2012年中考沪科版初中数学总复习
第1课时 实数的有关概念
【知识梳理】
1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限
环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.
2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.
3. 绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作∣a ∣，正数的绝对值是它本身；负
数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是-a ，0的相反数是0.
5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似
数的有效数字.
6. 科学记数法：把一个数写成a×10n 的形式(其中1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫做科学记数法.
如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.
7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.
9. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方
根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．
11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，
0的算术平方根是0．
12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次
方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．
13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．
【思想方法】
数形结合，分类讨论
【例题精讲】
例1.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，
则必有（ ）
A ．0a b +>
B ．0a b -<
C ．0ab >
D ．0a b
< 例2.（改编题）有一个运算程序，可以使：
a ⊕
b = n (n 为常数)时，得
（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3
现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．
3.下列各式中，正确的是（ ）
A ．3152<<
B ．4153<<
C ．5154<<
D ．161514<<
4.已知实数a
在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
0 例1图
第2课时实数的运算
【知识梳理】
1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；
任何数与0相乘，积仍为0．
4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，先算括号里面的．
6．有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a(a b
、为任意有理数)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
【思想方法】
数形结合，分类讨论
例1.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )
A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.
B．纽约时间2006年6月17日晚上22时.
C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .
D．汉城时间2006年6月17日上午8时.
例2.下列运算正确的是（）
A．5
2
3=
+B．6
2
3=
?
C．1
3
)1
3
(2-
=
-D．3
5
3
52
2-
=
-
例3.下列运算正确的是（）
A．a4×a2=a6B．22
532
a b a b
-=
C．325
()
a a
-=D．2336
(3)9
ab a b
=
3.估计68的立方根的大小在( )
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
-4 国际标准时间（时）
-5
例2图
【知识梳理】
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=?（m 、
n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，
m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整
数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a
a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.
(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，
即22))((b a b a b a -=-+；
(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
4.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化
成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±
5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再
考虑是否能用公式法分解．
6．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．
⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．
(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【例题精讲】
例1下列计算正确的是（ ）
A. a ＋2a=3a 2
B. 3a －2a=a
C. a 2?a 3=a 6
D.6a 2÷2a 2=3a 2
例2若2320a a --=，则2526a a +-= ．
例3.下列因式分解错误的是( )
A ．22()()x y x y x y -=+-
B ．2269(3)x x x ++=+
C ．2()x xy x x y +=+
D ．222()x y x y +=+ 例4．分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x
例5..对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，
（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“?”：（a ，b ）?（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）?（p ，q ）
=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．
例6. 已知a=1.6?109，b=4?103，则a 2÷2b=( )
A. 2?107
B. 4?1014
C.3.2?105
D. 3.2?1014 ．
例7.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．
【知识梳理】
1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式B
A 叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：
3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．
【例题精讲】
1．化简：2222111x x x x x x
-+-÷-+
2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --??÷-- ?-+??
，其中22x =+．
3．解下列方程（1）013522=--+x
x x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x
4．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用
的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根
据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
第5课时二次根式
【知识梳理】
1.二次根式：
(1)定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。叫做二次根式.
2．二次根式的化简：
3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．
（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
5．二次根式的乘法、除法公式：
（1）a b=ab a0b0
?≥≥
（，）（2）
a a
=a0b0
b
b
≥
（，）
6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．
【例1】要使式子
1
x+
有意义，x的取值范围是（）
A．1
x≠B．0
x≠C．10
x x
>-≠
且D．10
x x≠
≥-且
【例2】估计
1
3220
2
?+的运算结果应在（）．
A．6到7之间B．7到8之间 C．8到9之间D．9到10之间
【例3】若实数x y
，满足2
2(3)0
x y
++-=，则xy的值是．
【例4】如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有
5
23π
7
-，，，四个实数，从中任取两张卡片．
A B C D
（1）请列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；
（2）求取到的两个数都是无理数的概率．
第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）
【知识梳理】
1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．
2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．
3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．
4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
【例题精讲】
例1． （1）解方程
.x x +--=21152156
（2）解二元一次方程组 ???=+=+27271523y x y x
例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．
例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． 例5．已知a 、b 、c 满足???=+-=-+0
2052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．
例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右
表数据，求电厂规定A 度为 ．
?????=+=+65115y x y x ???-=+=+2102y x y x ???==+158xy y x ???=+=31y x x 032=-+y x
第7课时 一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)
2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为
4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．
当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．
当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．
【思想方法】
1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【例题精讲】
例1．选用合适的方法解下列方程：
(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；
例2．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．
例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0
(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．
a
ac b b x 242-±-=