dt t t f x f k x
k x
k k 1011
10
1!
1)(!11=-==?
?--?)
32. 设()x f 为[]1,0上的连续函数,积分()()
??+=+=ππ0
cos 20cos 12
2
1sin ,1sin dx e
x f I dx e
x xf I x x ,则(A) （A ）212I I π= (B) 212I I =π (C) 21I I π= (D) 21I I =π
(注: 令x t -=
2π
,则dt dx -=,于是 ()()()()()
)
21cos 21cos ,1cos 1cos 1cos 2
2
212
sin sin 220
sin 22sin 22sin 122222?????-
--=?+=+-=+=+++-=π
ππ
πππππππI I dt e
t f e
t f I dt e t f dt e
t tf dt e t f I t
t
t t t
33. 极限=?++∞→a x x x dx x
x
sin lim (A)
(A) 0 (B) 1 (C) a (D) 不存在
(注:
()0sin lim sin lim ,,sin sin ==?+∈=+∞→++∞→+??
ξ
ξ
ξξξξa dx x x a x x a dx x x a x x x a
x x
)
34. 设
()x f 存在连续的导数,()()()()()?-=≠'=x
dt t f t x x F f f 0
22,00,00,且当
0→x 时,()x F '与k x 是同阶无穷小量,则=k (C)
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (注: 因为()()()()()???='?-=x
x x dt t f x x F dt t f t dt t f x
x F 0
2
2
2,所以
()()()()()()()()3
0201
00
2lim
121lim 22lim
2lim lim
-→-→-→→→-'-=-=
=='??k x k x k x
x k
x x k x x k x f k k x k x f k kx dt
t f x dt
t f x x
x F 不等于零或无穷大,并注意到()x f '连续且()00≠'f ,故3=k )
35. 设()???
??≤<≤≤+=.21,2
1,10,1x x x x f 则函数()()?=x dt t f x G 0在[]2,0上(B)
(A) 不连续 (B) 连续但不处处可导 (C) 可导,但导函数不一定连续 (D) 导函数连续
36. 设()x f 为[]1,0上的连续函数,则 (D) (A)
()()??
=π
π
π0
sin sin dx x f dx x xf (B)
()()??
=π
π
π0
sin 2sin dx x f dx x xf
(C)
()()??=ππ
π0
sin 2
sin dx x f dx x xf (D) ()()??=π
π
π
sin 2sin dx x f dx x xf
(注: 令dt dx t x -=?-=π,所以
()()()()()????
+-=--=π
πππ
ππ0
sin sin sin sin dt t f dt t tf dt t f t dx x xf )
二、广义积分问题
37. 设()()
2
3
1ln -=
x x
x f ,则在区间[]2,1上( C )
(A) ()x f 黎曼可积,广义积分
()?
2
1
dx x f 发散 (B) ()x f 黎曼可积,广义积分()?2
1
dx x f 收敛
(C) ()x f 黎曼不可积,广义积分()?
2
1
dx x f 收敛 (D) ()x f 黎曼不可积,广义积分
()?2
1
dx
x f 发散.
38. 设a 与λ为实常数,广义积分
()dx x
x a
?
∞
++21sin λπ收敛性的结论是(A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 收敛性与参数λ的取值有关 (D) 发散 (注: ()()a x
dx dx x x dx x x a a a
arctan 211sin 1sin 222-=+≤+≤+???
∞+∞+∞
+πλπλπ,故广义积分绝对收敛)
三、定积分的应用
39. 曲线()()21--=x x x y 与x 轴所围部分的面积为(B) (A)
()?20
dx x f (B) ()-?10
dx x f ()?2
1
dx x f
(C) ()?
-
2
dx x f (D) ()+
-?1
dx x f ()?2
1
dx x f
40. 双纽线()
222
2
2y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为(A)
(A) ?
4
2cos 2
π
θθd (B) ?40
2cos 4π
θθd (C) ?4
2cos 2π
θθd (D) ()?40
2
2cos 21π
θθd
(注: 双纽线方程的极坐标形式为θ2cos 2
=r .因为区域关于x 轴和y 轴都对称,所以
()??==404
2
2cos 22
14π
π
θθθθd d r S )
四、数项级数
41. 若0lim =∞
→n n na ,且级数
()∑∞
=--1
1n n n
a a
n 收敛,则∑∞
=1
n n a (A)
(A) 收敛 (B) 发散 (C) 不定 (D) 敛散性与n a 的正负有关 (注: 由
()∑∞
=--1
1n n n
a a
n 收敛,记()∑=--=n
k k k n a a k S 1
1,则
()()()()n
n n n n n n na S
a na a a a a a a n a a a a S +--=++++--=-++-+-=---*1
01210112012
其中S S
a S n n n k k n ==-∞
→-=-∑*1
1
1
*
1
lim ,,则()S a S a na S
n n n n n --=--=∞
→-∞
→00*1
lim lim .所以∑∞
=1
n n a 收
敛)
42. 级数
()∑∞
=???
?
?
--1
cos 11n n
n α(常数0>α) (C) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关
(注: 因为()∞→??? ??-n n n αα
21~cos 1,而∑∞
=??
?
??12
n n α收敛,所以∑∞=??? ??-1cos 1n n α收敛,故原级
数绝对收敛)
43. 设常数0>k ,则级数
()∑∞
=+-121n n n
n
k (C) (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛或发散与k 的取值有关
44. 设n n n n n n a a y a a x -=+=,,考虑以下四个级数(1)
∑∞
=1
n n
a
,(2)
∑∞
=1
n n
a
,(3)
∑∞
=1
n n
x
,(4)
∑∞
=1
n n
y
,则下列选项中错误的是(D)
(A) 若(2)收敛,则(1),(3),(4)必然均收敛
(B) 若(3),(4)收敛,则(1),(2)必然均收敛 (C) 若(1),(3)收敛,则(2),(4)必然均收敛 (D) 若(3),(4)发散,则(1),(2)必然均发散 45. 设级数
∑∞
=1
n n
u
,则必然收敛的级数为(D)
(A) ()∑∞
=-1
1n n n
n u
(B)
∑∞
=1
2
n n
u
(C)
()∑∞
=-1
2n n n
u u
(D)
()∑∞
=++1
1n n n
u u
(注: 取()n
u n n
1-=
,则(B),(C)均为发散;取()()n u n n +-=1ln 1,则(A)发散;又∑∞=1n n u ,∑∞
=+1
1n n u 都收敛,由收敛级数的运算性质,知(D)正确) 46. 已知级数
()
211
1
=-∑∞
=-n n n a ,51
12=∑∞=-n n a ,则级数=∑∞
=1
n n a (C)
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (注:
()
+-+-=-∑∞
=-43211
1
1a a a a a n n n , +++=∑∞
=-5311
12a a a a n n .所以
=∑∞
=1n n a ()852511
1211211
=+-+??? ??---∑∑∑∞=-∞
=-∞=-n n n n n n n a a a ) 47. 设常数0>a ,则级数
()∑∞
=+-121n n n
n
a (B)
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与a 的取值有关 (注:
()∑
∞
=-1
2
1n n n a 是绝对收敛级数,
()∑
∞
=-1
1n n n
为条件收敛级数,故其和为条件收敛的级数)
48. 设a 为常数,则级数
()∑∞
=???? ?
?-121sin n n n na (C)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与a 的取值有关
(注: ()∑∞
=12
sin n n na 绝对收敛,而∑∞
=1
1
n n 发散,由级数运算性质得,应选(C)) 49. 设() ,3,2,10=≠n u n ,且1lim =∞→n n u n ,则级数()∑∞
=++???? ??+-111111n n n
n u u (C) (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定 (注: ()()111
111
111111+-=+--+=???? ??+-=
∑m m m
n n n n m u u u u S .又由1lim =∞→n n u n 知01lim =∞→n n u ,所以 1
1
lim u S m n =
∞
→,即原级数收敛.又因为 112111lim 11111lim 1
11=+++++=++
+++∞→+∞→n
n n u n n n u u n u n n n u u n n n n n n n n ,且级数∑∞=??? ??++1111n n n 发散,由比较判别法可得∑∞
=+???
?
??+1111n n n u u 也发散,故原级数条件收敛) 50. 设常数0>λ,且级数
∑∞=1
2
n n a 收敛,则级数()
∑∞
=+-1
2
1n n n
n a λ
(C)
(A)发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关
(注: 由平均值不等式得??? ?
?++≤+λλ222121n a n a n n
,而∑∞=12
n n a 与∑∞
=+121n n λ均收敛,故原级数绝对收敛)
51. 设()???
? ??+
-=n u n
n 11ln 1,则有(C) (A)
∑∞
=1
n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都收敛 (B)
∑∞
=1
n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都发散
(C)
∑∞
=1
n n
u
收敛而
∑∞
=1
2n n
u
发散 (D)
∑∞
=1
n n
u
发散而
∑∞
=1
2n n
u
收敛
(注: 011ln lim lim =????
?
?+=∞
→∞→n u n n n ,且1+≥n n u u ,故交错级数∑∞
=1
n n
u
收敛,而
()∞→???? ?
?+=n n
n u n
1~11ln 2
2
,所以∑∞
=12
n n u 发散) 52. 设0>n a ,级数
∑∞
=1
2n n
a
收敛,则级数
()∑
∞
=--1
11n n
n n
a (A)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注:
()??? ??+≤--2211211n a n
a n n
n ,∑∞=121
n n
收敛,故该级数绝对收敛) 53. 设常数0,0>≠n a λ,级数
∑∞
=1n n
a 收敛,则级数()∑∞
=??? ??
-1
2tan 1n n n a n n λ(A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (注: 首先,由正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛,则级数
∑∞
=1
2n n
a
的部分和序列单调增加且有上界,因此
∑∞
=12n n a 收敛.其次,由正项级数的比较判别法,考察()0tan 1lim
22>=-∞
→λλn
n
n n a a n n ,所以级数
()∑∞
=???
?
?
-1
2tan 1n n
n
a n n λ绝对收敛,故选(A))
54. 设参数0≠a ,则
()
∑∞=+1
22sin n a n π
(B)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与参数a 的取值有关 (注: ()()
()n
a n a n a n u n
n
n ++-=-+-=2
2
2
2
2
sin
1sin 1πππ单调递减趋于零,因此
()
∑∞=+1
22sin n a n π
条件收敛)
55. 设函数()x f 在区间[]1,0上连续,()() ,2,11
1
1==
?
+n dx x f n a n n n ,则级数∑∞
=1
n n a (A)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与()x f 的增减性有关
(注: 由积分中值定理, ()()()1111
11
1+≤??? ??+-==?
+n n M n n f n dx x f n a n n n ξ,而()∑∞
=+1
1n n n M 收敛)
56. 设()+∞∞-∈,λ,
∑∞
=1
2
n n
a
收敛,则
()
∑∞
=+-1
2
sin 1n n n
n a λ
(A)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注:
??
? ??-+≤??? ??++≤
+1121sin 121sin 22
222n a n a n a n n n λλ
) 57. 级数()∑∞
=-???
?
??-+1111ln n n n (B) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 无法判断
58. 设()x f 有三阶连续导数,常数125-<α,且()0lim 20=→x x f x ,则级数()∑∞
=1
n n f α
(B)
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注: ()()()()()ξξ,!
31
,00003x f x f f f f ''=
=''='=在0与x 之间.由于()x f 有三阶连续导数,则存在0>M ,使在某邻域[]δδ,-内有
()()
4
5331!3!31,!
31
n M Mn n f Mx x f <≤
≤
αα 而
∑
∞
=1
4
51n n
收敛,故应选(B))
59. 设∑=??
?
??+=
n
k k k n k n a 12
11311,则极限(A) (A) 0lim =∞
→n n a (B) +∞=∞
→n n a lim (C) n n a ∞
→lim 不存在,也不为∞ (D) 0lim >=∞
→c a n n
(注: 因为()∞→→??
?
??
? ??+≤??
? ??+=≤∑∑∑∞=∞
==n e n k n k n a k k
k k k
n
k k k
n 031113
11113
1
101112
2
) 五、幂级数
60. 设幂级数
()∑∞
=+1
1n n
n x a 时条件收敛,则其在2=x 处(A)
(A) 发散 (B) (条件收敛) (C) 绝对收敛 (D) 敛散性无法确定
(注: 幂级数的条件收敛点只能在收敛区间端点,于是该级数收敛半径为
1,1120-==+-=x R 为收敛区间的中点,2=x 位于收敛区间()0,2-之外.由阿贝尔定理
知,此幂级数在2=x 处发散). 61. 若
∑∞
=1
n n
n
x a
的收敛半径为1,记级数()∑∞
=+1
1n n n x a 的收敛半径为r ,则必有(C)
(A) 1=r (B) 1≤r (C) 1≥r (D) r 不能确定
(注: 取1!1-=n a n ,则∑∞=1n n
n x a 的收敛半径为1,而级数∑∞
=1n n x 的收敛半径也是1,考虑
!1
1n a n =+,则()∑∞
=+1
1n n n x a 的收敛半径+∞=r ,故选(C))
62. 设幂级数()
()∑∞
=-+12ln 1n n
a x n 在点21-=x 处条件收敛,则幂级数()()∑∞
=-+12
21n n a x n 在点2
1
2=
x 的收敛情况是(C) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 与参数a 取值有关 (注: 显然,级数
()
()∑∞
=-+12ln 1
n n a x n 的收敛半径为1,又级数在21-=x 处为条件收敛,故21-=x 必为收敛区间的端点.由222521221=>=-
-=-R x x ,可知2
1
2=x 必在收敛域之外,与a 的取值当然无关)
63. 若级数
()
∑∞
=-1
1n n
n x a 在1-=x 处条件收敛,则级数
∑∞
=1
n n
a
(A)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
(注: 条件收敛处1-=x 只能在收敛区间的端点,而该级数收敛区间的中点为1=x ,由此得知其收敛半径2=R ,∑∞
=1
n n
a
相应于
()
n
n n x a 11
-∑∞
=在2=x 处的数项级数,而()3,12-∈=x ,所
以级数绝对收敛)
64. 级数
()()∑
∞
=--1
2!
11n n n n 的和为(D)
(A) 11
--e
(B) 1-e (C) 1--e (D) 11--e
65. 级数∑∞
=1
2
!n n n 的和为(C)
(A) 1
2-e (B) 12-e (C) e 2 (D) 121
--e
66. 级数
∑
∞
=-1
21
2n n
n 的和为(A) (A) 3 (B)
23 (C) 2
5
(D) 2 (注: 取()211222x x x x S n n n -==∑∞
=-,收敛域为()
2,2-,()()
∑∞=--=-+='12
222221222n n n x n x
x x S ,于是()31='S )
67. 级数
()∑
∞
=-1
2!
1n n n n 的和为(B)
(A) 1
2-e (B) 0 (C) 1
-e (D) 11
--e
(注:
()()()()()()()()()()111211111
2
!21!11!1111!11!
1--∞
=-∞=-∞=∞
=∞
=-=--+--=-+--=--=-∑∑∑∑∑
e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n )
68. 级数
()()∑
∞
=--1
2!
11n n n n 的和为( D ).
(A)11
--e
; (B)1-e ; (C)1--e ; (D)11--e .
69. 级数∑∞
=12
!
n n n 的和为( C ).
(A)1
2-e ; (B)12-e ; (C)e 2; (D)121
--e
.
六、傅立叶级数
70. 若将函数()??
???
<<-≤≤-=.
121
,2,210,x x x x x f 展开成周期为2=T 的正弦级数,则和函数
()x S 在25
-=x 处的值为(C)
(A) 0 (B) 21 (C) 2
1
- (D) 1
(注: 对此类问题,无需做傅立叶级数展开计算,直接通过()x f 的奇延拓即可判断和函数的取
值.()x f 在一个周期2=T 内的奇延拓函数为()??
?
??
??????
<<-≤≤-≤≤---<<---=.121,2,
21
0,,021,,211,2x x x x x x x x x F 由于周期
2=T ,所以??? ??-=??? ??-2125S S ,而21-=x 为()x F 的第一类间断点,???
??-21S 应为()x F 在
21-=x 处左右极限之和的一半,而23021,21021-=??
?
??--=??? ??+-F F ,所以2121-=??? ??-S )