高考理科数学试题及答案
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目
要
求
的
。
1.
31i
i
+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -
2. 设集合{}1,2,4A =,{}
2
40x x x m B =-+=.若{}1A
B =,则B =()
A .{}1,3-
B .{}1,0
C .{}1,3
D .{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百
八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A .1盏
B .3盏
C .5盏
D .9盏
4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某
几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π
5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
,则2z x y =+的
最小
值是()
A .15-
B .9-
C .1
D .9
6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共
有()
A .12种
B .18种
C .24种
D .36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,
2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A .乙可以知道四人的成绩
B .丁可以知道四人的成绩
C .乙、丁可以知道对方的成绩
D .乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的
S =()A .2 B .3 C .4 D .5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的 离心率为()
A .2
B .3
C .2
D .
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为()
A .
32 B .155 C .105
D .33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是()
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽
到的二等品件数,则D X =. 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
(0,2x π??
∈????
)的最大值是.
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则
11
n
k k
S ==∑. 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为
F N 的中点,则F N =.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=. (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )某频率直方图如下: 1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率;
2.
填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P (
)
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)
如图,四棱锥PABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
(1)证明:直线//CE 平面PAB
(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ,求二面角MABD 的余弦值 20. (12分)
设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
212
x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线x=3上,且1OP PQ ?=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.(12分)
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;
(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2
30()2e
f x --<<.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程;
(2)设点A 的极坐标为(2,
)3
π
,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.
23.[选修45:不等式选讲](10分)
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)3
3()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.
参考答案
1.D
2.C
【解析】1是方程240x x m -+=的解,1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =,∴{}13B =,
3.B
【解析】设顶层灯数为1a ,2=q ,()7171238112
-==-a S ,解得13a =.
4.B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半. 5.A
【解析】目标区域如图所示,当直线-2y =x+z 取到点()63--,时,所求z 最小值为15-.
6.D
【解析】只能是一个人完成2份工作,剩下2人各完成一份工作.
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36?=
7.D
【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.
8.B
【解析】0S =,1k =,1a =-代入循环得,7k =时停止循环,3S =. 9.A
【解析】取渐近线b
y x a =
,化成一般式0bx ay -=,圆心()20,到直线距离为22
23b a b =
+ 得224c a =,24e =,2e =.
10.C
【解析】M ,N ,P 分别为AB ,1BB ,11B C 中点,则1AB ,1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
(异面线所成角为π02?
? ??
?,)
可知1152MN AB =
=
,112
2NP BC ==,
作BC 中点Q ,则可知PQM △为直角三角形. 1=PQ ,1
2
MQ AC =
ABC △中,2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠
14122172??
=+-???-= ???
,7=AC
则7MQ =
,则MQP △中,22112
MP MQ PQ =+= 则PMN △中,222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=??
又异面线所成角为π02?
? ??
?,,则余弦值为10.
11.A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'??=+++-???
, 则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????,
则()()211x f x x x e -=--?,()()212x f x x x e -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-.
12.B
【解析】几何法:
如图,2PB PC PD +=(D 为BC 中点), 则()
2PA PB PC PD PA ?+=?,
要使PA PD ?最小,则PA ,PD 方向相反,即P 点在线段AD 上, 则min 22PD PA PA PD ?=-?, 即求PD PA ?最大值, 又3
23PA PD AD +==?
=, 则2
233
24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??
???≤, P
D C
B
A
则min 332242
PD PA ?=-?=-. 解析法:
建立如图坐标系,以BC 中点为坐标原点, ∴()
03A ,,()10B -,,()10C ,. 设()P x y ,, ()
3PA x y
=--,,
()
1PB x y =---,,
()1PC x y =--,,
∴()
222222PA PB PC x y y ?+=-+
则其最小值为33242??
?-=- ???
,此时0x =,3y =.
13.1.96
【解析】有放回的拿取,是一个二项分布模型,其中0.02=p ,100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14.1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???
?=+-∈ ????
???,
令cos x t =且[]01t ∈, 则当3
t =时,()f x 取最大值1. 15.
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ,公差为d .
则3123a a d =+=
求得11a =,1d =,则n a n =,()12
n n n S +=
16.6
【解析】28y x =则4p =,焦点为()20F ,
,准线:2l x =-,
如图,M 为F 、N 中点,
l F
N M C B
A
O
y
x
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线, ∵2CN =,4AF =, ∴3ME =
又由定义ME MF =, 且MN NF =, ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】(1)依题得:2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==?=-. ∵22sin cos 1B B +=, ∴2216(1cos )cos 1B B -+=, ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=, ∴15
cos 17
B =
, (2)由⑴可知8sin 17
B =. ∵2AB
C S =△, ∴1
sin 22ac B ?=, ∴18
2217
ac ?=, ∴17
2ac =
, ∵15cos 17
B =
, ∴22215217
a c
b a
c +-=,
∴22215a c b +-=, ∴22()215a c ac b +--=,
∴2361715b --=,
∴2b =.
18.
【解析】(1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?
(2)
由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关.
(3)150.2÷=,()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
,8
5 2.3517
?≈ 50 2.3552.35+=,∴中位数为52.35.
19.【解析】
(1)令PA 中点为F ,连结EF ,BF ,CE .
∵E ,F 为PD ,PA 中点,∴EF 为PAD △的中位线,∴1
2
EF AD ∥.
又∵90BAD ABC ∠=∠=?,∴BC AD ∥. 又∵12AB BC AD ==
,∴1
2
BC AD ∥,∴EF BC ∥. ∴四边形BCEF 为平行四边形,∴CE BF ∥. 又∵BF PAB ?面,∴CE PAB 面∥
(2)以AD 中点O 为原点,如图建立空间直角坐标系.
设1AB BC ==,则(000)O ,,,(010)A -,,,(110)B -,,,(100)C ,,,(010)D ,,,
(00P ,.
M 在底面ABCD 上的投影为M ',∴MM BM ''⊥.∵45MBM '∠=?,
∴MBM '△为等腰直角三角形.
∵POC △为直角三角形,OC =
,∴60PCO ∠=?.
设MM a '=,3CM a '=
,3
1OM a '=-.∴3100M a ??'- ? ???
,,. 2
22
231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???.∴3211OM a '=-=-. ∴21002M ??'- ? ???,,,26102M ??
- ? ???
,, 2611AM ??=- ? ???
,,,(100)AB =,,.设平面ABM 的法向量11(0)m y z =,,. 116
0y z +
=,∴(062)m =-,, (020)AD =,,,(100)AB =,,.设平面ABD 的法向量为2(00)n z =,,,
(001)n =,,.
∴10
cos ,m n m n m n
?<>=
=
?. ∴二面角M AB D --的余弦值为10
. 20.
【解析】 ⑴设()P x y ,,易知(0)N x ,
(0)NP y =,又1022NM NP ?== ??
?,
∴2M x y ?
?
???
,,又M 在椭圆上. ∴2
2122x += ???
,即222x y +=. (3)Q Q y -,,()P P P x y ,,(0)Q y ≠,
⑵设点
由已知:()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=,,, ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=,
∴2
13OP OQ OP ?=+=, ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=.
设直线OQ :3
Q y y x =
?-,
因为直线l 与OQ l 垂直.
∴3l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+, 令0y =,得3()P Q P y y x x -=-, 1
3
P Q P y y x x -?=-, ∴1
3
P Q P x y y x =-?+,
∵33P Q P y y x =+,
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-,
若0Q y =,则33P x -=,1P x =-,1P y =±, 直线OQ 方程为0y =,直线l 方程为1x =-, 直线l 过点(10)-,,为椭圆C 的左焦点.
21.
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥.
令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11
ax g x a x x
-'=-
=
, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <; 当0a >时,令()0g x '=,得1
x a
=. 当10x a <<
时,()0g x '<,()g x 单调减;当1
x a
>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ?? ???,上单调减,()110g g a ??
<= ???;
若1a >,则()g x 在11a ?? ???,上单调增,()110g g a ??
<= ???;
若1a =,则()()min 110g x g g a ??
=== ???
,()0g x ≥.
综上,1a =.
⑵()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.
令()22ln h x x x =--,则()121
2x h x x x
-'=-=
,0x >. 令()0h x '=得1
2
x =
, 当102x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减;当1
2
x >时,()0h x '>,()h x 单调递增.
所以,()min 112ln 202h x h ??
==-+< ???
.
因为()
22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-??∈ ???,,122??
∈+∞ ???
,,
所以在102?? ???,和12??
+∞ ???
,上,()h x 即()f x '各有一个零点.
设()f x '在102?? ???,和12??+∞ ???,上的零点分别为02x x ,
,因为()f x '在102??
???
,上单调减,
所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当01
2
x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点.
因为,()f x '在12??
+∞ ???
,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,
2x x >时,()f x 单调增,因此2x 是()f x 的极小值点.
所以,()f x 有唯一的极大值点0x .
由前面的证明可知,201e 2x -?
?∈ ??
?,,则()()
24220e e e e f x f ---->=+>.
因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()01
4
f x <. 因此,()201
e 4
f x -<<
. 22.
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ,
,, 则0||OM OP ρρ==,.
解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=.()0x ≠
⑵连接AC ,易知AOC △为正三角形.
||OA 为定值.
∴当高最大时,AOB S △面积最大,
如图,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于H 点 交圆C 于B 点, 此时AOB S △最大
23.
【解析】⑴由柯西不等式得:()()()
2
2
5
5
33
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号. ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+= ∴()()2
32a b b ab α??++-=??
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得:()()3
2
232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+?? ?+??
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立.
高考数学模拟试卷复习试题专题强化训练(一) 算法初步
算法初步
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.如图是某程序框图的一部分,其算法的逻辑结构为()
A.顺序结构
B.判断结构
C.条件结构
D.循环结构
【解析】选 C.条件结构是处理逻辑判断并根据判断结果进行不同处理的结构,由算法流程图知,该算法的逻辑结构为条件结构.
2.下列各进位制数中,最大的数是()
A.11111(2)
B.1221(3)
C.312(4)
D.56(8)
【解析】选C.11111(2)=1+1×2+1×22+1×23+1×24=1+2+4+8+16=31.
1221(3)=1+2×3+2×32=1+6+18+27=52.
312(4)=2+1×4+3×42=2+4+48=54.
56(8)=6+5×8=6+40=46.
3.(·陕西高考改编)如图所示,当输入x为2 006时,输出的y=()
A.28
B.10
C.4
D.2
【解题指南】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=2时不满足条件x≥0,计算并输出y的值为10.
【解析】选B.
模拟执行程序框图,可得
x=2 006,
x=2 004
满足条件x≥0,x=2 002
满足条件x≥0,x=2 000
…
满足条件x≥0,x=0
满足条件x≥0,x=2
不满足条件x≥0,y=10
输出y的值为10.
【补偿训练】执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9,则判断框内m的取值范围是()
A.(42,56]
B.(56,72]
C.(72,90]
D.(42,90]
【解析】选 B.第一次运行:S=2,k=2;第二次运行:S=6,k=3;…;第七次运行:S=56,k=8;第八次运行:S=2+4+6+…+16=72,k=9,输出结果.故判断框中m的取值范围是(56,72].
4.(·襄阳高一检测)168,54,264的最大公约数是()
A.4
B.6
C.8
D.9
【解析】选 B.16854=114,11454=60,6054=6,546=48,486=42,426=36,366=30,306=24,246=18,186=12,126=6,故168和54的最大公约数为6.又因为264=44×6+0,所以6是264和6的最大公约数.所以这三个数的最大公约数为6.
5.下列程序的功能是()
S=1
i=3
WHILE S<=10000
S=S i
i=i+2
WEND
PRINT i
END
A.求1×2×3×4×…×10 000的值
B.求2×4×6×8×…×10 000的值
C.求3×5×7×9×…×10 001的值
D.求满足1×3×5×…×n>10 000的最小正整数n
【解析】选D.法一:S是累乘变量,i是计数变量,每循环一次,S乘以i一次且i增加2.当S>10 000时停止循环,输出的i值是使1×3×5×…×n>10 000成立的最小正整数n.
法二:最后输出的是计数变量i,而不是累乘变量S.
【补偿训练】如图程序框图中,语句“S=S×n”将被执行的次数是()
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.由程序框图知:
S=1×2×3×…×n.
又1×2×3×4×5=120<200,
1×2×3×4×5×6=720>200.
故语句“S=S×n”被执行了5次,选B.
6.(·北京高考改编)执行如图所示程序框图,输出的k值为()
A.3
B.4
C.5
D.6
【解题指南】按照程序框图顺序执行.
【解析】选B.k=0,a=3,q=;a=,k=1;a=,
k=2;a=,k=3;a=,k=4.
【补偿训练】如图是计算函数y=的值的程序框图,则在①、②和③处应分别填入的是()
A.y=x,y=0,y=x2
B.y=x,y=x2,y=0
C.y=0,y=x2,y=x
D.y=0,y=x,y=x2
【解析】选 B.当x> 1不成立时,y=x,故①处应填“y=x”;当x>1成立时,若x>2,则y=x2,即②处应填“y=x2”,否则y=0,即③处应填“y=0”.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(·苏州高一检测)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为.
【解析】第一次循环,s=×(1×2)=2,i=4,k=2;第二次循环,s=×(2×4)=4,i=6,k=3;第
三次循环,s=×(4×6)=8,i=8,k=4.此时退出循环,输出s的值为8.
答案:8
【补偿训练】某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于37,则输入的整数i的最大值
为.
【解析】S=(20+1)+(21+1)+(22+1)+…+(2i1+1).
当i=1时,S=2;
当i=2时,S=2+3=5;
当i=3时,S=2+3+5=10;
当i=4时,S=2+3+5+9=19;
当i=5时,S=2+3+5+9+17=36;
当i=6时,S=2+3+5+9+17+33>37.
所以i的最大值为5.
答案:5
8.对任意非零实数a,b,若a?b的运算原理如图所示,则log28?=.
【解析】log28<,则题意知,log28?=3?4==1.
9.(·大同高一检测)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=.
【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示:
第一次循环:当n=1时,得s=1,a=3.
第二次循环:当n=2时,得s=4,a=5.
第三次循环:当n=3时,得s=9,a=7,此时n=3,不再循环,所以输出s=9.
答案:9
【补偿训练】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S值等于.
【解析】第一次循环:S=1,k=1<4,S=2×11=1,k=1+1=2.
第二次循环:k=2<4,S=2×12=0,k=2+1=3.
第三次循环:k=3<4,S=2×03=3,k=3+1=4,
当k=4时,k<4不成立,循环结束,此时S=3.