【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
【2】复数的基本运算
设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-??????
【3】复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b
=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi
+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数
()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），
(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限
【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i
+等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i 是虚数单位，若
17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73i z i
-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数131i i
--= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --
【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数
1312i i -+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i