一、相关知识点
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （ 1）明确只有当二次项系数 a
0时，整式方程 ax 2
bx c 0 才是一元二次方程。
（ 2）各项的确定 (包括各项的系数及各项的未知数 ). （ 3）熟练整理方程的过程
3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：
2
或 ( ax b 2 n a 0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 (1) 开平方法：对于
形如
xn ) ( 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求
解
. 形如 x 2
n 的方程的解法： 当 n 0
时， x n ; 当 n 0 时， x 1
x 2 0 ;
当 n 0 时，方程无实数根。
（ 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 ( x m )2
n 的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 2
( x mn 的形式； ) ④求解：若 n 0 时，方程的解为
x m n ，若 n 0 时，方程无实数解。
（ 3）公式法：一元二次方程 ax
2
bx c 0( a 0) 的根 x b b 2 4ac
2a
当 b 2
4ac
0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根不相等； 当 b 2
4ac
0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根相等，写为
x 1
x 2
b ；
2a 第1页共7页
当 b24ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a, b, c 的值；③代入b24ac 中计算其值，判
断方程是否有实数根；④若b24ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完
全的一元二次方程。）
（ 4）因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：
若ab 0，则 a 0或 b 0 ；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为
零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
（ 5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次
根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此
时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
三、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程
中符合题意的参数取值范围。
（ 1）= b24ac
（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bx c 0（ a 0 ）
a 0
①当
0时
方程有实数根；
（当a 0 a 0
方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）0时0时
a 0
②当
0时
方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
2．常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的
情况①先计算出判别式（关键步骤）；
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②用配方法将判别式恒等变形；
③判断判别式的符号；
④总结出结论.
（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方
程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要
在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合
（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
四、一元二次方程的应用
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（ x ），变化的次
数（n ），
变化后的基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式a x
n
b 表示。
(1 )
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。五．实际应用
（ 1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一
堵50
米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只
有400 平方米，不合要求，问应
如何设计矩形的长与宽才能符合要求
呢？
（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿
符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
(3) 已知：a,b, c 分别是 A B C的三边长，当 m 0 时，关于x 的一元二次方程
c( x 2m) b(x 2m) 2 max 0 有两个相等的实数根，求证：ABC 是直角三角形。
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（ ）已知： a,b, c 分别
是 ABC 的三边长，求证：方程
2 x 2 (b 2 c 2 2
)x c 2 0 没有实数
根。 4
b
a
（ 5）当 m 是什么整数时， 关于 x 的一元二次方程 mx 2 4x 4 0 与 x 2
4mx 4m 2
4m 5 0 的根
都是整数？（ m 1）
（ 6）已知关于 x 的方程 x 2 2x
2 m 2
1
，其中 m 为实数，（ 1）当 m 为何值时，方程没有
实
x 2x 2m
数根？（ 2）当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。
答案：（ 1） m 2 （ 2）
x 1, 1 2 .
（二）一元二次方程的解法
1．开平方法解下列方程：
（ 1） 2 125 0（
x 1 5, x 2 5
2 56
22
） （ ） （ ） 5 x 169( x 3) 289 x 1 , x 2 2 13 13
（ 3） y 2 361 0（原方程无实根） （ 4） (1 3) m 2
0 （ m 1 m 2 0 ）
2．配方法解方程：
（ 1） x 2
2x 5 0 （ x 1 6 ） （2） y 2
5 y 1 0 （ x 521）
2
3．公式法解下列方程：
（ 1） 3x 2
6x 2 （ x 3
3 ） （2） p 2
3 2 3 p
（ p 1 p 2 3 ）
3
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4．因式分解法解下列方程：
（1）1x 2 9 0
（ x 6 ）2
y 2 4 y 45 0
（
y19, y2 5
）
4
（）
（ 3） 8x210 x 3 0 （ x
11 , x
2 3 ）（4） 7 x
221x 0 （ x
1 0, x2
3
）4 2
5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：
（ 1） 2( 2x 7) 2128 （ x 7 2 ）（ 2） 2m m2 1 2( m22m) 2（ m 2 6 ）
2 2
6．解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：
（ 1） x22mx m2n20 ( x1m n, x2m n )
（ 2） x23a 24ax 2a 1 （ x13a 1, x2 a 1）
（三）一元二次方程的根的判别式
1．不解方程判别方程根的情况：
（ 1） 4 x 2x 3 7x （有两个不等的实数根）（ 2） 3(x 22) 4x （无实数根）
2 k 为何值时，关
于x
的二次方程
kx
2
6x 9 0
．
（ 1）有两个不等的实数
根（ k 1且 k 0 ）
（ 2）有两个相等的实数
根（ k 1）
（ 3）无实数根（ k 1）
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3．已知关于ｘ的方程 4x
2
(m 2) x 1 m 有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．
( m 2, x1 x21
x2
3 或 m 10, x1) 2 2
4．若方程 x 22(a 1) x a 24a 5 0 有实数根，求：正整数 a. （ a 1, a 2,a 3 ）5．对任意实数 m，求证：关于x 的方程 (m21)x 22mx m2 4 0 无实数根 .
6． k 为何值时，方程(k 1) x2(2k 3) x (k 3) 0 有实数根 .
7 m 为整数，且
4m 40 时，方程x
2
2( 2m 3) x4m
2
14m 8 0 有两个相异整数
根，求
m
．设
的值及方程的根。（当m =12 时，方程的根为
x116, x226；当 m =24
时，方程的根为 x1 38,
x252 ）第6页共7页
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快
减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降
价 1 元，商场每天可多售出2
件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？（20 元）
4．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点 B、 C 同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为每分钟 1 千米，乙的速度每分钟 2 千米，若正方形广场周长为40 千米，问几分钟后，两人相
距2 10千米？(2分钟后 )
7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定
两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路, 使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外 , 还盈余 72 万元 , 若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同, 试求这
个百分数 . (20%)
8．如图，东西和南北向两条街道交于O 点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒 4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 3 米，当乙通
过 O 点又继续前进 50 米时，甲刚好通过 O 点，求这两人在相距 85 米时，每个人的位置。（甲离 O84 米，乙离 O13 米）
北
B
A O
东
A
B
9．已知关于 x 的方程 (n 1)x 2mx 1 0 ①有两个相等的实数根 .
(1 )求证：关于 y 的方程 m 2 y
22my m22n2 3 0 ②必有两个相等的实数根。
(2
)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2 n 12 n 的值。（14）
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