七宝中学高三数学试题
2019.3.25
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）． 1．已知集合{1,3,},
{3,5}A m B ==，且B A ?，则实数m 的值是___________．
2．函数2
()1f x x
=-
的定义域是_____________． 3．函数2(2)x
y x =≥的反函数是_______________．
4．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________．
5．二项式8
32x x ?
?- ??
?的展开式中的常数项为_____________．
6．已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ?=+，则z =________． 7．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱
柱的左视图面积为______________．
8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）． 9．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c 在满足
(3)(4)0a c b c +?-=时，均能使||c b k -≤成立，则k 的最小值是___________．
10．已知函数()5sin(2),0,,[0,5]2f x x x πθθπ??
=-∈∈ ??
?
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,
,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<
1232183
22222
n n n x x x x x x π--+++?+++=
，则θ=___________． 11．
已知函数()(0)2
f x x x π
=≥，图像的最高点从左到右依次记为135,,,
P P P 函
数()y f x =图像与轴的交点从左到右依次记为246,,,
P P P ，设
()()
()
2
3
12232334
34
415
12n
n n n n n S PP P P P P P P P P P P P P P P +++=?+?+??+
+
则lim
1(2)n
n
n S →∞=+-______________．
12．若数列{}n a 满足22
1,n n a a p p --=为常数，2n ≥，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为
公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11a =，且125,,a a a 成等比数列，12a a ≠， 设*12231111
|,1100,N n n n n A T T n n a a a a a a +??==
++?+≤≤∈??+++??
，取A 的非空子集
B ，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．
二、选择题（每题5分，共20分）
13．关于,x y 的二元一次方程组341
310x y x y +=??-=?
的增广矩阵为 （ ）
A 3411310-??
?-?? B
34
11310?? ?--?? C 3411310?? ?-?? D 3411310?? ???
14．若函数(),y f x x =∈R 为非奇非偶函数，则有 （ ） A ．对于任意的0x R ∈，都有()()00f x f x -≠且()()00f x f x -≠- B ．存在0x R ∈，使()()00f x f x -≠且()()00f x f x -≠- C ．存在12,x x R ∈，使()()11f x f x -≠且()()22f x f x -≠- D ．对于任意的0x R ∈，都有()()00f x f x -≠或()()00f x f x -≠-
15．无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为()
*n S n N ∈，则“10a d +>” 是“{}n S 为递增数列”的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 16、在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）
①圆的面积为4π
③双曲线两渐近线的夹角为4
arcsin
5
π- ④抛物线中焦点到准线的距离为5
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
三、解答题：（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长12,1,2AB BC AA ===，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1ACD 的距离．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
函数)
()lg
2f x x =，其中0b >．
（1）若函数是奇函数，求b 的值；
（2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点,A B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由；
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形,,ABCD AB AD 的长分别为23,4m m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，23
COD π
∠=
。 （1）求图1中拱门最高点到底面的距离；
（2）现欲以点B 为支点放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与底面垂直，如图2、图3、图4所示，设BC 与地面水平线l 所成的角为θ，记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．
20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
设椭圆22:12x C y +=，圆E 为：222
3
x y +=； （1）若椭圆T 的长轴为4，且焦距与椭圆C 的焦距相等，求椭圆T 的标准方程； （2）过圆E 上任意一点作其切线l ，若l 与椭圆C 交于,A B 两点，求证：AOB ∠为定值 （3）在（2）的条件下，求AOB ?面积的取值范围．
θθ
O
O
O
D
D
D
C
C
C
B B
B
A
A A
A
B C
D
O
图1
（第19题）
图2
图3
图4
21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
我们称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为n (2,3,4,)n =阶“期待数列”：
①1230n a a a a +++
+=；②1231n a a a a ++++=．
（1）若数列{}n a 的通项公式是()()211
sin 1,2,,201420142
n n a n π-=
?=，
试判断数列{}n a 是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列{}n b 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”，求公比q 及数列{}n b 的通项公式； （3）若一个等差数列{}n c 既是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．
参考答案
一、填空题
1、5
2、()
[,02,)-∞+∞ 3、[)12()log ,4,f x x x -=∈+∞ 4
5、112 6
7
、 8、34
35
9
10、
11、
2
3
12、63 13-16CCBB
17.
（1
） （2
18. （1）b=1 (2)不存在（提示证明单调）
19. （1）5m
(2)4sin 06π2)662h θθθθθπ?
+≤≤??=?ππ?++<≤
??，，，
最大值为（2+m ．
20.（1）22143x y +=；（2）2AOB π
∠=（3
）2,32AOB S ?∈???
△． 21.略