七年级上册数学 压轴解答题易错题（Word 版 含答案）(1)
一、压轴题
1．如图，已知∠AOB =120°，射线OP 从OA 位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ 以每秒6°的速度，从OB 位置出发逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ 返回并与射线OP 重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t 秒．
（1）当t =2时，求∠POQ 的度数； （2）当∠POQ =40°时，求t 的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t 的值，使得∠POQ =1
2
∠AOQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
2．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 3．如图，数轴上A ，B 两点对应的数分别为4-，-1 （1）求线段AB 长度
（2）若点D 在数轴上，且3DA DB =，求点D 对应的数
（3）若点A 的速度为7个单位长度/秒，点B 的速度为2个单位长度/秒，点O 的速度为1个单位长度/秒，点A ，B ，O 同时向右运动，几秒后，3?OA OB =
4．（理解新知）如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为
AOC ∠，BOC ∠，AOB ∠，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”） （2）若60AOB ∠=?，射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”，则AOC ∠的大小是______；
（解决问题）如图②，己知60AOB ∠=?，射线OP 从OA 出发，以20?/秒的速度绕O 点逆时针旋转；射线OQ 从OB 出发，以10?/秒的速度绕O 点顺时针旋转，射线OP ，OQ 同时出发，当其中一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t 秒．
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，求t 的值；
（4）若OA ，OP ，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t 所有可能的值______．
5．如图，OC 是AOB ∠的角平分线，OD OB ⊥，OE 是BOD ∠的角平分线，
85AOE ∠=
（1）求COE ∠；
（2）COE ∠绕O 点以每秒5的速度逆时针方向旋转t 秒（013t <<），t 为何值时
AOC DOE ∠=∠；
（3）射线OC 绕O 点以每秒10的速度逆时针方向旋转，射线OE 绕O 点以每秒5的速度顺时针方向旋转，若射线OC OE 、同时开始旋转m 秒（024.5m <<）后得到
4
5
AOC EOB ∠=
∠，求m 的值． 6．综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点C 是线段AB 上的一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．
图1 图2 图3 （1）问题探究
①若6AB =，2AC =，求MN 的长度；（写出计算过程） ②若AB a ，AC b =，则MN =___________；（直接写出结果） （2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知80AOB ∠=?，在角的内部作射线OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ． ③若30AOC ∠=?，求MON ∠的度数；（写出计算过程）
④若AOC m ∠=?，则MON ∠=_____________?；（直接写出结果） （3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若AOB n ∠=?，在角的外部作射线
OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ，若AOC m ∠=?，则MON ∠=__________?．（直接写出结果）
7．(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；
②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PB
PC
+的值不变.
8．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射
线.
(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求
∠MON的大小；
(2)如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
(3)在(2)的条件下，若∠AOB＝10°，当∠B0C在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针
旋转t秒时，∠AOM＝2
3
∠DON.求t的值.
9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．
10．如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC是∠AOB的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:
(1)过点P作射线PQ,若射线PQ是∠MPN的“奇分线”,求∠MPQ；
(2)若射线PE绕点P从PN位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为t(秒).当t为何值时,射线PN是∠EPM的“奇分线”?
11．如图，已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=30，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含的代数式表示)；
(2)若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度；
(3)动点Q从点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度?
12．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
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一、压轴题
1．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或
180 11或
180
7
，使得∠POQ=
1
2
∠AOQ．
【解析】
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】
解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t=6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=1
2
(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=1
2
(120 -6t），t=
180
11
.
当20＜t≤30时，2t–(6t -120）=1
2
(6t -120），t=
180
7
.
答：存在t=12或180
11
或
180
7
，使得∠POQ=
1
2
∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
2．（1）甲超市实付款352元，乙超市实付款 360元；（2）购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同；（3）该顾客选择不划算.
【解析】
【分析】
（1）根据两超市的促销方案，即可分别求出：当一次性购物标价总额是400元时，甲、乙两超市实付款；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设购物总额是x元，根据题意列方程求出购物总额，然后计算若在甲超市购物应付
款，比较即可得出结论． 【详解】
（1）甲超市实付款：400×0.88=352元，乙超市实付款：400×0.9=360元； （2）设购物总额是x 元，由题意知x >500，列方程： 0.88x =500×0.9+0.8(x -500) ∴x =625
∴购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同．
（3）设购物总额是x 元，购物总额刚好500元时，在乙超市应付款为：500×0.9=450(元)，482＞450，故购物总额超过500元．根据题意得： 500×0.9+0.8(x -500)=482 ∴x =540 ∴0.88x =475.2<482 ∴该顾客选择不划算． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两超市的促销方案，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）求出购物总额． 3．（1）3；（2）1
2或74
-；（3）13秒或79秒 【解析】 【分析】
（1）根据数轴上两点间距离即可求解；
（2）设点D 对应的数为x ，可得方程314x x +=+，解之即可；
（3）设t 秒后，OA=3OB ，根据题意可得47312t t t t -+-=-+-，解之即可． 【详解】
解：（1）∵A 、B 两点对应的数分别为-4，-1， ∴线段AB 的长度为：-1-（-4）=3； （2）设点D 对应的数为x ，∵DA=3DB ， 则314x x +=+，
则()314x x +=+或()314x x +=--， 解得：x=
1
2或x=74
-， ∴点D 对应的数为
1
2或74
-； （3）设t 秒后，OA=3OB ， 则有：47312t t t t -+-=-+-， 则4631t t -+=-+，
则()4631t t -+=-+或()4631t t -+=--+，
解得：t=13或t=79
， ∴
13秒或7
9秒后，OA=3OB ． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法．
4．（1）是；（2）30?或40?或20?；（3）4t =或10t =或16t =；（4）2t =或12t =. 【解析】 【分析】
（1）若OC 为AOB ∠的角平分线，由角平分线的定义可得2AOB AOC ∠=∠，由二倍角线的定义可知结论；
（2）根据二倍角线的定义分2,2,2AOB AOC AOC BOC BOC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠三种情况求出AOC ∠的大小即可.
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，180POQ ?
∠=，即
180POA AOB BOQ ?∠+∠+∠=或180BOQ BOP ?∠+∠=，或OP 和OQ 重合时，即360POA AOB BOQ ?∠+∠+∠=，用含t 的式子表示出OP 、OQ 旋转的角度代入以上三
种情况求解即可；
（4）结合“二倍角线”的定义，根据t 的取值范围分04t <<，410t ≤<，
1012t <≤，1218t <≤4种情况讨论即可. 【详解】
解：（1）若OC 为AOB ∠的角平分线，由角平分线的定义可得2AOB AOC ∠=∠，由二倍角线的定义可知一个角的角平分线是这个角的“二倍角线”； （2）当射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”时，有3种情况， ①2AOB AOC ∠=∠，60,30AOB AOC ??∠=∴∠=；
②2AOC BOC ∠=∠，
360AOB AOC BOC BOC ?∠=∠+∠=∠=，20BOC ?∴∠=，40AOC ?∴∠=；
③2BOC AOC ∠=∠，
360AOB AOC BOC AOC ?∠=∠+∠=∠=，
20AOC ?∴∠=，
综合上述，AOC ∠的大小为30?或40?或20?；
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，有以下3种情况， ①如图
此时180POA AOB BOQ ?∠+∠+∠=，即206010180t t ????++=，解得4t =； ②如图
此时点P 和点Q 重合，可得360POA AOB BOQ ?
∠+∠+∠=，即
206010360t t ????++=，解得10t =；
③如图
此时180BOQ BOP ?
∠+∠=，即1060(36020)180t t ?????
??+--=??，解得16t =，
综合上述，4t =或10t =或16t =；
（4）由题意运动停止时3602018t ??=÷=，所以018t <≤， ①当04t <<时，如图，
此时OA 为POQ ∠的“二倍角线”，2AOQ POA ∠=∠， 即6010220t t ???+=?，解得2t =； ②当410t ≤<时，如图，
此时，180,180AOQ AOP ??
∠>∠>，所以不存在； ③当1012t <≤时，如图
此时OP 为AOQ ∠的“二倍角线”，2AOP POQ ∠=∠， 即360202(201060360)t t t ?
?
?
?
?
?
-=?++- 解得 12t =；
④当1218t <≤时，如图，
此时180,180AOQ AOP ??
∠>∠>，所以不存在；
综上所述，当2t =或12t =时，OA ，OP ，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，正确理解“二倍角线”的定义，找准题中角之间等量关系是解题的关键.
5．（1）∠COE =20°；（2）当t =11时，AOC DOE ∠=∠；（3）m=296或10114
【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的定义和垂直定义即可求出∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE =45°，即可求出∠AOB ，再根据角平分线的定义即可求出∠BOC ，从而求出∠COE ；
（2）先分别求出OC 与OD 重合时、OE 与OD 重合时和OC 与OA 重合时运动时间，再根据t 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出t 即可； （3）先分别求出OE 与OB 重合时、OC 与OA 重合时、OC 为OA 的反向延长线时运动时、OE 为OB 的反向延长线时运动时间，再根据m 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出m 即可； 【详解】
解：（1）∵OD OB ⊥，OE 是BOD ∠的角平分线， ∴∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE=1
2
∠BOD =45° ∵85AOE ∠=
∴∠AOB=∠AOE ＋∠BOE=130° ∵OC 是AOB ∠的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC=
1
2
AOB ∠=65° ∴∠COE=∠BOC －∠BOE=20°
（2）由原图可知：∠COD=∠DOE －∠COE=25°，
故OC 与OD 重合时运动时间为25°÷5°=5s ；OE 与OD 重合时运动时间为45°÷5°=9s ；OC 与OA 重合时运动时间为65°÷5°=13s ； ①当05t <<时，如下图所示
∵∠AOD=∠AOB －∠BOD=40°，∠COE=20° ∴∠AOD ≠∠COE
∴∠AOD ＋∠COD ≠∠COE ＋∠COD ∴此时AOC DOE ∠≠∠； ②当59t <<时，如下图所示
∵∠AOD=∠AOB －∠BOD=40°，∠COE=20° ∴∠AOD ≠∠COE
∴∠AOD －∠COD ≠∠COE －∠COD ∴此时AOC DOE ∠≠∠； ③当913t <<时，如下图所示：
OC 和OE 旋转的角度均为5t
此时∠AOC=65°－5t ，∠DOE=5t －45°
∵AOC DOE ∠=∠ ∴65－5t=5t －45 解得：t=11
综上所述：当t =11时，AOC DOE ∠=∠．
（3）OE 与OB 重合时运动时间为45°÷5°=9s ；OC 与OA 重合时运动时间为65°÷10°=6．5s ； OC 为OA 的反向延长线时运动时间为（180°＋65°）÷10=24．5s ；OE 为OB 的反向延长线时运动时间为（180°＋45°）÷5=45s ； ①当0 6.5m <<，如下图所示
OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=65°－10m ，∠BOE=45°－5m ∵4
5
AOC EOB ∠=∠ ∴65－10m =4
5
（45－5m ） 解得：m =
296
； ②当6.59m <<，如下图所示
OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=10m －65°，∠BOE=45°－5m ∵4
5
AOC EOB ∠=∠ ∴10m －65=4
5
（45－5m ） 解得：m =
101
14
； ③当924.5m <<，如下图所示
OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=10m －65°，∠BOE=5m －45° ∵4
5
AOC EOB ∠=∠ ∴10m －65=4
5
（5m －45） 解得：m =
29
6
，不符合前提条件，故舍去； 综上所述：m=296或10114
． 【点睛】
此题考查的是角的和与差和一元一次方程的应用，掌握各角之间的关系、用一元一次方程解动角问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 6．（1）①3；②12
a ；（2）③40?；④40；（3）1
2n
【解析】 【分析】
（1）①先求出BC ，再根据中点求出AM 、BN ，即可求出MN 的长； ②利用①的方法求MN 即可；
（2）③先求出∠BOC ，再利用角平分线的性质求出∠AOM ，∠BON ，即可求出∠MON ； ④利用③的方法求出∠MON 的度数；
（3）先求出∠BOC ，利用角平分线的性质分别求出∠AOM ，∠BON ，再根据角度的关系求出答案即可. 【详解】
（1）①∵6AB =，2AC =， ∴BC=AB-AC=4，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点． ∴112AM AC =
=， 1
22
BN BC ==， ∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3； ②∵AB a ，AC b =， ∴BC=AB-AC=a-b ，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点． ∴12AM b =
，1
()2
BN a b =-， ∴MN=AB-AM-BN=11()22a b a b ---=1
2
a ， 故答案为：
1
2
a ； （2）③∵80AOB ∠=?，30AOC ∠=?， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50?，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠， ∴∠AOM=15?，∠BON=25?， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40?； ④∵80AOB ∠=?，AOC m ∠=?， ∴∠BOC=(80-m)?，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠，
∴∠AOM=12m ，∠BON=（40-1
2
m ）?， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40?,
故答案为：40；
（3）∵AOB n ∠=?，AOC m ∠=?， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)?，
∵AOC ∠和BOC ∠的角平分线分别是OM ，ON ， ∴∠AOM=
12m ,∠CON=1
()2
m n -， ∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=111
()222
m m m n n ---=， 故答案为：1
2
n .
【点睛】
此题考查线段的和差计算，角度的和差计算，线段中点的性质，角平分线的性质，解题中注意规律性解题思想的总结和运用.
7．（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）由关于x 的方程()46n x n -=-无解．可得4n -=0，从而可求得n 的值； （2）根据线段中点的定义可知PN=12AP ，PM=12PB ，从而得到MN=12（PA+PB ）=1
2
AB ，于是可求；
（3）设AB=a ，BP=b ．先表示PB+PA 的长，然后再表示PC 的长，最后代入计算即可． 【详解】
解：（1）①∵关于x 的方程()46n x n -=-无解． ∴4n -=0， 解得：n=4． 故AB=4．
②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下： ∵M 为线段PB 的中点， ∴PM=
1
2
PB ． 同理：PN=
1
2
AP ．． ∴MN=PN+PM=
12（PB+AP ）= 12AB= 1
2
×4=2． ∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a ，BP=b ， 则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∵C 是AB 的中点，
1122
BC AB a ∴=
= 1
2
PC PB BC a b ∴=+=
+ 2212
PA PB a b
PC a b ++∴
==+， 所以
PA PB
PC
+的值不变. 【点睛】
本题主要考查的是中点的有关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键． 8．(1)∠MON 的度数为80°；(2)∠MON 的度数为70°或90°；(3)t 的值为21. 【解析】 【分析】
(1)根据角平分线的定义进行角的计算即可；
(2)分两种情况画图形，根据角平分线的定义进行角的计算即可； (3)根据(2)中前一种情况用含t 的式子表示角度，再根据已知条件即可求解. 【详解】
解：(1)因为∠AOD ＝160°， OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，
所以∠MOB＝1
2
∠AOB，∠BON＝
1
2
∠BOD，
即∠MON＝∠MOB+∠BON
＝1
2
∠AOB+
1
2
∠BOD
＝1
2
(∠AOB+∠BOD)
＝1
2
∠AOD＝80°，
答：∠MON的度数为80°；
(2)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC＝1
2
∠AOC，∠BON＝
1
2
∠BOD，
①射线OC在OB左侧时，
如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD﹣∠BOC
＝1
2
(∠AOC+∠BOD)﹣∠BOC
＝1
2
(∠AOD+∠BOC)﹣∠BOC
＝1
2
×180°﹣20°
＝70°；
②射线OC在OB右侧时，
如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC
＝1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD+∠BOC
＝1
2
(∠AOC+∠BOD)+∠BOC
＝1
2
(∠AOD﹣∠BOC)+∠BOC
＝1
2
×140°+20°
＝90°；
答：∠MON的度数为70°或90°.
(3)∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，∴根据(2)中的第一种情况，得
∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°.
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝1
2
∠AOC＝t°+15°.
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t°.
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON＝1
2
∠BOD＝75°﹣t°.
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴(t+15)：(75﹣t)＝2：3，
解得t＝21.
根据（2）中的第二中情况，观察图形可知：这种情况不可能存在∠AOB=10°.
答：t的值为21.
【点睛】
本题考查角平分线的定义，角的计算.解决本题的关键是利用已知（已设）角，去计算或者表示未知角.
9．（1）35°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由详见解析；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；
（3）根据题意得∠BOF＝（3t+14）°，故
3
31420
2
t t
+=+，解方程即可求出t的值．
【详解】
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴11
AOE AOC 11022?∠=
∠=?＝55°，11AOF BOD 402022
??∠=∠=?=， ∴∠AOE ﹣∠BOF ＝55°﹣20°＝35°； （2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值 由题意∠BOC ＝3t°，
则∠AOC ＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°＝40°+3t°， ∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
()
11AOE AOC 1103t =22??∴∠=∠=?+3
552
t ??+
∴()
113
BOF BOD 403t 20t 222
????∠=
∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522?
?????
???
∠-∠=+
-+= ? ??
???
， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°； （3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3
314202
t t +=+， 解得4t =． 故答案为4． 【点睛】
本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 10．（1）10.5°或14°或28°或31.5°；（2）74或218或212或634
【解析】 【分析】
（1）分4种情况，根据奇分线定义即可求解； （2）分4种情况，根据奇分线定义得到方程求解即可． 【详解】
解：（1）如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ 是∠MPN 的3等分线时， ∴∠MPQ=13∠MPN=1
3×42°=14° 或∠MPQ=
23∠MPN=2
3
×42°=28°
∵当PQ是∠MPN的4等分线时，
∴∠MPQ=1
4
∠MPN==
1
4
×42°=10.5°
或∠MPQ=3
4
∠MPN=
3
4
×42°=31.5°；
∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°；
（2）依题意有①当3×8t=42时，解得t=7
4
；
②当2×8t=42时，解得t=21
8
；
③当8t=2×42时，解得t=21
2
．
④当8t=3×42时，解得：t=63
4
，
故当t为7
4
或
21
8
或
21
2
或
63
4
时，射线PN是∠EPM的“奇分线”．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，新定义奇分线，以及学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇分线”的定义是解题的关键．
11．（1）-20，10-5t；（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．（3）13秒或17秒【解析】
【分析】
(1)根据已知可得B点表示的数为10-30；点P表示的数为10-5t；
(2)分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
(3) 分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
【详解】
解：（1））∵点A表示的数为10，B在A点左边，AB=30，
∴数轴上点B表示的数为10-30=-20；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t（t＞0）秒，
∴点P表示的数为10-5t；
故答案为-20，10-5t；
（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时，
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=15；
②当点P运动到点B的左侧时：
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP）=AB=15，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为15．
（3）若点P、Q同时出发，设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度．
①点P、Q相遇之前，
由题意得4+5t=30+3t，解得t=13；
②点P、Q相遇之后，
由题意得5t-4=30+3t，解得t=17．
答：若点P、Q同时出发，13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4；
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
12．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN?PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2）如图：