二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图二 图一 图三
3、已知抛物线4 2 12 --= x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积. 4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积. 5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在， 请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 利用条件构造二次函数． 教学设计 一、创设情境，导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12cm，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x
教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数． 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 做一做 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为______________. 三、例题示范，了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示.
时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y ＝mx 2＋nx －p (其中m ，n ，p 是常数)为二次函数，则( ) A ．m ，n ，p 均不为0 B ．m ≠0，且n ≠0 C ．m ≠0 D ．m ≠0，或p ≠0 2．当ab >0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y ＝x m － 1＋2x 是二次函数，则m ＝________. 4．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图J22-1-1，则k 的取值范围为________． 图J22-1-1 三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y ＝2x 2和y ＝－12 x 2 的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－1 2 x 2，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有 最______值是______．
时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－12 x 2 ＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x
2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________．
英语人教版九年级全册教学课件． Unit 12 Life is full of the unexpected. Section B 1 (1a-2e) 一、教学目标：语言知识目标：1.
fool, costume, embarrassed, costume party, announce, 1) 能 掌握以下单词：spaghetti, hoax, sell out, discovery, lady, cancel, officer, believable, disappear, embarrassing 2) 能掌握以下重难点句子： 3) 提高学生的听力技能。培养学生从所听到的 对话中获取信息的能力。 4）培养学生的阅读能力，理解关键词和短语的能力。情感态度价值观目标：2. 1）了解部分西方节日的文化常识。 2）了解不及时做某事而造成的危害，培 养学生养成良好的行为习惯。二、教学重难点教学重点：根据所学词组写一篇 短文。1. 教学难点2. 三、教学过程Ⅰ. Warming- up and revision
1. Daily greeting. 2. Exercise 根据对话内容，从方框内选择合适的句子补全对话。（有两项多余) A. Why were you late? B. My bike broke down halfway. C. I usually get to school on time. D. Have you ever been late for school? stay up so late at night. E. He said I shouldn'tF. I rushed to the bus shop without breakfast. G. By I got to the school, the class had been on 15 minutes. A: Can I ask you some questions, Lisa? B: Sure. A: (1) _________ B: Yes, I have. But only once last term. A: (2) _________ B: I stayed up watching the football match the evening before, so I overslept the next morning.
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k （1）二次函数基本形式2 =的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 y ax （2）2 =+的图象与性质：上加下减 y ax c
（3）()2 y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 2 44ac b a -．
4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
以二次函数为背景的综合题 复习目标： 1、熟练掌握用待定系数法求二次函数； 2、结合二次函数的性质与多个知识点的沟通解决有关数学的综合题 3、体会数学思想方法，如：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想；复习重点：掌握函数中典型几何问题的解题方法 复习难点：数学思想的渗透 复习过程： 教学 环节 设计过程设计说明 一、 知识点回顾1、二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是______ 开口方向________对称轴_________ 2、将抛物线向上平移3个单位，向左平移 2个单位后可得到抛物线的解析式_________________ 3、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c 的 大 致 图 像 为（） 通过这三个题目主要是回顾 二次函数中的性质且灵活的 运用性质 已知：抛物线c bx ax y+ + =2经过点A（1，0），B（4，在直角坐标平面内，根据确定 的三点用待定系数法求抛物 线的解析式是每一个学生要
BCD的面积有多种方法，一方面考虑通性、 方面考虑择优
问题5：如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标。 问题5如何确定三角形的外 心，利用两点间距离公式确定 点需要满足的数量关系 三、 小 结 师生共同回顾本节课的内容和学习这节课的收获。 四、作业如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的 坐标分别为（2，0）、（1，3 3）.将△AOC绕AC 的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线 x ax y3 2 2- =经过 点A，点D是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO是平行四边形； （2）求a的值并说明点B在抛物线上； （3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求 点P的坐标； (4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行 四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P 的坐标. B C D A x y O
二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 教师姓名 学生姓名 年（尚孔教研院彭高钢级 初三 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢 科 数学 课题名称 中考总复习之二次函数 待提升的知识点/题型 （尚孔教研院彭高钢） 考点提炼 （一）二次函数的定义和性质 形如2 y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①0)0(2 2++=?=x a y ax y ； ②k x a y k ax y ++=?+=2 2)0(； ③()0)(2 2 +-=?-=h x a y h x a y ； ④()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠) 2、抛物线()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠)的对称轴是过点( h ，0)且平行(或重合)于y 轴的直线，即直线x h =，顶点坐标是(h ，k),当0a >时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 3、一般二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：a b ac a b x a y 44222 -+ ??? ? ? +=的形式 对称轴：直线，a b x 2-= 顶点坐标：（- a b 2，a b ac 442-） ,当0a >时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 4、求二次函数的解析式一般方法 （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 初中数学试卷 二次函数 ——二次函数的定义、图像及性质 一、二次函数的定义 形如y=a x2+bx+c(a, b, c是常数,a≠0),那么，y叫做x的二次函数。 【例题1】 （1）下列函数中，是二次函数的为（） A． B.y= C. D. （2）函数是二次函数，则m的值为（）A.1或—6 B.1 C.—2或3 D.3 二、二次函数的图像——抓住a、b、c 【例2】 （1）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠ 0）的图象可能是（） （2）函数与（k≠0）在同一坐标系中图像大致是图中的 （） （3）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（） （4）设a、b是常数，且b＞0，抛物线为下图中四个图像之一，则a的值为（） （5）二次函数的图像的一部分如图所示，求a的取值范围 三、二次函数的图像性质 1.点的坐标 【例3】 （1）已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2）若抛物线的顶点的纵坐标为n，则k-n的值为_______. 2.二次函数的单调性 【例4】 （1）若点A（2，y 1），B（3，y 2 ）是二次函数图像上的两点， 则y 1与y 2 的大小关系是（） A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．不能确定 （2）已知a＜—1，点（a-1, y1），（a, y2）（a+1，y3）都在二次函数 的图像上，则y1、y2、y3 的大小关系为_______. 四、二次函数的最值问题——配方法、顶点法 【例5】 （1）二次函数的最小值是_______. （2）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为______. （3）当二次函数的最小值为（） A.—4 B.— C.— D. （4）当—1≤x≤1时，二次函数y= x2-mx+3有最小值—3,求m的值。 第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时 26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． §26.3（4）二次函数2y ax bx c =++的图像与性质 【教学目标】 1、熟练掌握用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式； 2、熟悉二次函数一般式的对称轴、顶点公式，并能运用公式解决相关问题； 3、熟悉二次函数的图像及性质，并能运用性质解决相关问题. 【重点与难点】 重点：会求二次函数（一般式）的顶点与对称轴（配方法或公式法）. 难点：运用抛物线的性质解决相关问题. 【课型】习题课 【教学资源】几何画板课件 【教学日期】 2018 年 11 月 29日下午第2节 【教学过程】本节课共分五个环节： 第一环节：知识梳理；第二环节：巩固双基；第三环节：变式练习；第四环节：能力提升； 第五环节：课堂小结. 第一环节：知识梳理 1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像是一条 . 2、通过 ，可将一般式化为顶点式：222 424b ac b y ax bx c a x a a -??=++=++ ???. 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴是：直线x =－ ，顶点坐标（－a b 2，a b a c 442-）. 4、（1）当a > 0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴左侧部分是 ， 在对称轴右侧部分是 ； （2）当a < 0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴左侧部分是 ， 在对称轴右侧部分是 . 第二环节：巩固双基 1、用配方法将二次函数化为顶点式，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）x x y 522-= （2）162 162--=x x y 2、（1）已知抛物线1)3(2++-+=n x n x y 经过坐标原点，则抛物线的顶点坐标是 . （2）抛物线14 12-+=x x y 向 平移 个单位，再向 平移 个单位后， 与抛物线1412+= x y 重合. 第三环节：变式练习 3、(1)已知抛物线3)5(2 12-+-+-=m x m x y 的顶点在y 轴上，求抛物线的顶点坐标； 二次函数单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列函数中属于二次函数的是（ ） A 、 12y x = B 、21 1y x x =++ C 、221y x =- D 、y =2、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x = B 、直线3x = C 、直线1x =- D 、直线3x =- 3、抛物线21 5 y x =-不具有的性质是（ ） A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点 4、若A （1,413y - ），B （2,45y -），C （3,4 1 y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A 、123y y y << B 、213y y y << C 、312y y y << D 、132y y y << 5、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ） A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、二次函数221y kx x =--的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 、k>-1 B 、10k k ≥-≠且 C 、1k ≥- D 、10k k >-≠且 7、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ) Ａ、23(1)2y x =-- Ｂ、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =++ D 、23(1)2y x =-+ 8、已知二次函数22y x mx m =-+-1的图象经过原点，与x 轴的另一个交点A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为（ ） A 、32 B 、2 C 、1 D 、1 2 9、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下列结论： 《二次函数》单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中属于二次函数的是（ ） （A ）y ＝12x （B ）y ＝x 2＋1x ＋1 （C ）y ＝2x 2-1 （D ）y ＝x 2＋3 2．下列抛物线中与y ＝-12 x 2+3x -5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） （A ）y ＝x 2+3x -5 （B ）y ＝-12x 2+2x （C ）y ＝12x 2+3x -5 （D ）y ＝12 x 2 3．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是（ ） （A ）直线x ＝1 （B ）直线x ＝5 （C ）直线x ＝-1 （D ）直线x ＝-5 4．抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （A ）y ＝2(x -1)2-2 （B ）y ＝2(x ＋1)2-2 （C ）y ＝2(x ＋1)2＋2 （D ）y ＝2(x -1)2＋2 5．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( ) 6 2 D ）（0，-7）7c 0 0 8．二次函数y ＝2x 2＋x -1的图象与x 轴的交点的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 9．抛物线y ＝-2x 2-x ＋1的顶点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 10．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ） （A ）y ＝60(1-x )2 （B ）y ＝60(1-x ) （C ）y ＝60-x 2 （D ）y ＝60(1+ x )2 二、填空题（每题3分，共30分） 1．若y ＝(a -1)231a x 是关于x 的二次函数，则a ＝ ． 2．抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是 ． 3．对于函数y ＝x 2-3x ，当x ＝-1时，y ＝ ； 当y ＝-2时，x ＝ ． 4．如果一条抛物线的形状与y ＝-2x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式 是 ． 5．将抛物线y ＝13 x 2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y ＝ ． 6．抛物线y ＝x 2 ＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为 ． 7．抛物线y ＝(m -2)x 2＋2x ＋(m 2-4) 的图象经过原点，则m ＝ ． 8．函数y ＝3x 2与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b )，则k ＝______，b ＝______． 9．直线y ＝2x +2与抛物线y ＝x 2+3x 的交点坐标为________． 10．用配方法把y ＝-x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x -h )2＋k 的形式为y ＝ ，其开口方 （A ） （B ） （C ） （D ） （第7题） 二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的一元二次函数. 2.二次函数 的性质 (1)抛物线 的顶点是原点，对称轴是 轴. (2)函数 的图像与 的符号关系： ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线. 4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 . 5.抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 决定抛物线的开口方向： 当 时，开口向上；当 时，开口向下； 越小，抛物线的开口越大， 越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于 轴(或重合)的直线，记作 .特别地， 轴记作直线 . ③定点是抛物线的最值点[最大值( 时)或最小值( 时)]，坐标为( , )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 . (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是 . (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线 中， 的作用 (1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. (2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故： ① 时，对称轴为 轴；② 时,对称轴在 轴左侧；③ 时,对称轴在 轴右侧. (3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0，)： 1 ，抛物线经过原点; ②11沪教版-初三数学-中考总复习(二次函数) - 学生版-基础
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