§7.1 二阶电路的零输入响应
二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。
1.方程和初始条件
图 7.1
图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KVL方程及元件的VCR 为：
若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程：
初始条件为：u C (0+)= U 0 ，i (0+)=0 ，或
若以电感电流为变量，则方程为：
初始条件为：i (0+)=0 ，
根据 得：
2．二阶微分方程的解及其物理意义
以电容电压为变量，电路方程为：
从中得特征方程：
特征根为：
上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。
（1）当时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态。
此时方程的解为：
由初始条件：，
得： 即：
因此电容电压为：
电流为：
电感电压为：
图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出，电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量，称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所示。
图7.2表明t=t m时，i C取得最大值，t=2tm时，u L为极小值。通过对电流求导，可计算时间t m。即：
图 7.2
→ →
图 7.3
（2）当时，特征根为两个共轭复根，电路处于振荡放电状态。令： 则特征根为：
电容电压的u C的通解形式为：
经常把上式写成三角函数形式：
故把ω称为振荡频率。
通解中待定常数A ， b 根据初始条件确定，即：
联立求解以上方程得：
由于ω、ω０、δ、b 满足图7.4所示的三角关系:
所以
则
图 7.4 图 7.5
图7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图7.6 所示。
图 7.6
若RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。此时有：
（3）当时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。 特征根为：
方程的通解为：
根据初始条件得：
解得：
从以上诸式可以看出，电压和电流具有非振荡的性质，其波形类似于图7.2，波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。
总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤：
1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为二阶线性齐次常微分方程；
2)由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：
特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态：
特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态：
特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态：
3）根据初始值确定积分常数从而得方程的解。
以上步骤可应用于一般二阶电路。
例7-1图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时打开开关, 求电容电压u C并画出其变化曲线。
例 7 — 1 图（ a ）（ b ）
解：求解分三步：
（1）首先确定电路的初始值。
由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路，
得初值为：uＣ(0－)=25V ，i L(0－)=5A
（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微分方程为：
带入参数得特征方程为： 50P 2+2500 P +106=0
解得特征根：
由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为：
（3）确定常数，根据初始条件得：
有： 即：
电压随时间的变化波形如图（b）所示。
例7-2图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值时输出电压u2的零输入响应情况。
图例7-2
解：对节点 A 列写 KCL 方程：
列写 KVL 方程：
对方程两边微分，整理得：
特征方程为：
特征根为：
令： 则：
下面进行讨论：
（1）若，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有：
，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5
当1＜k＜3时有 d＞0 ，为衰减振荡；
当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡；
当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。
（2）若，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有：
，, k＜1 , k＞5
§7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1．零状态响应和阶跃响应
二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。零状态响应和阶跃响应的求解方法相同。现以图7.6所示RLC 串联电路为例说明求解方法。
图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为:
u C(0－)=u C(0+)=0，i L(0－)=i L(0+)=0。
图 7.6
t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程：
特征方程为；
方程的通解求法与求零输入响应相同。
令方程中对时间的导数为零，得方程的特解 :
则u C的解答形式为：
由初值 确定常数
电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示，表明电容电压从零上升最后稳定在E 值。
图 7.7
2．二阶电路的全响应
如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过把零状态方程的解带入非零的初始条件求得全响应。
例7-3图示电路在t＜0 时处于稳态，t=0 时打开开关, 求电流i 的零状态响应。
例 7 — 3 图（ a ）（ b ）
解：（1）列写微分方程，由 KCL 得：
由 KVL 得：
整理以上两个方程得：
方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为：
（2）求通解i'
特征方程为：
特征根为：P1=－2 ，P2=－6
所以
（3）求特解i ”
由图（b）所示的稳态模型得：i=0.5u1，u1=2(2－0.5u1)，解得：u1=2V，i=1A
所以
（4）定常数
电路的初始值为
由图（c）所示的0+电路模型得：
（ c ）
所以
因此电流为：
例7-4图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,已知：i L(0-)=2A，u C(0-)=0，求电流i L和i R。
例 7 — 4 图
解：(1) 列微分方程
应用结点法得：
整理有：
(2) 令对时间的导数为零，求得特解：
(3) 求通解
特征方程为：
特征根为：P = -100 ± j 100
所以：
(4) 定常数，代入初值有
解得： 所以
(5) 求电流i R
§7.3 二阶电路的冲激响应
零状态的二阶电路在冲击函数激励下的响应称为二阶电路的冲击响应。注意电路在冲击激励下初始值发生了跃变。现以图7.8所示RLC串联电路为例说明求解方法。
图 7.8
图中激励为冲击电压，因此t=0 时电路受冲击电压激励获得一定的能量。根据 KVL 和元件的 VCR 得 t=0 时刻以电容电压为变量的电路微分方程为：
把上式在 t=0－到0+区间积分并考虑冲击函数的性质，得：
为保证上式成立，u C不能跃变，因此，等式左边第二和第三项积分为零，式子变为：
即：
最后有： →
上式说明冲击电压使电感电流跃变，电感中储存了磁场能量，而冲击响应就是该磁场能量引起的变化过程。t＞0+后，冲击电压消失，电路为零输入响应问题。
t＞0+后的电路方程为：
带入初始条件得：
解得：
若，则：
第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。 ◆ 重点： 1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义 ◆ 难点： 1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算 7.0 知识复习 一、二阶齐次微分方程的通解形式 0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02 =++c bp ap ，特征根： a ac b a b p 4422 2,1-± - =。 当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+= 当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时， )sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式 β+β=β sin cos j e j 2 )sin() () (j e e t t j t j β+ω-β+ω-= β+ω β-β=β -sin cos j e j 2 )cos() () (β+ω-β+ω+= β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应 7.1.1 二阶电路中的能量振荡 在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0 C L _ - _ C L 0 + (d) 图8-1 L C 电路中的能量振荡 设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。此时电流为零，电流的变化率不为零（0 ≠==dt di L u u L C ，0 ≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。 电容电压虽然为零，但其变化率不为零（0 0≠===dt du C I i i C L C ，0 ≠∴dt du C ），电 路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。 之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。 上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。 可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。 7.1.2 二阶电路的微分方程 二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为 0)0()0(==-+L L i i 。 图8-2 R 、L 、C 串联的二阶电路 根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u 其电路电流为： dt du C i C -=
动态电路分析仿真实验 一、实验目的 1、掌握 Multisim 编辑动态电路、设置动态元件的初始条件、掌握周期激励的属性及对动态电路仿真的方法。 2、理解一阶 RC 电路在方波激励下逐步实现稳态充放电的过程。 3、理解一阶 RL 电路在正弦激励下，全响应与激励接入角的关系。 二、实验器材 计算机、Multisim 软件 三、实验内容及分析 RC 一阶动态电路仿真实验 1． 一阶RC 电路的充、放电 在 Multisim 10中，搭建RC 充、放电仿真实验电路，如图2.2.1所示。 当动态元件（电容或电感）初始储能为零（即初始状态为零）时，仅由外加激励产生的响应称为零状态响应；如果在换路瞬间动态元件（电容或电感）已储存有能量，那么即使电路中没有外加激励电源，电路中的动态元件（电容或电感）将通过电路放电，在电路中产生响应，即零输入响应。 在 Multisim 10中，单击图2.2.1所示电路中开关J 1的控制键A ，选择RC 电路分别工作在充电（零状态响应）、放电（零输入响应）状态。 （1）RC 充电（零状态响应） J1 C1 1uF
R110kΩV113 V J1Key = Space C1 1uF IC=13V 3120 7020911022易小辉7020911037谢剑萍 （2）RC 放电（零输入响应） 2． 一阶RC 电路的仿真实验。 当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路产生的响应称为全响应。对于线性电路，全响应是零输入响应和零状态响应之和。
R1 10kΩ C11uF 7020911022易小辉7020911037谢剑萍 XFG1 XSC1 A B Ext Trig + + _ _ +_ 1 2 R=4.5K C=1UF
第7章 选择题 1.下列说法中正确的是（ D ）。 A.同频率正弦量之间的相位差与频率密切相关 B.若电压与电流取关联参考方向，则感性负载的电压相量滞后其电流相量?90 C.容性负载的电抗为正值 D.若某负载的电压相量与其电流相量正交，则该负载可以等效为纯电感或纯电容 2.下列说法中错误的是（ B ）。 A.两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，是一个与时间无关的常数 B.对一个RL 串联电路来说，其等效复阻抗总是固定的复常数 C.电容元件与电感元件消耗的平均功率总是零,电阻元件消耗的无功功率总是零 D.有功功率和无功功率都满足功率守恒定律，视在功率不满足功率守恒定律 3.已知RC 并联电路的电阻电流6A =R I ，电容电流8A =C I ，则该电路的端电流I 为（ D ）。 A.2A B.14A C.A 14 D.10A 4.已知RLC 串联电路的电阻电压4V =R U ，电感电压3V =L U ，电容电压6V =C U ，则端电压U 为（ C ）。 A.13V B. 7V C.5V D.1V 5.已知某电路的电源频率Hz 50=f ，复阻抗Ω?∠=3060Z ，若用RL 串联电路来等效，则电路等效元件的参数为（ C ）。 A.Ω=96.51R , H 6.0=L B.Ω=30R , H 96.51=L C.Ω=96.51R , H 096.0=L D.Ω=30R , H 6.0=L 6.已知电路如图所示，则下列关系式总成立的是（ C ）。 A.??+=I C j R U )(ω B.? ?+=I C R U )(ω C.?? ??????+=I C R U ωj 1 D.?? ??????-=I C j R U ω1 选择题5图
二阶巴特沃斯滤波器的分 析与实现电路 Prepared on 24 November 2020
巴特沃斯滤波器的分析与实现 巴特沃斯滤波器网上没有提供现成的电路和具体参数，此处本文给出几种类型的巴特沃斯滤波器，并给出了参数计算分析。 1、巴特沃斯低通滤波器的定义： 巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示: 其中, n = 滤波器的阶数 ωc =截止频率 =振幅下降为 -3分贝时的频率 ωp = 通频带边缘频率 1/(1 + ε2) = |H(ω)|2在通频带边缘的数值. 2、巴特沃斯滤波器的实现 一些常见资料的滤波器的错误 有些资料上给出的二阶巴特沃斯滤波器电路图为： 图中红线部分为放大电路，其实滤波器为2阶RC滤波器。其传递函数为： H（s）= 1 ()2 下面证明此滤波器不可能为二阶巴特沃斯滤波器：滤波器幅频传递函数为： |H(jw)|=| 1 ()2 | = 1 1+w4(R1R2C1C2)2+w2((R1C1+R1C2+R2C2)2?2R1R2C1C2)
若滤波器是巴特沃斯滤波器，则((R1C1+R1C2+R2C2)2?2R1R2C1C2要为 0 。因为(R1C1+R1C2+R2C2)2?2R1R2C1C2始终大于零（R1R2C1C2不取零值，C1或C2为零时为1阶RC滤波器，此时为巴特沃斯滤波器），所以不论R1R2C1C2取何值，都不是二阶巴特沃斯滤波器 二阶巴特沃斯滤波器的实现方法 本文列举了2种2阶巴特沃斯滤波器的实现方法，并给出了滤波器是巴特沃斯滤波器的参数。以下详述： 方法1：RC压控电压源滤波器 传递函数为： H（s）=1 1+s(R1C1+R1C2+R2C2-A*R1C1)+s R1R2C1C2 （A为放大倍数） 下面证明此滤波器在一定情况下可成为为二阶巴特沃斯滤波器： 情况1： 滤波器幅频传递函数为： |H(jw)|=| A 1+jw(R1C1+R1C2+R2C2?A?R1C1)?w2R1C1R2C2 | = A +w4(R1R2C1C2)2+w2((R1C1+R1C2+R2C2?A?R1C1)2?2R1R2C1C2) 若滤波器是巴特沃斯滤波器，则((R1C1+R1C2+R2C2?A?R1C1)2?2R1R2C1C2要为0 。 令A=（） C1=C2 R1=R2则 |H(jw)|=3?√2 44 符合巴特沃斯滤波器方程，但是有一个（）的放大倍数。
实验二二阶系统的动态过程分析 一、 实验目的 1. 掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。 2. 定量分析二阶系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。 3. 加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的 性质。 4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和Simulink 实现方 法。 二、 实验内容 1. 分析典型二阶系统()G s 的ξ和n ω变化时，对系统的阶跃响应的影响。 2. 用实验的方法求解以下问题： 设控制系统结构图如图所示，若要求系统具有性能： %20%,1,p p t s σσ=== 试确定系统参数K 和τ，并计算单位阶跃响应的特征量d t ，r t 和s t 。 图 控制系统的结构图 3. 用实验的方法求解以下问题： 设控制系统结构图如图所示。图中，输入信号()r t t θ=，放大器增益A K 分别取，200和1500。试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。
图 控制系统的结构图 三、 实验原理 任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。 通常，二阶控制系统2 22 ()2n n n G s s ωξωω=++可以分解为一个比例环节、一个惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图所示，对应的模拟电路图如图所示。 图 二阶系统的结构原理图 图 二阶系统的模拟电路原理图 图中：()(),()()r c u t r t u t c t ==-。 比例常数（增益系数）2 1 R K R = ，惯性时间常数131T R C =，积分时间常数242T R C =。其闭环传递函数为： 12 221112 ()1()(1)c r K U s TT K K U s T s T s K s s T TT == ++++ (0.1)
二阶电路分析——LC 震荡的推导 如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u 按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dt du C i C -= dt du RC Ri u C C -== 22dt u d LC dt di L u C L -== 将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为 02 2=++C C C u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10） 式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为 012=++RCp LCp 其特征根为 2 022 2 ,1122ωαα-±-=-?? ? ??±-=LC L R L R p 式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。 1.几种不同情况的讨论 (1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为 2 022,1ω-±-=a a p 微分方程的通解为 ()t p t p C e A e A t u 2121+= （9.11） 其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由
式(9.11) 可得 ()21A A t u C += 对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为 ()()()C i p A p A dt t du u t C C +=+-=+=='+0022110 联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。 根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。()t u C 的波形如图9. 17所示。 （2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。特征根为 a p p -==21 微分方程的通解为 ()()at C e t A A t u -+=21 其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。()t u C 的波形图根据式(9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。 (3)当时，1p 、2p 为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。待征根为 d j L R LC j L R p ωα±-=?? ? ??-±-=2 2 ,1212 其中 2202 21αωω-=?? ? ??-= L R LC d 称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为 ())sin(e ?ωα+=-t A t u d t C
§7.1 二阶电路的零输入响应 二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。 1.方程和初始条件 图 7.1 图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KVL方程及元件的VCR 为： 若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程： 初始条件为：u C (0+)= U 0 ，i (0+)=0 ，或 若以电感电流为变量，则方程为： 初始条件为：i (0+)=0 ， 根据 得： 2．二阶微分方程的解及其物理意义 以电容电压为变量，电路方程为： 从中得特征方程：
特征根为： 上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。 （1）当时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态。 此时方程的解为： 由初始条件：， 得： 即： 因此电容电压为： 电流为： 电感电压为： 图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出，电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量，称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所示。 图7.2表明t=t m时，i C取得最大值，t=2tm时，u L为极小值。通过对电流求导，可计算时间t m。即： 图 7.2
→ → 图 7.3 （2）当时，特征根为两个共轭复根，电路处于振荡放电状态。令： 则特征根为： 电容电压的u C的通解形式为： 经常把上式写成三角函数形式： 故把ω称为振荡频率。 通解中待定常数A ， b 根据初始条件确定，即： 联立求解以上方程得： 由于ω、ω０、δ、b 满足图7.4所示的三角关系: 所以 则
第七章 二阶电路 当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同于一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为： （1）根据KVL ，KCL 及元件的VCR 写出以C u 或L i 为变量的二阶微分方程； （2）由(0)(0)C C u u -+=，(0)(0)L L i i -+=确定电路的初始状态，即得出 (0), C C o du u dt + +或 (0), L L o di i dt + +的值； （3）求出二阶微分方程的两个特征根1,2p p ，根据的不同取值1,2p p ，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况： ()112p p ≠为两个不相等的实根（称过阻尼状态） 通解=1212p t p t Ae A e + ()1,22p j δω=-±为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态） 通解= sin()t Ae t δωβ-+ ()123p p p ==为相等实根（称临界状态） 通解=12()pt A A t e + ()4由激励源的函数形式确定方程的特解形式； ()5由初始条件，确定12,A A 或,A β等待定常数，得出确定的解。 二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。 7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S 打。求 000(0),(0), , , C L R C L du di di u i dt dt dt + + + ++。 解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求)0(-C u 和)0(-L i 。t<0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a ）所示。由图（a ）得
二阶电路的动态响应实验报告 一、实验目的： 1. 学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。 2. 研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。 3. 研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。 4. 研究RLC 串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。 二、实验原理： 图1.1 RLC 串联二阶电路 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。图1.1所示的线性RLC 串联电路是一个典型的二阶电路。可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述： s 2 U 2=++c c c u dt du RC dt u d LC （1-1） 初始值为 C I C i dt t du U u L t c c 0 00 )0()()0(== =-=-- 求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c (t )。 再根据：dt du c t i c c =)( 可求得i c (t )，即回路电流i L (t )。 式（1-1）的特征方程为：01p p 2 =++RC LC 特征值为：2 0222,11)2(2p ωαα-±-=-±- =LC L R L R (1-2)
定义：衰减系数（阻尼系数）L R 2= α 自由振荡角频率（固有频率）LC 1 0= ω 由式1-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。 1． 零输入响应 动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。 电路如图1.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。 图1.2 RLC 串联零输入电路 (1) C L R 2 >，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。 电路响应为： ) () ()()()(2 1 2 1 120 121 20 t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---= --= 图1.3 RLC 串联零输入瞬态分析 响应曲线如图1.3所示。可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的 过渡过程。整个放电过程中电流为正值， 且当2 11 2ln P P P P t m -=时，电流有极大值。 （2）C L R 2 =，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。 电路响应为
二阶电路的动态响应实验报告一、实验目的： 1.学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。 2.研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。 3.研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。 4.研究RLC串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。 二、实验原理： 图1.1 RLC串联二阶电路 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。图1.1所示的线性RLC串联电路是一个典型的二阶电路。可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述： s 2 U 2 = + + c c c u dt du RC dt u d LC（1-1）初始值为 C I C i dt t du U u L t c c ) 0( )( ) 0( = = = - = - - 求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c(t)。 再根据： dt du c t i c c = )(可求得i c(t)，即回路电流i L(t)。 式（1-1）的特征方程为：0 1 p p2= + +RC LC
特征值为 ： 2 0222,11)2(2p ωαα-±-=-±- =LC L R L R (1-2) 定义：衰减系数（阻尼系数）L R 2= α 自由振荡角频率（固有频率）LC 1 0= ω 由式1-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。 1． 零输入响应 动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。 电路如图1.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。 图1.2 RLC 串联零输入电路 (1) C L R 2 >，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。 电路响应为： ) () ()() ()(2 1 2 1 120 121 20 t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---= --= 图1.3 RLC 串联零输入瞬态分析 响应曲线如图1.3所示。可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的 过渡过程。整个放电过程中电流为正值， 且当2 11 2ln P P P P t m -=时，电流有极大值。
一阶电路的全响应 一阶电路的全响应 一、全响应 全响应 一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。 图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。 时，响应的初始值为 时，响应的稳态值为 用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应 和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。 图5.5-1（b）中，零输入响应为 图5.5-1（c）中，零状态响应为
根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为 用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。 全响应的变化规律 1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。 2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。 3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法 全响应的三要素 初始值 稳态值 时间常数 例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态， t=0时开关S闭合，求时的电容电流。 解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。 1、确定初始状态。 作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。由换路定则得初始状态
答案7.1 解：设星形联接电源电路如图(a)所示，对称星形联接的三相电源线电压有效值 倍，相位上超前前序相电压30?。即 AB 3030)V=538.67cos()V u t t ωω=-?+? BC 538.67cos(120)V u t ω=-? CA 538.67cos(240)V u t ω=-? 各相电压和线电压的相量图可表达如图(b)所示。 A B C N (a) AB U CA U BC U AN U BN U CN U (b) CN U -AN U -BN U 答案7.2 解：题给三个相电压虽相位彼此相差120，但幅值不同，属于非对称三相电压，须按KVL 计算线电压。设 AN 127V U = BN 127240V=(-63.5-j110)V U =∠? CN 135120V=(-67.5+j116.9)V U =∠? 则 AB AN BN BC BN CN CA CN AN (190.5j 110)V 22030V (4j226.9)V 226.989V (194.5j 116.9)V 226.9149V U U U U U U U U U =-=+=∠?=-=-=∠-?=-=-+=∠? 即线电压有效值分别为220V ，226.9V ，226.9V 。 答案7.3 设负载线电流分别为A B C i i i 、、，由KCL 可得A B C 0I I I =++。又 A B C 10A I I I ===，则A B C i i i 、、的相位彼此相差120?，符合电流对称条件，即线电流是对称的。 但相电流不一定对称。例如，若在三角形负载回路内存在环流0 I （例如，按三角形联接的三相变压器），则负载相电流不再对称，因为 CA CA 0BC BC 0A B A B ',','I I I I I I I I I +=+=+=
实验八 二阶动态电路响应的研究 一、实验目的 1. 测试二阶动态电路的零状态响应和零输入响应， 了解电路元件参数对响应的影响。 2. 观察、分析二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点， 以加深对二阶电路响应的认识与理解。 二、原理说明 一个二阶电路在方波正、负阶跃信号的激励下，可获得零状态与零输入响应，其响应的变化轨迹决定于电路的固有频率。当调节电路的元件参数值，使电路的固有频率分别为负实数、共轭复数及虚数时，可获得单调地衰减、衰减振荡和等幅振荡的响应。在实验中可获得过阻尼，欠阻尼和临界阻尼这三种响应图形。 简单而典型的二阶电路是一个RLC 串联电路和GCL 并联电路，这二者之间存在着对偶关系。本实验仅对GCL 并联电路进行研究。 三、实验设备 四、实验内容 动态电路实验板与实验七相同，如图7-3所示。利用动态电路板中的元件与开关的配合作用，组成如图8-1所示的GCL 并联电路。 令R 1＝10K Ω，L ＝4.7mH ， C ＝1000PF ，R 2为10K Ω可调电 阻。令脉冲信号发生器的输出为 U m ＝1.5V ，f ＝1KHz 的方波脉冲， 通过同轴电缆接至图中的激励端， 同时用同轴电缆将激励端和响应 输出接至双踪示波器的Y A 和Y B 两个输入口。 图 8-1 调节可变电阻器R 2之值， 观察二阶电路的零输入响应和零状态响应由过阻尼过渡到临界阻尼，最后过渡到欠阻尼的变化过渡过程，分别定性地描绘、记录响应的典型变化波形。 2. 调节R 2使示波器荧光屏上呈现稳定的欠阻尼响应波形， 定量测定此时电路的衰减常数δ和振荡频率ωd 。 3. 改变一组电路参数，如增、减L 或C 之值，重复步骤2的测量，并作记录。随后仔细观察，改变电路参数时，ωd 与δ的变化趋势，并作记录。
二阶电路 一实验目的 通过二阶电路的传递函数，验证其分别作为比例电路，微分电路，积分电路的条件。 二理论准备 使用如上电路图，写出传递函数 其中τ1＝R1C1, τ2＝R2C2 这是一个一阶高通与一个一阶低通环节的串连，不妨设τ1>τ2。幅频特性、相频特性为： ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1τ τ+ + = = s C s R s s F s Y s H
定性画出幅频，相频曲线得 该二阶系统为一个带通滤波器 1. 当输入信号的角频率ω<<1/τ1时，∣H(jω)∣≒C1R2ω、φ（ω）≒90，即等效于微分电路 2. 当输入信号的角频率ω>>1/τ2时，∣H(jω)∣≒1/(R1C2ω)、φ（ω）≒-90，即等效于积分电路 3. 当输入信号的角频率1/τ2>>ω>>1/τ1时，∣H(jω)∣≒R2/R1、φ（ω）≒0，即等效比例电路。 三实验设计 采用如上图所示电路图。 1 比例电路
为满足1/τ2>>ω>>1/τ1，取R1=1KΩ，C1=1000μF，R2=1KΩ，C2=0.01μF则τ1=1s，τ2=10-5s。 f=1000Hz,占空比1:1的周期方波信号作为输入。 2 微分电路 为满足ω<<1/τ1，取R1＝1k、R2＝1k、C1＝0.1uF、C2＝0. 01uF，τ1= 0.0001s,τ 2 = 0.00001s。 f=100Hz，占空比为1:1的周期方波信号作为输入。 3 积分电路 为满足ω>>1/τ2，取R1=100KΩ R2=100KΩ C1=0.1μF C2=0.01μF τ1=0.01s τ2=0.001s。 f=10000Hz，占空比1：1的周期方波信号作为输入。 四实验现象 1 比例电路
第七章习题 7-1：电力系统接线图示于图6-44a 。试分别计算f 点发生三相短路故障后0.2s 和2s 的短路电流。各元件型号及参数如下： 水轮发电机G-1：100MW ，cos ?=0.85，'' 0.3d X =；汽轮发电机G-2和G-3每台50MW ，cos ?=0.8， '' 0.14d X =；水电厂A ：375MW ，''0.3d X =；S 为无穷大系统，X=0。变压器T-1：125MVA ，V S %=13; T-2 和T －3每台63MVA ，V S （1-2）%=23，V S （2-3）%=8，V S （1-3）%=15。线路L-1：每回200km ，电抗为0.411 /km Ω；L-2：每回100km ；电抗为0.4 /km Ω。 解：（1）选S B =100MVA ，V B = Vav ，做等值网络并计算其参数，所得结果计于图6-44b 。 （2）网络化简，求各电源到短路点的转移电抗 利用网络的对称性可将等值电路化简为图6-44c 的形式，即将G-2，T-2支路和G-3，T-3支路并联。然后将以f ，A ，G 23三点为顶点的星形化为三角形，即可得到电源A ，G 23对短路点的转移电抗，如图6-44d 所示。
23 0.1120.119 0.1120.1190.3040.1180.064 G X ?=++=+ (0.1180.064)0.119 0.1180.0640.1190.4940.112 Af X +?=+++ = 最后将发电机G-1与等值电源G 23并联，如图6-44e 所示，得到 139.0304 .0257.0304.0257.0123=+?=f G X （3）求各电源的计算电抗。 123100/0.85250/0.8 0.1390.337100 jsG f X +?=?= 853.1100 375 494.0=?=jsA X （4）查计算曲线数字表求出短路周期电流的标幺值。对于等值电源G123用汽轮发电机计算曲线数字表，对水电厂A 用水轮发电机计算曲线数字表，采用线性差值得到的表结果为 G123A G123A 0.2I =2.538 I =0.581 2I =2.260 I =0.589 t s t s ==时 时 系统提供的短路电流为 821.12078 .01 == S I
一阶电路和二阶电路的动态响应 学号：1028401083 姓名：赵静怡 一、实验目的 1、掌握用Multisim研究一阶电路的动态响应特性测试方法 2、掌握用Multisim软件绘制电路原理图 3、掌握用Multisim软件进行瞬态分析 4、深刻理解和掌握零输入响应、零状态响应和完全响应 5、深刻理解欠阻尼、临界、过阻尼的意义 6、研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响 二、实验原理 ⑴一阶电路 含有一个独立储能元件，可以用一阶微分方程来描述的电路，称为一阶电路。 一阶RC电路 零输入响应： 当U s=0时，电容的初始电压U c(0+)=U0时，电路的响应称为零输入响应。
RC t c U t u - = 0)(（t>=0） 零状态响应： 当电容电压的初始值U c (0+)=0时，而输入为阶跃电压u s =U S u(t)时，电路的响应称为零状态响应。 )()1()(t u e U t u RC t s c - -= ⑵二阶电路 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。 RLC 串联二阶电路 如上图就是一个典型的二阶电路，可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：s c c c U u dt du RC dt u d LC =++22 衰减系数（阻尼系数）L R 2= α 自由振荡角频率（固有频率）LC w o 1 = ???????????=<=>，称为无阻尼情况 ，响应是等幅振荡性的 0伟欠阻尼情况，响应是振荡性的，陈2临界阻尼情况 ，响应临界振荡，称为2为过阻尼情况 响应是非振荡性的，称,2 R C L R C L R C L R
第七章 习题与思考题 ◆◆ 习题 7-1 在图P7-1所示的放大电路中，已知R 1=R 2=R 5=R 7=R 8=10k Ω，R 6=R 9=R 10=20k Ω： ① 试问R 3和R 4分别应选用多大的电阻； ② 列出u o1、u o2和u o 的表达式； ③ 设u I1=3V ，u I2=1V ，则输出电压u o ＝ 解： ① Ω=Ω==k k R R R 5)10//10(//213，Ω≈Ω==k k R R R 67.6)20//10(//654 ② 1111211010I I I o u u u R R u -=-=- =，2226525.1)2010 1()1(I I I o u u u R R u =+=+=， 2121217932)5.1(10 20 )(I I I I o o o u u u u u u R R u +=---=-- = ③ V V u u u I I o 9)1332(3221=?+?=+= 本题的意图是掌握反相输入、同相输入、差分输入比例运算电路的工作原理，估算三种比例电路的输入输 出关系。 ◆◆ 习题 7-2 在图P7-2所示电路中，写出其 输出电压u O 的表达式。 解： I I I I o u R R u R R u R R u R R u ])1[()()1(4 5124 512 ++=--+ = 本题的意图是掌握反相输入和同相输入比例 电路的输入、输出关系。
◆◆ 习题 7-3 试证明图P7-3中，)(1122 1 I I o u u R R u -= ）＋（ 解： 11 2 1)1(I o u R R u + = ) )(1()1()1()1()1()1(122 122112122111221221121I I I I I I I o o u u R R u R R u R R u R R u R R R R u R R u R R u -+=+++-=+++-=++- = 本题的意图是掌握反相输入和同相输入比例电路的输入、输出关系。 ◆◆ 习题 7-4 在图P7-4所示电路中，列出u O 的表达式。 解： 反馈组态应为深度电压串联负反馈，因此有uu uf F A &&1= I o R R I o uf uu u R R u u R R u R R R R R A R R R F )1()1(11 7373737373313+=???→?+=?+=+=?+==若&&
动态电路分析 一、是非题 1.对于零状态电路，过渡过程的起始瞬间，电容相当于短路，电感相当于开路（不计冲激作用)。 2.换路定律仅用来确定u c(0+)和i L(0+)，其他电量的初始值应根据u c(0+)或 i L(0+)按欧姆定律及基尔霍夫定律确定。 3.同一个一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应具有相同的时间常数。 4.用短路开关把载流线圈短接，则线圈电阻越大，线圈电流衰减时间越长。 5.全响应中，零状态响应由外加激励引起的，所以零状态响应就是稳态响应。 6.电路的零输入响应就是自由分量，零状态响应就是强制分量。 7.R大于、等于或小于是判断RLC串联电路零输入响应处于非振荡放电、临界放电和振荡放电状态的判别式。 8.电感元件是用电压电流特性来定义的元件。 9.如电感元件的电流不变，无论其电感值为多大，都可等效为短路；如电容元件的电压不变，无论其电容值为多大，都可等效为开路。 10.一个在t=0-时电压为零且电压不跃变的电容在换路时相当于短路；一个在 t=0-时电流为零且电流不跃变的电感在换路时相当于开路。 11.由R、L组成的一阶电路，若R越大，其零输入响应衰减得越慢。 12.零输入的RC电路中，只需时间常数τ不变，电容电压从100V放电到50V所需时间与从150V放电到100V所需时间相等。 13.在零输入响应的情况下，电路的时间常数τ是电流或电压由初始值衰减到该值的0.632倍所需的时间。 14.电压为100V的直流电压源，通过100kΩ电阻对10μF电容充电，经过1s，充电电流为0.368mA。 15.在零状态RL串联电路接入恒定电压，如果电源电压不变，增加电阻可以减少稳态电流及缩短过渡过程时间。
电路分析基础答案周围版 7-1.电路如图示，分别求两个电路的转移电压比，并绘幅频特性曲线和相频特性曲线。 解：（a ） ()2 2 01 I U U R H j K U R j L ωω=== = +&&&，()() 2 2 R H j R L ωω= +，L arctg R ω?=- (b) ()2 2 01 I U U j L H j K U R j L ωωω=== = +&&&，()() 2 2 L H j R L ωωω= +，2 L arctg R π ω?= - 7-2. 电路如图示， （1）试证()21 1 13I H j I j RC RC ωωω== ? ?+- ??? &&； （2）在什么条件下，2I &、1 I &同相？此时()?H j ω=。 解： （1）先计算电阻和电容并联的复阻抗： 1 1//11R R j C R j C j RC R j C ωωωω==++ 依据分流公式，有： ()21112 1//11111//1R R j C j RC j RC I I I I R j RC j RC R R R j C j C j C j RC ωωωωωωωωω?? ?+??===????????++++++ ? ? ? ?+???????? &&&& ()()()() 2222111 111112311I j RC H j I j RC j RC j RC j RC RC j RC RC j RC j RC ωωωωωωωωωωω=====? ?++++-+ - ?++?? && ? ω 2 π - o () H j ωω o 1 ? ω 2 πo ()H j ωω o 1
自动控制原理 实验报告 实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级： 姓名： 学号：
实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析 一、实验目的 1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼 状态 2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响； 3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数 有关，与外作用无关”的性质； 4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态； 5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。 二、实验容 1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。 2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。 3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量 %σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定 性的影响； 4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量 %σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定 性的影响； 5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。 三、实验步骤 1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统： ωωξω22)(22 n n s G s s n ++= 可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节
ωωξω221)() ()()(2C C C C s C C 2 22 6215423 2 15423 2 2154215426316 320 n n s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++= ++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响 将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值 当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2 （1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。 当12.5n =ω，0.8=ξ时： clear g=tf(12.5^2,[1 25*0.8 12.5^2]), step(g) Transfer function: 156.3 ------------------- s^2 + 200 s + 156.3
姓名：王硕
一、实验目的 1、研究一阶动态电路的零输入响应、零状态响应及完全响应的特点和规律。掌握测量一阶电路时间常数的方法。 2、理解积分和微分电路的概念，掌握积分、微分电路的设计和条件。 3、用multisim 仿真软件设计电路参数，并观察输入输出波形。 二、实验原理 1、零输入响应和零状态响应波形的观察及时间常数τ的测量。 当电路无外加激励，仅有动态元件初始储能释放所引起的响应——零输入响应；当电路中动态元件的初始储能为零，仅有外加激励作用所产生的响应——零状态响应；在外加激励和动态元件的初始储能共同作用下，电路产生的响应——完全响应。 以一阶RC 动态电路为例，观察电路的零输入和零状态响应波形，其仿真电路如图1（a ）所示。 ) (u i ) (u o t t 2 /T T 2 /3T 0 T 2T T 22 /3T 2/T S U S U （a ） （b ） 图1 一阶RC 动态电路 方波信号作为电路的激励加在输入端，只要方波信号的周期足够长，在方波作用期间或方波间隙期间，电路的暂态响应过程基本结束（τ52/≥T ）。故方波的正脉宽引起零状态响应，方波的负脉宽引起零输入响应，方波激励下的)(t u i 和)(t u o 的波形如图1（b ）所
示。在)2/0(T t ，∈的零状态响应过程中，由于T <<τ，故在2/T t =时，电路已经达到稳定状态，即电容电压S o U t u =)(。由零状态响应方程 )1()(/τ t S o e U t u --= 可知，当2/)(S o U t u =时，计算可得τ69.01=t 。如能读出1t 的值，则能测出该电路的时间常数τ。 2、RC 积分电路 由RC 组成的积分电路如图2（a ）所示，激励)(t u i 为方波信号如图2（b ）所示，输出电压)(t u o 取自电容两端。该电路的时间常数2 T RC >> =τ（工程上称10倍以上关系为远远大于或远远小于关系。），故电容的充放电速度缓慢，在方波的下一个下降沿（或上升沿）到来时，充放电均未达到稳态，输出波形如图2（c ）所示，为近似三角波，三角波的峰值 E <<'E 。 故R t u R t u t i i R )()()(≈= ，因而??≈==dt t u RC dt t i C t u t u i c o )(1 )(1)()(，所以输出电压近似地与输入电压的积分成正比。 )t 积分电路 )( a 图1 3、RC 微分电路 由RC 组成的微分电路如图3（a ）所示，激励)(t u i 为方波信号如图3（b ）所示，输