电磁场与电磁波 2013期末复习题
一．填空题
1．已知矢量2z 2y 2x z e xy e x e A ，则A = z xy x 222 ， A
=
2
y z 。 2．矢量B A
、垂直的条件为 0 B A 。
3．理想介质的电导率为 0 ，理想导体的电导率为
，欧姆定理的微分形式为 E J 。
4．静电场中电场强度E
和电位φ的关系为 E ，此关系的理论
依据为 0 E ；若已知电位22z 3x y 2 ，在点（1,1,1）处电
场强度 E
642z y x 。
5．恒定磁场中磁感应强度B
和矢量磁位A 的关系为 A B ；此关系的理论依据为 0 B 。
6．通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为
/2 ，电位拉普拉斯方程为 02 。
7．若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其D E
、边界条件为：
_
021 n _和
021 n ；H B
、边界条件为：
021 n 和
02
1 H H e n 。
8．空气与介质)4(2r 的分界面为z=0的平面，已知空气中的电场强度为
4e 2e e E z y x 1
,则介质中的电场强度 2E z y x e e e 2 。 9. 有一磁导率为 μ 半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流
I ，柱外是空气（μ0 ），则柱半径为1 处磁感应强度1B = 12 I
e ；柱外半径
为2 处磁感应强度2B = 2
02 I
。
10．已知恒定磁场磁感应强度为z 4e my e x e B z y x
,则常数m= 5 。
11．半径为a 的孤立导体球，在空气中的电容为C 0= a 04 ；若其置于空气与介质（ε1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为C 1=
a )(210 。
12．已知导体材料磁导率为μ，以该材料制成的长直导线单位长度的自感为
8 。 13．空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。 14．两夹角为n
(n 为整数)的导体平面间有一个点电荷q ，则其镜像电荷个
数为 （2n-1） 。
15．空间电场强度和电位移分别为D E 、，则电场能量密度w e = 21
。
16．空气中的电场强度)2cos(20kz t e E x ，则空间位移电流密度D J
=
)/()2sin(4020m A kz t x 。
17．在无源区，电场强度E 的波动方程为 0222
t
E 或
022 E E 。
18．频率为300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为 ）（ 120 ，波的传播速度为 )/(1038s m ，波长为 )(1m ，相位常数为
)/(2m rad ；当其进入对于理想介质(εr = 4，μ≈μ0)，在该介质中的波阻
抗为 ）（ 60 ，传播速度为 )/(105.18s m ，波长为 )(5.0m ，相位常数为 )/(m rad 。
19．已知平面波电场为z j y x i e e j e (E E )0
，其极化方式为 右旋圆极化 。
20．已知空气中平面波 )
86(,z x j m e E z x E y ，则该平面波波矢量 k
86z x e e ，角频率ω= )/(1039
s rad ，对应磁场 z ,x H
)/(6.08.0120)86(m A e E z x j z x m
。 21．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数81 r 。对于f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体（
9
8
） 。 22．导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。 23
． 频率为f 的均匀平面波在良导体（参数为 、、）中传播，其衰减常数α本征阻抗相位为 4/ ，趋肤深度δ= f /1 。 24．均匀平面波从介质1向介质2垂直入射，反射系数Γ 和透射系数τ 的关系为 1 。
25．均匀平面波从空气向0,25.2 r 的理想介质表面垂直入射，反射系数Γ= 2.0 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比S=
5.1 。
26．均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射，反射系数Γ= 1 ，介质空间合成电磁波为 驻波 。
27．均匀平面波从理想介质1向理想介质2斜入射，其入射角为θi , 反射角为θr , 折射角为θt ，两区的相位常数分别为k 1、k 2，反射定律为 i r ，折射定律为
2
1
sin sin k k i t
。 28．均匀平面波从稠密媒质(ε1)向稀疏媒质(ε2)以大于等于 c
12arcsin 斜入射，在分界面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以 b
12arctan 斜入射，在分界面产生全透射，该角称为 布儒斯特角 。 29．TEM 波的中文名称为 横电磁波 。
30．电偶极子是指 几何长度远小于波长、载有等幅同相电流的电流线 ，电偶极子的远区场是指 1 kr 区域的场 。 二．简答题
1. 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？
答：由边界条件，电场的切向分量连续，而理想导体中的电场为零，故边界导体一侧的电场切向分量为0，从 可知电流线总是垂直于边界。 2．写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？ 答：恒定磁场中的安培环路定律为
S
C
d d 因为电流密度不为零，所以磁场不是保守场。
3．电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。 答：单导体的电容为
q
C
双导体的电容定义为 U
q C
计算双导体电容的基本步骤：(1)选取合适的坐标系;(2)假设其中一个导体带电荷q ，另一个导体带电荷q ;(3)求导体间的电场；(4)由 2
1l d E U 计算两导体
间的电压；(5)求电容U
q C
。 4．叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。 答：静态场解的惟一性定理:在场域V 的边界面S 上给定 或n
的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 中具有惟一值。
惟一性定理的重要意义:
● 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件； ● 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据； ● 为求解结果的正确性提供了判据。
5．什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？
答：镜像法是用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
镜像法的理论基础——解的惟一性定理。 确定镜像电荷的两条原则：
① 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
② 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。
6．分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。 答：麦克斯韦方程组的积分形式：
自由电荷的代数和。合曲面包含的电位移的通量等于该闭—穿过任意闭合曲面的—。于磁感应强度的通量恒等—穿过任意闭合曲面的—通量变化率的负值。为周界的任一曲面的磁以该闭合曲线曲线的环量，等于穿过—电场强度沿任意闭合—。导电流与位移电流之和为周界的任一曲面的传以该闭合曲线曲线的环量，等于穿过—磁场强度沿任意闭合—V
S
S S C
C
S dV
S d D S d B d t
B d d t D d 00
麦克斯韦方程组的微分形式：
—电荷产生电场。—线总是闭合曲线。—磁场是无散场，磁力—。—变化的磁场产生电场—场都能产生磁场。—传导电流和变化的电—
D B t B
E t D J H
7．写出坡印廷定理的积分形式并简要说明其意义。 答：坡印廷定理的积分形式
V
V S V V t
d d )2
121(d d d )(J E B H D E S H E
式中
V V t
d )2121(d d B H D E
——在单位时间体积V 中所增加的电磁能量。
V
V d J E
——单位时间电场对体积V 中的电流所作的功；对导电媒质，即为
体积V 总的损耗功率。
S
S H E
d )(——单位时间通过曲面
S 进入体积V 的电磁能量。
物理意义：在单位时间，通过曲面S 进入体积V 的电磁能量等于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和——能量守恒！。 8．什么是波的极化？说明极化分类及判断规则。
答：波的极化:在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹，或者说是在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性分为线极化、圆极化、椭圆极化三种。
判断规则：根据两正交分量的振幅或/和两者初相角的相对大小来确定，如果 或0x y ，则为线极化；若xm ym E E ，且2/ x y ，则是圆极化波；其它情况是椭圆极化波。
9．分别定性说明均匀平面波在理想介质中、导电媒质中的传播特性。 答：理想介质中的均匀平面波的传播特点：
● 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）； ● 无衰减，电场与磁场的振幅不变； ● 波阻抗为实数，电场与磁场同相位； ● 电磁波的相速与频率无关，无色散；
● 电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。
导电媒质中均匀平面波的传播特点：
●电场强度E 、磁场强度H 与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（TEM 波）； ●媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场相位不同，磁场滞后于电场 角； ●在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；
●电磁波的相速不仅与媒质参数有关，而且与频率有关 （有色散）； ●平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。 10．简要说明行波、驻波、行驻波之间的区别。
答：行波的振幅不变，其驻波比为1；驻波的振幅最小值是零，其驻波比为无穷
大；行驻波是行波与纯驻波的叠加，其振幅最小值非零，驻波比在1到无穷大之间。
11．简要说明电偶极子远区场的特性。 答：电偶极子远区场的特点：
① 远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直； ② 远区电场和磁场的相位相同；
③ 远区场电磁场振幅比等于媒质的本征阻抗，即
H E ④ 远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与r /1成正比； ⑤ 远区场具有方向性，按sin θ变化。
三、分析计算题
1. 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱体、外的电位函数为
a
a A a
cos 02
求：①圆柱体、外的电场强度；② 柱表面电荷密度。 注：柱坐标中z
e e e z
1
解：①由 可得
a
a a A a
sin 1cos 102222
②因为 S n S D D e 21 ，则
cos 201A E e a S
2. 同心球形电容器的导体半径为a ，外导体半径为b ，其间填充介电常数为 的均匀介质。已知导体球均匀携带电荷q 。求：①介质求的电场强度；②该球形电容器的电容。
解：①由高斯定理
q
d S
，可得
2
244r q E q
r E r r
所以
2
4r q e E r
②因为外导体球壳间的电压为
b a q dr r q d U b
a
11442
外
内
所以电容量 )
(4a b ab
U q C
3. 空气中有一磁导率为 、半径为a 的无限长导体圆柱，其轴向方向的电流强度为I ，求圆柱外的磁感应强度和磁场强度。
解：由 S
C
S d J l d H ，可得
在圆柱体时， 2
2
222a I H a I H
在圆柱体外时，
22I H I H
所以
a
I a a I e H
222
相应的磁感应强度为
a
I e a
a I B
2202
4. 矩形线圈长与宽分别为a 、b ，与电流为i 的无线长直导线放置在同一平面上，最短距离为d ，如图。①已知I i ，求长直导线产生的磁场及线圈与导线间的互感；②已知导线电流t I i cos 0 ，求导线产生的磁场及线圈中的感应电动势。
解：①由 S
C
d d ，可得
22I H I H
所以
2I e H
因为磁链为
d
b
d Ia ad I S d B b
d d
S
ln
2200 故互感是 d
b
d a I
M
ln
20
② 与前面相似，可求得磁感应强度为
t I e H B
cos 20
00 磁通量是 t d
b
d a I cos ln 200
感应电动势为 t d
b
d a I t
sin ln 200
其参考方向见下图中的红色箭头。
5. 一点电荷q 放置在无限大的导体平面附近，高度为h 。已知空间介质的相对介电常数2 r 。求①点电荷q 受到的电场力；②高度为4h 的P 点的电场强度与电位。
解：① 由镜像原理，点电荷q 受到的电场力即为其镜像电荷q 对它的作用力，因此
2
02
2
032)2(4
)(h q e h q q e F z
r z
② 高度为4h 处的电场强度为
20202042252)4(4)4(4h q
e h h q e h h q e E z
r z r z
h
电位 h
q
h h q h h q r r h
000460)4(4)4(4
6．已知半径为a 的导体球带电荷量为Q ，距离该球球心a d 4 处有一电荷q ，求q 受到的电场力。
解：
镜像电荷分布见下图，其中42'
a d a d ，4
'q
q d a q 。所以
q 受到的电场力是
2
2
22
'2
'
'22525631644)(4a q
a Qq d q q Q d d q
q x
x
q
7．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数 81 r 。设海水中电场大小为t cos E E m ，求频率f=1MHz 时，①海水中的传导电流密度J; ②海水中的位移电流密度J D 。
解：)/(10226s rad f
①由E J 可得，海水中的传导电流密度大小
t E J m cos 4
②海水中的位移电流密度大小为
t
E t
E t E t D J m m m r D
sin 5.4sin 1028110361
sin 690
8．在理想介质 (1,25.2r r )中均匀平面波电场强度瞬时值为：
)t-kz cos(40t ,z x e E
。已知该平面波频率为10GHz ，求：①该平面波
的传播方向、角频率、波长、波数k ；②电场强度复矢量；③磁场强度瞬时值；④平均能流密度矢量v S a
。
解：① 沿+z 方向传播；角频率、波长、波数k 依次为
Hz Hz GHz f 10910101010 ，)/(102210s rad f
)/(10225.2)
/(1038
8s m s m c
v f r
r
，)(02.010
10210
8
m )/(10002
.022m rad k
②电场强度复矢量
)/(40)(m V e e z E jkz x
③磁场强度复矢量为
)/(2125
.212040)(1
)(m A e e e e z E e z H jkz
y jkz y
z
所以其瞬时值是
)/()cos(21
),(m A kz t t z y
④平均能流密度矢量v S a
)/(102140Re 21)()(Re 212*m W e e e e e z H z E S z jkz y
jkz
x av
（讲到此！）
9．已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：
)]43(cos[31
,,z x t-e t z x H
y
A/m
求①该平面波角频率 、频率f 、波长 ；②电场、磁场强度复矢量；③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。 解：① )/(31)/(31),()
()43(m A e m A e z x z k y k x k j y z x j y
z y x
，故
4,0,343 z y x z y x k k k z x z k y k x k
)(4.02)/(5)4()3(2222
2m m rad k k k k z y x
)(105.74
.0)
/(10388Hz s m c
f c v f
②
))/(31),()
43(m A e z x z x j y
)
/(34854331120/),(),()43()43(0m V e e e e k z x y x z x j z x z x z x j y
③平均坡印廷矢量
)/()43(3431348Re 21),(),(Re 212)43()43(*m W e e e e e z x H z x E S z x z x j y z x j z x av
)/()43(cos 348),,(m V z x t e e t y x E z x
瞬时坡印廷矢量：
)/()43(cos )43(38
)43(cos 31
)43(cos 348)
,,(),,(),,(22m W z x t e e z x t z x t t z x t z x t y x z x y z x
10．均匀平面波从空气垂直入射到某介质(ε=εr ε0，μ≈μ0),空气中驻波比为3，分界面为合成电场最小点，求该介质的介电常数ε
解：因为空气中驻波比 311
S
由此解出 2/1
由于界面上是合成波电场的最小点，故2/1 ，而反射系数 1
21
2
式中，01 ，r 022
2
，于是有 99
1
1
3
1
02
r r
11．已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为
z j e E z 0x i e E
，从
z<0区域垂直入射于z>=0区域的理想介质中，
已知该理想介质εr = 4，μ≈μ0，求①反射波的电场强度、磁场强度；②透射波电场强度、磁场强度。③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。
解：① 因为3
21,310000
1212
r
r ，且
z
j y
z j x z i e E e e E e e z H
1201
)(000
所以
z
j y z j x z r z
j x z j x r e E e E z e E e E z 36031)(3e )(00000
H e E
② 212 r ，)(602/012 r
z
j y z j y z j x z t z
j x z j im x t e E e e E e e E e e z z e E e E z z
2020
2022202906032321)()(3
2
e )()(2 H H e E E ③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度
z j e E e e e e e E e e E e E e e E e z E z E z E z j x z j z j z j z j x z j z j x z
j x z j x r i sin 323231
31313)()()(000001
z e E e e e e e E e e E e E
e E z z z z j y z j z j z j z j y z j z j y
z
j y z j y r i cos 32323131313)()()(0000000
0001 合成波特点： A. 为行驻波。
B
z E e E z z j 2cos 3
29
113
11)(020
当 )12(2 n z 时，电场振幅最大，此位置是
412max
n z ，0max 13
4
E E
当 n z 22 时，电场振幅度最小，此时 2max n
z ，0min 13
2E E 定义驻波比为
23
23400
E E S C ．因为
z E e E z z j 2cos 32
911311)(00200
)(z
)(z 的最大值与最小值出现的位置正好互换。
D ．沿+z 方向传播的平均功率等于入射波平均功率密度减去反射波平均功率密度，即 2
2
112 E e S z av
媒质2中沿+z 方向传播的平均功率密度为 22
20
22 E z av
且有av av
S S 21 。
12．已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为
z
j e E z 0x i e E ，垂直入射于z=0的理想导体板上，求①反射波
电场强度、磁场强度复矢量；②导体板上的感应电流密度；③空气中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。 解：①反射波电场强度、磁场强度复矢量分别为
z j x r e E 0 ， z j y
z
j x
z
r e E e e
E e e H 0
1
②
z E j e E e E x z j x z j x r i sin 20001
因为z j y
z j x z i e E e e E e e H
00
1
，所以
z E e e E e e E e H H H y
z j y
z j y
r i cos 20
1
③导体板上的感应电流密度
0122| E e E e e H e J x
y
z z n S
③
t
z E e t z E e ze E j e t z E x x t j x sin sin 22cos sin 2sin 2Re ),(0001
t z E t z y
cos cos 2),(0
1
合成波特性：
A ．媒质1中的合成波是驻波，电场振幅的最大值为20E ，最小值为0 ；磁场振幅的最大值为00/2 E ，最小值也为0。两相邻波节点之间任意两点的电场同相，波节点两侧的电场反相。
B ．电场波节点：,...)2,1,0(2/min n n z n z ；电场波腹
点：,...)3,2,1,0(4/)12(2
1
2max
n n z n z 。 C ．1E 、1H 在时间上有π/ 2 的相移，在空间上错开λ/ 4，电场的波腹（节）点正好是磁场的波节（腹）点；
D ．坡印廷矢量的平均值为零，不发生能量传输过程，仅在两个波节间进行电场能量和磁场能的交换。
13．已知均匀平面波由空气向位于z=0平面的理想导体表面斜入
射。已知入射波电场强度为 )
3(20,z x j y
e z x
e E i ，①在下图中画
出入射波和反射波场强与磁场强度方向并判断该平面波为平行
极化波还是垂直极化波；②波矢量i k
；③平面波频率；④入射角；
⑤反射波电场强度；⑥反射波磁场强度；⑦空气中合成电场强度。
解：①因为入射面是xoz 面，而电场方向与其垂直，故为垂直极化波。
②由入射电场的表达式 )
3(20,z x j y
e z x
e E i 可知
3,0,3 iz iy ix iz iy ix k k k z
x z k y k x k
所以
k k k k k iz iy ix i 23222
22
3z x i e e k
③
)
(1032210322,22,88Hz ck f c k f k k c v f
， ④入射角 )30(63
1tan 0
i iz ix i k k ⑤反射波电场强度 )
3(20,z x j y e z x
e E r
⑥反射波磁场强度：
3z x r ，2
3
2123z
x z x r
e e
)
3()
3()
3(1
212361
232112020201
,z x j z x z x j y z x z x j y r e e e z x
e e r
⑦ )
3(20,z x j y e z x e E i
， )
3(20,z x j y e z x
e E r
x
j y
z
j z
j x
j y z x j y z x j y e
z j e
e
e
e e z x z x
3sin 40202020,,33)
3()
3(e e E E z)(x,r i 1
a