3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：
（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和
()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；
（2）()U t 的平稳性。 3.1解： (1)
2
1(;)exp{}
4
u
f u t =
-
1,2121,12,22
2
1
2(;,)()()1exp{}
44
f u u t t f u t f u t u u π
=+=-
1,212,1
21
(,,;,,)()
1exp{}
4
k
k k i i i k
i
i f u u u t t t f u t u
===
=
-
∏
∑
(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以()U t 也是广义平稳
的和广义循环平稳的。
3.2
3.3
3.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。 3.4解：
()X t 与()Y t 各自平稳，设[()]X m E X t =，
[()]
Y m E Y t =，
()[X ()X ()]
X
R
E t t ττ=+，
()[Y ()Y ()]Y R E t t ττ=+
Z ()[Z()][()Y ()][()][()]X
Y
m t E t E X t t E X t E Y t m
m ===?=，为常数
(,)[Z()Z()][()Y ()()Y ()][X ()()][Y ()()]()()()
Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+?+=?=
∴
()Z R τ仅与τ有关，故Z()()Y()t X t t =也是平稳
过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变
量。若()X t 通过平方律器件，得到
2
()()Y t X t =，试求：
（1）()Y t 的均值；
（2）()Y t 的相关函数； （3）()Y t 的广义平稳性。 解：(1)
22
00[Y ()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50
E t E t E t E t ωω==+Θ=-+Θ=
()()()()()
()()2
2
22
0000000000002(,)[Y ()Y ()][X ()X ()]
100sin ()100sin ()25001cos 2221cos 2225001cos 222cos 2225001250cos(2)cos(424)2Y R t t E t t E t t E t t E t t E t t E t τττωωτωωωτωωωτωωτωωτ+=+=+??=++Θ?+Θ??
??
=-++Θ-+Θ????=+++Θ?+Θ????=++++Θ??=05001250cos(2)
ωτ+
∴
()Y R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y ()t 是
平稳过程。
3.6 给定随机过程
()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，
A
和B 是两个任意的不相关随机变量，它们
均值为零，方差同为2σ。证明()X t 是广义平
稳而不是严格平稳的。 3.6证明：
X 00()[X ()][cos()sin()]0
m t E t E A t B t ωω==+=
()()
{}
0000022
00000022
0000002
0(,)[X ()X ()]
cos()sin()cos()sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()cos()
X
R t t E t t E
A t
B t A t B t E A t t B t t t t t t ττω
ωτωωτωωωωτωωωτωσωωτωσωωτωσωτ+=+=++++??=+++??
=+++=
由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X ()t 是广义平稳过程。
10
20
12B 2X ()X (),
2(,)()(,)()X ()X A X t t A t t B f x t f x f x t f x t π
ω
π
ω
===
===∴取时，取时，显然不一定等于不是严格平稳的。
3.7 ()Y t 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m =和相关函数(5,1)10R =，试求：
（1）[5(110)]E Y ，[10(310)50]E Y +； （2）[(105)(101)]E Y Y ，
[30(205)(201)200]E Y Y +；
（3）[10(305)(301)6(210)80]E Y Y Y ++。 3.7解：
Y ()(1)[5Y (110)]5[Y (10)]5(10)520100[10Y (310)50]10[Y (10)]50250(2)[Y (105)Y (101)][Y (5)Y (1)](5,1)10[30Y (205)Y (201)200]30[Y (5)Y (1)]200500
(3)[10Y (305)Y (301)6Y (210)8t E E m E E E E R E E E ===?=+=+====+=+=++ 是广义周期平稳随机信号，
0]10(5,1)6(10)80300
R m =++=
3.8 给定过程()cos sin X t A t B t =-和()cos sin Y t B t A t =+，其中随机变量,A B 独立，均值都为0，方差都为5。 （1）证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳。 （2）求两个过程的互相关函数。
解： 因为随机变量,A B 独立，均值都为0，方差都为5，所以[][][]0E AB E A E B ==，2
2
2
[][]E A E B σ==，故有
X
()[X ()][cos sin ]0m t E t E A t B t ==-=
2
2
2
2
(,)[X ()X ()]
{[cos()sin()][cos sin ]}[cos()cos sin()sin ][]cos()cos []sin()sin 5cos X
R
t t E t t E A t B t A t B t E A t t B t t E A t t E B t t τττττττττ
+=+=+-+?-=+++=+++=
由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X ()t 是广义平稳过程。同理得到：
2
2
()[Y ()][cos sin ]0(,)[Y ()Y ()]
{[cos()sin()][cos sin ]}[]cos()cos []sin()sin 5cos Y Y m t E t E B t A t R t t E t t E B t A t B t A t E B t t E A t t τττττττ
==+=+=+=+++?+=+++=
Y ()
t 均值是常数，相关函数也只与τ有关，故Y ()t 也是平稳过程。
2
2
(,)[X ()Y ()]
{[cos()sin()][cos sin ]}[]cos()sin []sin()cos 5sin ()
X Y
X Y
R
t t E t t E A t B t B t A t E A t t E B t t R
ττττττττ+=+=+-+?+=+-+=-=
X ()t 与Y ()t 分别广义平稳，
其互相关函数也只与τ有关，所以X ()t 和Y ()t 联合广义平稳。 3.9 两个统计独立的平稳随机过程()X t 和
()Y t ，其均值都为0，自相关函数分别为
()e X R τ
τ-=，()cos 2Y R τπτ=，试求： （1）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数；
（2）()()()W t X t Y t =-的自相关函数； （3）互相关函数()ZW R τ。 3.9解：
[][][]{}[][](1)(,)Z()Z()X ()Y ()X ()Y ()X ()X ()Y ()Y ()()()cos(2)
Z X
Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R
R e
τ
ττττττττπτ-+=+=++++=+++=+=+
[][][]{}[][](2)(,)W ()W ()X ()Y ()X ()Y ()X ()X ()Y ()Y ()()()cos(2)
W X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e
τ
ττττττττπτ-+=+=+-+-=+++=+=+
[]
[][]{}(3)(,)Z()W ()X ()Y ()X ()Y ()()()()()X ()Y ()()()0
(,)()()cos(2)
ZW
X
Y XY
YX XY
YX ZW
X
Y R
t t E t t E t t t t R
R R
R t t R R R
t t R
R e
τ
τττττττττττττπτ-+=+=+++-=--+==∴+=-=-又由于与零均值相互独立，同时彼此正交，则
3.10 3.11
3.12 广义平稳随机过程()Y t 的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。
2 1.30.4____2 1.20.8
0.4 1.2__ 1.10.9
__
__
2????????????
3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：
2 1.30.40.91.32 1.20.8
0.4 1.22 1.10.90.8
1.1
2??
? ?=
? ? ??
?
R
3.13
3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程
()X
t 和()Y t ，已知25X
σ=，210Y σ=，问下述函
数可否作为自相关函数，为什么？
（1）()()()5exp 3X R u τττ=-；否，非偶函数 （2）()()5sin 5X
R ττ=；否，非偶函数
（3）()
()
1
2
912Y R τ
τ
-=+；否，2(0)9Y Y
R σ
=≠
（4）()()()cos 6exp Y
R τττ=--；否，(0)1Y
R
=-
（5）()()2
sin 353X R τττ??
=??
??
；是 （6）()()sin 106410Y R τττ??
=+??
??
。 不是
（7）()5exp()X R ττ=-； 是 （8）()2
64exp(3)Y R ττ
=+-。 不是
解：根据平稳随机信号相关函数的性质，
(1)否，该函数非偶函数 （2）否，该函数非偶函数 （3） 否，2
(0)9Y
Y
R σ=≠不符
合题意 （4） 否，(0)1Y
R =-不是非负 （5）
是 （6） 不是， 2Y
6m =非零，不符合题意 （7） 是 （8） 不是，2Y
6m =非零，不符合题意
3.15
3.16 已知随机过程()X t 和()Y t 独立且各
自平稳，自相关函数为0()2cos X R e τ
τωτ-=与2
()9exp(3)
Y R ττ=+-。令随机过程
()()()Z t AX t Y t =，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。求过程()Z t 的均值、方差和自相关函数。
解：
[()][()()]
[][()][()]2[()][()]
E Z t E A X t Y t E A E X t E Y t E X t E Y t =??=??=?
2
0()lim 2cos 00
[()]0
X X X m R e m E Z t τ
τωτ→∞
=∞==→=∴=
[]2
22
30()(,)()()()()()()()()13()()26cos (9)
z X Y Z t R s t E A X s Y s X t Y t E A E X s Y s X t Y t R R e
e
τ
τ
ττωτ--??=???????=??????
=??=???+的相关函数：
[()](0)2610260X D Z t R ==?=
3.17 3.18
3.19 平稳信号X(t)的功率谱密度为 （1）2
42()32X S ω
ωωω=++
（2）108()20(1/10),
()100,S ωδωωωω≤?+-=?>?
求它们的自相关函数和均方值。 解：(1)
2
4222
22
12 ()
3212
121
212
11
()
2
X
X
S
R e e
τ
ω
ω
ωωωω
ωω
τ-
-
==+
++++
-
=?+?
++
-
=+
11
(0)
2
X
R
∴=-
(2) 查傅立叶变换表:
()
2
00
tri
2
Sa
ωωτ
ω
ωπ
??
?
?
??
()8()20(1/10),10
8()20tri
10
Sωδωωω
ω
δω
=+-≤
??
=+? ?
??
()
2
558()202X Sa
R ττπ
π
=
+?
2
()4/X X
R m π∴∞== [()]100/D X t π
=
8100
104
(0)2X R π
ππ
=
+=
3.20
3.21 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？
（1）2
sin ωω??
???
是 （2） 2
6
2
33
ω
ω
ω
++ 是
（3）2
4()1ω
δωω-- 不是，0
ω
=时值为负数。
（4） 4
6
2
1
j ω
ω
ω++ 不是，功率谱为复数， （5）4
2
21
ω
ω
ω
++ 是。
（6） 2
(1)
e ω-- 不是，非偶函数。
判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。 3.22
()
X t 是平稳随机过程，证明过程
()()()Y t X t T X t =++的功率谱是
()2()(1cos )Y X S S T ωωω=+
3.22
[()][()()]2x E Y t E X t T X t m =++=
()()[][]{}()()()()()()2()()()2()()()2()2()cos 2()(1cos )
Y X X X j T
j T
Y X X X X X X R E Y t Y t E X t T X t X t T X t R R T R T S S S e S e
S S T
S T ωωτττττττωωωωωωωωω-=+????
=++++++=+++-=++=+?=?+
3.23
3.24 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为
??
?<≥=-00
09)(3ττττ
e R XY
求互谱密度()X Y S ω与()YX S ω。 3.24
*9()()39
()()3FT
XY XY YX XY R S j S S j τωω
ωωω
??→
=+==
-
3.25 设随机过程1
()()n
i i i X t a X t ==∑,式中i a 是一组实常数。而随机过程)(t X i 为平稳的和
彼此正交的。试证明：21
()()
i n
X i
X i S a
S ωω==
∑
3.25
()(){}()111
111
2
2
1
1
2
1
()()()()()()()[()()]()
()
i i n n
X i i j j i j n
n
n
n
i j i j i
j
i j i j i j n
n
i i i i X i i n
X i X i R E X t X s E a X t a X s E a a X t X s a a
E X t X s a E X t X s a R S a S ττωω=========??==???
??
??
??==????
??
=
?=
=
∑∑∑∑∑∑∑
∑
∑
3.31假定周期为T 高为A 的锯齿波脉
冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在0t =时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,)T 均匀分布的随机变量。试说明()X t 的一阶密度函数为
1/[0,](;)0
[0,]
A
x T f x t x T ∈?=?
??
题图3.31
3.31
'
()()()()
(0,)1
(0)()0()1[()]()(0)
(;)0()A X t T t T T T X t t h x A
U T T f T
f h x h x x T f x t A
τττττττ=
-+=-
+=?≤≤?∴=?????=
≤≤?∴=???
已知
其它 其它
随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 随机信号分析习题参考答案 北京工业大学电控学院 2008.12.9 第一章 随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为： 求： （1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(< 解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤= 渤海大学继续教育学院考试卷 年级 专业 学习形式 科目 随机信号分析 学 号 姓名 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、填空题（每2分，共20分） 1. 数学期望是描述随机变量的（ 集中特性 ），方差是用来度量随机变量偏离其（ 数学期望 ）的程度 2. 随机变量的X 特征函数是（ ][)(jwx e E =ωφ ）第二特征函数是（ )(ωψ ）它们之间的关系是（ )(ln )(ωφωψ= ） 3. 两个随机变量统计独立，它们必然是（不 ）相关的 4. 设有实信号，)(t x 它的希尔伯特换定义是（ τττπd t x ?∞∞--)(1 ），反变换定义为（ ττπd t t x ?∞ ∞---)(?1 ） 5. 各态历经过程必须是（ 平稳的 ），但平稳过程 （ 不一定 ）都具有各态历经性。 6. 按照随机过程的时间和状态，可以将随机过程分为（ 连续随机过程 ）、（ 离散过程）、（连续随机序列 ）和（离散随机序列 ） 7. 对于高斯过程，不相关和（ 互相独立 ）是等价的，狭义平稳和（ 广义平稳 ）是等价。 8. 具有高斯分布的噪声称为（高斯噪声）。具有均匀分布的噪声叫（均匀噪声），而如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（白噪声）。 9. 如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（ 白噪声 ） 二、单选题（每小题2分，共20分）_ 1. 随机过程的样本函数是（ A ） A 确定的时间函数 B 随机函数 C 随机变量的函数 D 常量 2 .若)()()]()([2121t m t m t Y t X E Y X = 则随机过程 )(1t X 与)(2t Y ( A ) A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程 3 若联合宽平稳过程)(t X 与)(t Y 的互功率密度0)(=ωXY S ,则)(t X 与)(t Y （ B ） A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程 4 各态历经随机过程（ A ） A 必定宽平稳 B 非定稳 C 不一定平稳 5 平稳随机过程)(t X 的均方值为 （ B ） A 负的 B 非负的常量 C 时间t 的函数 6 白噪声是根据其( A )定义的 A. 概率密度的特点 B 噪声的大小 C 噪声出现的时间 D 白噪声的自相关函数 7 设dt e x x t ?∞ - = Φ2 2 21 )(π 为标准正态分布随机变量的概率积分函数，则=-Φ)(x ( B ) A )(x Φ B 1 － )(x Φ C －)(x Φ D 2 1 －)(x Φ 8 若随机变量X 的概率密度为4 42 21)(-+-= x x e x f π 则E[X]=（ C ） A 0 B 1 C 2 D 3 9. 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换 )(?t X 的统计自相关函数 )(?τX R ，和时间自相关函数)(?τT X R ，分别等于：( B ) A )()(), ()(??ττττ-=-=XT T X X X R R R R B )()(),()(??ττττXT T X X X R R R R == C )()(),(?)(??ττττ-==XT T X X X R R R R D )(?)(),(?)(??ττττXT T X X X R R R R == 10 以下（ B ）不是平稳随机过程自相关函数的性质 A )()(ττ-=X X R R B )()0(τX X R R ≤ C )()(ττ-=+X X R T R D 2 )()(X X X m R R im l =∞=∞ →ττ 三 简答 （共10分） 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流 西安电子科技大学 考试时间 120 分钟 试 题 班级 学号 姓名 任课教师 一﹑简答下列问题（25分） 1. 随机变量与随机过程的区别是什么？给出一个常见的随机过程的例子。（2分） A ． 随机变量与时间t 无关而仅与样本有关，而随机过程()X t 与样本和时间都有关，是一族与样本有关的时间函数。若t 固定，()X t 是一个随机变量。例如，电子元件上的热噪声电压。 B ． 一维随机变量是一与时间无关的一维分布函数来描述的，而随机过程是由有限维分布函数来描述的。随机过程是我们周围随处可见的随机现象，例如在一段时间内我们自身的血压就是一随机过程。 2. 随机变量的分布函数与随机过程的分布函数的区别是什么？分别写出描述服从高斯分布的随机变量和平稳正态过程的二维概率密度函数。（4分） A ．随机变量的分布函数是指在状态空间上的分布，而随机过程的分布函数是指随时间变化的状态空间上的分布。 B ．随机过程的分布是与时间有关的有限维分布，随机变量的分布是与时间无关的固定维分布。 一维标准正态随机变量的概率密度：2())2x f x =- 平稳正态过程的二维概率密度函数： 1111 222 11((),())exp 22T x x x x x x x m x m f x t x t x m x m τπ-??--???? ?+= -???? ?--?????? K K 其中：22 (())() ()(())x E X t R R E X t τττ??=??+?? K 3.严平稳与宽平稳的主要区别是什么？（2分） A ．严平稳是指有限维分布函数只与给定的时间间隔有关的随机过程；而宽平稳是指均值为常数，相关函数只与时间间隔有关的随机过程。 B ．严平稳是指统计特性与时间起点无关而仅与时间间隔有关的随机过程，而宽平稳是指一阶矩与时间无关和二阶矩与时间间隔有关的随机过程。 4. 写出两个复数过程1()Z t 和2()Z t 的自相关函数和互相关函数的表达式。（2分） *1212(,)()()Z R t t E Z t Z t ??=?? ， 12*121122(,)()()Z Z R t t E Z t Z t ??=?? 5. 遍历性（各态历经）过程的定义是什么？（2分） A ． 时间平均等于集合（统计）平均 B ． 时间均值等于统计均值，时间相关函数等于统计相关函数。 6. 写出在齐次条件下，马尔可夫链的n 步转移概率矩阵与一维转移概率矩阵之间的关系。（2分） ()n n =P P 7. 当线性系统的输入端为高斯过程，线性系统的输出端是什么分布的随机过程？为什么？（2分） 高斯分布的随机过程。 线性系统是对输入进行线性变换，而高斯过程具有线性变换不变性。 8. 写出实随机过程()X t 的解析过程（复包络）()X t 的表达式，以及()X t 的自相关函数与()X t 的自相关函数的关系。 （3分） 1??()()(), ()*()X t X t jX t X t X t t π=+= ， ?()2()2()X X X R R j R τττ=+ 9. 什么是窄带信号？实际中的窄带信号的近似准则是什么？（3分） 信号带宽远远小于载频。实际中的窄带信号的近似准则是信号带宽小于等于10%（小于20%也可以）的载频。 10. 3dB 带宽的定义是什么？（1分） 系统传输函数下降至半功率点时的带宽。 11. 色噪声与白噪声的区别是什么？举一例说明你所见到的色噪声。（2分） 色噪声的功率谱密度是ω的非均匀函数。课间间隔教室里的噪声。 填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下 1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40% 是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由()1f x dx ∞ -∞ =? 所以1 2 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 4. 求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。（北P181,T3） 解：（1） （2） X 的分布律为 Y 的分布律为 （3）Z XY =的分布律为 （4）因为 则 X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。 5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y V X Y =+??=-? 。 （1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为 由反函数 22u v x u v y +? =???-?=??，11 12 2 1122 2 J = =--， （2）由于 , 2 22 2 4 4414u v u v e π +---????=??????? 所以随机变量U 与V 相互独立。 6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=， 又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。 解：首先， 又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+?=?=。于是 7. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试 求 解：（1）对[0,]x a ∈有，()2 a X E Y X += （2）/23 (())2 24a X a a EY E E Y X E a ++??=== = ??? 8. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从泊松分布。进舱后每个粒子造 成损坏的概率为p ，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10） 解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示 造成损坏的粒子数1 N i i Y X == ∑，于是 可合理地认为N 和i X 是独立的，于是 9. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()x x x φφφ，求下列随机变量的 特征函数： （1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； 1. 2. 3. 4. 5. 6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()12341 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500 100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.16254444 P D =?+?+?+?= （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， ()()()() 2220.250.4 0.6150.1625 P B P D B P B D P D ?= = = 7. 8. 9. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 10. 11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以1 2 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -?
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