第四章 系统辨识中的实际问题
§4 —1 辨识的实验设计
一、系统辨识的实验信号
实验数据是辨识的基础，只有高质量的数据才能得出良好的数学模型，而且实验数据如果不能满足起码的要求，辨识根本得不出解。
系统辨识学科是在数理统计的时间序列分析的基础上发展起来的，两者的区别在于系统辨识的对象存在着人为的激励（控制）作用，而时序分析则没有。因此，前者能通过施加激励信号u(k)达到获得较好辩识结果的目的（即实验信号的设计），而后者不能。 （一）
系统辨识对实验信号的最起码的要求 为了辨识动态系统，激励信号u 必须在观测的周期内对系统的动态持续地激励。满足辨识对激励信号最起码的要求的持续激励信号应具备的条件称“持续激励条件”，分以下四种情况讨论： 1． 连续的非参数模型辨识（辩识频率特性）
如果系统通频带的上下限为 ωmin ≤ ω ≤ ωmax ,要求输入信号的功率密度谱在此范围内不等于零。
)
()
()}({)}({)(ωωωj U j Y t u F t y F j G =
=
2． 连续的参数模型辨识 被辩识的连续传函为
，共包含(m+n+1)个参数
对于u(t)的每一个频率成分ωi 的谐波，对应的频率响应有一个实部R(ωi )和一个虚部Im(ωi )，由此对应两个关系式（方程），能解出两个未知参数。因此，为辩识(m+n+1)个参数，持续激励信号至少应包含：
j ≥( m+n+1 )/2 个不同的频率成分。 3． 离散的脉冲响应 g(τ)的辨识
g(τ) ;τ = 0,1,..m ，假设过程稳定，当 τ > m 时 g(τ)= 0 。由维纳—何甫方程有：
R uy (τ )=∑ g(σ)R uu (τ - σ) 式(4-1-1)
由上式得出(m+1)个方程的方程组:
上式表达成矩阵形式
φuy = φuu G 式（4-1-2） 可解出 G = φuu -1 φuy 式（4-1-3）
G s b b s b s a s a s m m
n n ()=
++++++0111
R R R m R R R m R R R m R m R m R g g g m uy uy uy uu uu uu uu uu uu uu uu uu ()()()()
()
()()()()()
()()()()()010********
????????????=----???
?????????????????
???
??
G = [ g(0),…,g(m) ]T 有解的条件是:如果所有的输出自相关函数
式(4-1-4)
都存在,且方阵φuu 非奇异, 即det φuu ≠ 0 。 4． 离散差分方程模型辨识
输入信号应保证（φT φ），即det （φT φ）≠ 0非奇异。
（二） 最优输入信号
持续激励信号是使得辨识问题有解对输入的最低要求。所谓最优输入信号是在实际条件受限制的条件下，如何使得与估计精度有关的品质指标为最优的输入信号。实际条件的限制如：
a) 对 u 和 y 以及中间变量的幅值或功率的限制； b) 测试时间的限制 ；
c) 采样数量（样本长度）的限制 ； d) 最大采样速率的限制 ； e) 设备的其他限制。
二进制伪随机码很接近理论上的最优实验信号。
R N
u k u k uu k N ()lim
()()ττ=+=-∑1
1
1
二、 样间隔 ?T 和实验长度的选择 1． 采样间隔 ?T 的影响
以下例说明?T 对模型参数的影响
其中T 1= 10s, T 2= 7s, T 3= 3s, T 4= 2s, T t = 4s, K= 1。 离散化后得到差分方程如下：
y(k)+a 1y(k-1)+a 2y(k-2)+a 3y(k-3) = b 0u(k-d)+ +b 1u(k-d-1)+ b 2u(k-d-2)+b 3u(k-d-3) 其中静态增益K=∑ b i / (1+∑ a I )
以不同的采样间隔 ?T = 1s,4s,8s,16s ，进行采样，得出的离散模型参数如下表：
由上表可见 ?T 值太大或者太小都会造成不利影响：
G s K T s T s T s T s e T S t ()()
()()()
=++++-11114123
若?T值太大，模型对动态特性描述就变得不精确了，当?T=8s时模型退化为二阶，而?T=16s时模型甚至退化为一阶；如果?T值太小，带来的问题是参数估计的微小误差都会对模型的输入/输出特性造成显著影响，甚至b i的小数点后第4、5位的值都会影响到∑b i的值。因为当?T值太小时，临近的几个采样数据的差异很小，在参数估计时出现病态方程组的问题，产生计算上的困难。但是，实际上?T的允许取值范围又是比较宽的，以下给出?T值选择的经验结果。
2．?T选择的经验公式
a) 按照过渡过程时间T95 选择
?T=(1/15—1/5)T95式(4-1-5)
b) 按系统的主要时间常数T a 选择
?T=(0.05—0.1)T a式(4-1-6)
c) 按系统的最小时间常数T min 选择
?T=(1—2)T min式(4-1-7)
由PID控制系统的知识可知，上述三种经验公式给出的选择，基本上是一致的。
三、实验长度N 的选择
随着实验长度N的加大，参数估计的精度增高，并且估计误差的方差下降，故N应取得长一些。但是由于实际条件的限制，N值愈长出现漂移和窜入额外干扰的机率增加，计算量亦加大，故N值又不宜
取的太长。经验值是N?T ≥10 T a式(4-1-8)
考虑到经验公式—式(4-1-6) ，则一般选择
N≥（100—200）
式(4-1-9)
§4—2 模型阶数的辨识
在估计模型参数时需要已知模型阶数，但是实际上模型阶数也是未知的，需要由输入/输出数据通过辩识得出。先分析阶数辨识问题的特点。
一、阶数辨识（定阶）的特点
1．如果高阶模型相应的参数为零，可退化为低阶模型，即低阶模型可视为高阶模型的特例。理论上高阶模型的精度不低于低阶模型，但是考虑到计算机的舍入误差的影响，过高的阶数亦能引起模型精度的下降。一般说低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高，但是代价亦大。
2. 根据逼近的观点，定阶往往是考虑多种因素的折衷。
3. 定阶一般是按照假设——检验的步骤进行的，检验过程中往往带有主观成分。
二、按照品质指标“残差平方总和”定阶
残差平方总和J(n)是模型阶数的函数
在不同的模型阶数的假设下，参数估计得到的J(n)值亦不同。定阶的最简单办法是直接用J(n)。设模型阶数的“真值”为n 0 ,当n < n 0 时随着n 的增加，J(n)值将明显的下降；而当n ≥ n 0 时随着n 的增加，J(n)值变化将不显著。因此，由J(n)曲线随着n 的增加最后一次陡峭下降的n 值定做n 的估计值。
上述方法缺点：由于N 值有限和样本缺陷等原因，可能导致J(n)曲线陡度变化不明显，或者有不规则起伏，使n 很难判断。改进：用数理统计的检验方法，判断n 的增加使得J(n)值改善是否明显。常用F 检验法。
（一） 用F 检验的定阶方法
用数理统计的F 检验方法判断，当阶数由n 1增至n 2时（n 2 > n 1），J(n 2) 是否较J(n 1)有显著性改善？
引入以下统计检验准则 t
式(4-2-1)
可以证明，当N 足够大时，t 渐进地服从于数理统计的F( f 1, f 2 )分布，其中F 分布的自由度为f 1 = 2(n 2-n 1)和 f 2 = (N - 2n 2) 。
单输入—单输出系统，当阶数每次递增一阶时，如果信度取 α = 0.05 , 当N >100时，由F 分布表中查处F( 2,100 ) = 3.09 。因此，在以上信度下t 至少应大于3，J (n) 的减少才能是显著的。即当t < 3 说明
t J n J n J n N n n n =-?
--()()()()12222122
n1的阶数已经足够高了，取n=n1; 即当t≥3 说明n1的阶数太低，n≥n2 ,要继续假设n3 , (n3 > n2 ) …
例：n5 = 5 的仿真结果如下表
F检验定阶方法的缺点：人为选定信度信度α值，有主观因素。（二）用AIC 准则定阶
七十年代日本学者赤池弘次（Akaike）提出一个基本信息量的定阶准则，AIC准则。按照使得该准则达到最小值来定阶。AIC准则为AIC（n）=-20 log Lθ + 2n 式(4-2-2)
上式中的log Lθ为模型参数的极大似然估计的似然函数的对数，2n 为被估计参数θ的维数。当设定的模型维数n增加时，上式第一项是值下降，而第二项值增加，存在对于n的最小值，即定阶的结果。以一个三阶的例子说明。假设动态过程为：
A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ε(k)
A(z-1)=1- 2.85 z-1+2.717 z-2-0.865 z-3
B(z-1)=z-1+ z-2+ z-3
C(z -1) = 1- 0.7 z -1+0.22 z -2
采样周期?T=0.1s ,干扰{ ε(k)}为正态N (0,1) 白噪声序列，控制信号u 为伪随机二位式信号，幅值 ± 1，数据量N=300 。下表给出了参数估计和仿真的结果。
对于由最小二乘模型描述的动态过程 A(z -1)y(k) = B(z -1)u(k)+ ε(k)
如果{ ε(k)}为正态白噪声序列，由于在此种情况下最小二乘估计与极大似然估计是一致的，这时的AIC 准则可用下式计算得出：
式(4-2-3)
式中的J(n)为最小二乘估计的残差平方总和。
（二） 残差的检验
参数估计的LS 、IV 、GLS 、ELS 、Cov-LS 或者ML 方法要获得无偏估计均要求残差为白噪声，如果假定的模型阶数低于系统的真实阶数的话，得出的计算残差不是白色的。反之，通过检验残差的自相关函
AIC n n
N
J n ()()()=+?12
数接近于白噪声的话，则说明模型设定的阶数不低于阶数的真值。利用下式残差的计算： ε(k) = y(k) - ?k T θ
样本残差序列{ ε(k) } 的自相关函数为
式(4-2-4)
可以证明：当N 充分大时白噪声
序列的样本自相关函数的方差为：
l ≠ 0 式(4-2-5) 对于正态的白噪声序列，如果取置信区间为±95%，则其样本自相关函数应落在以下范围内：
±?1960.()R N
即：
式(4-2-6)
由以上条件检验残差是否为白噪声，从而校验了n 是否正确。
三、模型时滞d 的辨识
考虑带有时滞d 的模型（d ≥0）
y(k)+a 1y(k-1)+…+a n y(k-n)=b 1u(k-d-1)+..+b n u(k-d-n)+ε(k)
{()}()()R l N k k l k N
=?+=∑11εε
Var R l N R {()}()≈102
-?<
如果d 未知，也需要与n 同时辨识。一个简单粗略的办法：先假设d=0,估计参数a 和b ，如果以下两个关系式同时成立：
式(4-2-7) 式(4-2-8)
则取d = β 为模型时滞的粗略估计。
时滞精确估计的办法是对于任何一个设定的阶数n ，均假设不同的d 值，d=0,1,.. 分别作参数估计，比较残差平方总和J(n,d) ,以J 值最小的d 做为时滞的估计值。
b b b b
b b i
i n
121
1
,, βββ<<<<=+∑
停机
同时辨识时滞d和阶数n的程序框图
§4—3 闭环系统可辨识性
开环系统输入量u是外加的，而闭环系统u是由输出y经过某种反馈联系产生的。因此，从闭环系统的输入——输出数据中获得的信息比从开环系统中得到的少。此外，开环情况下u与噪声干扰是相互独立的，而闭环时两者是相关的。
一、闭环系统阶数不能由输入输出数据辨识
以下图表示的系统为例，讨论闭环条件下进行辩识带来的新问题。
过程A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ε(k) 式（4-3-1）
反馈F(z-1)u(k) =D(z-1)y(k) 式（4-3-2）其中：A、B、C参数未知，F、D已知。
若将式（4-3-2）的左右两边同乘以z-1的多项式L(z-1) ,再与式（4-3-1）相加，得到
[A(z-1)+L(z-1)D(z-1)]y(k) =[B(z-1)+L(z-1)F(z-1)]u(k)+
+ C(z-1)ε(k) 式（4-3-3）
比较式（4-3-1）和式（4-3-3）,发现它们具有相同的输入和输出，但是式（4-3-3）的阶次高于式（4-3-1），因此不可能由输入——输出数据来区分式（4-3-1）和式（4-3-3），即可得出如下结论：在上图所示的闭环系统，不能由实验数据来辨识出模型的阶数。
二、闭环参数可辨识性条件
另一问题是如果模型阶数已知，能否由实验数据来估计A、B、C的参数呢？结论是有条件的。如不满足一定的条件，参数亦是不可辨识的。以下讨论闭环系统的参数可辨识条件。
假设{ε(k)}为零均值白噪声
A(z-1)=1+a1 z-1+…+a n a z- n
B(z-1)=b1 z-p+ b2 z-p-1+…+b n b-p+1 z- n b( n b≥ 0 )
C(z-1)=1+c1 z-1+…+c n c z- n c
D(z-1)=d0+d1 z-1+…+d n d z- n d
F(z-1)=1+f1 z- 1+…+f n f z- n f( n f≥ 0 )
并且假设: b1≠ 0 , 时滞p ≥ 1 , 而且D(z-1)和F(z-1)之间没有公共因子。将式（4-3-2）代入式（4-3-1），得出闭环方程：
[ A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)]y(k) = C(z-1) F(z-1)ε(k) 式（4-3-4）
假定[ A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)]与C(z-1) F(z-1)之间无公共因子，即反馈不造成零极点相消。
式（3-3- 4）表明闭环系统{y(k)}与{ε(k)} 间呈典型的自回归滑动平均（ARMA）的关系，可以表示成
M(z-1)y(k)=H(z-1)ε(k) 式（4-3-5）上式中的算子多项式
M(z-1)=1+m1 z-1+…+m n m z- n m
H(z-1)=1+h1 z-1+…+h n h z- n h
可以用ML法或ELS法估计出模型式（4-3-5）的参数m i和h i。由H(z-1)= C(z-1) F(z-1)
而C(z-1) 是z-1的n c次多项式，F(z-1) 是z-1的n f次多项式，所以有：n h = n c + n f
因为n f ≥ 0 ，故n h ≥ n c。H(z-1)中包含有n h个参数，C(z-1)中包含有n c个参数，F(z-1) 是已知量，所以由估计的H(z-1) 一定能够求解出C(z-1) 。
由M(z-1)= A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)
等式的两边阶次相等，得出n m 等于( n a + n f ) 和( n b + n d) 两者中较大的那个。M(z-1)中有n m个参数，而A(z-1)和B(z-1) 共包含( n a + n b –p+1)个参数，在F (z-1)和D(z-1) 为已知的条件下，要由M(z-1) 求解出A(z-1) 和B(z-1) ，必需满足n m≥ n a + n b –p+1
由此得出闭环参数可辨识的条件为：
n f≥ n b –p+1式（4-3-6）
或者n d≥ n a –p+1式（4-3-7）
如若以上两个条件之一能够被满足，则A(z-1) 、B(z-1)和C (z-1) 的参数可以辨识。因此，式（4-3-6）和式（4-3-7）给出闭环系统参数可以辨识的充分条件。
以下讨论更复杂的情况：当闭环系统的反馈回路存在随机干扰{w(k)}，或者有外加(可测)激励信号{R(k)} 情况下（见下图）的参数可辨识性问题.
W(k)/F(z-1)
（1）先讨论反馈通道有随机干扰W(k) 的情况，假设{w(k)}亦为正态零均值白噪声序列，而且{w(k)}与{ε(k)}不相关。这时的控制量由下式决定：F(z-1) u(k) = D(z-1) y(k) + w(k)式（4-3-8）
将上式代入式（4-3-1），得出
[ A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)]y(k) = C(z-1) F(z-1)ε(k) + + B(z-1) w(k) 可改写成
M(z-1)y(k)=B(z-1)w(k) + H(z-1)ε(k) 式（4-3-9）式（4-3-9）为由两个彼此独立的白噪声激励的ARMA模型，用ELS或ML方法可以得出参数估计出M、B和H。
由H(z-1)= C(z-1) F(z-1) 和n f ≥ 0 的条件可知，H(z-1)的阶次一定不小于C(z-1) 的阶次，故由H(z-1)可得出C(z-1) 。
由M(z-1)= A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)
同样有M(z-1)的阶次肯定不小于A(z-1)的阶次，现在F、D和B均已知，由M也一定可解出A(z-1)。因此，在w(k)≠0 的条件下，参数a I 、b I 和c i一定可辨识，而不受条件式（4-3-6）和式（4-3-7）的制约。
（2）闭环系统有外加激励信号R(k)的情况，假设{R(k)}满足持续激励条件，控制量u(k)由下式决定：
[u(k)-R(k)]F(z-1)=D(z-1) y(k)式（4-3-10）
代入式（3-3-1），得出闭环方程
[A(z-1)F(z-1)-B(z-1)D(z-1)]y(k) = B(z-1)F(z-1)R(k)+C(z-1) F(z-1)ε(k) 可改写为M(z-1)y(k) =L(z-1)R(k)+H(z-1)ε(k) 式（4-3-11）上式为典型的CARMA模型，由{y(k)}和{R(k)}可以估计出M(z-1)、L(z-1)和H(z-1)。由于M(z-1)、L(z-1)和H(z-1)的阶次分别肯定不小A(z-1)、B(z-1)和C(z-1) 的阶次。故由前者的估计量能求出参数a I 、b I 和c I
的估计量，而不受条件式（4-3-6）和式（4-3-7）的制约。
三、仿真举例
系统模型为
y(k)+1.4y(k-1)+0,45y(k-2)=u(k-1)+0.7u(k-2)+ε(k)
该例中：n a = n b = 2，p = 1, 噪声{w(k)}与{ε(k)} 为彼此不相关的N (0,1) 正态白噪声。数据量N=200。
在下表中列出了四种反馈规律的参数在线辩识的结果。
上表结果表明：情况1和3因为w(k)≠0，保证了参数的可辩识性；情况2虽然w(k)=0，但是式（4-3-7）条件得以满足，即：n d= 2 ≥（n a –p+1=2），所以参数估计与真值一致。情况4不满足条件，参数估计不收敛于真值。
四、对闭环可辨识性讨论
1．闭环条件下激励信号{ u(k) }中包含的信息比开环时少，导致可能
出现闭环下的参数不可辨识的问题。
2．闭环参数可辨识的必要条件：
n f≥ n b –p+1式（4-3-6）
或者n d≥ n a –p+1式（4-3-7）
如果n = n a = n b , m = n f = n d , p = 1，则以上条件可合并概括为为m ≥ n , 即：反馈通道的阶次不低于正向通道的阶次。
3．时滞p大，有利于闭环可辨识性。
4．如果存在外激励信号R(k)，或者反馈通道中有干扰存在，参数是可辨识的。还有其他的保证闭环的可辩识措施，如在辨识过程中对反馈回路进行切换，改变反馈规律等等。
《系统辨识》大作业 学号：12051124 班级：自动化1班 姓名：张青 信息与控制工程学院自动化系 2015-07-11
第一题 模仿index2，搭建对象，由相关分析法，获得脉冲响应序列?()g k ，由? ()g k ，参照讲义， 获得系统的脉冲传递函数()G z 和传递函数()G s ;应用最小二乘辨识,获得脉冲响应序列? ()g k ;同图显示两种方法的辨识效果图；应用相关最小二乘法，拟合对象的差分方程模型；构建时变对象，用最小二乘法和带遗忘因子的最小二乘法，(可以用辨识工具箱) 辨识模型的参数，比较两种方法的辨识效果差异; 答：根据index2搭建结构框图： 相关分析法：利用结构框图得到UY 和tout 其中的U 就是题目中要求得出的M 序列，根据结构框图可知序列的周期是 1512124=-=-=n p N 。 在command window 中输入下列指令，既可以得到脉冲相应序列()g k ：
aa=5;NNPP=15;ts=2; RR=ones(15)+eye(15); for i=15:-1:1 UU(16-i,:)=UY(16+i:30+i,1)'; end YY=[UY(31:45,2)]; GG=RR*UU*YY/[aa*aa*(NNPP+1)*ts]; plot(0:2:29,GG) hold on stem(0:2:29,GG,'filled') Grid;title('脉冲序列g(τ)') 最小二乘法建模的响应序列 由于是二阶水箱系统，可以假设系统的传递函数为2 21101)(s a s a s b b s G +++= ，已知)(τg ，求2110,,,a a b b
系统辨识作业一 学院信息科学与工程学院专业控制科学与工程 班级控制二班 姓名 学号
2018 年 11 月 系统辨识 所谓辨识就是通过测取研究对象在认为输入作用的输出响应，或正常运行时 的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。 辨识的内容主要包括四个方面： ①实验设计； ②模型结构辨识； ③模型参数辨识； ④模型检验。 辨识的一般步骤：根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集 数据；然后进行模型参数和结构辨识；最终验证获得的最终模型。 根据辨识方法所涉及的模型形式来说，辨识方法可以分为两类：一类是非参 数模型辨识方法，另一类是参数模型辨识方法。 其中，非参数模型辨识方法又称为经典的辨识方法，它主要获得的是模型是 非参数模型。在假定过程是线性的前提下，不必事先确定模型的具体结构，广泛 适用于一些复杂的过程。经典辨识方法有很多，其中包括阶跃响应法、脉冲响应法、相关分析法和普分析法等等，本次实验所采用的辨识方法为阶跃响应法和脉 冲响应法。 1．阶跃响应法 阶跃响应法是一种常用非参数模型辨识方法。常用的方法有近似法、半对数法、切线法、两点法和面积法等。本次作业采用面积法求传递函数。 1.1面积法 ① 当系统的传递函数无零点时，即系统传递函数如下： G(S) = + ?11?1+?+ 1+1 (1-1) 系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取 微分方程的系数来辨识系统的传递函数。在求得系统的放大倍数K后，要得到无 因次阶跃响应y(t)(设τ=0)，其中y(t)用下式描述： () ?1 () (1-2) 面积法原则上可以求出n为任意阶的个系数。以n为3为例。有： 3() 2() () {| →∞ =| →∞ =| →∞ = 0 (1-3) ()| →∞ = 1
最小二乘法在系统辨识中的应用 王文进 控制科学与控制工程学院 控制理论与控制工程专业 2009010211 摘要：在实际的工程中，经常要对一个系统建立数学模型。很多时候，要面对一个未知的系统，对于这些未知系统，我们所知道的仅仅是它们的一些输入输出数据，我们要根据这些测量的输入输出数据，建立系统的数学模型。由此诞生了系统辨识这门科学，系统辨识就是研究怎样利用对未知系统的输入输出数据建立描述系统的数学模型的科学。系统辨识在工程中的应用非常广泛，系统辨识的方法有很多种，最小二乘法是一种应用及其广泛的系统辨识方法。本文主要讲述了最小二乘估计在系统辨识中的应用。 首先，为了便于介绍，用一个最基本的单输入单输出模型来引入系统辨识中的最小二乘估计。 例如：y = ax + （1） 其中：y、x 可测，为不可测的干扰项，a未知参数。通过N 次实验，得到测量数据y k和x k ，其中k=1、2、3、…，我们所需要做的就是通过这N次实验得到的数据，来确定未知参数a 。在忽略不可测干扰项的前提下，基本的思想就是要使观测点y k和由式（1）确定的估计点y的差的平方和达到最小。用公式表达出来就是要使J最小： 确定未知参数a的具体方法就是令： J a = 0 , 导出 a 通过上面最基本的单输入单输出模型，我们对系统辨识中的最小二乘法有了初步的了解，但在实际的工程中，系统一般为多输入系统，下面就用一个实际的例子来分析。在接下来的表述中，为了便于区分，向量均用带下划线的字母表示。 水泥在凝固过程中，由于发生了一系列的化学反应，会释放出一定的热量。若水泥成分及其组成比例不同，释放的热量也会不同。 水泥凝固放热量与水泥成分的关系模型如下： y = a0+ a1x1+…+ a n x n + 其中，y为水泥凝固时的放热量（卡/克）；x1~x2为水泥的几种成分。
一、 最小二乘法（LS ） 辨识系统Z(K+2)=1.5*Z(K+1)-0.7*Z(k)+u(K+1)+0.5*u(k)+v(k) 辨识参数 L T L L T L LS y X X X 1)(-Λ =θ 其中 MAT 程序 >> x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; >> n=403; >> M=[]; >> for i=1:n temp=xor(x(4),x(9)); M(i)=x(9); for j=9:-1:2 x(j)=x(j-1); end x(1)=temp; end >> v=randn(1,400); >> z=[]; >> z(1)=-1; >> z(2)=0; >> for i=3:402 z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); end >> H=zeros(400,4); >> for i=1:400 H(i,1)=-z(i+1); H(i,2)=-z(i); H(i,3)=M(i+1); H(i,4)=M(i); end >> Estimate=inv(H'*H)*H'*(z(3:402))' 辨识参数为： Estimate = -1.4916
1.0364 0.4268 >> 二、最小二乘递推法（RLS） 辨识Z(K+2)=1.5*Z(K+1)-0.7*Z(k)+u(K+1)+0.5*u(k)+v(k) 递推公式： 其中： MATLAB程序： >> x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; n=403; M=[]; for i=1:n temp=xor(x(4),x(9)); M(i)=x(9); for j=9:-1:2 x(j)=x(j-1); end x(1)=temp; end v=randn(1,400); z=[]; z(1)=-1; z(2)=0; for i=3:402 z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); end P=100*eye(4); Pstore=zeros(4,401); >> Pstore(:,1)=[P(1,1),P(2,2),P(3,3),P(4,4)]; >> Theta=zeros(4,401); Theta(:,1)=[3;3;3;3]; >> K=[10;10;10;10];
系统辨识作业 学院： 专业： 姓名： 学号： 日期：
系统辨识作业： 以下图为仿真对象 图中，v(k)为服从N(0,1)正态分布的不相关随即噪声，输入信号采用循环周期Np>500的逆M 序列，幅值为1，选择辨识模型为： )()2()1()2()1()(2121k v k u b k u b k z a k z a k z +-+-=-+-+ 加权因子1)(=Λk ，数据长度L=500，初始条件取I P 610)0(= ，????????? ???=001.0001.0001.0)0(? θ 要求：（1）采用一次完成最小二乘法对系统进行辨识，给出数据u(k)和z(k)， 及L H ，L Z 和θ 和)?(θ J 的值。 （2）采用递推最小二乘法进行辨识，要给出参数收敛曲线以及新息)(~k Z ，残差)(k ε，准则函数)(k J 随着递推次数K 的变化曲线。 （3）对仿真对象和辨识出的模型进行阶跃响应对比分析以检验辨识结果的实效。 1、一次完成法对系统进行辨识： 估计L T L L T L LS Z H H H 1)(?-=θ ，其中 []2121,,,b b a a LS =θ ????? ? ??????=L L Z Z Z Z 21 ????????????------------=????????? ???=)2()1()2()1()0()1()0()1()1()0()1() 0()()2()1(L u L u L z L z u u z z u u z z L h h h H L 一次完成算法对系统辨识的Matlab 程序见附录: 部分输入、输出数据如下，全部的输入输出数据用图1.1所示 输入数据u(k)=Columns 1 through 16 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
最小二乘参数估计 摘要： 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l T l ΦΦΦ-∧=1θ。 最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。 关键词： 最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录： 1.目的 (1) 2.设备 (1) 3引言 (1) 3.1 课题背景 (1) 4数学模型的结构辨识 (2) 5 程序 (3) 5.1 M 序列子函数 ................................................................................. 错误！未定义书签。 5.2主程序............................................................................................... 错误！未定义书签。 6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.目的 1.1掌握系统辨识的理论、方法及应用 1.2熟练Matlab 下最小二乘法编程 1.3掌握M 序列产生方法 2.设备 PC 机1台（含Matlab 软件） 3引言 3.1 课题背景 最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss ）在1795年提出：“未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最
系统辨识与自适应控制 学院： 专业： 学号： 姓名：
系统辨识与自适应控制作业 一、 对时变系统进行参数估计。 系统方程为：y(k)+a(k)y(k-1)=b(k)u(k-1)+e(k) 其中：e(k)为零均值噪声，a(k)= b(k)= 要求：1对定常系统（a=0.8,b=0.5）进行结构（阶数）确定和参数估计； 2对时变系统，λ取不同值（0.9——0.99）时对系统辨识结果和过程进行 比较、讨论 3对辨识结果必须进行残差检验 解：一（1）： 分析：采用最小二乘法（LS ）：最小二乘的思想就是寻找一个θ的估计值θ? ， 使得各次测量的),1(m i Z i =与由估计θ? 确定的量测估计θ??i i H Z =之差的平方和最小，由于此方法兼顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，因而对抑制误差是有利的。在此，我应用批处理最小二乘法，收敛较快，易于理解，在系统参数估计应用中十分广泛。 作业程序： clear all; a=[1 0.8]'; b=[ 0.5]'; d=3; %对象参数 na=length(a)-1; nb=length(b)-1; %na 、nb 为A 、B 阶次 L=500; %数据长度 uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i) yk=zeros(na,1); %输出初值 x1=1; x2=1; x3=1; x4=0; S=1; %移位寄存器初值、方波初值 xi=randn(L,1); %白噪声序列 theta=[a(2:na+1);b]; %对象参数真值 for k=1:L phi(k,:)=[-yk;uk(d:d+nb)]'; %此处phi(k,:)为行向量，便于组成phi 矩阵 y(k)=phi(k,:)*theta+xi(k); %采集输出数据 IM=xor(S,x4); %产生逆M 序列 if IM==0 u(k)=-1; else u(k)=1; end S=not(S); M=xor(x3,x4); %产生M 序列
作业1 如图1.1所示一阶系统，系统传递函数为G(s)=1/(0.1s+1)，如果采用M序列作为输入信号进行系统辨识，采用5级移位寄存器产生M序列作为输入信号，取M序列的时钟脉冲△=15ms，a=2辨识该系统的脉冲响应。并说明取5级移位寄存器合理与否。 图1.1 一阶RC系统 答: 1.解题步骤 1.初始化参数，设置模型参数，设置产生M序列的各个关键参数； 2.利用产生伪随机二进制序列信号的函数getPRBS产生M序列，并作为 系统输入； 3.通过系统模型，产生系统输出，并将输入输出画在同一图中； 4.计算系统输入输出相关函数R xy； 5.计算系统脉冲估计值ghat和系统真实脉冲输出g 2.程序清单 主程序 clc; close all; clear all; %% Initialization R = 100e3; % system initialization resistance=100k ohm C = 1e-6; % capacitance=1uf tc = R*C; % Time Constant % generate M-sequence n=5; a=2; % Level of the PRBS
del = 15e-3; % clock pulse period N=2^n-1; % Period of M sequence total=2*N; % Generate m-sequence using the 'getPRBS' function Out = getPRBS(n,a,del,total); % Generate response y(t) of the system s = tf('s'); G = 1/(tc*s+1); tf = total*del; tim = 0:del:tf-del; y = lsim(G, Out, tim); %plot input and output of the system figure stairs(tim,Out); axis([0 1.0 -2.5 2.5]); hold on plot(tim,y,'r'); hold off % Compute Rxy(i*del) sum = 0.0; Rxy = []; iDel_vec=[]; for i=1:N tau=i-1; iDel_vec=[iDel_vec;tau*del]; for j=1:N sum=sum+sign(Out(j))*y(j+tau); end Rxy_i = (a/N)*sum; sum=0.0; Rxy = [Rxy; tau Rxy_i]; end % Compute ghat & g ind = length(Rxy); C = -Rxy(ind, 2); S = (N+1)*a^2*del/N; Rxy_iDel = Rxy(:,2); ghat=(Rxy_iDel+ C )/S; ghat(1)=2*ghat(1); g = 10*exp(-10.*iDel_vec);
1请叙述系统辨识的基本原理（方框图），步骤以及基本方法 定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理论和方法。 辨识定义：辨识有三个要素——数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型 辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则 基本原理： 步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤：根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最后经过验证获得最终模型。 基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识——经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率响应、相关分析、谱分析法。参数辨识——现代辨识方法（最小二乘法等） 2随机语言的描述 白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。 谱密度： M 序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。 M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有M 序列都具有移位可加性 辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。 3两种噪声模型的形式是什么 第一种含噪声的被辨识系统数学模型0011()()()()n n i i i i y k a y k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0 ()()()T y k k v k ψθ=+。其中，()()()()()()()=1212T k y k y k y k n u k u k u k n ψ------????L L ，，，，，，， ) ()(2τδστ=W R +∞ <<∞-=ωσω2)(W S )}({k W Λ,2,1,0,)(2±±==l l R l W δσ2)()(σωω== ∑ ∞-∞=-l l j W W e l R S ???≠=≈+=?0 , 00,Const )()(1)(0ττττT M dt t M t M T R bit )12(-=P P N
系 统 辨 识 作 业 系统辨识作业： ?已知某系统为单输入/单输出系统，其测量噪声为有色噪声，分布未知。 现给出一个实验样本(如下表所示)，求该系统模型。 说明： 可采用GLS ，ELS ，IV 等，要定阶，要比较仅用RLS 的计算结果 一、问题分析 在估计模型参数时需要已知模型的阶数，但是由于本系统模型阶数也是未知的，所以本系统需要先由输入/输出数据通过辩识得出系统的阶数。然后根据辨识的系统阶数再分析求解系统模型。 二、模型阶数的辨识 按照品质指标“残差平方总和”定阶，如高阶系统模型相应的系数为零，则可退化成相应的低阶系统即低阶模型可视为高阶模型的特例。理论上高阶模型的精度不低于低阶模型，但是考虑到计算机的舍入误差的影响，过高的阶数亦能引起模型精度的下降。一般说低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高，但是代价亦大。根据逼近的观点，定阶往往是考虑多种因素的折衷。定阶一般是按照假设——检验的步骤进行的，检验过程中往往带有主观成分。 一般说来低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高。残差平方总和J(n)是模型阶数的函数 在不同的模型阶数的假设下，参数估计得到的J(n)值亦不同。定阶的最简单办法是直接用J(n)。设模型阶数的“真值”为n 0 ,当n < n 0 时随着n 的增加，J(n)值将明显的下降；而当n ≥ n 0 时随着n 的增加，J(n)值变化将不显著。因此，由J(n)曲线随着n 的增加最后一次陡峭下降的n 值定做n 的估计值。用数理统计的检验方法，判断n 的增加使得J(n)值改善是否明显。 讨论如下 (1).当n=1时程序如下: clear u=zeros(100,1);%构造输入矩阵 z=zeros(100,1);%构造输出矩阵 u=[-0.93249 0.34935 0.76165 -0.9964 -0.38894 -0.12288 0.021565 -0.49555 -0.61624 -1.912 0.22207 -0.31231 -0.17866 -1.8356 -0.26472 1.7642 -1.0418 1.1146 -2.0856 0.8152 1.5094 -0.5822 0.61097 0.35521 2.5907 1.5843 -0.9603 -0.27341 0.39947 0.17493 -1.7451 0.8112 1.2645 1.5682 0.63959 -0.47757 0.99697 0.058774 -0.16174 -1.2928 -0.04722 0.73182 -0.19644 0.091783 -1.1908 -0.90716 0.85388 0.33836 0.74074 0.54181 0.15676 -0.50569 -0.17521 1.3255 -2.488 0.50261 -1.1533 0.36407 0.65283 -0.05983 ∑=-=N k T K k y n J 12 ) )(()(θ?
系统辨识方学习总结 一．系统辨识的定义 关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观 测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。L.Ljung也给 “辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。出了一个定义： 二．系统描述的数学模型 按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。经典控制理论中微 分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程 和离散状态空间方程也如此。一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控 制论中则采用时域状态空间方程建模。 三．系统辨识的步骤与内容 (1)先验知识与明确辨识目的 这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。首先从各个方面尽量的了解待辨识的 系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。 对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。 (2)试验设计 试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度 的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。主要涉及以下两个问 题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔 (3)模型结构的确定 模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的， 对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。为了讨论模型和类型和结构的选择，引 入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。所谓模型结 构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。在单输入单 输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。当具有一定阶次的模型的所有参 数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。 (4)模型参数的估计 参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶 段就称为模型参数估计。
西北工业大学系统辩识大作业 题目：最小二乘法系统辨识
一、 问题重述： 用递推最小二乘法、加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法辨识如下模型的参数 离散化有 z^4 - 3.935 z^3 + 5.806 z^2 - 3.807 z + 0.9362 ---------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 噪声的成形滤波器 离散化有 4.004e-010 z^3 + 4.232e-009 z^2 + 4.066e-009 z + 3.551e-010 ----------------------------------------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 采样时间0.01s 要求：1.用Matlab 写出程序代码； 2.画出实际模型和辨识得到模型的误差曲线； 3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线； 最小二乘法: 在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态 ,静态 , 线性 ,非线性系统。在使用最小二乘法进行参数估计时 ,为了实现实时控制 ,必须优化成参数递推算法 ,即最小二乘递推算法。这种辨识方法主要用于在线辨识。MATLAB 是一套高性能数字计算和可视化软件 ,它集成概念设计 ,算法开发 ,建模仿真 ,实时实现于一体 ,构成了一个使用方便、界面友好的用户环境 ,其强大的扩展功能为各领域的应用提供了基础。对 4324326.51411.5320120232320 Y s s s s G U s s s s ++++== ++++432 120120232320 E N W s s s s == ++++
论文 系统辨识 姿态角控制 1.系统辨识概述 辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。系统辨识正是适应这一需要而形成的，他是现代控制理论中一个很活跃的分支。社会科学和自然科学领域已经投入相当多的人力去观察、研究有关的系统辨识问题。 系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示可观系统（或将要改造的系统）本质特征的一种演算，并用这个模型吧对客观系统的理解表示成有用的形式。当然可以刻有另外的描述，辨识有三个要素：
数据，模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。 通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。通常，预先给定一个模型类{}M（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则(,)JLyyM（一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函）；然后选择是误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的 一、控制对象 本文采用了控制不同电机转速组合的方法，对四轴旋翼蝶形飞行器进行姿态控制，使四旋翼蝶形飞行器在不同姿态下飞行时具有较好的性能。为了实现四轴旋翼蝶形飞行器的飞行控制，对飞行的控制系统进行了初步的设计，并给出了设计流程。同时利用matlab对四轴旋翼
经典辨识方法报告 1. 面积法 辨识原理 分子多项式为1的系统 1 1 )(11 1++++= --s a s a s a s G n n n n Λ……………………………………………（） 由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似 1)() ()()(a 111=++++--t y dt t dy a dt t y d a dt t y d n n n n K ……………………………（） 面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。以n=3为例，注意到 1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dt t y dt t y dt t y …………………………（） 将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得 ?-=++t dt t y t y a dt t dy a dt t y d a 01223 )](1[)() ()(…………………………………（） 定义 ?-=t dt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（） 则由式（）给出的条件可知，在t →∞ ?∞ -=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（） 将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)() (a 201123 t F dt t y a t F t y a dt t dy t =-=+?…………………………………（） 利用初始条件（）当t →∞时 )(a 22∞=F …………………………………………………………………… （） 同理有a 3=F 3(∞) 以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞) 分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统
XXXXXXXXXX 系统辨识与自适应控制课程论文 题目：自适应控制综述与应用 课程名称：系统辨识与自适应控制 院系：自动化学院 专业：自动化 班级：自动化102 姓名： XXXXXX 学号: XXXXXXXXX 课程论文成绩： 任课教师： XXXXX 2013年 11 月 15 日
自适应控制综述与应用 一．前言 对于系统辨识与自适应控制这门课，前部分主要讲了系统辨识的经典方法（阶跃响应法、频率响应法、相关分析法）与现代方法（最小二乘法、随机逼近法、极大似然法、预报误差法）。对于系统辨识，简单的说就是数学建模，建立黑箱系统的输入输出关系；而其主要分为结构辨识（n）与参数辨识（a、b）这两个任务。 由于在课上刘老师对系统辨识部分讲的比较详细，在此不再赘述，下面讨论自适应控制部分的相关内容。 对于自适应控制的概念，我觉得具备以下特点的控制系统，可以称为自适应控制系统： 1、在线进行系统结构和参数辨识或系统性能指标的度量，以便得到系统当前状态的改变情况。 2、按一定的规律确定当前的控制策略。 3、在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。 二．自适应控制综述 1.常规控制系统与自适应控制系统比较 （1）控制器结构不同 在传统的控制理论与控制工程中，常规控制系统的结构主要由控制器、控制对象以及反馈控制回路组成。 而自适应控制系统主要由控制器、控制对象、自适应器及反馈控制回路和自适应控制回路组成。 （2）适用的对象与条件不同 传统的控制理论与控制工程中，当对象是线性定常、并且完全已知的时候，才能进行分析和控制器设计。无论采用频域方法，还是状态空间方法，对象一定是已知的。这类方法称为基于完全模型的方法。在模型能够精确地描述实际对象时，基于完全模型的控制方法可以进行各种分析、综合，并得到可靠、精确和满意的控制效果。 然而,有一些实际被控系统的数学模型是很难事先通过机理建模或离线系统辨识来确知的,或者它们的数学模型的某些参数或结构是处于变化之中的.对于这类事先难以确定数学模型的系统,通过事先整定好控制器参数的常规控制往往难以对付。 面对上述系统特性未知或经常处于变化之中而无法完全事先确定的情况,如何设计一个满意的控制系统,使得能主动适应这些特性未知或变化的情况,这就 是自适应控制所要研究解决的问题.自适应控制的基本思想是:在控制系统的运行过程中,系统本身不断地测量被控系统的状态、性能和参数,从而“认识”或“掌握”系统当前的运行指标并与期望的指标相比较,进而作出决策,来改变控制器的结构、参数或根据自适应规律来改变控制作用，以保证系统运行在某种意义下的最优或次优状态。按这种思想建立起来的控制系统就称为自适应控制系统。
方法一、最小二乘一次性算法： 首先对最小二乘法的一次性辨识算法做简要介绍如下： 过程的黑箱模型如图所示： 其中u(k)和z(k)分别是过程的输入输出，)(1-z G 描述输入输出关系的模型，成为过程模型。 过程的输入输出关系可以描述成以下最小二乘格式： )()()(k n k h k z T +=θ （1） 其中z(k)为系统输出，θ是待辨识的参数，h(k)是观测数据向量，n(k) 是均值为0的随机噪声。 利用数据序列{z （k ）}和{h （k ）}极小化下列准则函数： ∑=-=L k T k h k z J 12])()([)(θθ （2） 使J 最小的θ的估计值^ θ，成为最小二乘估计值。 具体的对于时不变SISO 动态过程的数学模型为 )()()()()(11k n k u z B k z z A +=-- （3） 应该利用过程的输入、输出数据确定)(1-z A 和 )(1-Z B 的系数。 对于求解θ的估计值^θ，一般对模型的阶次 a n ， b n 已定，且b a n n >；其次将（3）模 型写成最小二乘格式 )()()(k n k h k z T +=θ （4） 式中 ?????=------=T n n T b a b a b b b a a a n k u k u n k z k z k h ],,,,,,,[)](,),1(),(,),1([)(2121 θ （5）
L k ,,2,1 = 因此结合式（4）（5）可以得到一个线性方程组 L L L n H Z +=θ （6） 其中 ???==T L T L L n n n n L z z z z )](),2(),1([)](),2(),1([ （7） 对此可以分析得出，L H 矩阵的行数为),max(b a n n L -，列数b a n n +。 在过程的输入为2n 阶次，噪声为方差为1，均值为0的随机序列，数据长度)(b a n n L +>的情况下，取加权矩阵L Λ为正定的单位矩阵I ，可以得出： L T L L T L z H H H 1^ )(-=θ （8） 其次，利用在Matlab 中编写M 文件，实现上述算法。 此次算法的实现，采用6阶M 序作为过程黑箱的输入；噪声采用方差为1，均值为0的随机数序列；黑箱模型假设为：y(k)-1.5y(k-1)+0.7y(k-2)=2u(k-1)+0.5u(k-2)，则系统输出为Z(k)-1.5Z(k-1)+0.7Z(k-2)=2U(k-1)+0.5U(k-2)+n （k ）；模型的阶次2,2==b a n n ；数据长度取L=200。 程序清单如下见附录：最小二乘一次性算法Matlab 程序 运行结果如下： 图1 最小二乘一次性算法参数真值与估计值 其中re 为真值，ans 为估计值^ θ 结果发现辨识出的参数与真值之间存在细微误差，这是由于系统噪声以及数据长度L 的限制引起的，最小二乘辨识法是一种无偏估计方法。 方法二、最小二乘递推算法： 最小二乘一次性算法计算量大，并且浪费存储空间，不利于在线应用，由此引出最小
系统辨识大作业 最小二乘法及其相关估值方法应用 学院：自动化学院 学号： 姓名：日期：
基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究 一、实验原理 1.最小二乘法 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。 设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为 (5.1.1) 式中:为随机干扰；为理论上的输出值。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。的观测值可表示为 (5.1.2) 式中:为随机干扰。由式(5.1.2)得 (5.1.3) 将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得 (5.1.4) 我们可能不知道的统计特性，在这种情况下，往往把看做均值为0的白噪声。 设 (5.1.5) 则式(5.1.4)可写成 (5.1.6) 在观测时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。因此假定不仅包含了的测量误差，而且包含了的测量误差和系统内部噪声。假定是不相关随机序列(实际上是相关随机序列)。 现分别测出个随机输入值，则可写成个方程，即 上述个方程可写成向量-矩阵形式 (5.1.7) 设 则式(5.1.7)可写为
(5.1.8) 式中：为维输出向量；为维噪声向量；为维参数向量；为测量矩阵。因此式(5.1.8)是一个含有个未知参数，由个方程组成的联立方程组。如果，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。如果，方程组正好与未知数数目相等，当噪声时，就能准确地解出 (5.1.9) 如果噪声，则 (5.1.10) 从上式可以看出噪声对参数估计是有影响的，为了尽量较小噪声对估值的影响。在给定输出向量和测量矩阵的条件下求系统参数的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法来求的估值，以下讨论最小二乘法估计。 2.最小二乘法估计算法 设表示的最优估值，表示的最优估值，则有 (5.1.11) 写出式(5.1.11)的某一行，则有 (5.1.12) 设表示与之差，即 - (5.1.13)式中 成为残差。把分别代入式(5.1.13)可得残差。设 则有 (5.1.14) 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指数函数 (5.1.15) 为最小来确定估值。求对的偏导数并令其等于0可得 (5.1.16) (5.1.17)
系统辨识与自适应控制读书报告 1、概述 20世纪60年代，自动控制理论发展到了很高的水平。与此同时，工业大生产的发展，也要求将控制技术提高到更高的水平。现代控制理论的应用是建立在已知受控对象的数学模型这一前提下的，而在当时对受控对象数学模型的研究相对较为滞后。现代控制理论的应用遇到了确定受控对象合适的数学模型的各种困难。因此，建立系统数学模型的方法——系统辨识，就成为应用现代控制理论的重要前提。在另一方面，随着计算机科学的飞速发展，计算机为辨识系统所需要进行的离线计算和在线计算提供了高效的工具。在这样的背景下，系统辨识问题便愈来愈受到人们的重视，成为发展系统理论，开展实际应用工作中必不可少的组成部分。 “系统辨识”是研究如何利用系统试验或运行的、含有噪声的输入输出数据来建立被研究对象数学模型的一种理论和方法。系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。 自适应系统利用可调系统的输入量、状态向量及输出量来测量某种性能指标，根据测得的性能指标与给定的性能指标的比较，自适应机构修改可调系统的参数或者产生辅助输入量，以保持测得的性能指标接近于给定的性能指标，或者说测得的性能指标处于可接受性能指标的集合内。自适应系统的基本结构如图1所示。图中所示的可调系统可以理解为这样一个系统，它能够用调整它的参数或者输入信号的方法来调整系统特性。 未知扰动已知扰动 图1 自适应系统的基本结构 2、系统辨识的方法
Harbin Institute of Technology 系统辨识与自适应控制 实验报告 题目：渐消记忆最小二乘法、MIT方案 与卫星振动抑制仿真实验 专业：控制科学与工程 姓名： 学号： 15S004001 指导老师： 日期： 2015.12.06 哈尔滨工业大学 2015年11月
本实验第一部分是辨识部分，仿真了渐消记忆递推最小二乘辨识法，研究了这种方法对减缓数据饱和作用现象的作用； 第二部分是自适应控制部分，对MIT 方案模型参考自适应系统作出了仿真，分别探究了改变系统增益、自适应参数的输出，并研究了输入信号对该系统稳定性的影响； 第三部分探究自适应控制的实际应用情况，来自我本科毕设的课题，我从自适应控制角度重新考虑了这一问题并相应节选了一段实验。针对挠性卫星姿态变化前后导致参数改变的特点，探究了用模糊自适应理论中的模糊PID 法对这种变参数系统挠性振动抑制效果，并与传统PID 法比较仿真。 一、系统辨识 1. 最小二乘法的引出 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为： ()()()()()101123n n x k a x k a k n b u k b u x k n k +-+?+-=+?+-=，，，， (1.1) 错误！未找到引用源。 式中:()u k 错误！未找到引用源。为控制量；错误！未找到引用源。为理论上的输出值。错误！未找到引用源。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。错误！未找到引用源。的观测值错误！未找到引用源。可表示为： 错误！未找到引用源。 (1.2) 式中:()n k 为随机干扰。由式(1.2)得 错误！未找到引用源。 ()()()x k y k n k =- (1.3) 将式(1.3)带入式(1.1)得 ()()()()()()()101111()n n n i i y k a y k a y k n b u k b u k b u k n n k a k i n =+-+?+-=+-+?+ -++-∑ (1.4) 我们可能不知道()n k 错误！未找到引用源。的统计特性，在这种情况下，往往把()n k 看做均值为0的白噪声。 设 错误！未找到引用源。 (1.5)