1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐
振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?
解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为
，
x=A sin10πt ；
由物体的受力分析，N= 0（极限状态）
物体不跳离平台的条件为：；
既有，
,
由题意可知Hz，得到，mm。
1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及
cm时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解：
设该简谐振动的方程为；二式平方和为
将数据代入上式：
；
联立求解得
A=10.69cm；1/s；T=s
当时，取最大，即：
得：
答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3 一个机器内某零件的振动规律为
，x的单位是cm，1/s 。这个
振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解：
振幅A=0.583
最大速度
最大加速度
1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。
解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ωT2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解：两简谐振动分别为，，
则：=3cos5t+3isin5t
=5cos(5t+)+3isin(5t+)
或；
其合成振幅为：=
其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan
则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan)
虚部：
sin(5t+ arctan)
1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为
，
由式得
n=1，2，3……
于是，得x(t)的傅氏级数
1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。
解∶锯齿波一个周期内函数P (t)可表示为
，
由式得
n=1，2，3……
于是，得x(t)的傅氏级数
,
1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。
；
P(t)平均值为0
+
+
将代入整理得
1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。
解：
可表示为
由于
得：
即：
1-10 求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。
解：
频谱函数：
2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，?=30α，m = 1 kg ，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
图 T 2-1
答案图 T 2-1
解：
0sin kx mg =α，1.049
21
8.91sin 0=?
?==
k
mg x α
cm
701
10492
=?==-m k n ωrad/s
t t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm
2.1 图E2.2所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。求系统动力学方程和稳态响应。
图E2.1
答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)
解：
等价于分别为1x 和2x 的响应之和。先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：
()()x c x k x c c x k k x
m 112121+=++++ t A c A k kx x c x
m 1111111cos sin ωωω+=++
（1）
21c c c +=，21k k k +=，m
k k n 2
1+=
ω （1）的解可参照释义（2.56），为：
()()
()()
()
()()
2
2
2111
112
2
2111121cos 21sin s s t k
A c s s t k
A k t Y ξθωωξθω+--+
+--=
（2）
其中：
n s ωω1=
，2
1112s s tg -=-ξθ ()
()()2
12
12212212
2112
121k k c c k k k k c s ++++=
???
?
??++=+ω
ωξ
k 2x
2 (11x k - )11x x
c -
1
()()
()()
()2
12
1
2
212
21212
21121221212
2
2 121k k c c m k k
k k c c k k m s s +++-+=
?
?
????+++???? ??+-=+-ωωωωξ
故（2）为：
()()()
()
()()()()
21121
2
2
1
2
21
21
21
2121
1
212
212
2
1
21111111111sin cos sin θθωω
ω
ωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=
t c c m k k
c k A c c m k k t A c t A k t x
()()m k k c c tg k k m k k c tg s s tg 21
211
2112
121
211121
1112ωωωωξθ-++=+-+=-=---
1
1
11
2k c tg ωθ-=
考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：
()()()()???? ?
?+-++-++-++=--=∑
i i i i i i i i i i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω1221211
2
1
222122212
22sin
2.2 如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2
W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
图 T 2-2
答案图 T 2-2
解：
2
22221v g
W h W =
，gh v 22=
动量守恒：
122
122v g
W W v g W +=，gh W W W v 221212+=
平衡位置：
11kx W =，k
W x 1
1=
1221kx W W =+，k
W W x 2
112+=
故：
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=+=
ω
故：
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
2.4 在图E2.4所示系统中，已知m ，1k ，2k ，0F 和ω，初始时物块静止且两弹簧均
为原长。求物块运动规律。
W 2
W 1
图E2.4
答案图E2.4
解：
取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：
()0sin 012211=+-+-t F x x k x k ω
即：
()t F x k x k k ωsin 022121+=+
（1）
对m 列运动微分方程：
()1222x x k x
m --=
即：
12222x k x k x
m =+ （2）
由（1），（2）消去1x 得：
t k k k
F x k k k k x
m ωsin 2
120221212+=++
（3）
故：
()
212
12k k m k k n +=
ω
由（3）得：
()()()???
? ??--+=t t k k m k F t x n n n ωωωωωωsin sin 2221202
2.5在图E2.3所示系统中，已知m ，c ，k ，0F 和ω，且t =0时，0x x =，0v x
= ，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
t ω
x k
)1x x k - 2x
m (2k
2
图E2.3
解：
()()()θωωωξω-++=-t A t D t C e t x d d t cos sin cos 0
()()
2
2
20
211
s s k
F A ξ+-?=
，2
1
12s
s
tg
-=-ξθ ()θθcos cos 000A x C A C x x -=?+==
()()()()
θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--t A t D t C e
t D t C e t x d d d d t
d d t sin cos sin sin cos 000
()d
d
d A C
v D A D C v x
ωθ
ωωξωθωωξωsin sin 00000-
+=?++-==
求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。
2.7 求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
图 T 2-7
答案图 T 2-7
解：
1k 和2k 为串联，等效刚度为：2
12
112k k k k k +=
。（因为总变形为求和）
12k 和3k 为并联（因为12k 的变形等于3k 的变形），则：
2
13
2312132121312123k k k k k k k k k k k k k k k k +++=++=
+=
123k 和4k 为串联（因为总变形为求和），故：
4
24132312143243142141234123k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k e ++++++=+=
故：
m
k e
n =
ω
2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为ω时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为
t me ωωsin 2。已知偏心重W = 125.5 N ，偏心距e = 15.0 cm ，支承弹簧总刚度系数k = 967.7
N /cm ，测得垂直方向共振振幅cm X m 07.1=，远离共振时垂直振幅趋近常值cm X 32.00=。
求支承阻尼器的阻尼比及在m in 300r =ω运行时机器的垂直振幅。
图E2.7
解：
()()()
()θωξ-+-?
=t s s s M
me t x sin 212
2
22
，2
1
12s
s
tg -=-ξθ
s =1时共振，振幅为：
cm M me X 07.1211=?=
ξ
（1）
远离共振点时，振幅为：
cm M
me
X 32.02==
（2）
由（2）2
X me M =
?
由（1）15.0221211
2121==?=?=
?X X X X me me X M me ξ m in 300r =ω，M
k
=
0ω，10ωω=s
故：
()()
m s s s M
me
X 32
2
22
108.321-?=+-?
=ξ
2.9 如图T 2-9所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图 T 2-9
答案图 T 2-9
解：
（1）保持水平位置：m
k k n 2
1+=
ω mg l l
F 2
11
2+=
x 1x 2
（2）微幅转动：
()()()()()()()()()mg k k l l k l k l mg
k k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mg k l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2
12
212
2
21212
122122112121222121221121112121212
2
21121112122
11
12111 ++=+-++=+-?+++=??????+-++++=+-+=
'+=
故：
()2
2
21212
12
21k l k l k k l l k e
++=
m
k e
n =
ω
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图 T 2-10
答案图 T 2-10
解：
m 的位置：A A x k mg
x x x +=
+=2
2 a F mgl 1=，a
mgl
F =
1，11ak mgl x =∴
l a x x A =1，1
22
1k a mgl x l a x A ==∴
x 1
x A
mg
k k a k l k a mg k a l k k a mgl k mg x x x A 2
122
212122212222 1+=???
?
??+=+=+=∴
2
2122
12k l k a k k a k e +=∴，m k e n
=ω
2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚
度为2
k
。 （1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为
0.75 Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图 T 2-1
答案图 T 2-11(1)
答案图 T 2-11(2)
解：（1）
2
222
121θθ ml I T ==
()()
()
2
22222
2
1
2121 cos 121212θθθθθmgl ka mgl ka mgl a k U -=-=--??
? ???=
利用max max U T =，max
max θωθn = ???
? ??-=
-=-=12
2222mgl ka l g l
g
ml ka ml mgl ka n ω ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
θ
零平衡位置
2222
121θθ ml I T ==
()()
mgl
mgl ka mgl mgl ka mgl ka mgl a k U +-=-+=?
?? ??-+=+??? ???=222222222
2
1
2121 2sin 2121cos 21212θθθθθθθ ()0=+U T dt
d ，()02222=-+θθθθ mgl ka ml ()
022=-+θθ
mgl ka ml 2
2ml mgl
ka n -=
ω 2.17 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k 1= k 2= k 3= k 4= k ，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图 T 2-17
解：
k
k k k k k k k k k k k k k k k 2
1
32
24123412312342312311233223=+=
=+==+=
（1）01234x k mg =，k
mg
x 20=
（2）()t x t x n ωcos 0=，k
mg
x x 420max =
=
2.19 如图T 2-19所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
图 T 2-19
解：
系统动能为：
22
22212
2
2222
2212
1
2321 2121212121x m x m R I m r x r m x m R x I x m T e =???
? ??++=???
???????? ????? ??++???? ??+=
系统动能为：
22
2221122
21
1222
1 21 2121x k x R R k k x R R k x k V e =
???? ??+=???
?
??+=
根据：
max max V T =，max max x x
n ω= 2
2212
221122
2
3m R I m R R k k n +++=
ω
2.20 如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I 0，求系统的固有频率。
图 T 2-20
解：
系统动能为：
()()
()2222102221202
1 2
12121θθθθ l m a m I l m a m I T ++=++=
系统动能为：
()()()()2
2322212322212
1
2
12121θθθθb k l k a k b k l k a k V ++=++=
根据：
max max V T =，max
max θωθn = 2
22102
322212l
m a m I b k l k a k n
++++=ω 2.24 一长度为l 、质量为m 的均匀刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。
图 T 2-24
答案图 T 2-24
解：
利用动量矩方程，有：
l l c a a k J ?-?-=θθθ
，23
1ml J = 033222=++θθθ
ka cl ml 2
2
3ml
ka n =ω n ml cl ξω232
2
=，1=ξ 3
2332322
2mk
l a ml ka m m c n ===ω
2.25 图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。
图 T 2-25
答案图 T 2-25
解：
0=?+?+?b b k a a c l l m θθθ 0222=++θθθ
kb ca ml m
k
l b ml kb n =
=22ω n ml ca ξω222=，k
m
mlb ca ml ca n 22222==ωξ
l