正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性
求函数的最值和值域。 过程：
一、复习：正弦和余弦函数图象的作法
二、研究性质：
1．定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R
2．值域：
1?引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1] 2?对于y=sinx 当且仅当x=2k π+
2
π
k ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2
π
k ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1
当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-1
3．观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π (k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+ 2π 3π (k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题： 1) 直接写出下列函数的定义域、值域： 1? y= x sin 11 + 2? y=x cos 2- 解：1?当x ≠2k π-2π k ∈Z 时函数有意义，值域:[,2 1 +∞] 2 ?x ∈[2k π+ 2π, 2k π+2 3π ] (k ∈Z)时有意义, 值域[0, 2 ] 2)求下列函数的最值： y o 1 -1 2 π2 3π2π- π π2y o 1 - 1 2 π2 3π2 π- π π 2 1? y=sin(3x+ 4π)-1 2? y=sin 2x-4sinx+5 3? y=x x cos 3cos 3+- 解：1? 当3x+4 π=2k π+ 2π即 x=12 32ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4 π =2k π-2π即x=4 32ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2? y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2 π k ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2 π k ∈Z 时y min = 2 3? y=-1+ x cos 31 + 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 2 1 3、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。 解：当k>0时 ? ? ?-==????-=+-=+13 42 b k b k b k 当k<0时 ? ??-==????-=+=+-13 42b k b k b k （矛盾舍去） ∴k=3 b=-1 4、求下列函数的定义域： 1? y=x x 2cos 21cos 3-- 2? y=lg(2sinx+1)+ 1 cos 2-x 3? y=)cos(sin x 解：1? ∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴2 1 ≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3 π ] (k ∈Z) 2? )(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈?????+ ≤≤-+<<-?????? ≥->π πππππππ )(3 26 2Z k k x k ∈+ ≤<- ?π ππ π ∴定义域为：)](3 2,62(Z k k k ∈+- π ππ π 3? ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π- 2π≤x ≤2k π+2 π (k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 ∴x ∈R 1cos ≤y ≤1 四、小结： 正弦、余弦函数的定义域、值域 五、作业： P57-58习题4．8 2、9
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