河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训
《4-3三角函数的图象与性质》试题 新人教A 版
1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移
π
3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3 B ．3 C ．6 D ．9
[答案] C
[解析] 由题意知，π3＝2π
ω·k (k ∈Z )，
∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.
(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向左平移π
6个单位
C ．向右平移π
12个单位
D ．向右平移π
6个单位
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋
π3)＝2sin2(x ＋π
6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π
6
个单位得到，故应选B.
2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π
4)的图象的一条对称轴是( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π2
C ．x ＝－π
4
D ．x ＝－π
2
[答案] C
[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π
4
)的图象的对称轴是
x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋
3π
4
，k ∈Z .
当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π
4
.
[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点．
(理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π
3)图象的对称轴方程可以为( )
A ．x ＝π12
B ．x ＝5π
12
C ．x ＝π3
D ．x ＝π6
[答案] A
[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
12，k ∈Z ，
令k ＝0得x ＝π
12，故选A.
[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π
3
＝π
2
，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π
6)的一个递减区间为( )
A ．(π6，2π
3)
B ．(－π3，π
6)
C ．(－π2，π
2)
D ．(π2，3π2
)
[答案] A
[解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2
得，
k π＋π6≤x ≤k π＋
2π
3
(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π
3
，故选A.
(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调
递减，则ω的取值范围是( )
A ．[12，5
4]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2]
D ．(0,2]
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．
ω＝2?ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1?(ωx ＋π4)∈[3π4，5π
4]合题意，
排除B ，C.
4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π
4]上的最小值是－2，
则ω的最小值为( )
A.23
B.32 C ．2 D ．3
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π
2ω≤π3
， ∴ω≥32，即ω的最小值为32
.
5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A ．ω＝π2，φ＝π
4
B ．ω＝π3，φ＝π
6
C ．ω＝π4，φ＝π
4
D ．ω＝π4，φ＝5π
4
[答案] C
[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π
4
.
令
π4×1＋φ＝π2，得φ＝π
4
，∴选C. (理)函数y ＝x
sin x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )
[答案] C
[解析] 依题意，函数y ＝x
sin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，
π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝
x
sin x
>1，故选C. 6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋
π4)＋cos(2x ＋π
4
)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
4对称
B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
2对称
C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
4对称
D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
2对称
[答案] D
[解析] f (x )＝sin ? ????2x ＋π4＋cos ?
????2x ＋π4
＝2sin ?
????2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在? ????0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：
①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝3
2；③若α、β
是第一象限角且α<β，则tan α 4)的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π 12 ，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤ [答案] C [解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)?y ＝－sin 2 3 x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<3 2，所以不存在实数α，使得sin α ＋cos α＝3 2 ； ③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)， 即tan α ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π 2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π 4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π 2＝1， 所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π 3)的对称中心． 综上所述，只有①④正确． [点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1 2，1]，则b －a 的最小值为________． [答案] 2π3 [解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π 3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z . 由图象观察知，b －a 的最小值为2π 3 . (理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π 2 ，则正数ω的值为________． [答案] 1 [解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π 3 )， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π 2，T ＝2π，所以ω ＝1. 8．已知关于x 的方程2sin 2 x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根， 则m 的取值范围是________． [答案] －2 [解析] m ＝1－2sin 2 x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π 6 )， ∵x ∈(π 2 ，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π 2，π)有两个不同的交点，∴－2 9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π 3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈ [－π 2 ，0]，则x 0＝________. [答案] －π 6 [解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π 3) ＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π 6 . 10．(文)(2011·北京文)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π 6 )－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间[－π6，π 4]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π 6)－1 ＝4cos x ( 32sin x ＋1 2 cos x )－1 ＝3sin2x ＋2cos 2 x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π 6 )． 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π 3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π 6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π 6 时，f (x )取得最小值－1. (理)(2011·天津南开中学月考)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋ 32 . (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π 2时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2 x ＋3 2 ＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π 3)， 所以f (x )的最小正周期为π. 令sin(2x －π3)＝0，得2x －π 3＝k π， ∴x ＝ k π 2＋π 6 ，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为( k π 2 ＋ π 6 ，0)(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π 3 . ∴－ 32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3 2 ，1]. 能力拓展提升 11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x |(0 ( ) [答案] B [解析] y ＝sin x ·|cos x sin x | ＝????? cos x ，0 π 2 0，x ＝ π2－cos x ，π2 (理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π 2)，y ＝f (x )的部分图 象如图，则f (π 24 )＝ ( ) A ．2＋ 3 B. 3 C.33 D ．2－ 3 [答案] B [解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π 2， ∴ω＝π T ＝2， 又∵图象过点(3 8 π，0)， ∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(3 4π＋φ)＝0， ∴φ＝π 4 . 又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π 4)＝A ＝1， ∴f (x )＝tan(2x ＋π 4)， ∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4) ＝tan(π12＋π4)＝tan π 3 ＝ 3. 12．(文)为了使函数y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( ) A ．98π B.1972π C ．99π D ．100π [答案] C [解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2π ω≥1，∴ω≤99π， 故选C. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ? ?? ??π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C [解析] ∵y ＝sin ? ????π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ? ?? ??π2x 的周期T ＝4， ∴t ≥7 4 T ＝7，故选C. 13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π 2))的最小正周 期为π，且其图象关于直线x ＝π 12 对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点(π 4，0)对称； ②图象关于点(π 3，0)对称； ③在[0，π 6]上是增函数； ④在[－π 6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④ [解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2× π 12＋φ＝π2，∴φ＝π 3 ， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π 3)＝0，故 ②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π 12，令k ＝0得， － 5π12≤x ≤π 12 ，故③错，④正确，∴正确结论为②④. (理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： ①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π 2 ，0]上单调递减． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④ [解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f ( π 2＋2π)＝π2＋2π≠π 2 ， ∴②假；∵f ( π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π 2 )≠0，∴③假；设 0≤x 1 2]上为增函 数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π 2 ，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2 x ＋b sin x co s x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32. (1)求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)由? ??? ? f 0＝2，f π3＝12＋3 2， 得???? ? 2a ＝2，12 a ＋34 b ＝12＋3 2.解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π 4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π 4 )≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2β＋π 4)． ∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π 4 )，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π 4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π 4 ，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π 2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝1 3，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝1 3＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]， ∴α∈(0，π 2 )，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2 ＝1＋2sin α·cos α＝43， 得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝2 3 3. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋ π 4 )，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π 4 ]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)设f (x )＝cos ? ? ??? ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0， π 2 ]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B . 由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2si n A cos B . 又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π 3. (2)由题知f (x )＝cos(ωx －π 6 )＋sin ωx ＝ 32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π 6 )， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π 6)， 当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π 6]， sin(2x ＋π6)∈[－1 2 ，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π 6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－3 2 . 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2 x . (1)求f (x )的单调递减区间； (2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π 6)， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π 2(k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π 3 (k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π 3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π 6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝ k π 2－π 12 (k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π 12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π 6)， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6)＋(2β＋π 6)＝2k π＋π(k ∈Z )， 即α＋β＝k π＋π 3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理) (2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π 2.y ＝f (x )的部分图 象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π 3 ，求A 的值． [解析] (1)由题意得，T ＝ 2π π3 ＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π 3x ＋φ)的图象上， 所以sin(π 3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π 6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )， 由题意可知π3x 0＋π6＝3π 2，得x 0＝4， 所以Q (4，－A )． 连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2 3 π，由余弦定理得， cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2 ＝－1 2， 解得A 2 ＝3 又A >0，所以A ＝ 3. 1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝ 5π 6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( ) A ．[－π，－5π 6] B ．[－5π6，－π 6] C ．[－π 3，0] D ．[－π 6 ，0] [答案] D [解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π 3 ， ∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π 6， 令k ＝0得－π 6 ≤x ≤0，故选D. 2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ? ????ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ? ????ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.1 12 D.233 [答案] D [解析] y ＝sin ? ????ωx ＋π4 y ＝sin ???? ?? ω? ? ???x －π4＋π4 ＝sin ? ?? ?? ωx ＋π3， ∴ π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －1 3 (k ∈Z )， 又∵ω>0，∴ωmin ＝233 . 3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πx R 图象上相邻的一个最大值点与一 个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2 上，则f (x )的最小正周期为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D [解析] f (x )的周期T ＝ 2π π R ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D. 4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( ) A ．x ＝π B ．x ＝7π8 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 2 [答案] B [解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2 θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π 4)． 由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π 8， 令k ＝1得x ＝7π 8，故选B. 5. (2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( ) A ．10 B ．8 C.87 D.47 [答案] B [分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝ 2π π ＝2，tan α＝ AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan α·tan β＝12＋3 21－12×3 2＝8，∴选B. 6．对任意x 1，x 2∈? ????0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1 D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B [解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1 x 1 的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜 率，1＋sin x 2 x 2 的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1 sin x 的图象可得y 1>y 2.选B. 7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝? ?? ?? sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数； ②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π 4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π 2 . 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2 (x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝ 3sin(2x － π6)＋1－cos2(x －π 12 )＝2?? ????32 sin ? ? ???2x －π6－12cos ? ????2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π 3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π. (2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3)＝1，得出x ＝k π＋5π 12(k ∈Z )，∴x 值的集合 为{x |x ＝k π＋5π 12 ，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等． 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏17）（本小题满分12分） 如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ． 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠， CB AC CD ==， 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+． 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =． 12分 2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 （1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++-B A C D E B 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，ABC △a ． 例题二：如图，在ABC △中，π 4A ∠=，4AB =，BC =点D 在AC 边上，且1cos 3 ADB ∠=-． （1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积． 例题三： ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ； （2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积． 例题四：已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 例题一：【答案】（1）π3 A =；（2 ）a = 【解析】（1）由⊥m n ，可得0?=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+， ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2 A = ， ∵0πA <<，∴π3A =． （2 ）由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△，∴4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴a = 例题二：【答案】（1）3；（2 ） 【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3 ADB ∠=-， ∴sin 3ADB ∠=， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠， ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=， ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ，sin CDB ∠= 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠， 得21179233 CD CD =+-??，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=． 例题三：【答案】（1）2π3 B =；（2 ）ABC S =△ 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=， ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 解三角形高考真题(一) 解三角形高考真题（一） 一．选择题（共9小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． 2．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3 4．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）A． B．C．D． 6．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则 14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．15．在△ABC中，∠A=，a=c，则= ．16．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC= ． 17．在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ． 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m． 20．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于． 21．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠ 三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . （1）求A C sin sin 的值； （2）若2,41 cos ==b B ，求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值； （2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 3.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π ，求A 的值； （2）若c b A 3,31 cos ==，求C sin 的值. 4.ABC ?中，D 为边BC 上的一点，5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD . 5.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41 cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ?的周长； （2）求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241 b a c =. （1）当1,45 ==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围. 7.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值； （2）求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 412cos -=C . （1）求C sin 的值； （2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长. 9.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 3,5522cos =?=A . （1）求ABC ?的面积； （2）若6=+c b ，求a 的值. 高考文科数学真题大全解 三角形高考题学生版 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 8．（2012上海）在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9.（2013天津理）在△ABC 中，∠ABC ＝π 4 ，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝ π6，c ＝π 4 ，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 ＋1 C ．23－2 －1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 12．（2013辽宁）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) 13．（2013山东文）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 D ．1 14．（2013陕西）设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、（2016年新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2 cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 16、（2016年新课标Ⅲ卷文）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A （A ）3 10 （B ）1010 （C ）55 （D ）31010 17、（2016年高考山东卷文）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = （A ） 3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试） 1．（A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.（2007重庆理）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ,A =3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 4．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56π Ｄ．3 π 或23π 5．（2005春招上海）在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = =，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ． 14 B ．3 4 C ．4 D ．3 7．（2005北京春招文、理）在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3 ，那么b =（ ） A ．2 31+ B ．31+ C ．2 32+ D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝ 。 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π， （2） 【解析】 （1） ，π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当时，，∴. 当时，，∴. 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2），所以，得①， 由（1）得，所以. 在中，由正弦定理，得，即②， 联立①②，解得，，则，所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围． 【答案】 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 解三角形高考大题,带答案 1． (宁夏１7)(本小题满分1２分） 如图,ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ， 2AB =. （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； (Ⅱ）求AE ． 解:(Ⅰ） 因为 9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==, 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠.?6分 （Ⅱ）在ABE △中,2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =.?12分 ２． （江苏1７)(１4分） 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ，BC ＝10km ，为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上（含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、ＢO 、ＯＰ,设排污管道的总长为y ｋm 。 （1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠B ＡＯ=θ(rad ），将y 表示成θ的函数关系式; ②设O Ｐ=x (k ｍ),将y 表示成ｘ的函数关系式; (２）请你选用（１)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (１）①由条件知P Ｑ垂直平分A Ｂ,若∠BA Ｏ=θ（rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B 解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}2020年高考数学三角函数专题解题技巧
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