立体几何专题评估测试题
[时间120分钟，满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·济宁一模)已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m?β，α⊥β，则m⊥αD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
解析根据线面垂直的判定和性质可知，D正确．
答案 D
2．(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为
解析结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．
根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，
可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.
答案 A
3．在空间中，不同的直线m ，n ，l ，不同的平面α，β，则下列命题正确的是 A ．m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．m ⊥l ，n ⊥l ，则m ∥n
D ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
答案 D
4．(2013·大兴一模)已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中不正确的是 A ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n
D ．若m ⊥α，m ?β，则α⊥β
解析 C 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确． 答案 C
5．(2013·滨州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．1
B.1
3
C.1
2
D.32
解析 由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为1×1＝1，所以四棱锥的体积为13×1×1＝1
3，选B.
答案 B
6．下列命题正确的是
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
解析 A 不正确，满足条件的直线可能相交也可能异面；B 不正确，当两个平面相交时也满足条件；由线面平行的性质定理可知C 正确；D 不正确，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交．
答案 C
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.2π
B ．22π
C ．(22＋1)π
D ．(22＋2)π
解析 由三视图可知该几何体是两个高相等、底面完全重合的圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为2×πrl ＝2×π×1×2＝22π.
答案 B
8．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ① ???α∥βα∥γ?β∥γ；② ???
α⊥βm ∥α?m ⊥β； ③
???m ⊥αm ∥β?α⊥β；④
???
m ∥n n ?α?m ∥α. 其中真命题的是 A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解析 ①正确，平行于同一平面的两平面平行；②中m 可能在平面β内，也可能m ∥β，m ⊥β，③正确．④中可能m ?α.
答案 A
9．(2013·临汾模拟)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
A ．10π
B ．50π
C ．25π
D ．100π
解析 由三视图可知该几何体为三棱锥，并且在同一顶点上的三条棱两两垂直，且棱长分别为3、4、5，故该几何体的外接球也就是棱长分别为3、4、5长方体的外接球，则该外接球的半径R ＝1232＋42＋52＝52
2，所以S ＝4πR 2＝50π.
答案 B
10．(2013·太原模拟)几何体ABCDEP 的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是
A ．BD ∥平面PCE
B ．AE ⊥平面PB
C C ．平面BCE ∥平面ADP
D ．C
E ∥DP
解析 由三视图可知，该几何体的底面是正方形，且棱EB 和P A 都与底面ABCD 垂直．若CE ∥DP ，则CE 在平面PDA 上的射影和DP 平行，这和几何体的侧视图矛盾，故选项D 不成立．
答案 D
11．若底面边长为a 的正四棱锥的全面积与棱长为a 为正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为
A.33
B.36
C.1313
D.2626
解析 由题意知正四棱锥的每个侧面面积为5
4a 2.设正四棱锥的侧棱长为x ，则正四棱锥的斜高h ′＝
x 2
－a 24，
所以有12
x 2－a 24·a ＝54a 2，解得x ＝262a .
所以正四棱锥的侧棱与底面所有角的余弦值为2
2a 262a ＝13
13.
答案 C
12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF 、C 1E
与AB 所成的角分别是α、β，则α＋β等于
A ．120°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
解析 选BC 的中点M ，连接FM 、MG ，则∠GFM 为GF 与AB 所成的角；连接ED 1，则∠EC 1D 1为C 1E 与AB 所成的角．计算出MF ，MG ，ED 1的长度可知C 1D 1D 1
E ＝MG
MF ，故Rt △GMF ∽Rt
△C 1ED ，∴∠GFM ＋∠EC 1D 1＝90°.选D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于________．
解析 如图所示，设O 是正方形ABCD 的对角线AC 和BD 的交点，AH 是点A 到平面BCD 的距离，因为S △BCD ＝2，所以当AH 最大时，所求三棱锥的体积就最大，由图可知当点H 与点O 重合时，AH 最大，此时AH ＝AO ＝2，则三棱锥的体积最大值为V ＝13×2
×2＝223.
答案
223
14．(2013·扬州模拟)正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC 是直角，则AM
MO 的值为________．
解析 如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，由条件知O 是正三角形BCD 的重心，所以BO ＝CO ＝23
3，AD ＝
22－?
??
??2332＝26
3.
设MO ＝x ，则CM 2＝BM 2＝x 2＋4
3.
又因为∠BMC 是直角，所以BC 2＝CM 2＋BM 2， 即4＝2? ?
???x 2＋43，解得x ＝63，
∴MO ＝63，即MO ＝1
2AO ， 故AM
MO ＝1. 答案 1
15．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE ＝1，∠AED ＝30°，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为________．
解析 由题意，正方形和菱形的边长均为1. 又面ABCD ⊥平面CEFB ，所以CE ⊥平面ABCD ，
于是CE ⊥CD ，从而DE ＝ 2.在△ADE 中，AD ＝1，DE ＝2，∠AED ＝30°， 由正弦定理得AD sin ∠AED ＝DE
sin ∠EAD ，
所以sin ∠EAD ＝DE ·sin ∠AED AD ＝2
2，
故∠EAD ＝45°.
又BC ∥AD ，所以异面直线BC 与AE 所成角为∠EAD ，即45°. 答案 45°
16．设l ，m ，n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m .
其中正确命题的个数为________．
解析 ①正确．②中当直线l ?α时，不成立．③中，还有可能相交于一点，不成立．④正确，故有2个正确的命题．
答案 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2013·济南模拟)如图，斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60°，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点．
(1)求证：EC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A 1－EFC 的体积．
解析 (1)证明 在平面AA 1C 1C 内，作A 1O ⊥AC ，O 为垂足． 因为∠A 1AC ＝60°，所以AO ＝12AA 1＝12AC ， 即O 为AC 的中点，所以OC 綊A 1E . 因而EC 綊A 1O .
因为侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊥AC ， 所以A 1O ⊥底面ABC ，所以EC ⊥底面ABC .(5分)
(2)F 到平面A 1EC 的距离等于B 点到平面A 1EC 距离BO 的一半，而BO ＝3，
所以VA 1－EFC ＝VF －A 1EC ＝13S △A 1EC ·12BO ＝13·12A 1E ·EC ·32＝13·12·3·32＝1
4.(10分) 18．(12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．
(1)求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；
(2)判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论．
解析 (1)证明 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，所以AA 1⊥BC . 在等边△ABC 中，D 是BC 中点，所以AD ⊥BC . 因为在平面A 1AD 中，A 1A ∩AD ＝A ，所以BC ⊥面A 1AD . 又因为A 1D ?面A 1AD ，所以，A 1D ⊥BC .(3分)
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是平行四边形，所以B 1C 1∥BC ，所以A 1D ⊥B 1C 1.(6分)
(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1是平行四边形，在平行四边形ACC 1A 1中连接A 1C ，交于AC 1点O ，连接DO .则O 为A 1C 中点．
在三角形A 1CB 中，D 为BC 中点，O 为A 1C 中点，故DO ∥A 1B .(10分) 因为DO ?平面DAC 1，A 1B ?平面DAC 1，所以A 1B ∥面ADC 1， 故A 1B 与面ADC 1平行．(12分)
19．(12分)(2013·门头沟区一模)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB ，PC ⊥α，PD ⊥β，C ，D 是垂足．
(1)求证：AB ⊥平面PCD ；
(2)若PC ＝PD ＝1，CD ＝2，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．
解析 (1)证明 因为PC ⊥α，AB ?α，所以PC ⊥AB .
同理PD⊥AB.
又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.(5分)
(2)平面α与平面β垂直．(6分)
证明设AB与平面PCD的交点为H，连接CH、DH.
因为PC⊥α，所以PC⊥CH.
在△PCD中，PC＝PD＝1，CD＝2，
所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.
在平面四边形PCHD中，PC⊥PD，PC⊥CH，所以PD∥CH.(10分)
又PD⊥β，所以CH⊥β，所以平面α⊥平面β.(12分)
20．(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．
解析(1)证明因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以四边形A1ACC1是矩形．
连接A1C交AC1于O，则O是A1C的中点．
又D是BC的中点，所以在△ADC1中，OD∥A1B.(3分)
因为A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.(5分)
(2)因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
以D为原点，建立如图所示空间坐标系D－xyz.
由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0,0)，A 1(3，0,2)，C 1(0，－1,2)．(6分) 则DA →＝(3，0,0)，DC 1→＝(0，－1,2)，设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由?????
n ·DA →＝0n ·DC 1
→＝0，得到???
3x ＝0－y ＋2z ＝0，
令z ＝1，则x ＝0，y ＝2， 所以n ＝(0,2,1)．(8分)
又DA 1→＝(3，0,2)，得n ·DA 1→＝0×3＋2×0＋1×2＝2， 所以cos 〈DA 1
→，n 〉＝25×7
＝235
35. 设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈DA 1
→，n 〉|＝23535，(11分)
所以A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为235
35.(12分)
21．(12分)(2013·南京模拟)如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝1
2AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .
(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ；
(2)求面GEF 与面EFD 所成锐二面角的大小．
解析 (1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD . ∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD .
∵CD ?平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面P AD .(5分)
(2)如图以D 为原点，以DA
→，DC →，DP →为方向向量建立空间直角坐标系D －xyz .
则有关点及向量的坐标为G (1,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，EF →＝(0，－1,0)，EG →＝(1,1，－1)．(7
分)
设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴?????
n ·EF →＝0n ·
EG →＝0???? －y ＝0x ＋y －z ＝0????
x ＝z y ＝0.
取n ＝(1,0,1)平面EFG 的一个法向量．(10分) ∵DA →
＝(1,0,0)为平面EFD 的法向量， ∴cos 〈DA →
，n 〉＝DA →·n |DA →|·|n |
＝22.
∴面GEF 与面EFD 所成锐二面角的大小为45°.(12分)
22．(12分)(2013·朝阳一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2.四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PE PB ＝PF
PC ＝λ.
(1)求证：EF ∥平面P AD ；
(2)当λ＝1
2时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解析 (1)证明 由已知，PE PB ＝PF
PC ＝λ， 所以EF ∥BC .
因为BC ∥AD ，所以EF ∥AD . 而EF ?平面P AD ，AD ?平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(4分)
(2)因为平面ABCD ⊥平面P AC ，平面ABCD ∩平面P AC ＝AC ， 且P A ⊥AC ，所以P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .
又因为AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两垂直． 如图所示，建立空间直角坐标系，
因为AB ＝BC ＝1，P A ＝AD ＝2，所以A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． 当λ＝12时，F 为PC 中点，所以F ? ????12，12，1，
所以BF →＝? ????－12，12，1，CD →＝(－1,1,0)．
设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，
所以cos θ＝|cos 〈BF →，CD →
〉|＝??????? ????－12，12，1·(－1，1，0)14＋1
4＋1×2＝33，
所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为3
3.(8分) (3)设F (x 0，y 0，z 0)，则PF →＝(x 0，y 0，z 0－2)，
PC
→＝(1,1，－2)． 由已知PF →＝λPC →，所以(x 0，y 0，z 0
－2)＝λ(1,1，－2)，
所以???
x 0＝λ，y 0＝λ，
z 0＝2－2λ.
所以AF
→＝(λ，λ，2－2λ)． 设平面AFD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 因为AD →＝(0,2,0)，所以???
??
n 1·AF →＝0，n 1·AD →＝0.
即???
λx 1＋λy 1＋(2－2λ)z 1＝0，
2y 1＝0.令z 1＝λ， 得n 1＝(2λ－2,0，λ)．
设平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为PD
→＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， 所以?????
n 2·PD →＝0，n 2·
CD →＝0.即???
2y 2－2z 2＝0，
－x 2＋y 2＝0.
令x 2＝1，则n 2＝(1,1,1)．
若平面AFD ⊥平面PCD ，则n 1·n 2＝0， 所以(2λ－2)＋λ＝0，解得λ＝2
3.
所以当λ＝2
3时，平面AFD ⊥平面PCD .(12分)
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
. .. . 2014 高考及模拟立体几何带答案 一．解答题（共17小题） 1．（2014?）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC 的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC． 2．（2014?）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 3．（2014?）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°． 4．（2014?）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC． 5．（2014?一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求四面体PEFC的体积． 6．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求证：OE∥平面PDC； （Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值． 7．（2014?天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2． （1）求证：B1B∥平面D1AC； （2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．
立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
立体几何复习测试题及答案
高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
M D' D C B A 立体几何单元测验题 一、选择题：把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中，每小题4分，共60分 1．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 A ． 152 π B ．10π C ．15π D ．20π 2．C B A ,,表示不同的点，l a ,表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是 A ．ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C ．,l A l A αα?∈?? D ．βαβα与不共线，，且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3．直线c b a ,,相交于一点，经过这3条直线的平面有 A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．0个或1个 4．下列说法正确的是 A ．平面α和平面β只有一个公共点 B ．两两相交的三条直线共面 C ．不共面的四点中，任何三点不共线 D ．有三个公共点的两平面必重合 5． 直线b a 与是一对异面直线，a B A 是直线,上的两点，b D C 是直线,上的两点，N M ，分别是BD AC 和的中点，则a MN 和的位置关系为 A ．异面直线 B ．平行直线 C ．相交直线 D ．平行直线或异面直线 6．已知正方形ABCD ，沿对角线ABC AC ?将折起，设AD 与平面ABC 所成的角为α，当α最大时，二面角D AC B --等于（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 7．已知异面直线b a ,分别在平面βα,内，且βαI c =，直线c A ．同时与b a ,相交 B ．至少与b a ,中的一条相交 C ．至多与b a ,中的一条相交 D ．只能与b a ,中的一条相交 8．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ，则这个多边形的面积是 A 2S B ．2S C ．22S D ．4S 9．直线l 在平面α外，则 A ．α//l B ．α与l 相交 C ．α与l 至少有一个公共点 D ．α与l 至多有一个公共点 10．如图，BD AB BD M AC M AB BD AC AB ，，平面，平面，⊥⊥?===1与平面M 成030角，则 D C 、间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 11．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
教学设计《向量法解决几何问题的综合应用》 教材分析: 向量法的好处在于克服传统立体几何以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强.运算过程程序化,公式化,有效地突破了立体几何教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工具,充分体现出向量法的优越性.本节课的主要内容是在已给的条件下准确建系，之后正确求角。 学情分析： 本节课之前,学生已经掌握了利用向量法求空间中各种角的基本方法,但在没有已知的三垂直下建系会存在一定的困难 教学重点:准确建系 教学难点: 建系前的证明 教学过程： 引入：前面几节课我们以向量作为工具研究了空间中各种角的求法。其基本步骤可分为哪几步? (生: 分为三步: 一建系,写坐标 二.进行向量运算. 三将向量运算的结果翻译成几何意义)如果我们认为向量法的前提是“向量运算”，那前提就是“建系”而建系的条件是三垂直。之前，我们给的题目都有明显的三垂直，目的是让大家掌握求角的方法，所以容易建系。现在我们可以再上一个台阶。请看练习： 例一：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，F 是AD 的中点. 提问1 ：如果给出线段长，之后让求角。那需要我们作什么工作？ 建系 提问2：有现成的三垂直吗？ 引导：如果我们完成这两个证明之后，能否建系呢？ 求证：（1）BF ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD,求证: 平面PF ⊥平面ABCD 补充（3）若PA=AB=2，在（2）的条件下建系，写出P 、A 、B 、D 四点的坐标 变式：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，若PA=PD ，FC BF ⊥， F 是AD 的中点，试建立恰当的坐标系。（不用写坐标） 设计意图： 1.若题目给出面面垂，必然由此得到线面垂，强化面面垂直的性质定理，并明确书写的规范程
第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．