山东省曲阜师大附中2009届高三高考模拟
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择)两部分，第I卷1至2页，第n卷3至
4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(共60分)
注意事项：
1 .答第I卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试
卷规定的位置。
2 ?第I卷共2页。答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案。在试卷上作答无效。
参考公式：
球的体积公式：
4 3
S - R ,其中R是球的半径。
3
锥体的体积公式：
1 亠
V Sh，其中S是锥体的底面积。h是锥体的咼。
3
、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 i
1 ?若将复数表示为a bi(a,b
1 i
R,i是虚数单位)的形式，则 a b等于
A. 0B. 1 C. -1D. 2
2.已知集合M x
{x|x 1}, N {x|2 1}，则
M I N等于
A. B. {x| x 0} C. {x|x1} D. {x|0 x 1}
3?设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若色5，则S9= a3 9 S5
1
A. 1
B. -1
C. 2
D.-
2
4.如图，程序框图所进行的求和运算是
11 1 11
A. 1—? ?? , ,
B. 1——? ? ---
2310 3 519
11111111
c. 一—— ... - --- D.-
24620222232
分后，所剩数据的平均数的方差分别为A. 84, 4.84 B. 84, 1.6
C. 85, 1.6
D. 85, 4 9 4464 7 3
3x 2
6 .函数f(x) In 的零点一定位于区间
2 x
A. ( 1, 2)
B. (2, 3)
C. (3, 4)
D.
7.函数y f (x)的图象如右图所示，
贝U函数y Iog1 f (x)的图像大致是(4, 5)
5.下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的
分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低3 ?Q.n■二匕1
结束
2
8.已知函数f(x) cosxsin x(x R)，给出下列四个命题:
其中真命题是
A .①②④
B .①③
C .②③
D .③④
9
.若m 、n 是两条不同的直线，
、、 是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的
是
A .若 m ,
，则m B. 若
I m, I
n, m// n,则 // C.若
，
，则 //
D
.若 m ,m// , 则
3 uuu uur
10.在 ABC 中，已知
a 、
b 、
c 成等比数列， 且 a c
3,cos B ，贝U AB BC
4
3
3
A.-
B .
C . 3
D .-3
2 2
2 2
11.已知圆x y 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0(a,b R)对称，则ab 的取 值范围是
第H 卷(共90分)
注意事项：
第H 卷共2页。考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目的指定答题区域内作 答，填空题请直接写答案，解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分。 13 .抛物线y 4x 2的焦点坐标是 ______________ 。
32
14. ___________________________________________________________ 已知正方体外接球的体积是一，则正方体的棱长等于 ________________________________________ 。
3
6
15.
已知a
#(sinx cosx)dx,则二项式 aJ?
展开式中含x 2项的系数是
①若 f (xj f (x 2),则 x-1 x 2 ；
②f(x)的最小正周期是2 ③f (x)在区间
---- 上是增函数;
4 4
④f (x)的图象关于直线x
1 c 1
A .
B. 0,-
4
4
C .
40
D .
12.若函数f (x)为奇函数，且在(0,
解集为
)内是增函数，又f(2) 0,则
f(x) f(
x) 0的
x
A . ( 2,0) U (0,2)
C. ( , 2)U(2,) B . (
, 2)U(0,2)
D. ( 2,0) U (2,)
4x 3y 12
2
2
2
卄
口“
16 .设 p: 3 x 0
(x 、y R), q: x y r (x 、y R, r 0)，右 q 疋 p 的
x 3y 12
充分不必要条件，则 r 的取值范围是 _____________ 。 三、解答题：本大题共 6小题，共74分。 17. (本小题满分12分)
已知A ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足(2a c)cos B bcosC 。 (1) 求% B 大小； r
Lr r
(2) 设 m (sin A,1), n (1,1)，求 m n 的最小值。
18. (本小题满分12分)
已知数列｛a n ｝的各项均为正数,
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 设数列｛b n ｝的通项公式是b n
求证：对于任意的正数 n ，总以后T n 1。
19. (本小题满分12分)
某出版社准备举行一次高中数学新教材研讨会，会征求对新教材的使用意见，邀请
50
名使用不同版本教材的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
(1) 从这50名教师中随机选出2名教师发言，求两人所用教材版本相同的概率； (2) 若从使用人教版教材的教师中选出 2名
发言，设使用人教A 版的教师人数为 ，求 随机变量的分布列及其数学期望。
20. (本小题满分12分)
已知一四棱锥P ABCD 的三视图如下，E 是则棱PC 上的动点。 (1 )求四棱锥P ABCD 的体积；
(2) 不论点E 在何位置，是否都有 BD AE ?请证明你的结论;
S n 为其前n 项和，对于任意的 n N 满足关系式
2S n 3a n
1 log 3 a n log s a n 1
前n 项和为T n ,
(3)若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小。
21.(本小题满分12分)
2 X 已知椭圆C 1 :
2
a
2
MN 是圆C ? : x
的直线I 恰好与圆
2
1(a b (y 3)2
C 2相切。
b 0)的右焦点为F ，上顶点为
1的一条直径，若与AF 平行且在 A, P 为C 1上任一点,
y 轴上的截距为3 2
(1)求椭圆G 的离心率；
UUUT
PN 的最大值为 uuuu (2)若 PM 49,求椭圆C 1的方程。
22.(本小题满分
14分)
1
(2 a) Inx 2ax ( a R) x
(I )当a 0时，求f(x)的极值；
(n)当 0时，求f(x)的单调区间；
设函数f(X )
(川)当a 2时，对于任意正整数
n ，在区间
a 1
, a
2, a
3, , a
m , a
m 1, a
m 2 , a
m 3, a
m
f (a m 2) f (a m 3) f(a m 4)成立, 否则，说明理由。
4,使得 f (a 1)
试问：正整数 2
f (a 2) 1
-上总存在m 4个数 n
f (3m ) f (a m 1)
m 是否有最大值？若有求其最大值；
曲阜师范大学附中2009年高三模拟
理科数学参考答案及评分标准
即 2si n AcosB si n BcosC sin C cosB sin (B C ) Q A B C , 2si n AcosB si nA
Q0 A ,sin A 0
1 cosB -
2
Q0 B ,
B 一
3
(n) m n sinA 1
2
由 B —,得 A (0,)
3 3
所以，当A —时， m n 取得最小值为0
2
2S n 3a n 3
18.解：（1）由已知得
2S n 1 3a n
1
3(n 2)
故 2(S n
S n 1)
2a n
3a n
3a n 1
即a n
3a n 1 (n 2)
故数列｛a n ｝为等比数列，且q 3 由当 n 1 时，2a 1 3a 1 3, 3 所以a n 3n
, 1
1 1 n) b n
—
n(n 1) n n 1
所以T n b 1 b 2 -… b n
1 1 1 1 1
(1 ) (- )?'
( )
2 2 3
n n 1
、选择题（每小题 5分，共60
分） AA 共
16
分）
4-3
BDACC ACDDB
二、 填空题(每小题 4分， 1
13. (0,)；
16
三、 解答题(共74分)
a
17.解:(1)由正弦定理 ------
sin A
(2a c)cos B 14. 15.— 192
16. (012]
5
c
si nC bcosC,得(2sin A sin C)cos B sin BcosC
—— 2R ,有 a 2Rsin A, b 2Rsin, c sin B
2Rsin C
21 .
19. 20. 2
2名的方法为C 5O =1225，选出2人使用教材版本相同的
方法数c ；0
G
2 2 C
10
C 5
350
故2人使用版本相同的概率为
P 350 2 o
1225 7
C 15 3 ―
1 1 C 20C
15 60 ~
n) Q P( 0)
2 ,P( 1)
2
,P(
C 35
17
C 35
119
解：(I )从50名教师随机选出
2)
1
2
P
3 17
60 119
38 119
的分布为
解(I ) l 3^ 60 38 E 0 1 17 119 119
由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥
c 136 8
2 ------- -----
119 7 P (出) 侧棱PC 底面ABCD ，且PC 不论点E 在何位置，都有BD AE
证明：连结 AC,QABCD 是正方形，
Q PC 底面 ABCD ，且 BD BD PC
又 AC I PC C, BD
平面 C2O
C35
38 119
ABCD 的底面是边长为1 ABCD
3 S ABCD PC
V P
BD
平面 PAC
AC
ABCD ,
Q 不论点E 在何位置，都有AE 平面PAC 不论点E 在何位
置，都有 BD 以C 为坐标原点，CD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐
标系如图: 则 D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(0,0,1),
从而 uur uuu mr DE ( 1,0,1), DA (0,1,0), BA (1,0,0) uuu
BE (0, 1,1)
设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为 m (a,b,c),n (a',b',c'), 由法向量的性质可得：
a c 0,b
0,a'
令 c 1.c'
n (0, 1,
设二面角D AE 。 的正方形，
2 3
0, b' c' 1.则 a 1.b' 1, 1)
AE
m (1,0,1), B 的平面角为
1 2 ，则
m n cos |m||n|
2
3
解：(1 )由题意可知直线I 的方程为bx cy (3
.面角 D AE B 的大小为 2
o
3
■ 2)c 因为直线与圆C 2：x 2
(y 3)2
1相切，所以d
0 ,
3c 3c
y
J~2c 1
即 2 小 2 2
2
1，即 a 2c ,
b c
1
(2)设 P(x, y)，则
uuuu uuur 又PM (x 2
①当c 2
爲 1,(c c
ujuu 0),
2c"
UJUJU C 2M) (PC 2 (y 3)2
PN )max 2
壬1
umur C 2N) 17(
2c 2 uiuu 2 uiuur 2
PC 2 C 2 N
y c))
uuuu 2 2
1 uuuu (PM 2
x
PN (PC (3 y)
3时，
此时椭圆方程为 32 16
u uJLT
②当 0 c 3时，(PM PN) 当c
5、、2 3 3，故舍去
2
x 2c 17
max
49，解得 3)2 17 22 49，解得c
5、、2 3，
当a 0时， f(x) 2lnx -,f'(x)- 2
x x x : 令 f '(x) 0 1 ，解得x 丄
2 当0 x 1 时，f'(x) t 1丄
0 x f'(x) 2 2
1 又 f(-)
2 2 2ln2,所以 f (x)的极小值为 2-2 In2,
2 a 1 2ax 2
(2 a)x 1 22?解：(I )依题意，知 0, 0 无极大值。 2 x + ) 2
2
综上所述，椭圆的方程为
L
32
16 f (x)的定义域为( 令 f
'(X )
0 ,解得x . 1 ,X 2
a
(1)若 0,令 f'(x)
0,得0
丄;令f '(x)
x
(2 )若 ①当a 2时,
令 f '(x) 令 f '(X) ②当a 2 时，f'(x) ③当2 a 0时，得
令 f '(x)
—或x a
—
2 (2x 1)2
2
x —— a 2， —或x 2
1 32。
1
1 令 f '(x)
0，得
1
x
- 2
a
1 1
综上所述，当a 0时，f (x)的递减区间为(0,-)，递增区间为(-
2 2
1 1 ”， a
2 )
1 (0,二),(
2 2时，f(x)的递减区间为(0, 递增区间为(
1 2) (川)当 2时，f (x)递减区间为(0,
0时,
f (x)的递减区间为 )，递增区间为
2
时, 由 f '(x) f (x)min
依题意得: 丄
x
1
f(2)
1 1 f(x) 4x ，
x 4x 2 1 2
x
，知x
4, f(x)max f(6 丄6
2 1 n ) n
时，f '(x)
mf ( ) f (6
2 n 1，则 k ； n 〔)
对一切正整数成立
n (当且仅当n 1时取等号) 又f (k)在区间［6 n )单调递增，得f(k)min 1 故m 32-，又m 为正整数, 8 m 32 当m 32时，存在a 1 a 2 1 a 32 —, a m 1 a m 2
2
8，对所有n 满
足条件。
所以，正整数m 的最大值为
1 32。