第十一章 机械波和电磁波
三. 计算题
1. 一横波沿绳子传播时的波动方程式为 0.05cos(104)y t x ππ=- (SI)。 （1）求此波的振幅、波速、频率和波长；
（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；
（3）求x=处的质点在t=1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位 （4）分别画出t=1s ，，各时刻的波形。
解：（1）原波动方程式可改写为 0.05cos10)2.5
x
y t =-
π（ (SI) 由波动方程式可知A =，ν=5Hz ， 2.5/u m s =，u
=
λν
=，00?= （2）0.5 1.57/m v A m s ωπ===，222
549.3/m a A m s ωπ===
（3）x =处质点在t =1s 时的相位为(0.2,1)(10140.2)9.2?πππ=?-?= 与t 时刻前坐标原点的相位相同，则(0,)(1040)9.2t t ?πππ=?-?= 得t =
（4）t =1s 时，0.05cos(104)0.05cos 4()y x x m πππ=-=
t =时，0.05cos(12.54)0.05sin 4()y x x m πππ=-= t =时，0.05cos(154)0.05cos 4()y x x m πππ=-=-
分别画出其波形图如下图所示：
图4
2. 设有一平面简谐波 0.02cos 2()0.010.3
t x
y π=- (SI)。 （1）求其振幅、波长、频率和波速。 （2）求x=处质点振动的初相位。
解：（1）由波动方程有A =，λ=，ν=100Hz ，00?=，且30/u m s λν==
（2）0
0.1
00.122()0.010.33
x π
?π==-=-
3. 已知一沿x 轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s 时的波形如图4所示，且周期T=2s 。 （1）写出O 点和P 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P 点离O 点的距离。
解：解：由波形曲线可得A =，λ=，且0.2/u m s T
λ
=
=，2/rad s T
π
ωπ=
= （1）设波动表达式为0cos[()]x y A t u
ω?=-+ 由图可知O 点的振动相位为23
π
，即1003
2()3
3
Ot t s t π
π?ω??==+=
+=
得O 点的初相03
π
?=
所以O 点的振动表达式为0.1cos()()3
O y t m π
π=+
同样P 点的振动相位为013
[()]
3
0.2
3
2
P
Pt t s x x t u
==-+=
-
+
=-
ππ
π
π
?ω?，得
7
0.2330
P x m m =≈（）
图1
所以P 点的振动表达式为50.1cos()()6
P y t m =-π
π （2）波动表达式为0.1cos[(5)]()3
y t x m π
π=-+
（3）P 点离O 点的距离为7
0.2330
P x m m =≈（）
三. 计算题
1. 一平面简谐声波的频率为500Hz ，在空气中以速度u=340m/s 传播。到达人耳时，振幅A=10-4
cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=m 3
）。 解：人耳接收到声波的平均能量密度为22631
6.3710/2
w A J m ρω-=
=? 人耳接收到声波的声强为3
2
2.1610/I wu W m -==?
2. 一波源以35000W 的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为×10-15
J/m 3
，求该处离波源的距离。电磁波的传播速度为×108
m/s 。 解：设该处距波源r ，单位时间内通过整个球面的能量为2
4P SA S r π== 则4(4)(4) 3.4510r P S P wu m ππ=
==?
3. 一列沿x 轴正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=时的波形如图1所示。试求： （l ）P 的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O 点的振动曲线。
解：由图1中的波形曲线可知A =，
1T s =， 0.6m =λ，1T s =，1
1Hz T
ν=
=， 0.6/u m s λν==
图1（1）
由P点的振动状态知
02
P
π
?=-，故P点
的振动表达式为0.2cos(2)()
2
P
y t m
π
π
=-
（2）由O点的振动状态知
02
O
π
?=，故O点的振动表达式为0.2cos(2)()
2
O
y t m
π
π
=+
所以波动表达式为
10
0.2cos[2()]0.2cos(2)()
0.6232
x
y t t x m
ππ
πππ
=-+=-+
（3）O点的振动曲线如下图所示
三．计算题
1．同一介质中的两个波源位于A、B两点，其振幅相等，频率都是100Hz，相位差为π，若A、B两点相距为30m，波在介质中的传播速度为400m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
1．解：建立如下图所示的坐标轴，根据题意，设
A
?=，
B
?π
=，且4
u
m
λ
ν
==
在A、B间任选一点C，两波在C点引起的振动分别为
cos[()]cos()
AC A
x x
y A t A t
u u
ω?ω
=-+=-
()
cos[()]
BC
x L
y A t
u
-
=++
ωπ
两振动使C点静止的相位差应为(21)
C BC AC
k
???π
?=-=+
即
()2
[()]()(2)(21)
x L x
t t x L k
u u
π
ωπωππ
λ
-
++--=-+=+
解得 215,0,1,2,,7x k k =+=±±±L
即AB 连线间因干涉而静止的点距A 点为（1,3,5,…,29）m ，共有15个。
在A 、B 两点外侧连线上的其他任意点，比如D 点和E 点，A 、B 两相干波的传播方向相同，并且在这些点处均为同相叠加，是干涉加强区域，所以在A 、B 两点外侧的连线上没有静止点。
2．两个波在一很长的弦线上传播，设其波动表达式为
10.06cos (0.020.8)2
y x t π
=- 20.06cos
(0.020.8)2
y x t π
=+
用SI 单位，求：（1）合成波的表达式；（2）波节和波腹的位置。
解：（1）ω=πrad/s ，U=40m/s,λ=200m ，将两波改写成如下形式
120.06cos(0.4)200y t x =-
ππ，220.06cos(0.4)200
y t x =+π
π 则合成波为122(2cos )cos 0.12cos0.01cos0.4y y y A x t x t =+==π
ωππλ
这是个驻波。
（2）波节有cos0.010x π=
0.01(21)
2
x k π
π=+
故波节位置为 50(21),0,1,2,x k m k =+=±±L
波腹有 cos0.011x π=
0.01x k ππ=
故波腹位置为100,0,1,2,x k m k ==±±L
3．（1）火车以90km/h 的速度行驶，其汽笛的频率为500Hz 。一个人站在铁轨旁，当火车从他身旁驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大设声速为340m/s 。
（2）若此人坐在汽车里，而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h 的速率迎着火车行驶。试问此人听到汽笛声的频率为多大
解：设声波在空气中传播的速率为u ，波源（汽笛）的频率为ν，波源（火车）运动的速
率为39010/25/3600S m s m s υ?=
=，观察者的运动速率为3
5410/15/3600
R m s m s υ?==。 当波源和观察者沿两者的连线运动时，观察者接收到的频率为R
R S
u u +=-υννυ （1）火车向着观察者运动时观察者接收到的频率为
1340
(
)()50054034025
S S u Hz Hz u ννυ==?=-- 火车远离观察者运动时观察者接收到的频率为
2340
(
)50046634025
Hz Hz ν=?=+
则频率变化为1274Hz ννν?=-= （2）车中的观察者接收到的频率为
34015
500563.534025
R S S u Hz Hz u υννυ++=
=?=--