数列解答题专题
一、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
1. 已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和．
【答案】解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,
由b 2=3,b 3=9,可得q =b 3b 2
=3,
b n =b 2q n?2=3?3n?2=3n?1；
即有a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 则d =a 14?a 113=2,
则a n =a 1+(n ?1)d =1+2(n ?1)=2n ?1；
(2)c n =a n +b n =2n ?1+3n?1,
则数列{c n }的前n 项和为：[1+3+?+(2n ?1)]+(1+3+9+?+3n?1) =12n ?2n +1?3n 1?3 =n 2+3n ?12．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法：分组求和,考查运算能力,属于基础题．
(1)设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,运用通项公式可得q =3,d =2,进而得到所求通项公式；
(2)求得c n =a n +b n =2n ?1+3n?1,再由数列的求和方法：分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和．
2. 已知数列{a n }的前n 项和s n ,点(n,s n )(n ∈N ?)在函数y =12x 2+12x 的图象上．
(1)求{a n }的通项公式； (2)设数列{1a n a n+2}的前n 项和为T n ,不等式T n >13log a (1?a)对任意的正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)∵点(n,s n )在函数y =12x 2+12x 的图象上,
∴S n =12n 2+12n①,
当n ≥2时,S n?1=12(n ?1)2+12(n ?1)②,
①?②得a n =n , 当n =1时,a 1=S 1=12+12=1,符合上式,
∴a n =n ； (2)由(1)知a n =n ,则1a n a n+2=12(1n ?1n+2), ∴T n =1[(1?1)+(1?1)+(1?1)+?+(1?1)] =12(1+12?1n +1?1n +2) =34?12(1n+1+1n+2),
∵T n+1?T n =1(n+1)(n+3)>0,
∴数列{T n }单调递增, ∴(T n )min =T 1=13．
要使不等式T n >13log a (1?a)对任意正整数n 恒成立,只要13>13log a (1?a),
∵1?a >0,
∴0a ,即0 【解析】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列{T n }的单调性的分析,突出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于难题． (1)根据题意可得S n =12n 2+12n ,可得S n?1=12(n ?1)2+12(n ?1),从而即可求{a n }的通项公式； (2)由(1)知a n =n ,利用裂项法可求1a n a n+2=12(1n ?1n+2),从而可求得T n =12[(1?13)+(12?14)+(13?15)+?+(1n ?1n+2)], 由T n+1?T n =1(n+1)(n+3)>0,可判断数列{T n }单调递增,从而可求得a 的取值范围． 3. 在等差数列{a n }中,a 1=1,a n+1=(1+1n )a n +n+12n , (1)设b n =a n n ,求数列{b n }的通项公式 (2)求数列c n =(2?b n )n 的前n 项和公式 【答案】解：(1)∵数列{a n },a 1=1,a n+1=(1+1n )a n + n+1 2n , ∴由已知得b 1=a 1=1,且a n+1n+1=a n n +12n , 即b n+1=b n +12n ,从而b 2=b 1+12, b 3=b 2+122,(n ≥2) b n =b n?1+12n?1,(n ≥2). ∴b n+1?b n =1 2n ． ∴b n =b 1+12+122+...+12n+1=2?12n?1(n ≥2). (2)由(1)知a n =2n ?n 2n?1,2n ?a n =n 2n?1, 故S n =1+22+32+42+...+n 2, 12S n =12+222+323+424+...+n 2n , S n ?12S n 得,12T n =1+12+222+323+424+...+12n?1?n 2n , =1?1 2n 1?12?n 2, ∴S n =4?n+2 2n?1． 【解析】(1)由已知得b 1=a 1=1,且a n+1n+1=a n n +12n ,由此能推导出b n+1?b n =12n ． 有累加法得b n =b 1+12+122+...+1 2n+1=2?12n?1(n ≥2),由此能求出b n =2?12n?1． (2)由(1)知a n =2n ?n 2n?1,2n ?a n =n 2n?1,由此利用裂项求和法能求出数列{C n }的前n 项和S n ． 4. 已知各项均为正实数的数列{a n }的前n 项和为S n ,4S n =a n 2+2a n ?3对于一切n ∈N ?成立． (Ⅰ)求a 1； (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)设b n =√2a n ?1,T n 为数列{a n b n }的前n 项和,求证T n <5． 【答案】解：(Ⅰ)当n =1时,4S 1=4a 1=a 12+2a 1?3,,得a 12?2a 1?3=0, a 1=3或a 1=?1,由条件a n >0,所以a 1=3． (Ⅱ)当n ≥2时,4S n =a n 2+2a n ?3,4S n?1=a n?12+2a n?1?3； 则4S n ?4S n?1=a n 2+2a n ?3?a n?12?2a n?1+3, 所以4a n =a n 2+2a n ?a n?12?2a n?1,a n 2?2a n ?a n?12?2a n?1=0, (a n +a n?1)(a n ?a n?1?2)=0, 由条件a n +a n?1>0,所以a n ?a n?1=2, 故正实数列{a n }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以a n =2n +1． (Ⅲ)由(Ⅰ)b n =√2a n ?1=√22n+1?1=2n ,a n b n =2n+12n , ∴T n =32+522+?+2n?12n?1+2n+12n ,① 将上式两边同乘以12,得 12T n =322+523+?+2n ?12n +2n +12n+1② ①?②,得 12T n =32+222+223+?+22n ?2n+12n+1=52?2n+52n+1 , 即T n =5?2n+5 2n ． ∵n ∈N ?,∴2n+52n >0 ∴T n <5． 【解析】本题主要考查了数列的递推关系,等差数列的通项公式,错位相减法,考查学生的计算能力和推理能力,难度较大． (Ⅰ)直接把n =1代入4S n =a n 2+2a n ?3再结合各项均为正实数即可求出a 1； (Ⅱ)直接根据4S n =a n 2+2a n ?3以及4s n?1=a n?12+2a n?1?3；作差整理求出a n ?a n?1=2,得到数列的规律,即可求 出结论； (Ⅲ)先求出数列{a n b n }的通项公式,在利用错位相减法求和,进而证明结论． 5. 若数列{a n }是递增的等差数列,它的前n 项和为T n ,其中T 3=9,且a 1,a 2,a 5成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,若对任意n ∈N ?,4S n ≤a 2?a 恒成立,求a 的取值范围． 【答案】解：(1)数列{a n }是递增的等差数列, 公差设为d(d >0), T 3=9,即a 1+a 2+a 3=9, 即有3a 1+3d =9,即a 1+d =3①, 又a 1,a 2,a 5成等比数列, 可得a 22=a 1a 5, 即有(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)②, 由①②解得a 1=1,d =2, 则a n =1+2(n ?1)=2n ?1． (2)b n = 1a n a n+1=1(2n ?1)(2n +1) =12( 12n?1?12n+1), 前n 项和为S n =12(1?13+13?15+?+12n?1?12n+1) =12(1?12n+1)=n 2n+1 ． 对任意n ∈N ?,4S n ≤a 2?a 恒成立, 只需S n 的最大值小于或等于 a 2?a 4,而S n <12, 可得a 2?a ≥2, 解得a ≤?1或a ≥2． 所以a 的取值范围是(?∞,?1]∪[2,+∞)． 【解析】本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的通项公式和等比数列的性质,以及数列的求和方法：裂项相消求和,考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想,考查化简整理的运算能力,属于中档题． (1)公差设为d(d >0),运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式； (2)求得b n =1a n a n+1=1(2n?1)(2n+1),运用裂项相消求和,化简即可得到所求和,求得S n 的范围,可得a 的不等式,即可得到所求范围． 6. 已知数列{a n }前n 项和为S n ,且S n =n 2+3n 2 (n ∈N ?)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列{1a n a n+1}的前n 项和,且存在n ∈N ?,使得T n ?λa n+1≥0成立,求实数λ的取值范围． 【答案】解：(1)当n =1时,a 1=S 1=2, 当n ≥2时,a n =S n ?S n?1=n 2+3n 2?(n?1)2+3(n?1)2=n +1． ∵n =1时,a 1=2也满足上式, ∴a n =n +1． (2)因为1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1?1n+2, 所以T n =12?13+13?14+?+1n+1?1n+2=12?1n+2=n 2(n+2)． 因为存在n ∈N ?,使得T n ?λa n+1≥0成立, 所以存在n ∈N ?,使得n 2(n+2)?λ(n +2)?0成立, 即有在n ∈N ?,使得λ?n 2(n+2)2成立． 又n 2(n+2)2=12(n+4n +4)?116(当且仅当n =2时取等号), 所以λ?116． 即实数λ的取值范围是． 【解析】本题主要考查的是数列的综合应用． (1)结合数列的前n 项和与第n 项的关系求解即可； (2)先利用裂项消项求和法求T n ,再分离参数结合最值求实数λ的取值范围． 7. 在数列{a n }中a 1=2,a n+1=2?1a n ,记b n =1a n ?1,其中 n ∈N ?． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)若λa n +a n ≥λ对任意n ≥1的整数恒成立,求实数λ的取值范围． 【答案】解：(1)a n+1=2?1a n ,可得a n+1a n =2a n ?1, b n =1a n ?1,即b n+1?b n =1a n+1?1?1 a n ?1=(a n ?1)?(a n+1?1) (a n ?1)(a n+1?1)=a n ?a n+1 a n a n+1?a n ?a n+1+1=a n ?a n+1 a n ?a n+1=1． b 1=1a 1?1=1, 故数列{b n }是首项为1,公差为1的等差数列． (2)由(1)得b n =n ,故1a n ?1=n ,1=n(a n ?1),得a n =1+1n ． (3)将数列{a n }的通项公式代入λa n +a n ≥λ, 得λ+λ1n +1+1n ≥λ, 故λ+n +1≥0,所以λ≥?n ?1,且n ≥1,所以λ≥?2． 故实数λ的取值范围为λ≥?2． 8. 已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满足a n =2S n 22S n ?1(n ≥2)． (1)求证：数列{1S n }是等差数列； (2)证明：当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+?+1n S n <32． 【答案】证明：(1)当n ≥2时,S n ?S n?1=2S n 22S n ?1, 整理可得S n?1?S n =2S n S n?1,即1S n ?1S n?1=2, 从而{1S n }构成以1为首项,2为公差的等差数列． (2)由(1)可知,1S n =1S 1+(n ?1)×2=2n ?1, ∴S n =12n?1, ∴当n ≥2时,1n S n =1n(2n?1)<1n(2n?2)=12(1n?1?1n ), 从而S 1+12S 2+13S 3+?+1n S n <1+12(1?12+12?13+?+1n?1?1n )=32?12n <3 2．
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