方程复习
一、一元一次方程
归纳1：有关概念
一元一次方程的概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程．
2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．
3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．
基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．
【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
归纳2：一元一次方程的解法
1、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．
2、解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．
注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．
【例2】解方程：
30
5 64
x x
-
-=．
归纳3：一元一次方程的应用
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：（1）20XX 年到20XX 年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）20XX 年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
练习题：
1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）
A ．若x =y ，则x +c =y ﹣c
B ．若x =y ，则xc =yc
C ．若x =y ，则c
y c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．72-
C ．﹣5
D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥2
B ．m ＞2
C ．m ＜2
D ．m ≤2
4.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为 ．
5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动
32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43
周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
二、二元一次方程
归纳1：二元一次方程的有关概念
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．
2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．
3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；
判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．
注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．
【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组
23
1
ax by
ax by
+=
?
?
-=
?
的解为
1
1
x
y
=
?
?
=-
?
，则a﹣2b
的值是（）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
归纳2：二元一次方程的解法
基础知识归纳：
解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法
基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．
注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．
【例2】（2017广东省广州市）解方程组：
5 2311
x y
x y
+=
?
?
+=
?
．
归纳3：二元一次方程组的应用
基础知识归纳：
1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．
（4）解方程组．
（5）检验，看方程组的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程组→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信
【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】
（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）
（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．
【例4】（2017四川省遂宁市）20XX 年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
练习题：
1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22
146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）
A ．m =1，n =﹣1
B ．m =﹣1，n =1
C ．m =13，n =43-
D ．m =13-，n =43
2．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组???=-=+4533y x y x 的解为???==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 4
1- D ．47
3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=??-=?的解是1
x b y =??=?，则b a 的值为 ．
4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．
5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251
x y x y -=-??
+=-?，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
9.（2016湖南省长沙市）20XX 年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
三、分式方程
?考点归纳
归纳 1：分式方程 的有关概念
1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．
【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x
--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2
【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程
2322x m m x x
++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．
归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
【例3】（2017上海市）解方程：
231133
x x x -=--．
归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快
14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
练习题：
1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a
=+-有一个解相同，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．1或﹣3
C ．﹣1
D ．﹣1或3
2．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x
-=--时出现增根，那么m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣4
3．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133
x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤1
4.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0
y y y a +?->???-≤?的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
5.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412
a x x x x -≥--???+<+??的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）
A ．﹣3
B ．0
C ．3
D ．9
6.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
四、一元二次方程
五、一元一次不等式（组）
归纳 1：有关概念
1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的方法
4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．
【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等
式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y （用“＞”或“＜”填空）．
归纳2：不等式基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0
归纳3：一元一次不等式（组）的解法
1．解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
2．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组
213
12
52
x x
x x
+<
?
?
+-
?
-≥
??
的所有整数解．
【例4】已知关于x的不等式组
523(1)
13
82
22
x x
x x a
+>-
?
?
?
≤-+
??
有四个整数解，求实数a的取值范围．
归纳 4：一元一次不等式（组）的应用
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．
（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．
（5）检验，看解集是否符合题意．
（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．
【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，
20XX 年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，
某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价
间的关系如下表：
（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？
（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
练习题：
1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）
A ．a ＞b
B ．a +2＞b +2
C ．﹣a ＜﹣b
D ．2a ＞3b
2．（2017山东省泰安市）不等式组29611
x x x k +>+??-
A ．k ＞1
B ．k ＜1
C ．k ≥1
D ．k ≤1
3.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133
x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤1
4.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）
A ．m ＜﹣1
B ．m ＜2
C ．m ＞2
D ．﹣1＜m ＜2
篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 105 70
5.（2016内蒙古包头市）不等式1123
x x --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣1
6.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.（2017内蒙古通辽市）不等式组?????-≥-->+13
12112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式
21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；
（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．