湖南省蓝山二中高一数学人教A 版必修5：1.2《解三角形应用举例》
（2）教案
一、教学内容分析：
《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A 版)第一章《解三角形》：21?解三角形应用举例的第1课。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。作为1.2单元的起始课，是在学生已掌握正弦定理, 余弦定理（重要的解三角形工具），解决解决一些有关测量距离的实际问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理的过程，提高学生的应用数学的能力。
二、学生学习情况分析：
由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，定能激起学生的学习兴趣。当然本课可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。
三、教学目标：
让学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语;激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
四、教学重点与难点：
本节课的重点是由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解;难点是根据题意建立数学模型，画出示意图
五、教学过程设计：
（一）复习旧知
问题1：正弦定理、余弦定理的形式
问题2：可以解决哪些类型的三角形？
（二）设置情境
前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
（三）新课讲授
例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
问题3：?ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
问题4：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得 ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55= )7551180sin(75sin 55?-?-?? = ??54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米
问题5：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30?，灯
塔B 在观察站C 南偏东60?，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在?ADC 和?BDC 中，应用正弦定理得 AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-?+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-?a = )
sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在?ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ?-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
问题6：为了测定河对岸两点A 、B 间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD ，并测得∠ACD =90o ，∠BCD =60o ，∠BDC =75o ，∠ADC =30o ，求A 、B 两点的距离.
分析：在四边形ABCD 中欲求AB 长，只能去解三角形，与AB 联系的三角形有△ABC 和△ABD ，利用其一可求AB 。
略解：Rt △ACD 中，AD=1/cos30o
△BCD 中，1/sin45=BD/sin60，可求BD 。
由余弦定理在△ABD 中可求AB 。∠ACD =90o ，∠BCD =60o ，∠BDC =75o ，∠ADC =30o ，
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
（四）阅读理解
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
（五）课堂练习
课本第14页练习第1、2题
（六）课堂总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立
一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（七）课后作业
习案与学案 )913.0630(≈=AB