双星模型、三星模型、四星模型
天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万
有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。 【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银
r ，1、
持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。
解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：
22
21212
21L M L M L
M M G
ωω==---------? ..L L L =+21-------?由以上两式可得：L M M M L 2121+=
，L M M M L 2
12
2+=
又由1
2212214L T M L M M G π=.----------?得：)
(221M M G L
L T +=
【例题3】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两
星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r ,已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为（D ）
A .2
12)(4GT r r r -2π
B .2
312π4GT r
C .2
32π4GT r
D .2
122π4GT r r
答案：D
,
球A 引球看成似处理
这样算得的运行周期T 。已知地球和月球的质量分别为且A 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M T m L +=22)(
化简得)
(23
m M G L T +=π
⑵将地月看成双星，由⑴得)
(23
1m M G L T +=π
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
L T m L
GMm 2
2
)2(π= 化简得GM
L T 3
22π=
所以两种周期的平方比值为01.110
98.51035.71098.5)(24
22
24212=??+?=+=M M m T T 【例题5】【2012?江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>>m 1，M>>m 2）。在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，
它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（）
A ．a 、b 距离最近的次数为k 次
B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次
C ．
D ．k-1次，
为
第二种形式下星体之间的距离应为多少:
=2
2R Gm F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =R
GmR
25 周期为T ,则有T =
v
R
π2 T =4πGm
R 53
(2)设第二种形式星体之间的距离为r ,
R ′=
?
30cos 2
/r
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：
F 合=22
2r Gm cos30°
F 合=m 22
π4T R ′
；
其运动周期为
，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动 对正方形模式，四星的轨道半径均为
，同理有
222222
42cos 452m G a a T π?? ③图4 解得23
22
4(47a T =Gm
π
④
故
12T T
双星与多星问题 双星模型 1?模型构建 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同 的匀速圆周运动的行星称为双星。 2?模型条件 ① 两颗星彼此相距较近。 ② 两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③ 两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3?模型特点 如图所示为质量分别是 m i 和m 2的两颗相距较近的恒星。 它们间的 距离为L.此双星问题的特点是： (1) 两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 ⑵两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 (3)两星的运动周期、角速度相同。 ⑷两星的运动半径之和等于它们间的距离，即 r i + r 2= L. 4. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 5. 双星问题的两个结论 (1)运动半径：m i r i = m 2"，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 .一.十匕、★一 ，一 2 冗 ____，一..一—、十一 4 #L 3 ⑵质量之和：由于 3=〒，「i + r 2= L,所以两恒星的质量之和 m i + m 2 =石尹° 【示例i 】20I6年2月ii 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦 I00年前的 预测，弥补了 爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的 拼图”双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星 系统由 a 、b 两颗星体组成， 这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 a 星的 周期为 T, a 、b 两颗星的距离为1, a 、b 两颗星的轨道半径之差为 Ar(a 星的轨道半径大于 b 星的轨道半径), 则( ) I — Ar B.a 星的线速度大小为 n I + Ar A"星的周期为| + Ar 1 T 规律总结 Gm i m 2 2 2 ―L2~ = m i 32门=m 2 32 r 2。 C.a 、b 两颗星的半径之比为 D.a 、b 两颗星的质量之比为 I + I —
重点：1. 根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量； 2. 双星、三星两种模型的特点。 难点：双星、三星模型的向心力来源。 一、双星模型 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点： （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供 即 221L m Gm ＝m 1ω21r 1，2 2 1L m Gm ＝m 2ω2 2r 2； （2）两颗星的周期及角速度都相同 即T 1＝T 2，ω1＝ω2； （3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r 1＋r 2＝L ； （4）两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比 即 1 2 21r r m m =； （5）双星的运动周期 T ＝2π) (213 m m G L +； （6）双星的总质量公式 m 1＋m 2＝G T L 23 24π。 二、三星模型 第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。 特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等； 4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：， 可得： Gm R T 543 π =，同理可得线速度：R GmR 25。 第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。 特点：1. 运行周期相同； 2. 半径相同； 3. 质量相同； 4. 所需向心力相等。 原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即： r T m R Gm F 2222430cos 2π==? 合，其中R r 33=， 可得：运行周期Gm R R T 32π=。 例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。 （1）求两星球做圆周运动的周期。 （2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位有效数字） 思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有 ，，连立解得，。 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得， 化简得：。 （2）将地月看成双星，由⑴得。 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 。 化简得：。 所以两种周期的平方比值为 R M r m 22ωω=L R r =+L M m m R += L M m M r +=L m M M T m L GMm +=22)2(π) (23 m M G L T +=π) (23 1m M G L T +=πL T m L GMm 2 2 )2(π=GM L T 3 22π=01.110 98.51035.71098.5)(24 22 24212=??+?=+=M M m T T
高中物理探究多解问题 专题辅导 浙江 吴盛 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成的原因一般包含下述几个方面。 1、带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。 2、临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解。 3、运动的重复性形成多解 带电粒子在磁场中运动时，由于某些因素的变化，例如磁场方向反向或者速度方向突然反向等，往往运动具有往复性，因而形成多解。 例1. 长为L 的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图1所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电。现有质量为m 、电量为q 的正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是（ ） 图1 A. 使粒子的速度m 4BqL v < B. 使粒子的速度m 4BqL v > C. 使粒子的速度m 4BqL 5v > D. 使粒子的速度m 4BqL 5v m 4BqL << 解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而做匀速圆周运动。很明显，圆周运动的半径大于某值1r 时，粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值2r 时，粒子可从极板的左边穿出。现在问题归结为求粒子能在右边穿出时，r 的最小值1r 以及粒子在左边穿出时，r 的最大值2r ，由几何知识得： 图2
粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点（如图2所示），有：,)2 L r (L r 21221-+= 得,4 L 5r 1= 又由于m 4BqL 5v ,m 4BqL 5v ,Bq mv r 111>==所以得时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有4 L r 2=，又由,4L Bq mv r 22== 得.m 4BqL v 2= 因此m 4BqL v 2<时粒子能从左边穿出。 综上可得正确答案是A 、C 。 例2. 如图3所示，在x 轴上方有一匀强电场，场强为E ，方向竖直向下。在x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里。在x 轴上有一点P ，离原点的距离为a ，现有一带电量的粒子＋q ，质量为m ，从静止开始释放，要使粒子能经过P 点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计） 解析：要使粒子能经过P 点，其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下：（1）若粒子从y 轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R 的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、两个……半圆到达P 点， 故a ＝2nR （n ＝1，2……） ① 设释放处距O 的距离为1y ，则有 21mv 2 1qEy = ② R v m Bqv 2 = ③ 由①②③式得：).2,1n (mE n 8qa B y 22 21 == （2）若粒子在电场中的起点坐标为（x ，2y ），依题意，有： 当x ＞a ，粒子不可能经过P 点； 当x ＝a ，不论2y 取值如何，粒子均能经过P 点； 当x ＜a ，则)2,1n (nR 2x a ==-，同理可得).2,1n (mE n 8)x a (q B y 22 22 =-=
天体运动中的追及相遇问题 信阳高中陈庆威2013.09.17 在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。 而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。 根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。 一、追及问题 【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则 ①经过多长时间，两行星再次相距最近？ ②经过多长时间，两行星第一次相距最远？ 解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 ，因此T1 果A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A 比B 多转了 π。所以再次相距最近的时间t 1，由；第一次相 距最远的时间t 2，由。如果在问题中把“再次” 或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。 【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R ，运转周期为T 。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？ 解析：由题意可得行星的轨道半径θsin R r = 设行星绕太阳的运行周期为T /，由开普勒大三定律有： 23 23T r T R ' =，得：θ3sin T T =' 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球 θ θπππω33sin )sin 1(222T T T -=-'=? 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是 刚看到；二是马上看不到,如图3所示。到下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为 两者都顺时针运转：T t ?--=?-= ) sin 1(2sin )2(2331θπθ θπωθπ 两者都逆时针运转： T t ?-+=?+= )sin 1(2sin )2(2332θπθ θπωθπ 二、相遇问题 【例3】设地球质量为M ，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m 的飞船由静止 开始从P 点沿PD 方向做加速度为a 的匀加速直线运动，1年后在D 点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q 处掠过地球上空，如图4所示（图中“S ”表示太阳）。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。 视角 太阳 行星 图2 太阳 行星 地球 图3 θ θ 专题提升(五) 天体运动中的三类典型问题 基础必备 1.两个靠近的天体称为双星,它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动,其质量分别为m1,m2,如图所示,以下说法正确的是( A ) A.线速度与质量成反比 B.线速度与质量成正比 C.向心力与质量的乘积成反比 D.轨道半径与质量成正比 解析:设两星之间的距离为L,轨道半径分别为r1,r2,根据万有引力提供向心力得,G=m 1ω2r1,G=m2ω2r2,则m1r1=m2r2,即轨道半径和质量成反比,故D错误;根据v=ωr可知,线速度与轨道半径成正比,则线速度与质量成反比,故A正确,B错误;由万有引力公式F 向=G,向心力与质量的乘积成正比,故C错误. 2.(多选)2017年4月20日19时41分,“天舟一号”货运飞船在文昌航天发射场成功发射,后与“天宫二号”空间实验室成功对接.假设对接前“天舟一号”与“天宫二号”都围绕地球做匀速圆周运动,下列说法正确的是( AC ) A.“天舟一号”货运飞船发射加速上升时,里面的货物处于超重状态 B.“天舟一号”货运飞船在整个发射过程中,里面的货物始终处于完全失重状态 C.为了实现飞船与空间实验室的对接,飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 D.为了实现飞船与空间实验室的对接,飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向前喷气减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 解析:“天舟一号”货运飞船发射加速上升时,加速度向上,则里面的货物处于超重状态,选项A正确,B错误;为了实现飞船与空间实验室的对接,飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接,选项C正确,D错误. 3.某同学学习了天体运动的知识后,假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图所示,一颗母星处在正三角形的中心,三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F,母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则( A ) A.每颗小星受到的万有引力为(+9)F B.每颗小星受到的万有引力为(+9)F 双星模型、三星模型、四星模型 天体物理中的双星， 三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用 遵循万 有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、 三星系统的等效质量的计算， 运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。 双 星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度 相等，1 2 。 【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系 统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。 已知某 双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T ,两颗 恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m 、m ,做圆周运动的半径分别为 r i 、「2，角速度分别 为3 1、3 2。根据题意有 r i r 2 r 根据万有引力定律和牛顿定律，有 6曹2 m 1w 2r 1 r 联立以上各式解得 根据解速度与周期的关系知 1 联立③⑤⑥式解得 m 1m 2 G 12 2 r 2 m|W 1 * r 1 m 2r mi m 2 【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体， 探寻黑洞的 方案之一是观测双星系统的运动规律 .天文学家观测河外星系大麦哲伦云 时，发现了 LMCX3双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视 为质点，不考虑其他天体的影响 .A 、B 围绕两者连线上的 0点做匀速圆周运动，它们之间的 距离保持不变，如图 4-2所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星 A 的速率v 和运行周 期T. ⑴ 可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于 0点处质量为m 的星体(视为质点)对它的 引力，设A 和B 的质量分别为 m 、m ,试求m (用m 、m 表示). (2) 求暗星B 的质量皿与可见星A 的速率V 、运行周期T 和质量m 之间的关系式； (3) 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 m 的2倍，它将有可能成为黑洞?若可见星A 的速率v=x 105 m/s ，运行周期T=nX 104 s ，质量m=6m ，试通过估算来判断暗星 B 有可能 是黑洞吗 (G=x 10-11 N ?m 2/kg 2, m=x 1030 kg ) m i m 2 T 2G 解析：设 A B 的圆轨道半径分别为 ，由题意知, B 做匀速圆周运动的角速度相同, 设其为点。由牛顿运动定律，有 F A F B m 2 r 2 , F A F B 设A B 间距离为 广，则r r 1 由以上各式解得r m m 2 m 2 由万有引力定律，有 m 1m 2 F A G_V r 3 尸 一 m 1 m 2 ，代入『得F A G 1 2 2 2 (m m ) r 入 一gm 令F A G 冷，通过比较得m 「1 3 m 2 (m 1 m 2)2 (2)由牛顿第二定律，有 r 2 V m, 一 A 天体运动中的几个“另类”问题 江苏省靖江市季市中学范晓波 天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠 基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测 量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、 表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（） A．，， B．，， C．，， D．，， 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨 道运动，由于而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即，卫星又做稳定的圆周运动。 如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加的数 值超过原先减少的数值。所以、，又由可知。 解：应选C选项。 说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力， 要使卫星改做圆周运动，必须满足和，而在远点明显成立，所以 只需增大速度，让速度增大到成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线 速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。 高中物理学习材料 金戈铁骑整理制作 多过程问题的解题方法 授课内容： 例1：如图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在O点，另一端和运动员相连。运动员从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合 力为零的C点到达最低点D，然后弹起。整个过程中忽略空气阻力。分析这一过程，下列表述正确的是 ①经过B点时，运动员的速率最大 ②经过C点时，运动员的速率最大 ③从C点到D点，运动员的加速度增大 ④从C点到D点，运动员的加速度不变 A．①③B．②③C．①④D．②④ 例2．如图所示，一弹簧一端系在墙上O点，自由伸长到B点，今将一个小物体m压着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C 点静止。物体与水平地面的摩擦系数恒定，试判断下列说法中正确的是（） A．物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小 B．物体从A到B速度越来越小，加速度不变 C．物体从A到B先加速后减速，从B到C一直作减速运动 D．物体在B点所受合外力为零 例3、钢球在很深的油槽中由静止开始下落，若油对钢球的阻力正比于 球的速率，则球的运动是 A、先加速后减速，最后静止 B、先加速后减速，最后匀速 C、先加速后匀速 D、反复地加速和减速 例4．用平行于斜面的力F拉着质量为m的物体以速度v在光滑斜面上做匀速直线运动。若拉力逐渐减小，则在此过程中，物体的运动可能是：A．加速度和速度都逐渐减小 B．加速度越来越大，速度先变小后变大 C．加速度越来越大，速度越来越小 D．加速度和速度都越来越大 例5、质量为m=2k g的物体静止在水平面上，它们之间的动摩擦因数为μ=0.5。现对物体施加如图所示的力F，F=10N，与水平方向成θ=37o夹角经过t=10s后，撤去力F，再经过一段时间，物体又变为静止，求整个过程物体的总位移S。(g取10m/s2) 例6．如图所示，在倾角为θ=370的足够长的固定的斜面底端有一质量为m=1.0kg的物体，物体与斜面间动摩擦因数为μ=0.25，现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动，拉力F=10.0N，方向平行斜面向上。经时间t=4.0s 绳子突然断裂，求： （1）绳断时物体的速度大小； （2）从绳子断了开始到物体再返回到斜面底端的运动时间（sin370=0.60，cos370=0.80，g=10m/s2） 例7、质量为2kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等．从t＝0时刻开始，物体受到方向不变、大小呈周期性变化的水平拉力F的作用，F 随时间t的变化规律如图所示．重力加速度g取10m/s2，则物体在t＝0至t＝12s这段时间的位移大小为 A．18m B．54m C．72m D．198m 天体运动中的追及相遇问题 信阳高中 陈庆威 2013.09.17 在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如， A 、B 两物体都 绕同一中心天体做圆周运动，某时刻 A 、B 相距最近，问 A 、B 下一次相距最近或 最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。 而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在 思维有上一些相似的地方， 即必须找出各相关物理量间的关系， 但它也有其自身 特点。 根据万有引力提供向心力， 即当天体速度增加或减少时， 对应的圆周轨道就 会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相 遇。天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂， 成为 同学们学习中的难点。 而解决此类问题的关键是就要找好角度、 角速度和时间等 物理量的关系。 、追及问题 【例 1】如图 1所示，有 A 、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动，旋转方向相 同， A 行星的周期为 T 1，B 行星的周期为 T 2，在某一时刻两行星相距最近，则 ①经过多长时间，两行星再次相距最近？ ②经过多长时间，两行星第一次相距最远？ 有达到一周，但是要它们的相距最近，只有 A 、B 行星和恒星 M 的连线再次在一 条直线上，且 A 、B 在同侧，从角度上看，在相同时间内， A 比 B 多转了2π； 如 解析：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动 ，由 万有引力提供向心力 B 还没 果 A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内， A 比 B 多转了 距最远的时间 t 2，由 。如果在问题中把“再次” 或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。 【例 2】 如图 2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。 地球的轨道半径为 R ，运转周期为 T 。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连 线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ， 当行星处于最大视角处时， 是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。 若某时 刻该行星正好处于最佳观察期， 问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长 时间？ 解析： 由题意可得行星的轨道半径 r Rsin 设行星绕太阳的运行周期为 T / ，由开普勒大三定律有： 二、相遇问题 【例 3】设地球质量为 M ，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为 m 的飞船由静止 开始从 P 点沿PD 方向做加速度为 a 的匀加速直线运动， 1年后在 D 点飞船掠过地 球上空，再过 3个月又在 Q 处掠过地球上空，如图 4所示（图中“ S ”表示太阳） 根据以上条件， 求地球与太阳之间的万有引力大小。 π。所以再次相距最近的时间 太阳 R 3 T 2 3 T r 2 ，得：T T sin 3 绕向相同， 行星的角速度比地球大，行星相对地球 2 2 （1 sin 3 ） 行星 视角 地球 图2 T T sin 3 某时刻该行星正好处于 最佳观察期， 刚看到；二是马上看不到 , 如图 3 所示。 观察期至少需经历时间分别为 有两种情况： 到下一次处于最佳 两者都顺时针运转： t 1 2 ) sin 3 ?T 3 2 (1 sin 3 ) 两者都逆时针运转： t 2 ( 2 ) sin 3 ?T 2 (1 sin 3 ) 太阳 行星 θθ 地球 图3 t 1， ；第一次相 天体运动 开普勒行星运动三定律 引力势能 机械能守恒定律 动量守恒 1.根据行星绕日做椭圆运动（开普勒第一定律）的面积速度为恒量（开普勒第二定律），试证明各行星绕日 运行的周期T 与椭圆轨道的半长轴a 之间的关系为C T a =23 （开普勒第三定律），并求出常量C 的表达式。 2.要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为2r 的预定轨道上绕地球做匀速圆 周运动，为此先将卫星发射到半径为1r 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示，在A 点，实际上使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B 时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A 点到达B 点所需的 时间，设万有引力恒量为G ，地球质量为M 。 3.质量为m 的飞船在半径为R 的某行星表面上空高R 处绕行星作圆周运动，飞船在A 点短时间向前喷气，使飞船与行星表面相切地到达B 点，如图所示。设喷气相对飞船的速度大小 为Rg u =，其中g 为该行星表面处的重力加速度。(1)试求飞船在A 点短时 间喷气后的速度；(2)求所喷燃料（即气体）的质量。 4.天文学家在16世纪就观测到了哈雷彗星，天文资料显示：哈雷彗星的近日距为0.59天文单位，远日距为3 5.31天文单位（1天文单位 = 地日距离R ，），地球公转速率为km/s 30。试根据以上资料求： （1）哈雷彗星的回归周期为多少年； （2）哈雷彗星的最大速率v 是多少。 5.卫星沿圆周轨道绕地球运行，轨道半径R r 3=，其中地球半径km 6400=R 。由于制动装置短时间作用，卫星的速度减慢，使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动，如图所示。问：制动后经过多少时间卫星落回到地球上？ 6.宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的a 倍，因a 量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计。 （1）试求飞船新轨道的近火星点的高度近h 和远火星点高度远h ； （2）设飞船原来的运动速度为0v ，试计算新轨道的运行周期T 。 7.地球m 绕太阳M （固定）做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴 为b ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1,2,3的运动速度的大小及其曲 率半径。 一、双星问题 1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、 周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。 2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。 (2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2 推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。 (4)巧妙求质量和：Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1① Gm1m2 L2 ＝m2ω2r2②由①＋②得： G m1＋m2 L2 ＝ω2L ∴m1＋m2＝ ω2L3 G 4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。 (2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。 ②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。 二、多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． 三、卫星的追及相遇问题 1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律： 内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。 2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律： 内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。 3、对于天体追及问题的处理思路： (1)根据GMm r2 ＝mrω2，可判断出谁的角速度大； 一题多解、多变 2.在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32焦耳。则在整个过程中，恒力甲和恒力乙做的功各等于多少焦耳？ 答案 8，24 3.在场强为E 1的匀强电场中A 点，静止着一个带电液滴。使电场突增为E 2但方向不变，液滴运动一段时间后，电场突然反向而强弱不变，又经相同时间，恰好又返回A 点。求E 1/ E 2。还可以求得此过程中哪些物理量。 答案 1/2 5.质量为2M 的长木板A 置于光滑水平面上，木板上方左端放有一个质量为M 的木板B ，A ，B 间的动摩擦因数μ=0.3。若设法使A 固定，用水平恒力F 拉B ，B 的加速度为0.3g ；若释放A ，使它能自由运动，将B 仍置于A 的左端，从静止开始，仍用恒力F 拉B ，到某一位置撤去拉力，为保证B 不从A 上滑落，最晚需在B 相对于A 运动到板长的几分之几时撤去拉力F ？ 答案 3/4 例1 在直角坐标系xoy 原点O 处，有一质量为m ，电量为+ q 的粒子，速度大小为V 0，方向沿y 轴正方向（重力不计）。现要求你设计一方案：在粒子运动范围加上某一种或几种“场”使其能通过直角坐标系xoy 中的p 点（a ，-b ）。说明：①画出粒子的运动轨迹并说明运动性质②通过必要的运算给出所加“场”的有关物理量的表达式（用题设的已知条件和常数） 说明：此题目具有开放性，研究性。解法甚多，但繁简各异，能较大程度调动学生的兴趣，颇具使用价值。以下是题目情景简图供参考： 例2 平板车的质量M=8kg ，长度L=1m ，静止在光滑的水平面上。质量为m=4kg 的小滑块，以速度V 0=4m/s 的水平速度，从平板车的左端滑向右端。若小滑块与平板车间的摩擦系数μ=0.5，求小滑块离开小车右端时平板车的速度为多少？ (g=10m/s 2) 答案: 1m/s 解法1 用牛顿运动定律和运动学公式求解 天体运动中的双星问题 1．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星是由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察 测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此 可求出S2的质量为 C. D. 2．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线速度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期 相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1︰m2＝3︰2。则可 知 A．m1︰m2做圆周运动的角速度之比为2︰3 B．m1︰m2做圆周运动的线速度之比为3︰2 C．m1做圆周运动的半径为 D．m 2做圆周运动的半径为 3．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球 绕O点运动的线速度大小之比约为 A 1∶6400 B 1∶80 C 80∶1 D 6400∶1 8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线 上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的 A C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 11.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O 的两侧。引力常数为G。 求两星球做圆周运动的周期； 1、设想把质量为m的物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R， 变轨问题——金榜教育 1．（安徽省皖南八校2011 届）我国“嫦娥二号" 探月卫星于2010 年 10 月成功发射。在“嫦娥 二号”卫星奔月过程中，在月球上空有一次变轨过程，是由椭圆轨道 A 变为近月圆形轨道 B ，A 、 B ．两轨道相切于P 点，如图所示．探月卫星先后沿 A 、 B 轨道运动经过P 点时，下列说法正确的是 A ．卫星运行的速度v A= v B B ．卫星受月球的引力F A =F B C．卫星的加速度a A >a B D ．卫星的动能 E kA 【宇宙中的双星及多星问题】 宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星、四星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运 动的三条基本规律。 现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。而三星、四星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。 一、双星问题 近年来,天文学家们发现，大部分已知恒星都存在于双星甚至多星系统中。双星对于天体物理尤其重要，因为两颗星的质量可从通过观测旋转轨道确定。这样，很多独立星体的质量也可以推算出来。 在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成和演化，也是一个不可缺少的方面。双星系统具有如下特点： (1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。 (2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。 (3)它们的周期、角速度相同。 例题1：（2013?山东）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别 围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，DC运动的周期为（） 解：设m 1的轨道半径为R 1 ，m 2 的轨道半径为R 2 ．由于它们之间的距离恒定，因此双星 在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得： “双星”问题及天体的追及相遇问题 一、双星问题 1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、 周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。 2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。 (2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2 推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。 (4)巧妙求质量和：Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1① Gm1m2 L2 ＝m2ω2r2②由①＋②得： G m1＋m2 L2 ＝ω2L ∴m1＋m2＝ ω2L3 G 4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。 (2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。 ②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。 二、多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． 一道一题多解的高中物理习题 在同一直线上，让一小球从高H处自由下落的同时，另一小球自地面竖直上抛，为使它们在空中相遇，是上抛的小球的初速度υ0的取值条件是什么？ 解：如图所示，上抛小球在上抛到最高点时没和下 落小球相碰就开始下落，所以，临界条件是在地面相碰。 A球下落到地面的时间t1= g H 2 . t2 = g 2υ g g H 2 2υ = 在空中相碰的条件是t2＞t1即 g 2υ＞ g H 2 所以υ0＞ 2 Hg (1) υ0满足什么条件？ 球下落的时间和B球上升到最高点的时间相等为 t。所以A球和B球相碰时的速度等于B球落回抛出点的 速度即等于υ0，有h 2 = h1= 2 H , 2 2 2 H g? ? = υ 所以gH = υ (2) 2、υ0满足什么条件时，上升过程中和下落的小球相碰？ 由（2）式可知，小球上升到最高点时和下落的小 相碰的条件是gH = υ，所以上升过程中和下落的小球相碰的条件是：gH ? υ (3) 3、υ0满足什么条件时，上抛的小球在下落的过程中被自由下落的小球追上，而发生相碰？ 由（1）式和（2）式可知，满足上抛的小球在下落的过程中被自由下落的小球追上，而发生相碰的条件是：gH gH ??02 υ 4、上升过程中相碰时，相碰点的范围在什么地方？ 由(2)式可知相碰点的范围在H ～2 H 之间。 5、下降过程中相碰时 相碰点的范围在什么地方？ 由(2)式可知相碰点的范围在0～2 H 之间。 6 υ0满足什么条件？ 两个小球用时相等，相当于一个小球上升到C 点， 再上升到最高点后，又下落回到C 点。所以gH 220=υ 所以gH 20=υ。相碰时的速度是中间时刻的瞬时速度 22gH 。相碰时离抛出点的距离为：H 43 C专题提升(五) 天体运动中的三类典型问题
高中物理天体运动多星问题
物理必修二天体运动各类问题
人教版高中物理必修一多过程问题的解题方法
(完整版)天体运动中的追及相遇问题
天体运动相关问题处理
高中物理复习 双星问题,天体追击
高中物理一题多解
天体运动中的双星问题
天体运动变轨问题.doc
宇宙中的双星及多星问题
(完整版)“双星”问题及天体的追及相遇问题
一道一题多解的高中物理习题
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