“悖论”（paradox）
“悖论”（paradox）一词常见诸报端，其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”。从逻辑上看，悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真，那么会推出这个语句为假；反之，如果假定这个语句为假，又会推出这个语句为真。说它对也不是，不对也不是，真是左右为难。
语义学悖论举例
悖论古已有之。一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”。《新约全书·提多书》是这样记述的：
克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎，乃是恶兽，又馋又懒。”这个见证是真的。
这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）。后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为：
我正在说谎。
这句话是真的，还是假的？ 如果是句真话，由这句话的内容可知：说话者正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果这句话是假的，说假话就是说谎，这句话的内容正是“我正在说谎”，因此这句话又是真的。
后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种，例如所谓“说谎者循环”：
A说：“下面是句谎话。”
B说：“上面是句真话。”
“说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念，这类悖论被称为“语义学悖论”。语义学悖论的实例很多，“格列林
（K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味，它与形容词的应用有关：
将形容词分为两类，一类称为“自谓的”，即可对于它们自身成立、对自己为真的。例如，形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的，“English（英文的）”本身是英文的，它们都是自谓的。另一类称为“它谓的”，即对于它们自身不成立、对自己不真的。例如，形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的，因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的，因为这个词是中文的而不是英文的。问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的？
得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的，那么会推出“它谓
的”不是它谓的，反之亦然。导致了自相矛盾。
集合论悖论与公理化
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”。集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N= {n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是
把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。然而，在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。与此同时，还发现了其他集合论悖论，最著名的是1901年的“罗素悖论”：
把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，自然数集N本身不是一个自然数，因此N是正常集。）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。）每个集合或者为正常集或者为异常集。设V为全体正常集所组成的集合，即V={x：x?埸x}，那么V是不是正常集？
如果V是正常集，由正常集的定义知V?埸V，又因V是全体正常集的集合，所以正常集V∈V，但这说明V不是正常集，是异常集；反之，如果V 不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知V∈V，这说明V是全体正常集组成的集合V的元素，因而V又应该是正常集。
罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的，如果把数学建立在集合论的基础之上，将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕，这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆。一石激起千层浪，一场关于数学基础问题的论战爆发了。
在这场论战中，最为激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉
主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。与此相反，另一些数学家走上了改良的道路，他们试图亡羊补牢，对集合论加以适当的修正，以避免悖论。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。概括原则可表述为：满足性质P的所有对象可以组成一个集合S，即S={x：P（x）}，其中的P（x）意为“x 具有性质P”。这就认定了任何性质可以决定一个集合，于是前述的F 和V名正言顺地成了集合，悖论也应运而生。
在公理集合论的ZF系统中，用如下的“分离原则”取代了概括原则：若C是一个集合，则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x：x∈C且 P（x）}，即在C是集合的前提下，任何性质可以决定它的一个子集。公理化的结果是：只有正常集才能成为集合，异常集则不能，F 和V都不是集合，罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免。
就公理集合论能避免已有的集合论悖论，并在此基础上可以进一步发展数学而言，它是成功的。遗憾的是，人们并不能证明公理集合论系统的相容性，即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾。此外，现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”，但这又将导致某些违背人们直觉的怪论（例如“分球怪论”）。因此，公理集合论的处理方式，尤其是选择公理的使用，仍有进一步讨论的必要。
对悖论的一些深入探讨
罗素悖论的发现，也促进了对于悖论（包括语义学悖论）成因的深入思考。1905—1906年间，庞加莱在《数学与逻辑》一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断。所谓非直谓定义是指：借助于一个总体来定义一个概念（或对象），而这个概念（或对象）本身又属于这个总体。这种定义是循环的（罗素称为“恶性循环”），或者说是“自我涉及”的。例如，异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此。因为，F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的，而F本身又是这一总体中的一员。考察语义学悖论，也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹。例如，“说谎者循环”就是A，B两个人的话彼此循环，而格列林-纳尔逊悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义，则涉及了形容词对于自身的真假。
1931年，塔尔斯基（A.Tarski）在《形式化语言中的真概念》一文中，提出了“语言层次”的理论。虽然这一理论主要是针对形式语言的，但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义。塔尔斯基认为，日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达式，又包含了陈述这些语言表达式语义性质（例如“真”、“假”）的语句。这是语义悖论产
生的根源。要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义，就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言（称为“对象语言”），而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言（称为“元语言”）。“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假，混淆了语言的层次而造成的。
1975年，当代著名逻辑学家克里普克（S.A.Kripke）在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案。其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词（“真”或“假”）的语句，必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句。例如，要判
断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假，就要看“净水是无色透明的”这句话对不对，后一句话不包含真值谓词，并且它的对错是可以判断的，因此，前一句话是有根的。只有有根的语句才可以判断其真假，无根的语句则不行。“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的，这是悖论的基本特征。
新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响，语言逻辑学家注意到：许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义，也与说话时的语境（包括语言使用者）等语用因素密切相关。以“说谎者悖论”为例，当某人
说“我正在说谎”时，这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言。但是，“‘我正在说谎’是假的”这一语句，却不能在同样的语境中陈述，陈述它的是另一种语境。因此，悖论的根源不在于“自我涉及”，而是因为不同的语境。只要分清每一句话的语境，许多所谓
的“悖论”就不再是真正的悖论了。
悖论的意思是什么 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《悖论的意思是什么》的内容，具体内容：悖论的意思：悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐...悖论的意思： 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 英文解释 [数] antinomy;paradox ; [paradox] 逻辑学和数学中的矛盾命题 定义 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
性质 悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。 根源 悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 解悖 悖论与解悖只要运用对称逻辑，没有一个悖论无解。悖论是表面上同一命题或推理中隐函着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 用对称逻辑思维层次法解"说谎者悖论" 这个悖论即"我在说谎"这句话中所蕴含的悖论。这个悖论表面上由"我在说谎"和"我说实话"这两个对立的"命题"组成，实际上这两个"命题"并不等价——前一个命题包含思维内容，后一个"命题"只是前一个命题的语言表达式，因此后一个"命题"不是
名词解释： 社会政策：是直接足以满足社会成员的基本需要，特别是弱势群体成员的基本需要，维护社会公平和稳定，增加国民的福祉为目标的公共政策。 政策：是国家、政党、公司或其他组织为实现某种目标通过正式同意和选择而制度的各种行动准则和行动路线，以及在这些准则和路线的指导下为达到既定的目标而采取的行动。 公共政策：是国家或政府为了实现全体公民的共同利益而选择和制定的各种政策，，包括各种行动准则和行动路线，以及在这些准则和路线的指导下为达到既定的目标而采取的行动。 社会福利：政府或国通过各种制度安排为国民提供的生活上的帮助，目的是使人们能够达到幸福、快乐、富足和良好的生存状态。 需求：指在特定条件下人们现实的、可以指望得到满足的需要（关信平）指身体上、心理上、经济上以及从社会和文化方面对生存、幸福和满足的要求(杨伟民） 个人需求： 塔尔的共同需要理论： （1）定义基于人的生存和发展的、为所有人所具有的需要 （2）内容①物质条件②个人发展③情感变化④智力形成⑤人际关系和精神需求学者们一致认同人类的某些基本需要是社会必须满足的，属于一种“刚性”的需要。对“刚性”需要的满足是制定社会政策的重要依据。同时这些基本需要随着社会的发展而不断变化，又表现出一定的弹性。 社会政策行动的效率：研究社会政策投入和社会政策产出的数量及其对比关系，研究影响或制约社会政策运行效率的主客观因素，探讨提高社会政策行动效率的方法和措施，以最大限度的发挥有限的社会政策资源的效用，满足社会成员的社会福利需求。 社会倾销：所谓“社会倾销”是指一个高工资的工业化国家进口相对低廉的外国产品，而这些产品之所以廉价是因为出口国没有提供合理的工资、利益及对工人其他方面的保护。（百度） 社会需求：指社会作为一个有机整体要存在和发展必须具备的前提条件，是由所有社会成员作为一个整体共同提出的，而不是哪一个或哪一些社会成员单独或分布提出的需要。一般来说包括社会整合、社会稳定和社会发展。 课件参考：1、社会整体的需要 2、社会作为一个整体；个体的某些需要应该被看作社会需要来对待 资产为本的社会政策：资产社会政策是当代社会科学领域里的一个新理论。由美国华盛顿大学的迈克尔·谢若登教授在《资产与穷人》一书中首次提出，“凡是广泛的和普遍的促进公民和家庭尤其是穷人获得不动产和金融资产以增进他们的福利的方案、规则、法规法律，都属于资产社会政策”。（知网） 思考题： 1.社会政策与公共政策、社会保护、社会工作的关系。 社会政策与公共政策的关系： 1、联系 1）近年来，越来越多的学者认为社会政策与公共政策只是用词不同，他们的发
对于悖论存在及其意义的探究 摘要：悖论的存在已有数千年历史,悖论到底如何定义的?是为什么会存在的?历史上人们又是怎么对待悖论的?悖论能够怎样被解决?悖论的存在又有什么意义?这一切问题都需要我们深入思考研究。 关键词:悖论；逻辑哲学；存在；本体论；形而上学 一、什么是悖论？ 在人类思想史上，已经提出了各种各样的谜题与悖论，它们对人类理智构成了严重的挑战，许多大家、巨擘以及无名氏前仆后继地对其进行了艰辛的探索。从古希腊、中国先秦时期到现代数学、逻辑学等众多学科中，已经发现了各种各样的悖论或怪论，悖论已经成为数学、逻辑学、哲学、语言学、计算机科学、思维科学等多学科专家共同探讨的课题，谈论“悖论”几乎成为时髦。那么,到底什么是悖论呢?悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一词，来自希腊语paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 二、悖论与逻辑哲学 说谎者悖论被认为是世界上最早的悖论,由公元前六世纪的哲学家克利特人艾皮米尼地斯提出:“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这个悖论最简单的表述形式是:“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。悖论的存在显然是因为某些命题正在逻辑上存在不合理性从而引起了众多学者的探究。 虽然逻辑不能等同于逻辑哲学，但是逻辑哲学基本上是和逻辑同时产生的，任何逻辑学家都在无形中进行着对逻辑哲学的研究。尤其是对于数学这样的极其讲究严密的逻辑性的研究领域，逻辑哲学的研究根本无法避免。著名的“罗素悖论”的出现甚至引起了第三次数学危机。所谓的罗素悖论是罗素针对当时建立不久的集合论体系提出的一个基础上存在的矛盾：“定义两个集合：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A?A} 。问题：Q∈P 还是 Q?P？”。显然，无论是指定哪个判断为真，最后都能够推断出与其相反的结论。为了使其更容易被理解，罗素悖论又被称为“理发师悖论”：“有一个理发师说：‘我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸’”。那么这个理发师要不要给自己刮脸呢？无论他怎么做，最后都一定会违背自己当初的话。 悖论的流行引发了世界上的思想风暴。越来越多的人认识到我们现有社会中存在的不完美，思维方式不能再局限于既定逻辑，而要尝试打破规则，因为悖论的存在充分说明了现有的规则有着无法忽视的漏洞，甚至会动摇社会根基。 三、悖论与本体论 西方哲学从古希腊开始一直以研究世界的本原为己任, 形成了西方哲学的本体论传统。本体论的最主要特征就是研究存在问题, 即关于什么样的实体存在, 以及作为实体在资格
圣彼得堡悖论概述 圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。 圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一 矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。 圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的“近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。 实验的论文解释 丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在１７３８年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：１、边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。 ２、最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
2． 5 龟兔赛跑悖论 古希腊哲学家(数学家)Zeno 提出关于运动的4个悖论，是针对当时的对时空的两种对立观点： 1. 时空无限可分（故运动是连续的平稳的）； 2. 时空由不可分的小段组成（故运动是不连续的，跳动的，象放电影似的）。 Zeno 的第二悖论：领先者无法被追上。 Zeno 原话：“Achilles （希腊的神行太保）追不上乌龟”。 演绎成如今的“龟兔赛跑悖论”： 设乌龟跑步速度50 m/分，兔子跑步速度100 m/分，乌龟领先100 m ，现赛跑开始。兔子跑了100 m 追到乌龟的领先点，乌龟已经又领先50 m ，兔子再跑了50 m 追到乌龟的第二领先点，乌龟又领先25 m ，如此一直无限追下去，兔子永远追不上乌龟？ Zeno 的上述第二悖论是攻击“时空无限可分”的哲学观点的。 即：若时间无限可分，从而有限时间含无限段，无限段时间无法走完。 或者：若空间（长度）无限可分，从而有限空间含无限段，无限段无法走完。 事实上，兔子追了n 次后， 用时： 11111...2(1)222 n n n t -=+++=-(2)<，2n t →分钟， 行走距离：11001001100...200(1)(200)222 n n n s -=+++=-<，200n s →m 。 将2分钟时段分解成无限段：111{1,,...,,...}22 n -，每时段内追不上。 将200m 长度分解成无限段：1100100{100,,...,,...}22 n -，每段内追不上。 但跨过2分钟时间界限（或跨过200 m 的距离界限），兔子就追上乌龟了。 事实上，有限时间2分钟内可以跨越有限长度200 m 的无限可分的无限段。 Aristotle 在驳斥Zero 时也指出：无限性有两种意义：无限可分与无限宽广。有限时间内是可以接触可分意义上无限的东西。 参考书：《古今数学思想》，第一册，P40－42. ? ? ? ? ? 龟 兔 100m 150m 175m
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。 1=2？史上最经典的“证明” 设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。 这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面： 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + … = 0 + 0 + 0 + …
世界十大著名悖论。 来自: 哔。黑猫警嫂。(Dream maker, heart breaker.) 2011-11-30 18:34:34 十个著名悖论的最终解答 （一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应
假设：有一个人，他有一种奇怪的色盲症。他看到的两种颜色和别人不一样，他把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色。 但是他自己并不知道他跟别人不一样，别人看到的天空是蓝色的，他看到的是绿色的，但是他和别人的叫法都一样，都是“蓝色”；小草是绿色的，他看到的却是蓝色的，但是他把蓝色叫做“绿色”。所以，他自己和别人都不知道他和别人的不同。 问：怎么让他知道自己和别人不一样？ 注：有人说让他水彩画画，比如说画蓝天绿草，他画出来的肯定是绿天蓝草，而别人的是蓝天绿草。 这个回答是错误的，因为：画蓝天时，他脑中想的是绿色，而他拿起的笔也是他脑中的绿色，也就是别人眼中的蓝色，所以他画出来的仍然是大家眼中的蓝天绿草。———————————————————————————————————————— 下面是我见过的一些的解法，由浅到深一一罗列出来，逐个分析。注：为了方便区分，以下凡是用英语标出的颜色，是脱离概念的，是人眼中感觉到的颜色，例如他听到“蓝色”这个词，脑海中浮现的是Green，然后拿起了蓝笔。
1. 首先，这并不是某些人认为的“低水准问题”，以为拿个绿色的牌牌，告诉他“这是绿色”就OK了？人家本来就把绿色的牌牌叫做“绿色”，还用你告诉？像某安焱那种自以为是又到处鄙视别人的，大家无视。2. 有相当一部分人认为他画的就应该是“绿天蓝草”，认为题目的那个“注”是错的。所以我有必要把那个注解再解释一下： 题目说的很清楚，正常的“蓝色”在他眼中是“Green”，但由于这个倒霉蛋对颜色的认知是从别人得来，所以在他口中依然是“蓝色”。 也就是说，正常的“蓝色”，无论是颜色还是字符，他都称之为“蓝色”，只是在他眼中是Green。 结论来了，蓝色的天空、蓝色的画笔、“蓝”这个概念，在他眼里都是同一种颜色（Green）。 同样也有，绿色的草地、绿色的画笔、“绿”这个概念，在他眼里也是同一种颜色（Blue）。 所以让他画天，他心里想的是Green，当然就会拿蓝笔，口中说的也是“拿蓝笔”这句话。绿草也是一样，他画草的时候会拿绿笔。 3. 然后再排除部分人的那种相当不负责任的做法：“给他个绿色的东西，告诉他，这个其实叫做蓝色” 这根本不可行，他完全不知道自己与常人不同，也无法从眼中观察到。
公共政策分析 题目 b. 界定政策问题 题目2公共政策的主体 正确答案是：包括各种具有法定权威性的公共部门 题目 正确答案是：外部性 题目4控制社会、经济运行的两大并行力量是 正确答案是：市场和政府 题目5下列属于当代公共政策的基本特征的是 正确答案是：政策的合法性受到更多重视 题目1自下而上的分析方法将政策的执行过程看成是从最高的行政机构开始发出并层 层传递所形成的命令序列。该方法从最初的命令开始，逐层分析每一次发出的命令被执行的程度及其原因，并由此来分析政策执行过程是否理想。 正确的答案是“错”。 题目2政策执行包括三个阶段，政策执行的准备阶段，政策执行的实施阶段，政策执 行的总结阶段 正确的答案是“对”。 题目3社会问题产生的根源在于社会的实际状态与社会期望之间的差距。 正确的答案是“对”。
题目4豪伍德与彼得斯所谓的政策病理是指政策分析人员常常因为他们解决的是错误的问题而导致失误，而非因为他们为正确的问题找到了一个错误的方案。政策分析中最致命的错误是第三类错误，即当应该解决正确的问题时，却解决了错误的问题。 正确的答案是“错”。 题目5一般认为，能够被公众认可、接受、遵从和推行的政策就是具有合法化的政策，而使政策能被公众认可、接受、遵从和推行的过程就是政策的合法化过程。包括政治系统自身的合法化和公共政策的合法化两个层次。 正确的答案是“对”。 知识点自学1——公共政策分析的含义 政策分析是对政府行为的动因和结果的解释。应当关注解释（Explanation）而不是开处方（Prescription）（戴伊） 政策分析是一种客户导向性建议，这些建议与公共决策有关，并反映了社会价值。（韦默、维宁） 知识点自学2——公共政策的功能 公共政策的功能 ?导向功能:价值和事实等导向 ?控制功能：制约或促进社会人的行为和事件的发展 ?协调功能：协调各方利益关系 ?象征功能：符号意义，不产生实质性效果 知识点自学3——公共政策分析的主要类型和代表人物 公共政策的类型 依照领域或管理部门而划分：产业政策、农业政策、教育政策等 依实际的效果而划分：实体性政策和程序性政策 依照政策的功能而划分：分配性、规执行和再分配性政策
老虎悖论是博弈论中一个著名的逻辑悖论。 故事 国王要处决一个囚犯，但给他一个生还的机会。囚犯被带到5扇紧闭的门前，其中一扇后面关着一只老虎。国王 对囚犯说：“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是，在你没有打开关着老虎的那扇门之前，你是无法知道老虎是在那扇门后。”显然，如果囚犯有可能在打开有老虎的那扇门前知道，就证明国王在撒谎，那么就可以活命。开门之前，囚犯进行了如下分析：假如老虎在第五扇门，那当他把前四扇门打开后都没发现老虎，那他肯定猜到老 虎在第五扇门中，因国王说过不论何时他也料不到老虎在哪扇门后，那国王的说话就错了。因此，老虎肯定不在 第五扇门中。同样道理，老虎也不在第四道门中，否则囚犯打开三道门后，只剩两道门，老虎既不在第五扇门后，那就会给他料到在第四扇门后；依次类推，老虎不存在任何一道门后；囚犯这时就不再多想，冒冒失失依次推门，结果老虎从第二扇门中跳了出来，把囚犯咬死了。国王看见了说：“不是跟你说了老虎在哪扇门后总是出乎你的意料了吗？现在你就是万料不到了。” 悖论分析 如果囚犯的推理成立，那么就算国王把老虎放在第五扇门后，也是“料想不到”，学者们争论的重点在于：这个推理究竟错在第几步？ 1.主张错在第一步 如果第一步是正确的，那么后面几步为什么是错的？所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。 首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”)，如果投机猜测算的话，那国王不论怎样放都不能保证不被猜中，所以带投机成分的猜测不能算“知道”（国王为了自身利益也会这么定义），设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推
理”，那么囚犯不仅要正确预测老虎，还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况，即 囚犯已知必有1老虎。作为囚犯，他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理，如果能推出老虎是在即将打开的门 里就赢了，如果不能推出，他就只能打开这个门，如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎，依此类推。 然后，把问题从5个门简化为只有2个门，囚犯会在打开第一个门之前，对第一个门里是否有老虎做逻辑推理： 由于囚犯要引用国王的思路，故须先考虑国王思路是否是会错。 A.如果相信国王是不会错的，那么你不可能推测出第一个门里有没有，因为如果推测出就说明国王会错，所以在 这个前提下不可能知道。囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。 B.如果相信国王是会错的： 囚犯首先认为国王放第二个门是错的，但国王既然是会错的，他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢？ 所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据，无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要 打开第一个门。 因此，国王应且只应放到第一个门中，则国王必胜。 推广到n个门的情况，只要国王不把老虎放到最后一个门，则国王必胜，囚犯必败。 2.主张错在第二步 故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但，国王并不知道囚犯是否会这样，所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”，那么在前四扇门都没有老虎之后，第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。 既然老虎在第五扇门的话，它一定是“可预料的”，那么当你已经开了三扇空门时，情况是怎么样？我们可以试着写成逻辑式子：前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时，可预料。前提三、老虎不在第五扇门时，就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时，可预料。结论：前提互相矛盾。 请注意：这时的逻辑推理中，既然前提互相矛盾，必定有一个以上不成立，那么可能性就是以下四个其中之一、 或是更多： A.老虎可预料。 B.老虎如果在第五扇门时，不可预料。 C.老虎不在第五扇门时，也不一定在第四扇门。 D.老虎如果在第四扇门时，不可预料。 二和四自身是矛盾命题，不考虑，三会导致老虎变成薛定谔的猫，也就是既存在亦非存在的状态（囚犯把老虎往 前门推是错误的，因为前提中包含“已经开了三扇空门”）。所以可能性只有一个：老虎可预料。但若老虎可预料，那么显示国王说谎，如果国王可能说谎，那么老虎也真的有可能消失。 这时的正确结论是：国王一定说谎，但他的谎言可能是“老虎可预料”，却也可能是“根本没老虎”，囚犯只是偏心于 一个可能性，结果帮国王圆谎罢了。 3.主张错在最后一步 如果“不可预料”并不是一种保证，而只意味“高机率”，“有老虎”才是保证，那么情况又整个改观。可以列成以下状况：
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
上帝悖论 上帝悖论意为“上帝不是万能的”。几个世纪前，罗马教廷出了一本书，书中用当时最流行的数学推论，导出“上帝是万能的”。一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝在力量方面不是万能的。如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝在创造力方面不是万能的。 理论来源 说法一：文艺复兴时，人文主义者曾说过一句很经典的话来攻击天主教。就是：“让上帝造一块自己也搬不动的石头。”这话听起来很好，恨不得给他鼓掌放花。因为天主教宣称上帝全知全能，所以如果上帝能造出这块石头，则他连块石头都搬不动还称什么全知全能。而如果上帝造不出来这种石头，那他连块石头都造不出来还称什么全知全能。所以上帝必定不是全知全能的。 说法二：几个世纪前，罗马教廷出了一本书，书中用当时最流行的数学推论，导出“上帝是万能的”。一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的。如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。由此那位智者导出“上帝不是万能的”。 宗教解释 目前为止，在宗教徒中，最普遍，也最被认同的观点是：上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答中，大致指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。 但在无神论者看来：“这仍是一种循环论证、强词夺理的论辩，没有任何意义。首先假定了“上帝是全能”，再从中推出“上帝不是全能”，这是明显的循环论证套路！另外，无神论者也指出，“正方形的圆”并非悖论。事实上，边长为0的正方形，和半径为0的圆就是同一样东西。“正方形的圆”可以自圆其说。” 当然，也有的宗教性回答，“上帝自可一分为二，一号上帝搬不动的石头交给力气大的二号上帝来搬。”其实解答的方向在于对于上帝的认知。根据《圣经》的启示，《圣经》中描述的上帝是有性格、有目的的、有情感的，具有情感性与目的性导致上帝自身必然存在“喜好”，也就是说有些事情是他不会去做的。比如：《圣经》指出上帝无法撒谎、上帝是公义的、上帝是爱。如果按照这样的解释，那么上帝当然有权利原则永远不做某些事情。其次，我们对于“悖论”的理解，是在自己的知识范围内。试想蚂蚁能理解莫比乌斯环是立体的吗？所以要真正的提出一个本质意义上的“上帝悖论”，提问者本身必须先具备上帝层面的属性与
浅析说谎者悖论 摘要：如今，解决悖论成了逻辑学界的一大热门课题。本文将追本溯源，对悖论及说谎者悖论作简要分析及说明，说谎者悖论是历史上最古老的悖论，又是最典型的语义悖论。历史上学者们提出很多解决方案，而这些解决方案的都是不成功的，本文将针对说谎者悖论的实质作简要探讨。 关键字：谎言悖论，悖论，说谎者悖论 一谎言悖论的现象 1引言 大多数人一天要遭遇将近两百个谎言。谎言的无处不在或已超出一般人的想象。人们说谎的动机至少有九种。概括为进攻性和防御性动机，如为自身谋求优势，保护隐私等。谎言的无处不在引起我的好奇，进而激起我想一探究竟的欲望。然而谎言本身是更倾向于实实在在的知识，我比较感兴趣的是谎言悖论这种奇奇怪怪的知识。 2对悖论的说明 悖论是英文paradox或antinomy的中译。它来自希腊文的“para”和“doxa”，意思是“难以置信”。从字面上理解，悖论指的是荒谬的理论或者自相矛盾的语句或命题。《中国百科全书·哲学卷》对“悖论”的定义是：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题”。这类命题也可以表述为：“一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非等值。”《辞海》对“悖论”的定义是：“一命题B，如果承认B，又推得非B；反之。如果承认非B，又可推得B，则称命题B为——悖论。” 3对谎言悖论的界定 “谎言悖论”的表述形式，是要求断定语句“这句话是谎言”的“真”、“假”。而你只要试图完成这一任务，就会发现自己已经陷入了一个难以摆脱的矛盾怪圈：假如你断定该句为“真”，那便会推出该句是“假”；而倘若你断定该句为“假”，那便会据此推出该剧是“真”。
新书 架 一部关于公共政策的智慧之作 评德博拉-斯通的政策悖论! 顾建光 近年来,我国关于公共政策的研究与探讨与日俱增,但无论是就具体领域的公共政策制定,还是就总体的公共政策体系和方法的构建而言,均处于不甚完善的初创阶段。因此需要更多地借鉴国际上现有的研究成果。 美国公共政策领域的著名学者德博拉-斯通的政策悖论!一书自1988年首次发表以来已经连续出了3版,最近的版本是2002年的。此书已经被公认为是公共政策研究领域的一部具有重要学术地位的著作,并一直得到美国公共政策界的广泛好评。 纵观国际,当今公共政策领域与其他社会科学的领域一样,到处盛行的是实证倾向的?科学主义#。翻开大多数公共政策教科书,我们均可以目睹这样的风格。就公共政策分析方法来说,基于市场理论、经济学说以及计量的方法成为压倒性的潮流。单向的思维模式,无论看来多么有理,总有其局限性。尤其是,公共政策涉及公共的领域,或者用作者在该书中的用语来说,是有关共同体的范围,单一的实证、市场与经济的方法论基础未免片面和不足。拙见以为,本书的富有启示之点正在于超越实证的单向思维方式,为公共政策分析提供了较为宽广的多维视角。 该书作者对看来抽象、没有异议的公共政策分析作了具体的、深层面的理论剖析。在各个政策领域,无论是方法还是结论,均不会是单向而没有异议的。相反,公共政策领域处处存在着矛盾和悖论。在作者看来,悖论没什么,不过是给政策分析带来了麻烦。悖论会破坏逻辑的基本原则。这样的原则认为一个东西或者一件事情不能同时成为两个东西或两件事情,两种相互矛盾的解释亦不能同时为真。悖论就是这样的一种不可能的状况。然而,人们却发现,在政治生活中充满了这样的悖论。举例来说,如作者在书中所谈到的,政治家们通常至少有两个目标。第一个是政策目标,即他们乐于见到成就的某个项目或建议,他们乐于看到某个问题得到适当的解决。但也许更为重要的则是他们的政治目标。政治家们总是想要维持他们的权力,或者得到更多的权力,以便能够实现他们的政策目标。可见,作者的这种分析是紧贴政治实践和社会生活的。著作中的许多思想体现了作者深刻的洞察力,具有很大的启发性。无论是对于高等学校相关专业的学者、学生,对于进行政治决策的官员们,还是对于想要了解政策分析和政策制定过程的公民来说,阅读一下本书的内容均可以起到启发心智的效用。 与其他关于公共政策的著作的阐述不同,该书将公共政策分析与公共政策决策两者区分开来加以论述。该书着重分析了潜藏在各类政策分析背后的那些基本范畴,比如:平等、效率、自由,乃至各种衡量尺度,并指出,这些范畴本身就可能是充满悖论的,而这些悖论常常要通过冲突的政治过程来予以消解。德博拉-斯通在书中还论证了一些主要的政策改革方法,它们涉及推动这类改革的动机、规则、诉求、法律权利以及权力机关的重组等等。而这些是要比政策工具的选择复杂得多的社会过程。 让我们在此先了解一下作者的基本观念和思路。 按照政策科学这个新兴学科领域的传统,政策分析被还原成了纯粹的理性思考、理性分析。然而,实际决策往往是?偏离#纯粹的理性分析的。按照理性的分析来说,每一件事情都有一个也仅有一个清楚的含义。事情也许都要么好要么坏,要么大要么小,要么多要么少。理性分析的一个标志在于找到一共同的指称,即一个用以测度和判断的标尺。作者在本书中所持的是对这种传统观点的批判态度,并且希望在政策分析方面具有更多的悟性和人性因素。 作者认定,有四个理由可以说明世界需要?政策悖论#。 首先,理性是人类思考和感知的一个狭隘概念,人们常常不可避免地陷于悖论。不过,人们还是可以生活在歧义和悖论之中的。原因就在于,悖论之所以成为悖论,是因为从一种视野来看待问题的结果。假如我们能够跳出一个视野,我们就可以很好地与他人共处,而不会那么多地相互伤害。政治学就应该成为从不同视野出发来相互帮助的一种方式。作者意在构建一种新的政策分析模型,它能够接受政治学作为一种有价值的创造性的过程。 其次,政策分析领域已经成为了一个由经济学及其将
关于贝特朗悖论 从法国学者贝特朗(JoSePh Bertrand)提出贝特朗悖论"至今，已经过了一个多世纪。在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流…… 首先来看一下贝特朗悖论： 在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率?此问题可以有三种不同的解答： ⑴由f???可预先指定弦的方向???Sf此方 向的直径，只有交直径f 1/4点与3/4点间的弦J 其长才大于内接正三角形边也所有交点是等可能的 '则所求概率为1/2 * (3)弦被其中点位置唯一确定. 只有当弦的中 (2〕由干对■称性T可预先固定弦 的—端"仅当弦与过此端点的切线的 交角在60°?120°之间，其长才合乎 要求?所有方???可能的，则所求 概率为1/3 * 点落在半径缩小了—半的同心圆(圆内接正三 角形的内切凰)内,其长才合乎要求?设中点 位置都是等可能的'则所求概率为H 面对同一问题的三种不同的答案。人们往往这样 来解释: 得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了 不同的等可能性假设：
在第一种解法中则假定弦 的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。 三个结果都正确！一一这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。 显然这样的解释是不正确的。 上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的, 但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心： 第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。这样，圆心一一这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。 有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。 而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程 中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
集合论中罗素悖论问题 1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。 平时我们熟悉的大多数集合都不是自身的成员：例如自然数集合,有理数集合,实数集合,集合{1,2,3,4,5,6},N就表示所有这类集合作为元素的新集合. 而是自身成员的集合相对少见：例如所有集合的集合. 将所有集合分为两类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A} Q={A∣A?A} 问,Q∈P 还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A?A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾.若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=?,所以Q?Q,还是矛盾.这就是著名的“罗素悖论”. 1 有些集合以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是集合，所以也是自己的元素。【1】 2 可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设A为第一类集合的全体组成的集合。如果A是第一类集合，由集合A的定义知: A应该是A的元素，这表明A是第二类集合。如果A是第二类集合，那么A不会是它自身的元素，这表明A是第一类集合。【2】 3 萨维尔村里有个理发匠。他给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。请问：这位理发师该不该给自己刮脸？【3】 以上例子被认为是以自己为元素的集合，由此产生罗素悖论。我们分析一下。