固体物理总结
绪论
1研究对象及内容
研究固体的结构及其组成粒子间相互作用与运动规律以阐明固态物质性能和用途的学科。
2 固体物理学发展的里程碑 十八世纪：
阿羽依（R. J. Ha üy 法）--坚实、相同、平行六面体的“基石”有规则重复堆积. 十九世纪： 布喇菲(A.Bravais 法)--空间点阵学晶体周期性.
二十世纪初： X-射线衍射揭示晶体内部结构
量子理论描述晶体内部微观粒子运动过程
近几十年：
固体物理学→凝聚态物理：无序、尺度、维度、关联；晶体→凝聚态物质
第一部分 晶体结构
1 布喇菲点阵和初基矢量
晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。 布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)
初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =??。
3 惯用晶胞(单胞)
惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。惯用晶胞可以是初基的或非初基的。惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。 4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)
维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为
基元十点阵＝晶体结构
当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
第二部分 倒易点阵和晶体衍射
1．倒易点阵和倒易点阵初基矢量
和一种晶体结构相联系的点阵有两种：晶体点阵和倒易点阵．前者是真实空间中的点阵，具有[长度]的量纲．后者是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1量纲．
一个具有晶体点阵周期的周期函数n (r )＝n (r+R )展成傅氏级数后，其傅氏级数中的波矢在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数n (r )的周期性而与函数的具体形式无关．我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒易点阵．倒易点阵是
晶体结构周期性在博里叶空间中的数学抽象．如果把晶体点阵本身看作一个周期函数，我们可以说，倒易点阵就是晶体点阵的傅里叶变换．反之晶体点阵就是倒易点阵的傅里叶逆变换．
倒易点阵的初基矢量(简称倒易点阵基矢)定义为
()2311232π?=??a a b a a a ()31
21232π?=??a a b a a a
()
12
31232π
?=??a a b a a a (2.1)
由此式定义的倒易点阵的每个初基矢量都与晶体点阵的两个初基矢量正交：
0,22,i j ij i j
b a i j πδπ≠??==?
=? (2.2)
倒易点阵矢量定义为112233l l l =++G b b b ，其中1l 、2l 、3l 均为整数．很容易证明，由倒易点阵矢量G 所联系的诸点的列阵正是前面由傅里叶分析所定义的倒易点阵．
2．倒易点阵矢量与晶面指数间的关系
对于晶体中面间跃为d 的任何一组平行平面(hkl )，有一组倒易点阵矢量与之垂直，其中最短的就是以晶面指数为指数的倒易点阵矢量
()123
hkl h k l =++G b b b ，(h 、k 、l 是整数)．且面间距等于该倒易点阵矢量长
度倒数的2π倍．
()
2d hkl π=
G (2.3)
如果用与平面族(hkl )垂直的任一倒易点阵矢量G 来表示，
2n d π=
G
(2.4)
这里n 是G 与平行于它的最短倒易点阵矢量G (hkl )长度之比
()
n hkl =
G G (2.5)
3．X-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件 X-射线的衍射条件有两种等价的表示法：
(i)布喇格定律：布喇格假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个原子平面只反射很少一部分辐射，而将大部分辐射透射到下一层原子平面．当来自平行原子平面的反射有相同位相时，发生相长干涉，于是得到尖锐的反射峰(称为布喇格峰)，由此导出X-射线反射的布喇格定律为
2sin n d λθ= (2．6)
其中λ是入射波波长，n 为相应的反射级，θ是入射束的布喇格角，d 为面间距．
(ii) 劳厄条件: 劳厄对X-射线衍射的处理方法和布喇格不同，他把晶体看作由放置在布喇格点阵阵点上的微观物体所组成，每个微观物体都向各个方向将入射辐射再辐射出去．由相距r 的体元散射出的射线束之间的位相差因子是()exp[]i '
-?k k r ，在'k 方向散射波的总振幅正比于积分：
()()
exp u dVn r i =-???k r (2.7)
即
()exp[]
G G
u dVn i =-??∑?G k r
在一定的方向和入射波长下，当散射矢量?k 等于倒易点阵矢量G 时，散射振幅有极大值，由此导出衍射的劳厄条件
?=k G (2.8)
在弹性散射中，劳厄条件又可写为
220G ?+=k G (2.9a ) 或 22G ?k G = (2.9b )
可以证明，布喇格定律和劳厄条件完全是等价的。 衍射条件的另一种表示法是劳厄方程：
123222h k l πππ??=?
?
??=????=?
a k a k a k (2.10)
4．布里渊区
第一布里渊区定义为倒易点阵的维格纳-赛兹(w-s)初基晶胞．
高布里渊区：把一个给定的倒易点阵阵点同其它阵点都连接起来，作
这些连线的中垂面，于是波矢空间被这些中垂面(满足方程2
2G ?=k G )分割成一块一块的区域，这些中垂面就构成了布里渊区的边界．第一布里渊区就是这些中垂面所围成的最小区域．第二布里渊区定义为从第一布里渊区出发只穿过一个中垂面所能到达的区域．依次类推，第n +1布里渊区定义为从第n 布里渊区出发只穿过一个中垂面所能到达的但不在第n -1区内的区域．各级布里渊区有相同的体积．
布里渊区边界是波矢空间中满足衍射条件(2
2G ?=k G )的点的轨迹，所以，布里渊区是衍射条件的几何表示法．
5. 实验衍射方法
常用的实验衍射方法有劳厄法，转动晶体法和粉末法。 6. 基元的几何结构因子
基元的几何结构因子是这样一个物理量，它标志着基元内部各个原子的散射波相互干涉的结果对散射波总振幅的贡献，其决定于散射矢量?=k G ，及基元中各原子的相对位置．
基元的几何结构因子定义为
()()
exp G j j j
f G i ?=-?∑G r (2.11)
j
f 是第j 原子的形状因子，代表基元中第j 原子对散射波总振幅的贡
献：
()()
exp j j f dVn i =-??r G r (2.12)
当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了的反射(即消光规则)又可以帮助我们确定晶体结构．
第三部分 晶体结合
1 内聚能
相距无限远的自由原子(或自由离子)的总能量与它们形成晶体的能量之差，称为晶体的内聚能。换句话说，内聚能也就是把晶体分离成它们的组成单元所需要的能量。
2 范德瓦耳斯互作用
范德瓦耳斯互作用是感生偶极矩-偶极矩间的相互作用．这种相互作
用按6A r 的规律变化．
分子晶体的结合就是依赖范德瓦耳斯互作用．如果由于泡利原理而产
生的排斥作用有负幂次12
B r 的形式，则惰性气体晶体相距为r 的原子间
的相互作用能具有勒纳-琼斯势(Lennard-Jones potential)的形式
()1264u r r r σσε??
????=-??
? ????????
? (3.1) 式中ε和σ是两个经验参数，由气相数据给出。 3 离子晶体的晶电能(马德隆能)
离子晶体的结合依靠异号荷电离子间的静电吸引．离子晶体内聚能
的主要部分来自静电能．电荷为q ±的N 个离子对组成离子晶体时的静电能是
()
22
CGS coul
j
ij q q U Na N r r ±=-=-∑
()
2
2
00SI 44coul
j ij
q N
q U Na r r πεπε±=-=-∑ (3.2)
式中r 是最近邻距离，1
j
ij
a p ±=∑
称为马德隆常数．它决定于晶体结构．ij p
是以最近邻距离r 度量的参考离子i 到任何一个离子j 的距离．如果以负离子为参考离子，求和对正离子取“+”号，对负离子取“-”号．
离子间的短程排斥作用通常采取指数函数()exp r λρ-或负幂次函数
n B r 的形式，这两种形式都表达了泡利原理所产生的短程排斥作用随距
离增加而急剧下降的特点．
4 平衡最近邻距离
在平衡态下，晶体势能最低．由组成晶体的原子(离子)的总相互作用能对最近邻距离r 求微商，可以得到平衡时原子(离子)的最近邻距离0r ，再代回到晶体的总能量中，就可以求得晶体的内聚能．
5 晶体结合的基本形式
分子晶体，离子晶体，共价晶体．金属晶体和氢键晶体．其结合力的主要特点及特征性质如下表所示．
第四章 点阵振动（声子I ）
1 格波与声子
点阵振动的简正模式是具有一定频率ω和波矢K 的平面波，通常称为格波．K 值是第一布里渊区内的一系列分立值12,,K K K K N =L 共有N 个，等于晶体中初基晶胞的数目．不同的(),K K s ω代表格波的不同模式，给定了波矢K ，频率ω由点阵振动的第s 支色散关系()K s ω相应地确定．波矢为K 、频率为()K s ω的格波，其能量是量子化的，
()
,12n s s E n ω?
?=+ ???K K h (4.1)
函数()K s ω又称为声子的色散关系或声子能谱，一个波矢为K 的第s
支振动模式处于它的第,K s n 个激发态，我们就说，在晶体中存在有,K s n 个波矢为K 的第s 种声子．
2 点阵振动的色散关系
简谐近似是处理点阵振动问题的理论基础．简谐近似下，如果只计入最近邻原子间的互作用，一维单原子点阵简正模式的色散关系是
1sin 2
m Ka
ωω= (4.2)
初基晶胞含有两个原子的一维点阵，简正模式的色散关系分为声学支和光学支．在布里渊区边界上声学支和光学支之间有一频率间隙(声子的能隙)．
三维点阵简正模式的色散关系是一维情况的推广．波矢K 是三维矢量，频率()K s ω是波矢大小的函数，又是波矢方向的函数．
单原子点阵的色散关系有三个声学支，其中两个代表横偏振，一个代表纵偏振．对带有基元的点阵，色散关系有3p 支，这里p 是基元中所包含的原子数．其中有3个声学支(晶体中有N 个初基晶胞，共有3N 个声学模式)，有3p -3个光学支(共有(3p -3)N 个光学模式)。总的模式数为3pN ，等于晶体中原子的总自由度数。
简正模式的色散关系在波矢空间具有平移对称性质：
()()
s s ωω=K +G K (4.4)
同时也具有中心反演的对称性
()()
s s ωω=-K K (4.5)
3 第一布里渊区的振动模式
对于点阵振动色散关系的同一支而言，K 和K+G 代表同一振动模式，因而格波的波矢是限制在第一布里渊区内的．第一布里渊区外的波矢所代表的振动模式只不过是第一布里渊区内的波矢所代表的模式的重复或再现而已．当格波的波矢超出第一布里渊区时，必须平移一个适当的倒易点阵矢量，用第一布里渊区内的波矢来描写．点阵振动的最大波矢是布里渊区边界所对应的波矢，相应的波长也就是点阵振动的最短波长．
4 声学支和光学支
对初基晶胞含有不只一个原子的点阵，色散关系分为声学支和光学支．长声学波描写同一初基晶胞中原子(连同它们的质心)的整体运动，色散关系近似为直线
vk ω= (4.6)
其性质类似声波，具有恒定的声速v 。
长光学波描写同一初基晶胞中原子的相对运动(质心固定不动)．离子晶体的长光学波可以用光波激发，如果它们具有相同的频率和波矢，可以发生共振，这决定了离子晶体的红外光学性质．
5 中子的非弹性散射
声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱．该实验方法所依据的基本原理是散射过程遵守能量守恒和波矢守恒定律．
能量守恒定律要求：
()i
n n
s E E ω'=±K h (4.16)
式中i n
E 和n E '是散射前后中子的能量，()s ωK 是吸收或发射的声子的频
率．
波矢守恒定律要求：
i '+=±k G k K (4.17)
i k 和'k 是散射前后中子的波矢，K 是吸收或发射的声子的波矢，G 是
一个倒易点阵矢量，G 的选取必须使声子波矢不超出第一布里渊区。
以上二式中“+”号对应发射声子的过程，“-”号对应吸收声子的过程。
第五部分 热学性质（声子II ）
1 简正模式密度(声子能级密度)
每单位体积的简正模式密度()g ω定义为在频率ω附近单位频率间隔内的简正模式数除以该晶体的体积．或者说，()g d ωω表示单位体积的晶体在ω到d ωω+无穷小频率间隔内的简正模式数．
由于一个简正模式对应于单个声子的一个可能的能级，所以，模式密度又称为声子的能级密度．引入模式密度概念，在计算点阵的平衡态性质时，可以将对模式K 的求和化为对频率ω的积分．模式密度依赖于色散关系，不同的物理模型，就在于假定了不同的色散关系，相应也有不同的模式密度．
模式密度的一般表达式是
()()
()()3
2s s
d g ωδωωπ??=-??
∑?
K
K (5.1)
s 表示色散关系的第s 支. 积分对第一布里渊区进行. 式(5.1)又可写为
()()
()
3
1
2s
s
dS
g ωωπ=
?∑?K (5.2)
积分沿第一布里渊区中()K s ωω≡的频率等值面进行. ()K s ω?是波矢为K 的第s 支格波的群速度.
对于一维情况，模式密度为
()1
g
g v ωπ=
2 爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型假定晶体中所有简正模式都具有相同的频率：E ωω=．于是爱因斯坦模型的模式密度为
()()3E E g n ωδωω=- (5.4)
式中n 是单原子点阵的原子密度N
n V
??=
??
?
. 德拜模型把晶体看作连续介质，色散关系为直线vK ω=，声速v 为常数．另外，假定波矢K 取在波矢空间中半径为D K 的球(称为德拜球)内，而不是取第一布里渊区中的所有K 值．于是三维晶体的德拜模式密度为
()2
23
3,20D D D D K v g v ωωωωπωω?<=?
=??>? (5.5)
其中D D v ω=K 称为德拜截止频率，也就是晶体中可能存在的简正模式的最高振动频率．D ω由单原子点阵中N 个原子的3N 个自由度决定，
23
3
6D
v N
V πω= (5.6)
对初基晶胞含有两个原子的点阵而言，色散关系的光学支在长波极限下近似有ω为常数，适于用爱因斯坦模型；而对色散关系的声学支，长波极限下近似有直线型色放关系，vK ω=，适于用德拜模型.
3 点阵热容
经典模型把原子看作一组独立的经典谐振子．从而得到点阵热容的杜隆珀替定律；
3V B
C Nk = (5.7)
热容V C 与温度T 无关. 这个结论只在高温情况下才和实验结果相符. 用量子统计方法得到的点阵热能为
()()()
(),,1s s s s s
s
U n e βωωω==-∑∑
K K K K K K h h h (5.8)
用爱因斯坦模型得到的点阵热容为
()
2
2
31E E E V B T e C Nk T e θθθ??
= ???- (5.9)
式中E
E B
k ωθ=
h ，称为爱因斯坦温度. 用德拜模型得到的点阵热容为
()
3
42
91D x
T
V B x D T x e C Nk dx
e θθ??
= ?
??
-?
(5.10)
式中D
D B
k ωθ=
h ，称为德拜温度，它是表征固体热学性质的特征温度．在德拜温度以上，几乎所有模式都被激发，而在德拜温度以下，有的模式开始转入“冻结”．爱因斯坦热容和德拜热容在高温下都趋近于经典值
3Nk B ，，在低温下，爱因斯坦热容按E T
e θ-规律变化，德拜热容按T 3规律
变化．后者与实验结果符合甚好．
4 非简谐效应
简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休．考虑到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非简谐项比简谐项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞．这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻．
5 热膨胀
热膨胀是由于非简谐效应所引起的一种重要的热现象．它可以用原子势能曲线的不对称性得到解释．
6 点阵热导率
将气体分子运动论用于声子气体，可以导出点阵热导率为
13
cvl
κ= (5.11)
式中c 是每单位体积的点阵热容，v 是声速，l 是声子的平均自由程，它取决于声子与声子的碰撞、声子与杂质缺陷的碰撞和声子与样品边界的碰撞．
7 倒逆过程
声子与声子的碰撞过程分为正规过程(或N 过程)即G =0的碰撞过程和倒逆过程(U 过程)．倒逆过程是如下形式的三声子碰撞过程：
123+=+K K K G
(5.12)
其中G 是不为零的倒易点阵矢量．由于倒逆过程可以大幅度地改变声子团的总动量，因而可以建立起声子的热平衡分布，并决定在高温下的点阵热阻．
第六部分 自由电子费米气体
1 金属自由电子论的物理模型
金属自由电子论对于解释金属，特别是简单金属的许多重要物理性质非常成功．其基本假定是
(a) 自由电子近似：当金属原子聚集成为金属晶体时，原子的价电子脱离了母体原子而在金属晶体中自由运动．金属自由电子论认为，离子实对电子的作用是可以忽略不计的，离子实的作用仅仅是维持整个金属晶体的电中性．
(b) 独立电子近似: 金属自由电子论忽略了电子与电子间的相互作用．
(c) 弛豫时间近似：假定电子在单位时间内受到一次碰撞的几率为
1τ，τ称为弛豫时间．电子通过碰撞和周围环境达到热平衡，电子经过
每次碰撞后，其速度的方向是随机的，速率的大小由碰撞处的局部温度决定．碰撞的后果和碰撞时电子的状态无关．
早期的金属自由电子论[特鲁德(Drude)模型]把金属中的传导电子看作自由电子经典气体，服从麦克斯韦-玻尔兹曼统计；近代自由电子论[索末菲(Sommerfeld)模型]把金属中的传导电子看作自由电子费密气体，服从费密-狄喇克统计．
2 费密-狄喇克统计
在温度T 下，能量为ε的状态被电子占据的几率为
()()1
1B k T f e εμε-=
+ (6.1)
式中μ是电子气体的化学势，它是温度的函数。在绝对零度时，F με=，F ε是电子气体的费米能.
3 三维自由电子气体的能级和状态密度 自由电子波函数()k r ψ满足单电子薛定谔方程
()()22222222k k k r r m x y z ψεψ??
???-++= ??????
h (6.2)
在周期性边界条件下，波函数具有行波形式
(
)i k r ψ?=
k r
(6.3)
式中V 是晶体体积，波矢k 取一系列分立值
222x x y y z z
k n k n k n L
L
L πππ=
=
=
(6.4)
,,0,1,2,x y z n n n =±±L
自由电子的能量为
()()22222
222x y z k k k k k m m ε==++h h (6.5)
动量为
=p k h (6.6)
速度为
m =
k
v h (6.7)
自由电子在波矢空间中的等能面是球面．波矢空间中的一个点[平均占体积()3
2L π]代表自旋相反的两个状态，可容纳自旋相反的两个电子． 自由电子的状态密度()g ε定义为单位体积的晶体在单位能量间隔中的状态数，故
()1
g d V εε=
[在能量范围d εεε-+中的状态数] (6.8)
三维自由电子的状态密度为
(
)0
0,
0g εεε>=
(6.9)
4 自由电子在基态下的性质
对于由N 个自由电子组成的系统，基态(绝对零度)下被电子占据的状态可以用波矢空间中一个球内的点来表示，这个球称为费米球．费密球的半径F k 称为费米波矢量，
()
123F k n π= (6.10)
仅决定于电于浓度n ．通常我们用无量纲量00s r r a ≡表示电子浓度，0
r 定义为体积等于每个自由电子平均所占体积的球体的半径，即
3
0143V r N n π==
13
034r n π??= ?
?? (6.11)
a 是玻尔半径，
2800.52910cm
a me -==?h . 于是, 式(6.10)又可写为
3.63
F s k r =
?-1 (6.12)
费密面是基态下电子所填充到的最高等能面．自由电子费密面是球面．费密面把基态下波矢空间中已被电子占据的状态和未被电子占据的状态分开．由于泡利原理的限制，远离费密面的电子被冻结，只有费密面附近的电子才在低能激发中是活跃的．所以，只有费密面附近的电子才决定金属的动力学性质．
费密面上电子的能量称为费密能F ε，
()22
2322322F F k n m m επ==h h (6.13)
250.1eV
F s r ε=
(6.14)
费密面上电子的速度称为费密速度，
()1323F F k v n m m π==h h
(6.15)
814.20
10cm s F s
v r -=
?? (6.16)
费密温度由费密能定义
F
F B T k ε=
(6.17)
费密面附近电子的状态密度为
()32
12
22122F F
m g εεπ??= ???h (6.18)
()32F F
g n εε= (6.19)
用自由电子的状态密度()g ε和分布函数()f ε，很容易计算出基态下三
维自由电子气体的能量密度，
()003
5F F
U u g d n V εεεεε-∞===? (6.20)
自由电子气的压强为
00
23N U P u V ???
=-= ???? (6.21)
体弹性模量为
0105
2393F U p B V
p n V V ε?=-===? (6.22)
5 自由电子气体的热学性质
引用自由电子的状态密度和费密分布函数，自由电子的能量密度为
()()()33d d 4k
u f k g f εεεεεπ∞-∞==?????? (6.23)
电子浓度为
()()()33d d 4k n f k g f εεεεπ∞-∞==?????? (6.24)
通常可以借助索末菲展开式(见例题6.3中的附注)计算以上的积分. 由u 和n 的积分，计算出自由电子的热容为
22el B V
B n
F k T u C V Nk T πε?????==
? ?????? (6.25)
约为经典值的0.01倍. 式中N 是自由电子数，N nV =. 低温下金属的热容可以写为电子热容和点阵热容之和，
3el l V V V
C C C T AT α
γ=+=+ (6.26)
其中γ和A 是两个常量. 6 电导和欧姆定律
在外加恒定电场下，波矢空间中的自由电子费密球以均匀的速率漂移．考虑到电子所遭遇的碰撞，稳态下费密球的位移为
δk E e τ=-h (6.27)
其中τ为弛豫时间. δk 决定电子的漂移速度（平均速度）v
m δ=
k
v h (6.28)
由此可以导出自由电子的电导率为
2ne m τσ=
(6.29)
其中弛豫时间τ主要由电子-声子和电子-杂质缺陷间的碰撞决定。根据马提生(Matthiessen)定则，在杂志缺陷浓度不太高时，各种碰撞机制可以独立处理，
1
1
1
l
i τ
ττ=
+
(6.30)
其中1l τ和1i τ分别是电子-声子，电子-杂质缺陷的碰撞几率. 于是对含有少量杂志缺陷的金属，电阻率可以写为两部分之和
()l i
T ρρρ=+ (6.31)
其中()l T ρ是热声子所引起的电阻率，i ρ是剩余电阻率，由静态缺陷决定．
7 电子在外加磁场中的运动
经典近似下，电子在外加电磁场中的漂移动量p 满足如下方程式
()()
()d p p F t t t dt τ=-+ (6.32)
其中()()(),t m t t =p v v 是电子的漂移速度，τ是弛豫时间，()t F 是外力.
()t τ
p 相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力. 在外加电磁场下
()()
1CGS t e c ??=-+? ?
??
F E v H (6.33)
自由电子漂移速度所满足的方程式为
11d m e dt c τ????
+=-+? ? ?
????v E v H (6.34)
由此方程可以导出金属的霍尔系数，
()()
1CGS 1
SI H H R nec R ne =-
=-
(6.35) 用电子的漂移速度方程，联同麦克斯韦方程组，可以导出自由电子气体的等离子振荡频率
p
ω，并讨论金属的光学性质．
8 金属热导率
用自由电子模型，可以导出自由电子的热导率
LT κσ= (6.36)
并求出洛伦兹数L ，
2
23B k L e π??
=
?
?? (6.37)
第七部分 能带
1．布洛赫(Bloch)定理
周期势场中，单电子哈密顿量22/2()r H m U =-?+h (对布喇菲点阵的所有R ，有()()r r +R U U =)的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ相联系的有一个波矢k ，对于布喇菲点阵的所有R 有
()()ψψ?=ik R
r R e r + (7.1) 此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数()h ψr 具有如下的特殊形式
()()
ψ?=ik r k k r e u r (7.2)
这里，()k u r 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有
点阵矢量R 有
()()
u u =k k r r +R (7.3)
()ψk r 称为布洛赫函数，它具有调幅波的特性。
布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期结构中的波都应具有布洛赫函数的形式。
2．周期场中电子的波动方程
周期场中单电子薛定谔方程为
22
[()]2H U m ψψεψ
=-?+=h r (7.4)
在周期性边界条件下，将波函数ψ展成平面波的线性组合
()i C e ψ=∑K K K
r g r
(7.5)
K 取周期性边界条件所容许的值
3
1i i i i
m N =∑
K =b (7.6)
其中m i 为整数，N i 是数量级为N 1/3的整数，N=N 1N 2N 3是晶体中初基晶胞的数目。将周期势U (r )用倒易点阵矢量G 展开，
()i U U e =∑g G r
G G
r (7.7)
适当选择势的零点，使U 0=0，对中心反演对称的晶体，由于U (r )是实函数，应有
*
U U U -==G G G 。将上式代入式(7.4)得到单电子薛定谔方程在
动量空间的形式：
22()02K C U C m ε'''-+=∑h K G K -G G (7.8)
用第一布里渊区内的波矢=+k K G ，式(7.8)又可写为
[]02
2h ()-εC +U C =2m '''∑k -G G -G k -G G k -G (7.9)
对于第一布里渊区内指定的波矢k ，式(7.9)对所有倒易点阵矢量G 代表一组方程式，这组方程式把那些波矢和k 相差一个倒易点阵矢量的系数C k ，C 'k -G ， C ''k -G ，C '''k -G …联系起来，于是求解周期势场中单电子薛定谔方程(7.4)的问题化为对第一布里渊区内的N 个k 值独立求解方程(7.9)的问题。对每一个k 值，解的形式都是波矢和k 只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
()i C e ψ=∑k -G r
k k -G G
g (7.10)
如果我们把上式写作
()()
i i e C e ψ-=∑g g k r G k k -G G
r r (7.11)
令周期函数u (r )为
()i u C e -=∑G r
k -G G
r g (7.12)
则式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。 3．弱周期势场中的电子[1]
对弱周期势场中的电子(近自由电子)，我们可以从索末菲的自由电子论出发，加上弱周期势的修正来处理。分以下两种情况来讨论。
(a)非简并情况
固定一个波矢k ，考虑一个特定的倒易点阵矢量G 1，使得相应的自由电子能量满足
00||U εε-k-G 1
k-G ?，对固定的k 和所有≠1G G
这里22
2m ε=0K
K
h ，表示波矢为K 的自由电子能量。U 表示势的典型傅
里叶分量。由此(7.9)可以得到修正到U 2的电子能量为
2
3||()
00U O U εε
εε=++-∑
-G
12
1
G-G k -G k -G k -G
0 (7.13)
弱周期势对非简并自由电子能级ε1
k-G
的影响是U 的二级小量。
(b)近简并情况
如果所选取的k 值使得有几个倒易点阵矢量G 1，……，G m 满足
ε1
0k-G
，……
εm
k-G
0彼此都相差在U 的数量级内，而和其它
0-(,......,)
1
m k G G G
ε≠
之差则远大于U ，即
||1,...,,U m εε-=≠,...,i
00k-G k-G i 1m
G G G ?，由式(7.9)可以得到
31
1((
)()
m
i j U U -ε
)C U C C O U εεε==≠=++-∑∑∑
i j i
i j i j j 1m
G-G G -G
0k-G k-G G -G k-G k-G 0
G G ...G k-G
(7.14)
于是求解U 的二级近似下m 个简并能级的能量修正问题化为求解m 个
C i
k -G 的联立方程(7.14)的问题。如果仅仅修正到U 的首项，则方程(7.14)
简化为
01
((1,...,)
m
j -C U C i m εε
===∑i
i j i j k-G k-G G -G k-G ) (7.15)
这正是m 个量子能级体系的一般方程式。
用式(7.14 )、(7.15)可以求解几个布喇格平面(G 的中垂面)交点附近的电子能级。
对于近简并的二能级体系，式(7.15)简化为
((-C U C -C U C εεεε?=??=??))1121222121k -G k -G G -G k -G k -G k -G G -G k -G (7.16)
引用符号K =k -G 1，G =G 2-G 1，式(7.16)又可写为
0((-C U C -C U C U C εεεε?=?
?==??*
))1k -G K G K -G 0K -G K -G
-G K G K (7.17)
这里有
,||000
U
εεεε'≈-K -G K K K -G ?，对,0'≠G G ，由式(1.17)可得能量的两个根为
2
21/2
1([]2200
00U εεεεε-=+±)()+||K k -G K k -G G (7.17′)
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电子能级。 由于近简并情况下一级能量修正和U 有线性关系，和非简并情况相
比较，我们看到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势的主要影响只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。
4．能隙
在某些能量范围内，波动方程不存在布洛赫解，这些能量值构成所谓能量禁区，即能隙。在此区内，波函数在空间被阻尼，波矢k 为复值。绝缘体的出现正是由于能隙所引起。
在近自由电子模型下，单个布喇格平面上的能隙近似为2|U G |。只有在同一能带内，能量随波矢的变化才是准连续的。当电子的波矢穿过布喇格平面时，从一个能带到另一个能带，能量要发生突变。
5．能带的简约区、扩展区和周期(重复)区图
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格 的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO
2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ
《固体物理学》概念和习题 固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
固体物理基础解答吴代鸣
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１.试证理想六方密堆结构中c/a ＝1．633. 证明： 如图所示,六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构,其高度为 2.若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢: k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 (h ｋl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π
３.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择?每个原胞含有几个原子? 答: 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心,八个顶点中取一个,对面面心各取一个原子(即三个)作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的(111)和（11０)面的原子面密度。 解: (１11)面 平均每个（１11)面有22 1 3613=?+?个原子。 （１11)面面积 ()222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ (1１０)面 平均每个(110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 (１10）面面积2 22a a a =? 所以（11０)面原子面密度22 )110(2 22a a ==σ 5.设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢: j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b - 次近邻;2,2,,2211b b b b -- 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ---+- 再再次近邻;3,322b b - 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线,围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得: 第一布里渊区是一个扁长方形; 第二布里渊区是2块梯形和２块三角形组成； 第三布里渊区是２对对角三角和４个小三角以及2个等腰梯形组成。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 2 a 那么， Rf Rb 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ,, 晶胞体积abc c b a v )( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b 2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立
方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。 6．六方密堆结构的原胞基矢为：
固体物理作业 2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。 答： 由λ h P = ，υh E =得： 动量1 26 9 3410 313.310 2010626.6----???=???= = m s J m s J h P λ 能量J m s m s J c h h E 18 9 1 8 34 10 932.910 2010998.210626.6----?=???? ??===λ υ 2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为： , 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？ 答： 再由2 )()(x x ψω=得： 2 22)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0； 3 2 2 2 2 2 462) (x A x aA x A a dx x d +-=ω 令 0)(=dx x d ω得：2 ,21a x a x = = 而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当2 2a x = 时，粒子的几率最大。 3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：
在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。 3.2 已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为： (1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 ?，晶体的结合能为4 eV/atom 。请计算出A 和B 的值。 答： 设平衡时原子间的距离为0r 。达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满 足： 0)(0 =??r r r u ，求得m n Am Bn r -=1 0) ( (1) 将0r 代入，得平衡时的结合能m n m n m Am Bn Am Bn A r u --+- =n 0)(B )( )( (2) 当m=2，n=10时，由（1）式得 5B=A 0r 8， 再由0r =3?，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 10 96 10 01090.54 )(m eV r r u B ??=- =- 2 1920001002 10 50.4)(45)(m eV r r u r u r r A ??=-=??? ?????-=-B 4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答： 频率为的格波的(平均) 声子数为： .
东南大学考试卷（A 卷） 固体物理基础 课程名称 适用专业电子科学与技术（类） 考试形式 考试学期 得分 闭卷 考试时间长度 120分钟 一.填空题（41分） 1 ?波函数的统计解释是波函数在空间某一点的强度（波函数绝对值的平方） _______ 。 氢原子”模型均属束缚态问题，它们的定态薛定谔方程的解 。 :2 ?无限深势阱”谐振子”和 其能量特性具有这样一些共性： 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 3.质量为m 的粒子处于能量为 势场为 。 I --------------------------------------------------------------------- 4?固体物理学原胞体积相同的简立方、体心立方和面心立方其晶格常数之比 为 ;第一布里渊区的体积之比为 ________________ ;第二布里渊区的体积之 比又为 。 i| ------------------------------------------------------------- 5 ?按三种统计法，现将两个粒子分配在三个不同格子中。对于麦克斯韦 -玻尔兹曼分布有 线 线 ______ 种安排方法；对于费米-狄拉克分布有 ___________ 种安排方法；对于玻色-爱因斯坦分布有 ______ 种安排方法。 E 的本征态，波函数为 6 ?在一维双原子晶格中，两种原子的质量分别为 为a ，那么色散关系曲线中，格波波矢 q 封 ;又格波波矢q ，那么粒子所处的 g 和口 2 （口 m 2），若同种原子间的间距 时，光学波频率取最大值，且 时，声学波频率取最大值，且 A m ax o m ax : 3 7 ?在晶格常数为a 的一维单原子晶格中，波长为 a ; 4 长为 __________________ 的格波，它们的振动状态相同。 密&对晶体热阻起主要作用的声子碰撞过程是 ___________________ ________________________________ ，动量守衡条件为 _ 的格波与处于第一布里渊区的波 过程，该过程能量守衡条件为 9 ?氢原子中的电子运动状态用四个量子数来描述，其波函数记为 子的运动状态用四个量子数来描述，其波函数可记为 个，它们分别记为 nlmg s （r,,），其氢原 nlm l m s ， 若 n 2，对应的运动状态有 （用 nlm i m s 形式表示出来）。 10?限制在一个长度为L 的一维金属线中的N 个自由电子。电子能量E （k ）上，那么 2m 电子的状态密度（考虑自旋）为 ;一维系统在绝对零度的费米能量
《电子工程物理基础》课后习题参考答案 第一章 微观粒子的状态 1-一维运动的粒子处在下面状态 (0,0)() (0) x Axe x x x λλψ-?≥>=? =??==?
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ=
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
固体物理基础答案解 析吴代鸣
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距
2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613=?+?个原子。 （111）面面积( )222232 322)2 2( )2(221 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 （110）面面积222a a a =? 所以（110）面原子面密度2 2 )110(222a a = = σ 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππ ππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。
固体物理部分题目答案 注：这些题目可能与课本上有出入，大家抄题时以课本为主。还有其它题目请大家自己解决。 （本题可能与5.3题有关）6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度 2）费米球半径 3）费米速度 4） 费米球面的横截面积 5） 在室温以及低温时电子的平均自由程 解 1）费密能量2 022/3(3)2F E n m π=h 210/3(3)F k n π= 6293 313410.5100.58610/107.87 9.11101.0510A n N m m kg J s --=??=?=?=??h 0198.8210 5.5F E J eV -=?= 费密温度046.410F F B E T K k ==? 2) 费密球半径 020()2F F k E m =h 0F k =0198.8210F E J -=? 01011.210F k m -=? 3) 费密速度0F F k v m =h 61.3810F v m s =? 4) 费密球面的横截面积02022(sin )sin F F S k k πθπθ== ――θ是F k u u r 与z 轴间夹角 21/3(3)F k n π= 2223 (3)sin S n ππθ= 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1σρ = 20()1 F nq E m τρ= 驰豫时间02()F m E nq τρ=平均自由程0()F F l v E τ= 2F mv l nq ρ=2F k nq ρ =h 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.210F F k k m -==? 平均自由程02F k l nq ρ=h 将 19293 34010162956201.6100.58610/1.05101.2101.61100.03810F T K T K q C n m J s k m cm cm ρρ----=-==?=?=??=?=?Ω?=?Ω?h 代入 8295 5.241052.4T K l m nm -==?= 6320 2.210 2.210T K l m nm -==?=? 6.2已知一维晶体的电子能带可写成)2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η式中a 为晶格常数， 试求：(i)能带宽度 )2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η (ii)电子在波矢k 时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量 解：(i) 0=dk dE 可解得：
固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1， 单斜2， 正交 4， 四角 2， 立方3， 三角1， 六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区
固体物理思考题答案固体物理课后思考题答案第一章晶体的结构 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 单位体积晶体中的原子数为 , 晶胞的体积为 ,单位体积晶体中的原子数 , 一个晶胞包含四个 . 因此, 同体 原子, 一个原子占的体积为 1 积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.272. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面,为什么, [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么?
[解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 . 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 , , . 对应体心立方结构. 根据14题可以验证, , 若 , 的晶体为体心立方结构. 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 + 则晶体的原胞的体积 2 , , 该晶体仍为体心立方结构. 4. 若 构证明之. [解答] 若 可知 , =h +k +l =(k+l) (l+h)
, (h+k) =p , =p(l1 +l2 +l3 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结 3 ), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, , =h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +l3 ), , +(h+k-l) =p’ , = p’(l1
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将错误！未找到引用源。两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将错误！未找到引用源。组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。