限时规范训练
A 组——高考热点强化练
一、选择题
1.设0<a <b <1,则下列不等式成立的是( )
A .a 3>b 3
B.1a <1b C .a b >1 D .lg(b -a )<a
解析:∵0<a <b <1,∴0<b -a <1-a ,
∴lg(b -a )<0<a ,故选D.
答案:D
2.已知a ,b 是正数,且a +b =1,则1a +4b ( )
A .有最小值8
B .有最小值9
C .有最大值8
D .有最大值9
解析:因为1a +4b =? ??
??1a +4b (a +b )=5+b a +4a b ≥5+2b a ·4a b =9,当且仅当b a =4a b 且a +b =1,即a =13,b =23时取“=”,所以1a +4b 的最小值为9,故选B.
答案:B
3.若变量x ,y 满足约束条件??? x +y ≥-1,
2x -y ≤1,
y ≤1,
则z =3x -y 的最小值为( ) A .-7
B .-1
C .1
D .2
解析:画出可行域如图中阴影部分所示,平移直线3x -y =0,可知直线z =3x -y 在点A (-2,1)处取得最小值,故z min =3×(-2)-1=-7,选A.
答案:A
4.若对任意正数x ,不等式1x 2+1≤a x
恒成立,则实数a 的最小值为( )
A .1 B. 2 C.12 D.22
解析:依题意得当x >0时,a ≥x 1+x 2恒成立.又因为1+x 2x =x +1x ≥2x ×1x =2,当且仅当x
=1x >0,即x =1时取等号,1+x 2x 的最小值为2,x 1+x 2
的最大值是12,所以a ≥12,a 的最小值是12,故选C.
答案:C
5.若x ,y 满足??? x -y ≤0,
x +y ≤1,
x ≥0,
则z =x +2y 的最大值为( ) A .0
B .1 C.32 D .2
解析:由x ,y 满足??? x -y ≤0,
x +y ≤1,
x ≥0,可得所表示的可行域如图所示.
又∵z =x +2y ,∴y =-12x +12z ,
∴目标函数在x =0与x +y -1=0的交点处取得最大值.
∵??? x +y -1=0,x =0,∴???
x =0,y =1.
∴z max =0+2×1=2.
答案:D 6.不等式组??? 5x +3y ≤15,
y ≤x +1,
x -5y ≤3
表示的平面区域的面积为( ) A .7
B .5
C .3
D .14
解析:作出可行域如图所示.
可得A ? ??
??32,52,B (-2,-1),所以不等式组 ??? 5x +3y ≤15,
y ≤x +1,
x -5y ≤3
表示的平面区域的面积为12×4×52+12×4×1=7,故选A.
答案:A 7.若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( )
A .若a >b ,则ac 2>bc 2
B .若a <b <0,则a 2>ab >b 2
C .若a <b <0,则1a <1b
D .若a <b <0,则b a >a b
解析:选项A 错,因为c =0时不成立;选项B 正确,因为a 2-ab =a (a -b )>0,ab -b 2=b (a
-b )>0,故a 2>ab >b 2
;选项C 错,应为1a >1b ;选项D 错,因为b a -a b =b 2-a 2ab =(b +a )(b -a )ab <0,所以b a <a b .
答案:B
8.已知函数f (x )=???
x +2,x ≤0,-x +2,x >0,
则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A .[-1,1]
B .[-2,2]
C .[-2,1]
D .[-1,2] 解析:法一:当x ≤0时,x +2≥x 2,
∴-1≤x ≤0,①
当x >0时,-x +2≥x 2,∴0 由①②得原不等式的解集为{x |-1≤x ≤1}. 法二:作出函数y =f (x )和函数y =x 2的图象,如图,由图知f (x )≥x 2的解集为[-1,1]. 答案:A 9.已知x ,y 满足条件??? x -y +5≥0, x +y ≥0, x ≤3, 则z =y -1x +3的最大值为( ) A .2 B .3 C .-23 D .-53 解析:不等式组对应的平面区域是以点(3,8),(3,-3)和? ????-52,52为顶点的三角形,在点? ?? ??-52,52处z 取得最大值3,故选B. 答案:B 10.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A .80元 B .120元 C .160元 D .240元 解析:设底面矩形的一条边长是x m ,总造价是y 元,把y 与x 的函数关系式表示出来,再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知,体积V =4 m 3,高h = 1 m ,所以底面积S =4 m 2,设底面矩形的一条边长是x m ,则另一条边长是 4x m ,又设总造价是y 元,则y =20×4+10×? ?? ??2x +8x ≥80+202x ·8x =160,当且仅当2x =8x ,即x =2时取得等号,故选C. 答案:C 11.若ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2,或x >4},则对于函数f (x ) =ax 2+bx +c 应有( ) A .f (5) B .f (5) C .f (-1) D .f (2) 解析:∵ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2,或x >4},∴a <0,而且函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象的对称轴方程为x =4-22=1,∴f (-1)=f (3).又∵函数f (x )在[1,+∞)上是减函数, 16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1). (2). (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式: (2). (3). (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等. 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 (2018新课标全国Ⅱ理科)设函数 . (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 样题2 (2018新课标全国Ⅲ理科)设函数 . (1)画出()y f x =的图象; (2)当[)0x +∞∈,,,求a b +的最小值. 【解析】(1)()y f x =的图象如图所示. 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 (1), >>?>; a b b c a c (2),c >>?+>+; a b d a c b d (3)0,c0 >>>>?>. a b d ac bd (合成后为必要条件) 2.同解变形 >?+>+; (1)a b a c b c (2)0,0, >?>>?<<; a b c ac bc c ac bc (3)11 000a b b a >>? >>?>>. (变形后为充要条件) 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-< (二).含绝对值的不等式 (1)0,||a x a a x a >>-<<;0,||,a x a x a x a >>?>><-或 (2)22||||a b a b >?> (3)||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 (1)222a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =) (2)0,0, 2 a b a b +>>≥a b =) ; 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号) ①几何意义:||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广:22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立. 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 . 【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 . 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元,即: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数,则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =). 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=,1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=,则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含 已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时; 若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x (II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31< 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 专题16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1) a b a b . (2)a b a c c b . (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明 . (1)柯西不等式的向量形式: ||||||.(2) 22222()(+)()a b c d ac bd . (3)222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7.会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等 . 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 (2017新课标全国Ⅰ理科)已知函数 2–4()x ax f x ,11()x x g x ||||. (1)当a =1时,求不等式 ()()f x g x 的解集;(2)若不等式()()f x g x 的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法, 也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. 基本不等式 基本不等式知识 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2.(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 5.若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++, 33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取等) 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x (3)(理科)已知+∈R y x ,,且满足232x y =,则x y +的最小值为( ) A .1 B .2 C .6 D .4 (4)已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ,则c b a 31211++的最小值为 (5)若b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2 ,则y x ,的大小关系是 (6)若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值 1.函数y =log 2(x +1x -1 +5)(x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-4 技巧二 凑系数 例2 当40< 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=L (1)调和平均数:12111n n n H a a a = +++L (2)几何平均数:12n n n G a a a =L (3)代数平均数:12n n a a a A n +++= L (4)平方平均数:222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===L 特别的,当2n =时,22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1))2,0a b ab a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两个2x ,则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲
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