合理配餐数学建模

2012济南大学大学生数学建模竞赛

摘要

随着生活的发展，日常膳食营养结构的调整越来越受到人们的重视，没有一种食物含有所有的营养素，而人体是需要多种营养素共同作用的有机体，如何合理配餐来满足人体的需要成了最受关注的问题。合理营养可维持人体的正常生理功能,促进健康和生长发育,提高机体的劳动能力、抵抗力和免疫力,有利于某些疾病的预防和治疗。缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病(肥胖症和动脉粥样硬化等)。根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类(碳水化合物)、无机盐(包括微量元素)、维生素和膳食纤维。对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。

本文对合理配餐问题进行了研究并建立了该问题的数学模型。以中国居民膳食指南为科学依据，综合考虑中国人的生活饮食习惯、食物营养特点、营养卫生需求以及大众经济水平，通过求解模型为不同年龄、不同性别人群制定出具有可选择性和可执行性的一日三餐的平衡膳食方案。

通过互联网我们获得了一些常见食物的营养成分、成分含量与近期价格的资料（表8）以及不同年龄不同性别的人均营养日需求量表（表9）。并且了解到，从营养科学的角度来讲，能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态，热能及各种营养素满足人体生长发育、生理及体力活动的需要，且各种营养素之间保持适宜比例的膳食，叫平衡膳食。科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间的偏差不超过10%是合理的。因此，根据这种理念，我们先作出了一些合理的假设，然后以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到居民消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型。代入一组具体数据，求解这个模型，得出一组相应的食物摄入量（表1），可以看出其中干豆坚果类与油脂类摄入量均为0，结果不太合理。

同时实际情况中，人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较

大差异，因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件。平衡膳食宝塔（图1）给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围，一份食谱中各类事物的摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的。鉴于此，我们对模型Ⅰ进行了改进，定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，以所需花费最少和营养摄入合理度最高为目标函数。对这个多目标规划，我们采用熵值法将多个目标加权组合形成一个新的目标，考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将模型Ⅰ优化成一个线性规划模型Ⅱ。我们给定3组权值，得出3组饮食方案(表5)。通过与标准值的对比，能够看出模型Ⅱ的解已基本满足需求。

再考虑地区饮食习惯和营养卫生需求，进一步优化模型，引入是否摄入食物的0-1变量与0-1常量，对是否要吃，吃多少的问题根据地方特点进行约束。

根据实际情况，考虑湖南地区孕妇、婴幼儿（0~2岁）、学龄前儿童（2~7岁）、青少年（8~16岁）、老年人（55岁以上）、成年（16岁以上55岁下正常人群）的六大人群，分别考虑不同性别的情况。这些值通过0-1常量进行约束。我们给出不同约束，就能得到适合湖南地区的不同人群的一天的饮食方案。要使方案具有选择性，只需根据个人主观因素来调节相应的营养摄入合理度与消费合理度的权值。

对于新闻稿件，它的面向对象是广大居民，因此不能用太过专业的语言进行描述，而且居民关心的是该吃什么，并不是为什么要吃这些。所以我们以《中国居民膳食指南》为主，以我们模型解得的方案为辅，给出了有选择性的膳食建议。由于平衡膳食是一个极其复杂的问题，存在很多主观和客观的随机因素，所以在建模过程中不可避免会忽视某些次要因素。

本文所建立的模型可以推广应用于多资源分配的问题。其中0-1规划模型在实际生活中有着广泛的使用空间，如人员分配问题，车辆运输问题等等。

关键字：合理配餐,营养健康，节约用费，

第一部分问题的提出

合理营养是指适合各种情况(年龄、性别、健康状态等)的食物、营养素供给量和配比。合理营养可维持人体的正常生理功能,促进健康和生长发育,提高机体的劳动能力、抵抗力和免疫力,有利于某些疾病的预防和治疗。缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病(肥胖症和动脉粥样硬化等)。根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类(碳水化合物)、无机盐(包括微量元素)、维生素和膳食纤维。对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。

我国营养学会在2000年推荐了合理膳食的构成指标(见附件一)。请根据推荐指标以及价格等其他因素（根据情况自己选择）。

问题一：请建立营养配餐模型，针对3-4岁的年龄孩子及60-70岁老人提供合理的饮食配餐。

问题二：对于特殊需要的人群，比方说糖尿病人又该如何配餐，请查阅相关资料，建立营养配餐模型，。

问题三：请查阅食品的价格，从节约费用的角度重新给出上述问题的配餐模型。

说明：1.配餐时请从附录一中选择食物。

2.可以考虑部分的营养素。

第二部分问题分析

问题1的分析

根据所提供的2000年中国居民膳食营养素参考日摄入量表格我们了解到不同年龄段的人群对各种营养素的所需含量不同，通过对3-4岁的孩子及60-70岁老人提供合理的饮食配餐的研究，我们可以建立合理而且均衡的配餐模型。因此可以使人们更合理的膳食。

该问题属于数学中的最优化问题，解决这个问题首先我们建立一个以所食用食物的总量最少为目的的配餐模型一，一般数学方法是根据题目中所提供的各种食物的名称，按照各食物所含营养素的百分比提供营养，即各种食物所提供的营养素分别累加达到不同年龄阶段的人群所需营养素的标准值。这样就可以根据所研究营养素的种数列出相应个数的方程，转化为数学问题，以所列出方程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案。但是因为如果每种营养素都考虑这太过于复杂，计算机条件有限，所以求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，无机盐这五种营养素的约束。其中方框内为求解时未运用约束不等式及其解释。该问题我们还可以建立一个规划以所食用食品的种类最少为目的的配餐模型二.所列营养成分种类的方程（即约束条件）同模型一完全相同，只是目标函数为食品种类最少的配餐方案。预测结果模型一中以食品总量最少为目地的方案所涉及到的食品种类比较多，而模型二中以食品种类最少为目地，所得结果涉及到的食品种类比较少。两模型所得到的膳食方案都能达到合理膳食的效果。利用lingo函数解出相应的食品摄入种类和摄入量。

问题2的分析

该问题同问题一都是属于数学中的最优化问题，通过资料（详见附录四）我们了解到我国的糖尿病高发于45-50岁之间，因此我们可以以45岁的中劳动男性为例建立数学模型。解决该问题我们可以建立一个以所食用食物的总量最少为目的的配餐模型一，根据题目中所提供的各种食物的名称，按照所含营养物质的百分比提供营养成分，即各种累加达到该年龄的中劳动男性所需营养成分的标准值。根据所研究营养成分的种数列出相应个数的方程，同样转化为几何问题，以所列出方程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案。因为糖尿病人的特殊性因此求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，这四种营养素的约束。类比问题一我们还可以建立一个规划以所食用食物的总类最少为目的的配餐模型二.所列营养成分种类的方程（即约束条件）同模型I完全相同，只是目标函数为食品种类种类最少的配餐方案。预测结果合理膳食的食物种类有了一定程度的变化，例如，含糖成分高的水果及谷类食物会减少，含糖成分低的蔬菜和干豆类会增加。模型一和模型二因为目标函数的变化而得到食物种类不同的合理膳食方案。利用lingo函数解出相应的食物摄入量类和摄入种类。

问题3的分析

问题引入了食品的价格，而且要求从节约费用的角度合理配餐，我们需要通过市场调查收集一天之内所需食品的市场价格(详见附录二)。

此问题我们以3—4岁男孩为例，并且该问题同问题一和问题二一样是标准线性规划中的最优化问题，解决这个问题我们只须以花费最少为目的建立最优解模型。首先，建立目标函数，此问题就是建立所需食物用量的花费总和最少为目标函数。然后，根据目标函数，我们罗列出受限制的约束条件，在约束条件范围内，我们找到最优解，即得到了所研究的合理膳食的成分。同样求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，无机盐这五种营养素的约束不等式及其解释。其中方框内为求解时未运用约束不等式及其解释，预测结果价格便宜的谷类和豆类量会多一些，而价格稍高的走兽类和鱼类会相应的少一些。使用lingo

函数求出结果比较。

第三部基本的假设

假设一：问题一中各年龄段中人群的健康状况良好，所需营养均衡，对各种摄入的食物没有过敏反应，无偏食和挑食现象。

假设二：各类食物全部新鲜，食物中所含营养成分及比例都相同。

假设三：研究过程中所涉及到的一种人均代表该条件下的一类人。

假设四; 问题二中糖尿病人理想体重（理想体重=身高（cm）-105）。

假设五：问题三中食物价格短时间内没有变化，各食物之间价格互相没有影响。假设六：各类食物在生和熟的状态下各营养素的含量不变。

第四部分定义与符号说明

根据问题中所要求的合理膳食成分，我们可以设i=1,2,…,57为各种食物名称，j=1,2,…,8为各种营养素名称，x i（以百克为单位）为各种食物摄

为第i(i=1,2, (57)

入量，c i（i=1,2,…,57）为0—1变量吃或没吃，A

ij

种食物每百克中所含第j(j=1,2,…,8)营养素的含量，b i为第i种食物每百克的价格，以下为详细定义：

i=1,2,…,6:分别表示谷类中的大米小米高粱米玉署黍大麦仁面粉

i=7,8,…,14：分别表示干豆类中的黄豆（大豆）青豆黑豆赤小豆绿豆

花豇豆豌豆蚕豆

i=15,16,…,25: 分别表示叶菜类中的黄花菜（鲜金针菜）黄花（金针菜）菠

菜韭菜苋菜油菜（胡菜）大白菜小白菜洋

白菜（椰菜）香菜（芫荽）芹菜茎

i=26,27,…,37：分别表示茄瓜果类中的南瓜西葫芦瓠子（龙蛋瓜）茄子

丝瓜（布瓜）茄子冬瓜西瓜甜瓜菜瓜（地黄

瓜）黄瓜西红柿（西红柿）

i=38,39,…,46：分别表示水果类中的柿枣苹果香蕉梨杏李桃

樱桃葡萄

i=47,48,…,52:分别表示走兽类中的牛肉牛肝羊肉羊肝猪肉猪肝

i=53,54,…,57:分别表示鱼类中的鲫鱼鲤鱼鳝鱼带鱼黄花鱼（石首鱼）

j=1,2,…,8分别表示蛋白质脂肪碳水化合物热量无机盐钙磷铁

第五部分模型的建立与求解

5.1问题一的模型建构

根据问题中的约束条件优化模型，设，x i为各种食物摄入量,A ij为第i(i=1,2,…,57)种食物每百克中所含第j(j=1,2,…,8)营养素的含量，引入0—1变量c i，若选择吃食物i，记c i=1，否则记c i=0。因为模型二与模型一类似，所以只对模型一求解.

5.11.1根据3-4岁的年龄男孩子膳食营养参考日摄入量原则下的模型

模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数：minZ=c x i

i i

∑

=57

1

（11a.0）

约束条件：

45

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（11a.1）

45

5.372

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(11a.2)

9375

.2106625.1883

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(11a.3)

1350

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

(11a.4)

9309

.25

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

(11a.5)

目标函数（11a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（11a.1）为满足3—4岁男孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（11a.2）为满足3—4岁男孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1350*25%/9=37.5——1350*30%/9=45。

约束条件（11a.3）为满足3—4岁男孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比再除以4，即1350*62.5%/4=188.6625——

1350*55.9%/4=210.9375.

约束条件（11a.4）为满足3—4岁男孩对能量摄入量的约束。

约束条件（11a.5）为满足3—4岁男孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：依据摄入食物种类最少建立模型

目标函数：minZ=c i

i ∑

=57

1

（11b.0）

约束条件：

45

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（11b.1）

45

5.372

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(11b.2)

9375

.2106625.1883

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(11b.3)

1350

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

(11b.4)

9309

.25

57

1≥∑=c

A x i

i i i

(11b.5)

目标函数（11b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（11b.1）为满足3—4岁男孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（11b.2）为满足3—4岁男孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1350*25%/9=37.5——1350*30%/9=45。

约束条件（11b.3）为满足3—4岁男孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1350*62.5%/4=188.6625——1350*55.9%/4=210.9375.

约束条件（11b.4）为满足3—4岁男孩对能量摄入量的约束。

约束条件（11b.5）为满足3—4岁男孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.11.2 模型的求解

5.11.21对模型一求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo编程求解，得到最优值minZ=3.327204（百克）

具体的所摄入食物种类以及质量如表11-21所示

表11-21 模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类所需食品的量

高粱米 1.918499

青豆 1.408705

总共需要两种食品，总量为 3.327204（百

克）

5.12.1根据3-4岁年龄女孩膳食营养参考日摄入量的原则下建立模型

模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数： minZ=c x i

i i

∑

=1

（12a.0） 约束条件:

45

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（12a.1）

333

.43111.362

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（12a.2）

125

.203675.1813

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（12a.3）

1300

4

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（12a.4）

9309

.25

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（12a.5）

目标函数（12a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（12a.1）为满足3—4岁女孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（12a.2）为满足3—4岁女 孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9， 即1300*25%/9=36.111——1300*30%/9=43.333。

约束条件（12a.3）为满足3—4岁女孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1300*62.5%/4=181.675——1300*55.9%/4=203.125.

约束条件（12a.4）为满足3—4岁女孩对能量摄入量的约束。

约束条件（12a.5）为满足3—4岁女孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：依据摄入食物种类最少建立模型

目标函数： minZ=c i

i ∑

=57

1

（12b.0） 约束条件:

45

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（12b.1）

333

.43111.362

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（12b.2）

125

.203675.1813

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（12b.3）

1300

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（12b.4）

9309

.25

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（12b.5）

目标函数（12b.0）为满足摄入种类总量最少。

约束条件（12b.1）为满足3—4岁女孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（12b.2）为满足3—4岁女 孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9， 即1300*25%/9=36.111——1300*30%/9=43.333。

约束条件（12b.3）为满足3—4岁女孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1300*62.5%/4=181.675——1300*55.9%/4=203.125.

约束条件（12b.4）为满足3—4岁女孩对能量摄入量的约束。

约束条件（12b.5）为满足3—4岁女孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.12.2 模型的求解 5.12.21对模型一求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo 编程求解，得到最优值minZ=3.197116（百克） 具体的所摄入食物种类以及质量如表12-21所示

表12-21 模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类 所需食品的量

高粱米 1.786699 青豆 1.410417

总共需要两种食品，总量为： 3.197116

（百克）

5.13.1根据60-70岁极轻劳动男子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数： minZ=c x i

i i

∑

=57

1

（13a.0） 约束条件;

70

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（13a.1）

555

.55444.442

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(13a.2）

5

.3363033

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（13a.3）

2000

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（13a.4）

597

.65

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（13a.5）

目标 函数（13a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（13a.1）为满足60-70岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（13a.2）为满足60-70岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2000*25%/9=44.444——2000*30%/9=55.555。

约束条件（13a.3）为满足60-70岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2000*62.5%/4=303——2000*55.9%/4=336.5.

约束条件（13a.4）为满足60-70岁极轻劳动男子能量摄入量的约束。 约束条件（13a.5）为满足60-70岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数： minZ=c i

i ∑

=57

1 （13b.0）

约束条件;

70

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（13b.1）

555

.55444.442

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

(13b.2）

5.3363033

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（13b.3）

2000

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（13b.4）

597

.65

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（13b.5）

目标 函数（13b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（13b.1）为满足60-70岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（13b.2）为满足60-70岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因

为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2000*25%/9=44.444——2000*30%/9=55.555。

约束条件（13b.3）为满足60-70岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2000*62.5%/4=303——2000*55.9%/4=336.5.

约束条件（13b.4）为满足60-70岁极轻劳动男子能量摄入量的约束。 约束条件（13b.5）为满足60-70岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.13.2 模型的求解 5.13.21对模型一求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo 编程求解，得到最优值minZ=5.730753（百克） 具体的所摄入食物种类以及质量如表13-21所示

表13-21 模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类 所需食品的量

高粱米 3.981824 青豆 0.3297013 黑豆 0.8435085

总共需要两种食品，总量为： 5.155034（百克）

5.14 根据60-70岁极轻劳动女子膳食营养参考日摄入量原则下的模型

模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数： minZ=c x i

i i

∑

=57

1

（14a.0） 约束条件：

60

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（14a.1）

222

.47777.372

57

1<<

∑=c

A x i

i i i

（14a.2）

025

.28655.2573

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（14a.3）

1700

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（14a.4）

597

.65

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（14a.5）

目标 函数（14a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（14a.1）为满足60-70岁极轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（14a.2）为满足60-70岁极轻劳动女子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1700*25%/9=37.777——1700*30%/9=47.222。

约束条件（14a.3）为满足60-70岁极轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1700*62.5%/4=257.55——1700*55.9%/4=286.025.

约束条件（14a.4）为满足60-70岁极轻劳动女子能量摄入量的约束。 约束条件（14a.5）为满足60-70岁极轻劳动女子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数： minZ=c i

i ∑

=57

1

（14b.0） 约束条件：

60

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（14b.1）

222

.47777.372

57

1<<

∑=c

A x i

i i i

（14b.2）

025

.28655.2573

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（14b.3）

1700

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（14b.4）

597

.65

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（14b.5）

目标 函数（14b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（14b.1）为满足60-70岁极轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（14b.2）为满足60-70岁极轻劳动女子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百

分比再除以9，即1700*25%/9=37.777——1700*30%/9=47.222。

约束条件（14b.3）为满足60-70岁极轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2000*62.5%/4=257.55——2000*55.9%/4=286.025.

约束条件（14b.4）为满足60-70岁极轻劳动女子能量摄入量的约束。 约束条件（14b.5）为满足60-70岁极轻劳动女子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.14.2 模型的求解 5.14.21对模型一求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo 编程求解，得到最优值minZ=4.310575（百克） 具体的所摄入食物种类以及质量如表14-21所示

表14-21 模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类 所需食品的量

高粱米 3.179520 青豆 0.9671945 黑豆 0.1275096E-01 豌豆 0.1511088

总共需要四种食品，总量为： 4.310575（百克）

5.15根据60-70岁极轻劳动男子膳食营养参考日摄入量原则下的模型

模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数： minZ=c x i

i i

∑

=57

1

（15a.0）

约束条件：

75

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（15a.1）

111

.61889.482

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（15a.2）

15

.3703.3333

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（ 15a.3）

2200

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（15a.4）

597

.65

57

1≥∑=c

A x i

i i i

(15a.5)

目标 函数（15a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（15a.1）为满足60-70岁轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（15a.2）为满足60-70岁轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡路里为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2200*25%/9=48.889——2200*30%/9=61.111。

约束条件（15a.3）为满足60-70岁轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡路里为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2200*62.5%/4=333.3——2200*55.9%/4=370.15.

约束条件（15a.4）为满足60-70岁轻劳动男子能量摄入量的约束。

约束条件（15a.5）为满足60-70岁轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数： minZ=c i

i ∑

=57

1

（15b.0） 约束条件：

75

1

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

（15b.1）

111

.61889.482

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（15b.2）

15

.3703.3333

57

1

<<

∑=c

A x i

i i i

（15b.3）

2200

4

57

1≥∑=c

A x i

i i i

（15b.4）

597

.65

57

1

≥∑=c

A x i

i i i

(15b.5)

目标 函数（15b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（15b.1）为满足60-70岁轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。 约束条件（15b.2）为满足60-70岁轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来

自百度百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2200*25%/9=48.889——2200*30%/9=61.111。

约束条件（15b.3）为满足60-70岁轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自百度百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2200*62.5%/4=333.3——2200*55.9%/4=370.15.

约束条件（15b.4）为满足60-70岁极轻劳动女子能量摄入量的约束。 约束条件（15b.5）为满足60-70岁轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自百度百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1 （中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.15.2 模型的求解 5.15.21对模型一求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo 编程求解，得到最优值minZ=5.730753（百克） 具体的所摄入食物种类以及质量如表15-21所示

表15-21 模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类 所需食品的量

高粱米 4.355309 黑豆 1.265124 豌豆 0.1103203

总共需要三种食品，总量为： 5.730753（百克）

5.16 根据60-70岁轻劳动女子膳食营养参考日摄入量原则下的模型

模型一：依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数： minZ=c x i

i i

∑

=57

1

（16a.0）

约束条件：

数学建模题型

1、问题描述（问题与假设） 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 假设：1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。 2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。 3.船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。 4. 随从会听从商人的调度。 2、问题模型与求解（公式、图、表、算法或代码等） 模型的建立： x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k 次渡河前此岸的随从数 k=1,2,….. s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态 S~允许状态集合 u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2; v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2….. d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合 D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2} 状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律 求d(k)∈D(k=1,2,….n),使s(k) ∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k) 由（4,4）到达（0,0） 数学模型： 模型分析： 由（2）（3）（5）可得 Yk Xk -≥-44 化简得 Yk k ≤X 关键代码：

clear clc n=3;m=3;h=2; m0=0;n0=0; tic LS=0; LD=0; for i=0:n for j=0:m if i>=j&n-i>=m-j|i==n|i==0 LS=LS+1; S(LS,:)=[i j]; end if i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i==0) LD=LD+1; D(LD,:)=[i j]; end end end N=15; Q1=inf*ones(2*N,2*N); Q2=inf*ones(2*N,2*N); t=1; le=1; q=[m n]; f0=0; while f0~=1&t

数学建模的经典模板

一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点； （3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求 （1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、

优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应）） （5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确 内容 （1）算法设计或选择，算法的思想依据，步骤； （2）引用或建立必要的数学命题和定理； （3）在不能给出精确解的情况下，需要给出不知一种解法（算法），并进行测试比较，给出

数学建模 生产计划问题

第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产 答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产 第二题：工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。

工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。 答： 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数

数学建模钢管下料问题

重庆交通大学 学生实验报告 实验课程名称数学建模 ^ 开课实验室数学实验室 学院信息院11 级软件专业班 1 班 学生姓名 学号 ￥ 开课时间2013 至2014 学年第 1 学期

！ 】 )

/ 实验一 钢管下料问题 摘要 ( 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料 ` 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通

过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . 》 （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下 每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?+2x ?+3x ?+4x ?）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) ( 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

数学建模之钢管下料问题案例分析

钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819 k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥??++≥??=? 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当

数学建模案例分析--对策与决策方法建模6决策树法

§6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1

图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5

数学建模之下料问题

数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式LINGO软件线性整数

一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明

数学建模典型例题(二)

6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

最新数学建模使用MATLAB进行数据拟合

1.线性最小二乘法 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=r\y % if AB=C then B=A\C x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r') 运行结果： 2.多项式拟合方法 x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; a=polyfit(x0,y0,1) y97=polyval(a,1997) x1=1990:0.1:1997; y1=a(1)*x1+a(2);

plot(x1,y1) hold on plot(x0,y0,'*') plot(1997,y97,'o') 3.最小二乘优化 3.1 lsqlin 函数 例四： x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=lsqlin(r,y) x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r') 3.2lsqcurvefit 函数

（1）定义函数 function f=fun1(x,tdata); f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k （2） td=100:100:1000; cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]; x0=[0.2 0.05 0.05]; x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd) % x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k t=100:10:1000; c=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t); plot(t,c) hold on plot(td,cd,'*')

数学建模论文——下料问题

3.下料问题 班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130 摘要： 本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。主要考虑到两方面的问题。钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。 关键词：余料、原材料、加工费、总费用。 一、问题背景 工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。 相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。 二．问题描述及提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 在该目标下要求考虑下面两个问题： 1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售 出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。

数学建模__SPSS_典型相关分析

典型相关分析 在对经济问题的研究和管理研究中，不仅经常需要考察两个变量之间的相关程度，而且还经常需要考察多个变量与多个变量之间即两组变量之间的相关性。典型相关分析就是测度两组变量之间相关程度的一种多元统计方法。 典型相关分析计算步骤 （一）根据分析目的建立原始矩阵 原始数据矩阵 ?? ????????? ???nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x x y y y x x x 2 1 2 1 222212221 1121111211 （二）对原始数据进行标准化变化并计算相关系数矩阵 R = ?? ? ? ??22211211 R R R R 其中11R ，22R 分别为第一组变量和第二组变量的相关系数阵，12R = 21 R '为第一组变量和第二组变量的相关系数 （三）求典型相关系数和典型变量 计算矩阵=A 111-R 12R 122-R 21R 以及矩阵=B 122-R 21R 1 11-R 12R 的特征值和特征向量，分 别得典型相关系数和典型变量。 （四）检验各典型相关系数的显著性 第五节 利用SPSS 进行典型相关分析 第一步，录入原始数据，如下表：X1 X2 X3 X4 X5 分别代表多孩率、综合节育率、初中及以上受教育程度的人口比例、人均国民收入和城镇人口比例。

1、点击“Files→New→Syntax”打开如下对话框。 2、输入调用命令程序及定义典型相关分析变量组的命令。如图

输入时要注意“Canonical correlation.sps”程序所在的根目录，注意变量组的格式和空格。 第三步，执行程序。用光标选择这些命令，使其图黑，再点击运行键，即可得到所有典型相关分析结果。

数学建模——基于投资风险决策的分析

淮阴工学院专业实践周 (2) 班级： 姓名： 学号： 选题： A 组第30 题 教师： 基于投资风险决策的分析 摘要

本文是对开放式基金投资项目问题的研究，开放式基金投资项目问题在现实生活中有着广泛的应用前景。 本文主要采用运筹学的知识，同时采用了MATLAB的知识，采用整数线性规划建立模型，并进行优化，将实际问题数学化。对于本题，我们层层递进，考虑到了各项目之间的相互影响、风险等这些因素，综合考虑现实市场因素和股票的影响因素，对资金的投入和最终的利润进行比较，然后对各种方法得到的投资方案进行对比，优选出更合理的方案，最后采用数学软件（如：LinGo、MATLAB）进行模型求解。 关键词：整数线性规划LinGo MATLAB 风险率利润

一、问题重述 某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。 表1 项目投资额及其利润单位：万元 请帮该公司解决以下问题： （1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？ （2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ （3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 表2

数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分 段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

数学建模

数学建模 1：[填空题] 9．数学模型按建模目的有（）（）（）（）（）五种分类。 10． Logistic规律就是用微分方程（）描述受环境约束的所谓"阻滞增长”的规律。11．如何用（）（）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模型叫概率模型。12．模型同时包含（）和（）的数学规划，称为混合整数规划。 13．从总体抽取样本，一般应满足（）（）两个条件。 14．TSP近似算法有（）和（）两种。 15．序列无约束最小化方法有（）和（）两种基本方法。 参考答案： 9．答案：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型 10．答案：x(t)=rx(1-x/N) 11．答案：随机变量、概率分布 12．答案：连续变量、整数变量 13．答案：1）随机性；2）独立性 14．答案：1）构造型算法；2）改进型算法 15．答案：1）SUMT外点法；2）SUMT内点法 2：[填空题] 1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（）。 2．数学模型是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的（）（）（）。 3．机理分析是根据对（）的认识，找出反映内部机理的（），建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。 4．理想方法是从观察和经验中通过（）和（），把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。 5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（）用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结果对系统或过程进行（）。 6．测试分析是将研究对象看作一个（）系统，通过对系统（）、（）数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。 7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（）构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行（），间接地研究原型的某些规律。 8．用（）和（）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。 参考答案： 1．答案：原型替代物 2．答案：数学公式、图形、算法 3．答案：客观事物特性、数量规律 4．答案：想象和逻辑思维 5．答案：数学规律、定量分析 6．答案：黑箱、输入、输出 7．答案：相似原理、模拟实验 8．答案：需求曲线、供应曲线

数学建模--钢管下料问题

钢管下料问题 摘要: 如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点, 本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。 大规模数学规划的描述分为四个部分： model: 1．集合部分（如没有，可省略） SETS: 集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS 2．目标函数与约束部分 3．数据部分（如没有，可省略） 4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end 关键字：材料 Lingo 软件 整数规划 问题描述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 （1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。应如何下料最节省。 （1）问题简化： 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根

下料问题数学建模(钢管)

防盗窗下料问题 摘要 本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。 关键词：钢管下料；最优化；lingo；

问题提出 某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。 根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。 请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。 基本假设和符号说明 1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏； 2、假设余料不可焊接； 3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限； 4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别； 5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。 为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示： 问题分析与模型建立 问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。 首先要确定针对6米和4米不同规格的圆形管合理的截取模式各有哪几种。然后我们从所有截取模式中选取若干种截取模式，并设计出最佳的截取方案。 问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，所用的原料必然都要用于切割，不存在使用总钢管数量最少的说法，故我们可建立模型使截得后剩余方形管总余量最小。