计算题
题型一：计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式：t N
t W t D ∑=?=1
其中，W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式：y
y c y c T y y y D T +-+-++-+=
]1)1[()
()1(1 其中，c 表示每期票面利率，y 表示每期到期收益率，T 表示距到期日的期数。
凸性的计算公式：t N
t W t t
y C ?++=
∑=1
2
2
)()1(1
其中，y 表示每期到期收益率；W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。
例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。 每期现金流：42%8100=?=
C 实际折现率：%52
%
10=
息票债券久期、凸性的计算
即，D=2=
利用简化公式：4349.5%
5]1%)51[(%4%)
5%4(6%)51(%5%516=+-+?-?++-+=
D （半年）
即，（年）
（）2= ；
以年为单位的凸性：C=（2）2=
利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（%）时，该债券价格的波动
利用修正久期的意义：y D P P ??-=?*/
5881.2%
517175
.2*=+=
D （年）
当收益率上升一个基点，从10%提高到%时，
%0259.0%01.05881.2/-=?-≈?P P ；
当收益率下降一个基点，从10%下降到%时，
%0259.0%)01.0(5881.2/=-?-≈?P P 。
凸性与价格波动的关系：()2
*21/y C y D P P ???+??-=?
当收益率上升一个基点，从10%提高到%时，
%0259.0%)01.0(3377.82
1
%01.05881.2/2-=??+?-≈?P P ；
当收益率下降一个基点，从10%下降到%时，
%0676.0%)01.0(3377.82
1
%)01.0(5881.2/2=??+-?-≈?P P
又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
题型二：计算提前卖出的债券的总收益率
首先，利息+利息的利息=???
???-+?111)1(r r C n ；r 1为每期再投资利率；
然后，有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格； 其中，
投资期末的债券价格：[]
N
N N N
t t r F
r r C r F r C P )1()1(1)1()
1(222212+++-=+++=-=∑； N 为投资期末距到期日的期数；r 2为预期的投资期末的每期收益率。
例二：投资者用元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。
解： 602%121000=?=
C %42%81==r %52
%
102==r 6年内的利息+6年内利息的利息=55.901%41%)41(6012=??
?
???-+?元
第6年末的债券价格=[]
46.1035%)
51(1000%5%)51(1604
4=+++-?-元
所以，
6年后的期末价值=+=元
总收益=元
半年期总收益率=%54.6153
.90501
.193712
=-
总收益率=（1+%）2-1=%
题型三：或有免疫策略（求安全边际）
例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。
解：
银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=万元； 如果目前收益率稳定在10%：
触碰线：
36.100%)101(93
.1464
=+万元
1年后债券的价值=100×8%+
2
%)101(108
%1018+++=万元；
安全边际：万元；
A
B 触碰线
所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
债券年收益率=%
88.81100
%)
101(53.10454
=-+?
题型四：求逆浮动利率债券的价格
例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。
解：
在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。
1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格
347.9643%)81(10600
%)81(6002
=+++=
P 元
P 逆=2P-P 浮=2×=元
题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM 实为一种折现率）
例五：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
6060
1%)31(1000%)31(40+++=∑=n n P =??????+-?-%3%)31(14060+60
%)
31(1000
+=元
例六：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为美元，求债券到期收益率
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
6060
1)1(1000)1(4077.676YTM YTM n n +++=∑==60
60)
1(1000
)1(140YTM YTM YTM ++??????+-?- 通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益率为6%×2=12%
例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。
解：
因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4% n=20
P=
20
%)
41(5000
+=元
例八：一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少全价是多少（采用360天计算）
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。那么n=81/180=。
79.1189%)31(1050
%)31(50......%)31(50%)31(5045
.945.845.145.0=++++++++=
P 元
即该债券的净价为元
又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以
5.27180
99
50=?
=AI 元 即该债券的全价为+=元
例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为元，计算该债券的年到期收益率。
解：
因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：
4
)1(1000
34.857YTM +=
通过上式求出该债券的半年到期收益率为%，因此该债券的年到期收益率为%×2=%
例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。（按一年360天计算）
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。即n=169/180=
又因为全价=净价+应付利息
06.3180
169
18050=-?
=AI 元 所以，净价==元 即，
9389.29389.19389.0)1(1050
)1(50)1(5094.1041YTM YTM YTM ++
+++=
该债券的半年到期收益率为YTM=% 年到期收益率为%×2=%
题型六：交税方法
例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。政府对其收税，税率为20%。现有两种交税方式：一年一付；到期时一起付；问选择哪种交税方式更好（改变哪个数值会造成相反的结果）
解：设在某年年初购买该基金；基金面值为100元； 市场适当收益率为r ；
一年一付（年末付）：
每年年末应交：2.1%20%6100=??元
现值：[]
r r r PV n n
10
10
1
1)1(12.1)1(2.1-=+-=+=∑
到期时一起付 总利息为：10×=12元
现值：10
2)
1(12
r PV +=
若21PV PV =,则%1≈r 所以：当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以； 当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付； 当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。
附：课上提过的重点题
例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：
C % 4 10 000 8%
求该债券组合的到期收益率。（步骤：1、列表 ；2、列方程 ） 解：
若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。
A ：12
12
1
%)5.31(1000
%)5.31(3068.951+++=∑
=n n B ：1010
1%)75.21(20000
%)
75.21(55020000+++=∑
=n n （平价出售） C ：88
1%)41(10000%)
41(37568.9831+++=∑
=n n 该债券组合的总市场价值为： +20 +9 =30 元
列表：r 为债券组合的到期收益率
期数
A 的现金流（元）
B 的现金流（元）
C 的现金流（元） 债券组合的现金流（元） 总现金流的现值（元） 1 30 550 375 955 955/(1+r) 2 30 550 375 955 955/(1+r)2 3 30 550 375 955 955/(1+r)3 4
30
550
375
955
955/(1+r)4
④列方程：
121110987)1(1030
)1(30)1(20580)1(580)1(10955)1(195536.30783r r r r r r r ++
+++++++++-?=-
%13.3≈r
所以该债券的半年期到期收益率为%；其年到期收益率（内部回报率）为%。
例十三：APR 与EAR 的换算
公式：
1)1(-+
=n
n APR EAR
其中：EAR 为实际年利率；APR 为名义年利率；n 为一年中的计息次数；
A 债券的年利率为12%，半年支付一次利息。
B 债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。
C 债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年收益率。
A ：%36.1212%1212
=-???
??+=EAR
B ：%55.1214%1214
=-???
??+=EAR
C ：%38.1014%1014=-??
?
??+=EAR
注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；
付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。
例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券这一条件 故较为简单）
此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益 =债券实际总价值-购买债券时的价格 求总收益率：
公式：每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n -1 实际年收益率=（1+每期收益率）m -1
投资者用元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。
解：
16
16
1
)1(1000
)1(6038.1108YTM YTM n n +++=∑= 半年期的YTM=5%，即每期的再投资利率为5%
利息+利息的利息=45.1419%51%)51(6016=??
?
???-+?元
该债券的利息=60×16=960元
利息的利息==元
持有到期时债券的总价值=+1000=元
总收益=元
每期收益率=%5138
.110845
.241916
=-
总收益率=()%25.101%512
=-+