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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题十一

阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证

明)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150

分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )

A ．0或－1

B ．0

C ．1

D ．－1 [答案] D

[解析] ∵z 为纯虚数，∴?????

m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D. 2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )

A ．21

B ．30

C ．35

D ．40 [答案] C

[解析] ∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5，

∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.

(理)(2014·银川九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )

A ．2n －1

B ．(32)n －1

C ．(23)n －1

D.1

2n －1 [答案] B [解析] ∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n

＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.

3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶

函数，则φ＝( )

A.π2

B.2π3

C.3π2

D.5π3

[答案] C

[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，

∴sin －x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x 3＝0，

∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0，

∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.

(理)(2014·杭州七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] 若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x

＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x ＝±1.

4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )

A ．91

B ．55

C ．54

D ．30

[答案] B

[解析] 所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)

(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )

A.20122013

B.12013

C.20132014

D.12014

[答案] C

[解析] 由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)

，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014

， ∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014

＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C.

5．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] B

[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －

2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当

6．(2014·佛山市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两

个数a 、b (a >b )的比值a b ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征

值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )

A.32

B.43 C ．2

D ．3

[答案] A [解析] 当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行

两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当

1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同

列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最

大值为32.

7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )

A ．f (x )＝|x |x

B ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )

C ．f (x )＝e x ＋e －x

e x －e

－x D ．f (x )＝sin 2x 1＋cos 2x

[答案] B

[解析] 由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)

＝0且f (－x )＝ln(x 2

＋1＋x )＝ln 1x 2＋1－x ＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.

8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等

式x ＋y 4

A ．(－1,4)

B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C ．(－4,1)

D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B

[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋

y ≥2＋2y 4x ·4x y ＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4

的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y 4有解，应有m 2－3m >4，∴

m <－1或m >4，故选B.

9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )

A ．i ≥10?

B ．i ≥11?

C ．i ≤11?

D ．i ≥12?

[答案] B

[解析]第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；

第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.

(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写()

A．i<6? B．i<8?

C．i<5? D．i<7?

[答案] B

[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.

10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：

(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：

①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；

其中正确的结论个数是()个．

()

A．3B．2C．1D．0

[答案] A

[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，

∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．

又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，

又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.

11．(文)

(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，

则1

e1＋1

e2的值为()

A．1 B. 3

C．2 D．2 3

[答案] B

[解析]设AE＝1，则AB＝2，BD＝1，AD＝BE＝3，∴椭圆的焦距2c＝2，∴c＝1，长轴长2a＝AD＋BD＝3＋1，

∴离心率e 1＝13＋1

＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2， ∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1，

∴离心率e 2＝13－1

2＝3＋1. ∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1

＝3，故选B. (理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N

，则点N 到点A 距离的最小值为( )

A. 2

B.62

C.233

D ．1

[答案] B

[解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1?平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为

B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确．

12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切

圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c

；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )

A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

[答案] C

[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的

四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥

体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝

3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)

13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．

[答案] a n ＝n 3

[解析] 第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2

－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.

(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．

[答案] 13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2

[解析] 观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.

14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：

①“?x ∈R ，使2x >3”的否定是“?x ∈R ，使2x ≤3”；

②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；

③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题； ④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．

[答案] ①②③

[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“?x ∈R ，使2x >3”的否定是“?x ∈R ，使2x ≤3”，正确；

②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正

确；

③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC

中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ?a >b ?2r sin A >2r sin B ?sin A >sin B ，故③正确；

④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．

(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：

①若f (x )＝?????

1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ； ②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；

③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；

④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

<0成立．其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)

[答案] ②③

[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－

1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；

对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确；

对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．

对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x

＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2

＝1>0，∴

④错．

15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．

[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·

S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△

BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·

S △DBC . 16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．

[答案] 2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －

1)×2n

[解析] 由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋

1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .

(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12

＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________．

[答案] 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1

＞n ＋12